CC BY
17
УДК 533.6.013.42
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, В. А. СУДАКОВ, А. В. АНКИЛОВ
ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ЗАДАЧЕ О ДИНАМИКЕ ЗАЩИТНОГО ЭКРАНА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ ПОТОКОМ ГАЗА
Исследуется решение начально-краевой задачи для связанной системы дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей динамику упругой стенки (защитного экрана) резервуара, заполненного жидкостью, при взаимодействии стенки со сверхзвуковым потоком газа. Численно-аналитическое решение, основанное на методе Бубнова-Галёркина, позволяет провести численный эксперимент с целью определения характера колебаний.
Ключевые слова: аэрогидроупругость, деформация, динамика, дифференциальные уравнения с частными производными, жидкость, колебания, метод Бубнова-Галёркина, сверхзвуковой поток газа, упругая пластина, устойчивость, численное решение.
Введение
В работе рассматривается численно-аналитическое решение задачи о динамике упругой стенки (защитного экрана) резервуара, заполненного жидкостью (несжимаемая среда), при обтекании стенки сверхзвуковым потоком газа (сжимаемая среда). Исследование проводится в линейной постановке. Задача сведена к решению дифференциального уравнения в частных производных с начальными и краевыми условиями, в котором неизвестной является функция деформации стенки резервуара. На основе численного эксперимента, основой которого является метод Бубнова-Галёркина, проводится анализ зависимости характера колебаний упругой стенки от параметров механической системы, в т. ч. от значения скорости набегающего сверхзвукового потока. Этот анализ позволяет сделать вывод об устойчивости или неустойчивости колебаний.
Постановка задачи
Рассматривается плоская задача о динамике упругой стенки резервуара О = {(х, у) е Я2 : 0 < х < I, — И < у < 0}, заполненного жидкостью. Упругой является стенка, занимающая положение у = 0, 0 < х < I и моделируется упругой пластинкой. Остальные стенки (х = 0, х = I и у = —И) считаются недеформируемыми (рис. 1). В области О+ = {(х.у) е Я2 : х е (—го;да),у е (0,+го)} протекает сверхзвуковой поток газа в направление оси
Ох со скоростью ¥0 > а0, где а0 - скорость звука. Предполагается, что число Маха М0 = — >
0 0 0 0 а 0
Рис. 1. Резервуар с деформируемой стенкой, обтекаемым сверхзвуковым потоком газа
© Вельмисов П. А., Судаков В. А., Анкилов А. В., 2013
Введём обозначение: w( х, г) - функция деформации (прогиб) пластины; ( (х, у, г) - потенциал
скорости жидкости в области в-, ( (х, у, г) - потенциал скорости газа в области в+. Математическая постановка задачи в линейном приближении имеет вид:
(+ + 2*>+ + УК = "К + (), (х, У) е в+; (1)
+ 14 +У0wx, х е (0,/), г > 0,
(I (х,0, г) = \ г 0 х' ^ Л (2)
у [0, х е (/, +да), г > 0;
( (0, у, г) = 0, (+ (0, у, г) = 0, у е (0, да), г > 0; (3)
( (х, у,0) = 0, (+ (х, у,0) = 0, х е (0, да), у е (0, да); (4)
( +К = 0, (х,у) е в-; (5)
Ф~ (х,-й, г) = 0, (х,0, г) = " ( (х, г), х е (0, /), г > 0; (6)
( (0, у, г) = 0, (/, у, г) = 0, у е (-Й,0), г > 0; (7)
т^ (х, г)+(х, г) = = (р--р-(-(х,0, г)) - (р+ -р(+ (х,0, г) + Р(+ (х,0, г))); (8)
"(0, г) = ^ (0, г) = "(/, г) = ^ (/, г) = 0, г > 0; (9)
"(х,0) = /(х), "г(х,0) = /2(х), х е (0, /). (10)
Здесь индексы х, у, г снизу обозначают производные по х, у и г; П и т - изгибная жёсткость и погонная масса пластины; У0, р+, р+ - скорость газа, плотность и давление в набегающем однородном потоке в области в+; р , р - плотность и давление жидкости в области в в состоянии покоя.
