Об определении границы панельного флаттера вертикальной стенки топливного бака методом заданных форм Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Том XIV 1 983 №5

/

УДК 534.131.2

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ГРАНИЦЫ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ ТОПЛИВНОГО БАКА МЕТОДОМ ЗАДАННЫХ ФОРМ

В. И. Валяев

На примере прямоугольного бака анализируется сходимость метода заданных форм при оценке влияния ограниченного объема жидкости, имеющей свободную поверхность, на границу панельного флаттера вертикальной стенки бака. Воздействие внешнего сверхзвукового потока задается согласно квазистатическому приближению двумерной теории тонкого крыла. Жидкость идеальная несжимаемая. Стенка тонкая изотропная с защемленными краями. Постановка задачи линейная.

Использование метода заданных форм для численного решения малоисследованной задачи определения границы панельного флаттера стенки, обтекаемой с внешней стороны однородным сверхзвуковым потоком и одновременно взаимодействующей с внутренним ограниченным объемом идеальной весомой жидкости со свободной поверхностью, требует особого внимания к процедуре выбора координатных функций. Это обусловлено главным образом двумя причинами, связанными с особенностями рассматриваемой механической системы. Известно, что конечная система координатных функций, хорошо аппроксимирующая формы колебаний упругой конструкции без потока, может плохо описывать формы колебаний той же конструкции в потоке. Заметим, что для „сухих“ панелей в сверхзвуковом потоке накоплен большой опыт по рациональному выбору координатных функций, например [1].

При описании колебаний тонкостенных конструкций с жидкостью сталкиваются с тем, что система координатных функций, хорошо описывающая формы колебаний конструкции, плохо описывает формы колебаний несжимаемой жидкости и наоборот. В работе [2] предлагается метод, с помощью которого это затруднение преодолевается благодаря выбору двух систем координатных функций, одна из которых хорошо описывает формы колебаний конструкции, а другая—формы колебаний идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью.

Таким образом, применительно к рассматриваемой задаче определения границы панельного флаттера требуется проведение численной оценки полноты той или иной конечной системы координатных функций с двух разных точек зрения, предъявляющих к системе разные требования. Причем актуальность проблемы выбора координатных функций заключается не столько в повышении скорости сходимости, т. е. сокращении времени расчета, сколько в принципиальной возможности получения решения. В этом заключается вторая причина повышенного внимания к процедуре выбора координатных функций. Она состоит в трудоемкости решения вспомогательной задачи о собственных колебаниях системы панель — жидкость, которая является составной частью решения задачи определения границы панельного флаттера.

В зависимости от размеров стенки и конфигурации объема, занятого жидкостью, а также от порядкового номера тона для численной сходимости решения, как показывает практика расчетов, требуется от нескольких единиц до нескольких десятков координатных функций, соответствующих формам собственных колебаний идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле сил тяжести. Для ряда простых полостей такие функции, которым при решении вспомогательной задачи отводится роль исходных данных, известны, однако определение их в общем случае представляет самостоятельную трудную проблему (см. [3]).

Все эти вопросы нашли свое отражение на примере исследования конкретного прямоугольного бака, одна из вертикальных стенок которого обтекается однородным сверхзвуковым потоком. Остальные стенки бака считаются жесткими. Упругая стенка представляет собой прямоугольную тонкую изотропную пластину постоянной толщины с защемленными краями. Жидкость, частично заполняющая бак до уровня Л считается идеальной несжимаемой. Свободная поверхность Р жидкости параллельна днищу бака (т. е. вектор, ускорения силы тяжести g перпендикулярен днищу, ¿-=9,81 м/с). Верхняя крышка отсутствует. Аэродинамическое давление р на внешнюю поверхность стенки (рис. 1) определяется согласно известной формуле Аккерета х

2 q дни

р = 1' ТГ ’

где 3 =у'М;! — I, М—число М, ^ — скоростной напор, а> — смещение точек поверхности стенки.