Уравнение (1) описывает течение газа в области в+ в модели идеальной сжимаемой среды; (2), (6), (7) - условия непротекания; (3) - условия отсутствия возмущений перед пластиной в области в+;
(4) - условия отсутствия возмущений в начальный момент времени в области в+; уравнение Лапласа
(5) описывает динамику жидкости в области в в модели идеальной несжимаемой среды; (8) - уравнение, описывающее динамику упругой стенки резервуара с учётом воздействия на неё сверхзвукового потока газа сверху и жидкости снизу; условия (9) соответствуют шарнирному закреплению концов упругого элемента резервуара; (10) - начальные условия, которые должны быть согласованы с (9). Заметим, что предлагаемый ниже метод решения задачи пригоден и для любых других закреплений концов, например для жёсткого защемления.
Уравнения и условия (1) - (10) образуют начально-краевую задачу для определения трёх неизвестных функций "(х,г), ((х,у,г), ((х,у,г).
Для решения задачи в верхней области в+ применим операционный метод. Перейдём в уравнении (1) и условии (2) к безразмерным переменным ((х*,у*,г*), "*(х*,г*), х*, у*, г*:
* ^ * * * % ( (х, у, г) *. * х, г) * х
( (х , у, г) = ——-—, " (х , г) = 4 ' ', х =—,
V/ / /
у * = у , г * = ^. (11)
/ / Тогда уравнение (1) и условие (2) примут вид:
(г*г* + 2( х*г* + (х*х* = М0-2((х*х* +(у*у*), (12)
*0г*) кг + ^ х е (0,1), г >0, (13)
(р,(х ,0,г) = ^ * * (13)
у [0, х* е (1,+го), г > 0.
-ш—ж- * *
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (12) по переменным х и * , с учётом условий (3) и (4), для двойного изображения по Лапласу ((р,у*,ч) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
[(р + Ч)2 — М 0—2 р 2Ж(Р, у*, Ч) = М —2( у.( р, у *, ч). (14)
-ж—ж- * *
Применяя преобразование Лапласа по переменным х и * к граничному условию непротекания (13), будем иметь
~у*(рА ч) = (ч+р^^ ч). (15)
Общее решение уравнения (14), удовлетворяющее условию затухания при у * ^ го и граничному условию непротекания (15), имеет вид
~*(р, у *, Ч) =--(р + Ч)~( р,ч) е —^^у*. (16)
М 0^( р+Ч)2 — М 0—2 р2
Из выражения (16) при у * = 0 находим изображение слагаемого из правой части уравнения (8)
— р(( (х,0, г) + (х,0, г)) = —жр +М2 ((* + (), (17)
а именно,
, ^ * *ч ~ жМ0( р + ч) м (р, ч)
— ЖМ2((, +а*-)у=0 жМ2(р + Ч)(Р (р,0,Ч) = -Г^==^=Т . (18)
д/(( р + Ч)2 — М 0—2 р2)
Дальнейшее решение задачи состоит в нахождении оригинала, соответствующего изображению
жМ0( р+ч)2 р, Ч) (19)
v«р + ч)2 — М0—2р2) '
Приближенное выражение оригинала, соответствующее изображению (19), полученное на основе квазистатической теории, в которой формула для вычисления давления получена путём разложения по приведённой частоте точного выражения для давления двумерного неустановившегося течения [2], имеет вид (в размерных переменных)
Р+Ус
0
4М 0—1
( М2 — 2 ^
У0 (х, г)+-0— мг (х, г)
0 х М2 — 1 г
(20)
V
При М0 ^ го получим известное выражение «поршневой теории» Ильюшина А.А. Тогда уравнение динамики упругой стенки резервуара (8) принимает вид
о+У ( М2 — 2 ^
тми (х, г) + (х, г) = (р— — р-(- (х,0, г)) — р + — ° У0(х, г) м (х, г) . (21)
л/м 02 — 1
. 0
Слагаемое
V 0 " М2 — 1
р +
0+У0 („ , „ М2 — 2 ^
л/м 02 — 1
У0^х (х, г) +—(х, г) (22)
V М 02 — 1 J
в уравнении (21) описывает воздействие на пластину сверхзвукового потока газа. Далее получим дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает динамику упругой стенки резервуара с учётом аэрогидродинамического воздействия на неё, содержащее лишь х, г), согласно поставленной задаче (5) - (10).