Задача определения границы панельного флаттера формулируется в линейной постановке с использованием уравнений Лагранжа II рода [2]и сводится к решению обобщенной задачи на собственные значения с вещественными матрицами, одна из которых симметричная, положительно определенная. Определение собственных чисел и векторов осуществляется посредством стандартной процедуры, использующей (?/?-алгоритм. Для прямоугольного бака система координатных функций (1), описывающих колебания идеальной несжимаемой весомой жидкости со свободней поверхностью, известна для любого уровня заполнения, в результате чего в значительной степени понижается трудоемкость решения вспомогательной задачи о собственных колебаниях системы панель — жидкость

Рис. 1

1т.у у.\г с И Ал:

А'=4/С08—СОЯ-~ стаГ

/ = 1. 2...................../, /= 1,

1

С)

где А*яК(/да+ (У/с)*, а значение коэффициента Ап определяется из условия нормировки на свободной поверхности жидкости:

/

Система координатных функций (1) удовлетворяет уравнению Лапласа для потенциала смещений жидкости /¡¡, а также граничным условиям непротекания на стенках бака и постоянства давления па свободной поверхности [2]. Для бака с размерами а = 0,4 м, Ь = 0,25 м, с = 0,6 м (см. рис. 1), заполняемого водой, на рис. 2 приведена зависимость частоты первых шести тонов собственных колебаний от уровня заполнения й/а. Упругая стенка в этом случае представляет собой алюминиевую пластину толщиной о= 1,6 мм. В качестве координатных функций, описывающих смещения стенки, использовались функции

-I

С05

г. (к- 1)

С08

«(*+ 1)

а

х

а

сой ■

■ соэ •

* = 1, 2, .... /С; / = 1,2..¿,

удовлетворяющие условиям защемления по краям пластины,

(2)

Результаты, для первых трех гонов сравниваются с известными -экспериментальными данными [4], полученными для этого бака и обозначенными на рис. 2 точками. Согласие результатов хорошее. Оно достигается при использовании 16 координатных функций (2) с К = I- = 4 и 40 координатных функций (1) с /=4 и /=10. Необходимость большого числа координатных функций (1) связана с отдаленностью задней стенки рассматриваемого бака (отношение А/с всюду меньше единицы). Здесь они используются лишь для описания вклада жидкости в динамические свойства стенки, учитывая малость влияния спектра собственных колебаний жидкости в поле сил земного тяготения из-за удаленности низших тонов этого спектра от низших тонов спектра упругих колебаний пластины.

Таким образом, при определении границы панельного флаттера система координатных функций с полученными значениями /и J остается неизменной. Вариации подлежит только система координатных функций, описывающих колебания панели в потоке. При этом требуется подробное описание деформации панели в направлении потока, например, для удлиненной вдоль оси х панели и при наличии ограничений на общее число координатных функций целесообразно, чтобы число К системы координатных функций (2) превышало число характеризующее максимальное число узловых линий формы поперек потока. В свою очередь это совпадает с требованием более подробного описания деформации панели в задаче о влиянии жидкости на характеристики собственных колебаний панели для случая, изображенного на рис. 1, и может накладывать независимые требования при изменении направления потока. В первом случае

жидкость изменяет форму колебаний панели преимущественно вдоль вертикальной оси, и при обтекании потоком

МО3

в этом направлении требования к выбору значений К к совпадают.

На рис. 3 и 4 изображены зависимости критического значения безразмерного параметра полученные с учетом приведенных выше рассуждений. Параметр X характеризует критическое значение ско-2да3

ростного напора Л,-

3 О

для

пластины

£63

цилиндрической жесткостью О— ,0.,

12(1 —\"2)

где £, ч—модуль упругости и коэффициент Пуассона материала стенки (£=7, ЫОю Н/м2, N1 = 0,3). Зависимости на рис. 3 соответствуют случаю обтекания стенки, изображенному на рис. 1, и получены с использованием 12 координатных функций (2) с К = 6 и £ =2.