Представим потенциал скорости ( (х, у, г), являющийся решением уравнения Лапласа (5), в виде
( (х, у, г) = а(г) + £ К (г) сов^х)^ + е-Пуе-2п), (23)
П=1
/ \ 7 / \ ! 1
где а(г) и Ьп (г) - некоторые произвольные функции, а Пп =-/- .
Уравнение (5), условия (7) и первое условие (6) выполнены. Удовлетворяя второму условию (6), получим
2 г
Кт (г) = п л - -п) I^ (x, г)еов^х)^ . (24)
/Пт(1 е ) 0
Подставляя (24) в (23), согласно (8), (21), получим уравнение динамики упругой пластины
(х г) + Шхххх (x, г) =
=(p - p+) -
PV Г
4м о2 -1
V ( х, t) +
M 02 - 2 Л —o-4 ( х, t)
Mo2 -1 tV ' о
(25)
Р
,, 2 " cosOx)(1 + e~2Z"h)r , Л „ Л / a(t) + 7£ A " д -2V) J(х,t)cos(Anx)dx
7 n=1 Л„(1 - e ) о
Оставшуюся произвольной функцию С£г (г) определим, удовлетворяя уравнению (25) в среднем, учитывая при этом условие несжимаемости среды
at (t) =
Г i Л
dJ^хххх (х, t)dx + (p - p+)l -
- D w
1
lp
(26)
Численно-аналитическое решение
Для решения начально-краевой задачи (25), (9), (10) применим метод Галеркина. Приведём уравнение (25) к виду
wtt (х, t) = - (-Dwхххх (х, t) + p - в¥о wх (х, t) - Г (х, t)) -
m
f О x l Л
1
— Р m
a(t)+7 £ с^<Ах) Kn J wt(x, t) со^л„х)^
V l n 1
р+Vo
где p = (p - p+), O =
n=1
(27)
(1 + e) M02 - 2 Kn = —-T-T^—, Г =-о-
' Mo2 - 1
VMPi' "nAn(1 -e"2")
Согласно методу Галёркина пробное решение w( х, t) будем искать в виде
w
(x, t) = £ wk (t )sin(VX
(28)
k=1
где {^(Пх)}^ - полная система базисных функций на отрезке [0, /], подобранных так, чтобы
выполнялись заданные краевые условия (9).
Условия ортогональности невязки уравнения (27) с учётом (28) позволяют записать систему уравнений "к (г )
2 Г „7
wk =
lm
l
- D 2 Kwk-OVo £AkwkHlm-0r2 wk + H—( p - pat (t))
k o / i k k k,m k=1
2
7—I £ Kn £ wkHinHm,,n
7 — v n=1 k=1
(29)
x N
где И\т =| cos(Лkx)sm(Лmx)dx, И3кп = | sm(Аkx)cos(Аnx)dc, И2т = | sm(Аmx)dc,
0 0 0
I
Кп = | ^Лт^^Ап^^С.
0
Начальные условия для (^) в (28) получим согласно (10)
2 ' 2 ' wk(0) = у I /(x)sin(Аkx)^, 1 к(0) = у | У2( ^^л^)^.
(30)
Таким образом, получена задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (29) с начальными условиями (30).
Приведём примеры численного решения задачи (29), (30). Ниже на графиках представлены деформации упругой стенки резервуара при обтекании сверхзвуковым потоком газа для заданных параметров механической системы. По этим графикам можно судить об устойчивости или неустойчивости колебаний стенки.