Анализ взаимодействия тонов в потоке Рис' 5

(см. верхнюю зависимость на рис. 3, где

стрелки соединяют тона, частоты которых при повышении скоростного напора первыми переходят из действительной области в комплексную) свидетельствует о необходимости использования по крайней мере четырех тонов собственных колебаний механической системы панель—жидкость при использовании их в качестве координатных функций вместо системы (2). Причем это не четыре первые тона системы панель—жидкость, а 1, II, IV и VI тона. Использование в качестве координатных функций первых четырех тонов собственных колебаний .сухой“ панели для рассматриваемого бака с жидкостью приводит к результату [4], приведенному на рис. 3 пунктиром. (Здесь применен другой вариант метода заданных форм для решения задачи о собственных колебаниях стенки бака с жидкостью).

Отметим, что использование первых четырех координатных функций (2) с /< = /,= 2 приводит к зависимости Х(й'а), изображенной на рис. 5, где в формировании границы флаттера участвуют только два низших тона. Пунктиром представлен аналогичный результат работы [4] при использовании форм собственных колебаний „сухой“ панели. Сравнивая рис. 5 и 3, отметим количественное и качественное различие результатов расчета, причем степень устойчивости системы, более близкой к реальной, оказывается выше.

При отклонении потока на 90°, когда вектор скорости направлен вдоль оси у, характер взаимодействия тонов в потоке оказывается более сложным из-за рассмотренных выше факторов, оказывающих независимое влияние на форму колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях. На рис. 4,

где приведена зависимость ХЩа), ных функций (2) с А^ = /_= 4, в

полученная с использованием 16 координат-верхней его части приводится иллюстрация

характера взаимодействия тонов в потоке: по мере заполнения бака имеет ме-

другой

Количе-

ств

7 „переключений“ от одной в предыдущем случае было одно

пары взаимодействующих тонов

/г \

.переключение“ при 0,2 <^ —<0,25)

ство координатных функций (2), равное 16, здесь считается минимальным. Анализ полученных результатов свидетельствует о необходимости использовать формы не менее шести токов собственных колебаний системы панель—жидкость в качестве координатных функций при определении границы флаттера. Результат расчета с использованием четырех координатных функций (2) с К = £ = 2 изображен на рис. 4 пунктиром. Сравнивая обе зависимости при различных уровнях заполнения, можно обнаружить как количественные, так и качественные отличия.

В целом по результатам расчета отметим, что в случае, когда скорость потока направлена вдоль длинной грани, критическое значение скоростного напора для „сухой* панели оказывается естественно меньше, чем во втором случае. Заполнение бака жидкостью приводит к обратному эффекту: начиная с уровня Л/а = 0,2, стенка при обтекании вдоль ее длинной грани становится более устойчивой. Этот результат имеет объяснение. Основными факторами, влияющими на границу панельного флаттера, являются близость частот и особенности форм собственных колебаний. Плотность спектра собственных частот растет по мере заполнения бака жидкостью, однако происходящие при этом изменения формы колебаний панели приводят к падению степени аэродинамического взаимодействия тонов. В результате, несмотря на рост плотности спектра, в первом случае наблюдаем тенденцию к росту величины критического

скоростного напора. Во втором случае, когда то же изменение формы не имеет большого значения, фактор близости частот является определяющим и наблюдается падение критического скоростного напора. Поэтому при оценке границы панельного флаттера элементов обшивки, являющихся стенками топливного бака, требуется внимательный учет влияния жидкости в баке, поскольку в различных условиях жидкость может способствовать как существенному повышению критического скоростного напора, так и его резкому снижению. Анализ этих эффектов требует в свою очередь учета взаимодействия высоких тонов собственных колебаний системы „панель—жидкость- в сверхзвуковом потоке, приводящего к значительному росту объема исходных данных и времени расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новичков Ю. Н. Флаттер пластин и оболочек. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники, т. II, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978.

2. Г а л к и н М. С. Теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью,— Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. VIII, № 2.

3. Жмурин И. П. Расчетное и экспериментальное исследование колебаний жидкости в прямоугольном наклонном баке. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2096.

4. Ferman М. A., Unger W. H. Fluid —structure interaction dyna-mics in fuel tanks. - AIAA Paper, 1979, N 0237.

Рукопись поступила ?.9\UI 1982 г