Будем считать, что упругий элемент изготовлен из алюминия (Е = 7 • 1010 - модуль упругости, рр1 = 2699 - плотность), обтекается сверхзвуковым потоком воздуха (р+ = 1.3), при этом резервуар
заполнен водой (р = 998.2). Другие параметры механической системы: I = 100; к = 100; кр1 = 0.5 (толщина пластины); т = 269.9 (погонная масса); о = 0.34 (коэффициент Пуассона);
Ек3р1 8
и = —;-— = 6.5958 -10 (изгибная жёсткость). Все значения приведены в единицах СИ.
12(1 -V1)
Начальные условия зададим в виде: х,0) = -0.0015 sin
2лх
Т,
1 (х,0) = 0.
С помощью пакета прикладных программ МЛТЬЛБ решается задача Коши (29), (30) (порядок
* I
приближения N = 15 ) и строятся графики функций х, t) в точке х = 4 при различных значениях скорости набегающего потока V .
V = 600
у * ч * I
Рис. 2. Закон колебаний х , t) упругой стенки резервуара в сечении х = 4
Рис. 3. Прогиб упругой стенки резервуара х, t) в моменты времени t = 1, t = 80 Согласно графикам на рис. 2 и рис. 3 можно сделать вывод, что решение уравнения (27) при скорости V = 600 является устойчивым. V = 1070
, * * I
Рис. 4. Закон колебаний х , t) упругой стенки резервуара в сечении х = 4
20 40 60 60 70 во 30 100 "'""Ь 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X I
Рис.5. Прогиб упругой стенки резервуара х, t) в моменты времени t = 1, t = 80
Согласно графикам на рис. 4 и рис. 5 можно сделать вывод, что решение уравнения (27) при скорости V = 1070 является неустойчивым.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК 6В 06В 1/18 А, 6В 06В 1/20 В. Гидродинамический излучатель / П. А. Вельмисов, Г. М. Горшков, Г. К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. - №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл.№18.
2. Бочкарев, С. А. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов / С. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // Математическое моделирование. - 2002. -№12. - С. 55-71.
3. Анкилов, А. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - №3(27). - С. 7-14.
4. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009 - 220 с.
5. Анкилов. А. В. Численно-аналитическое исследование динамической устойчивости упругой пластины при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - С.3-22.
6. Анкилов, А. В. Устойчивость упругих элементов крылового профиля / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Н. А. Дегтярева // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ. - 2007. - №7 - С. 9-18.
7. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия упругих стенок каналов с протекающей жидкостью / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - №1(22). - С.179-185.
8. Анкилов, А. В. О решениях интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной аэроупругой системы типа «тандем» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. -
2011. - № 2(23). - С.266-271.
9. Анкилов, А. В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А.В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - №1(37). - С. 7-16.
10. Анкилов, А. В. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семенова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - №2(38), выпуск 1. - С. 7-17.
11. Анкилов, А. В. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2013. - №1(30). - С.1-7.
12. Анкилов, А. В. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного университета. Серия: естественнонаучная. - 2008. - №8/1(67). - С. 331-344.
13. Анкилов, А. В. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкций при сверхзвуковом обтекании / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - №3(57), выпуск 1. - С. 59-67.
14. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев. - Ульяновск: УлГТУ, 2011. - 200 с.
15. Вельмисов, П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е. Е. Колмановский // Дифференциальные уравнения. -1994. - Т. 30, №11. - С. 1966-1981.
16. Вельмисов. П. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления» / Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д, Решетников Ю. А. // Датчики и системы. -2003. - №6(49). - С.12-15.
17. Вельмисов, П. А. Устойчивость решений одного класса нелинейных начально-краевых задач аэроупругости / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, Ю. К. Замальдинова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвёртой Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцев. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. - М. : РУДН, 2013. - С. 290-292.
18. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вяз-коупругих элементов проточных каналов / П. А. Вельмисов, А. А. Молгачев. - Ульяновск: УлГТУ,
2012. - 185 с.
19. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки. - 2011. - №1(29). - С. 137-144.
Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ.
Судаков Всеволод Александрович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Анкилов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.
