Математическая модель гидродинамического излучателя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, В. В. БОГДАНОВ, Е. П. СЕМЁНОВА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ

Предложена математическая модель гидродинамического излучателя - вибрационного устройства, предназначенного для интенсификации технологических процессов, например, для приготовления однородных смесей и эмульсий. Работа устройства основана на размешивании неоднородной среды, подаваемой в проточный канал, за счёт колебаний упругого элемента, расположенного в этом канале. Изучается соответствующая плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при бесциркуляционном обтекании упругой пластины потенциальным потоком газа (жидкости) в канале с прямолинейными стенками. Получено дифференциальное уравнение, описывающее динамику упругого элемента.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, гидродинамический излучатель, деформация, динамика, дозвуковой поток, проточный канал, упругая пластина.

Проектировануя различные конструкции, устройства, приборы, аппараты, системы и т. д., находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой (обтекаемых потоком жидкости или газа), необходимо решать задачи, связанные с исследованием динамики и устойчивости упругих элементов, требуемой для их качественного функционирования и надёжности эксплуатации [4-20]. Воздействие потока может приводить к эффектам, являющимся причиной нарушения функциональных свойств элементов, вплоть до их разрушения (например, приводить к состоянию неустойчивости вследствие увеличения амплитуды или ускорения колебаний до критически допустимых значений). Такая проблема, когда неустойчивость является негативным явлением, возникает, например, при проектировании составных частей летательных и подводных аппаратов: элерона - составной части крыла; панели - составной части фюзеляжа или крыла; руля высоты - составной части стабилизатора, руля направления - составной части киля.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Примерами подобных устройств, относящихся к вибрационной технике и используемых для интенсификации технологических процессов, являются устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий, в частности, устройства для подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки (см., например [3]). Другим примером, когда деформация упругих элементов при аэрогидродинамическом воздействии необходима для функционирования приборов и является основой их работы, являются датчики давления [21-24].

В данной статье предложена математическая модель гидродинамического излучателя - вибрационного устройства, предназначенного для приготовления однородных смесей и эмульсий. Основным элементом устройства является расположенный в проточном канале упругий элемент, колебания которого приводят к размешиванию неоднородной среды, подаваемой в этот канал.

Рассматривается соответствующая плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при бесциркуляционном обтекании упругой пластины потенциальным потоком газа (жидкости) в канале с прямолинейными стенками. В состоянии покоя на плоскости хОу пластине соответствует отрезок [—а,а] оси Ох (рис.1). Скорость невозмущённого потока газа (жидкости) равна V и направлена вдоль оси Ох, ширина канала равна Н .

Линейная модель. Предполагается, что возмущение однородного потока и деформация пластины малы, то есть ~ф(х, у, £) = Ух + яр(х, у, £), м> = ш(х, £) , е« 1. Здесь ф(х, у, £) - потенциал скорости потока, (х, £) — деформация (прогиб) пластины; х, у — декартовы координаты, £ — время.

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Богданов В. В., Семёнова Е. П., 2013

о

y

V

- a

G

O

H

x

Рис. 1. Схема вибрационного устройства

Потенциал р удовлетворяет уравнению Лапласа

(Pxx + (yy = 0, У) е G, условию отсутствия возмущений на бесконечности слева и справа от пластины

lim (р + (2 + р() = 0

и линеаризованным граничным условиям

Py\x,—H, tjj = 0, x е (-да, <х>) , р± (x,0, t) = lim р (x, y, t) = w (x, t) + Vw (x, t), x е (-a, a) .

y y^0±0 y x

(1) (2)

(3)

(4)

Линеаризуя интеграл Лагранжа-Коши, получим следующее выражение для реакции газа (жидкости) на пластину

о,=р(Р+-Р—)+Ру (Р++-Р—),

где р — плотность газа (жидкости). Тогда уравнение колебаний пластины можно записать в виде

L(w) = р(р(-р- ) + рГ(р++-р- ) , x е (-a, a) , y = 0,

(5)

Ь(м) = ММ + Пм"" + Ш + 5"" + р + ¿М - ом/", (6)

где М, В, N, 5, р , ^ , а — некоторые положительные постоянные. В (6) и далее штрих обозначает производную по х, а точка - производную по t.

Выражая потенциал р( х, у, t) через функцию прогиба м( х, t), запишем уравнение колебаний пластины (5) относительно функции м(х, . С этой целью в области О введём комплексный потенциал Ж = /(г, {) = р + ¡у, где = \у(х, у, {) — функция тока, г = х + ту . Функцию скоростей /2 (г, {) = рх- ¡р представим в виде

f (z, t) = l 1 { v(z, t )4h(j)cthy(z- z)dz + jT(t)

Wh(z)

z е G,

(7)

ЛуТК г)

где к(г) = sh_(a + г)яИ_(а - г), _ = я/И, у(х, {) = м(х, {) + Ум'(х, {), ) — функция, определяющая циркуляцию скорости вокруг пластины. Ветвь корня в формуле (7) фиксирована условием

= + при г = х > а. (8)

Так как функция /2 (г, t) аналитическая в области О , то по условию Коши-Римана в этой области (РхX = (—Р ) , или р^ + р = 0. Проверим выполнение граничных условий (3), (4). На стенках кана-

,.H in ла z = x ± г — = x ± — .

2 2y

f

Поскольку

shy(a + z) = shy

a + x ±-

гп

2y

= ±ichy(a + x),

f

shy(a - z) = shy

a - x + -

гп

\

2y

= +ichy(a - x), cthy(r - z) = cthy

т - x + ■

гп

2y

= thy(T - x), то

a

/ . \ (а

/гI х ± гНА = ?х — Щу = I , , * , ,1 \у(т,£)4кГ)£ку(т — х)йт + уГ(£) V 2 ) ж^ску(а + х)спу(а — х) I

следовательно, <ру ^х,±Н,£^ = 0, х е (—да,да).

Чтобы проверить выполнение условий (4), воспользуемся разложением [1]

1 ^ 2г

= - + у—-ГТ,

г П=1 г —п ж

согласно которому

1 ^ 2(т — 2) ус£пу(т — г) = гyctgгy(т — г) =--+ У-

т — г *~!(т — г)2 + п2Н2'

и перейдём в (7) к пределу при г ^ х ± г0, х е (—а,а) . Применяя формулы Сохоцкого [1,2] и учитывая, что в силу условия (8) ,/Щ , будем иметь

1

± • ± Р±— гР± =

" Гу + Жу1 П( х)

а _/ ^

± ту( х, £ П( х) + | у(т, £ К(т) I-+

да

+ У-2(т х\ Ут + у2Г(£)

У(т — х)2 + п Н ) у

Г а__Л

= —гу(х, £) Т—у-1 [у(т, £)<Щт)с£ку{т — х)Ут + уГ(£) ,

ту/П(х) У—1в )

х е (—а, а) .

Отсюда следует, что р± (х, о, £) = у( х, £) = У (х, £) + Ум>'( х, £), то есть выполняются условия (4). Кроме

того, приравнивая вещественные части, имеем

Га __Л

р± = Т—у-1 [ у(т, £)4тс£ку{т — х)Ут + уГ(£)

у/Кх) V——а ,

ж

следовательно,

^ ! а __^

Р+ — Р— =--2=\ [<т,£)4Кт)с£ку(т — х)Ут + уГ(£)

Ж\К(х) —а ,

Комплексный потенциал W = /(г, £) найдём по формуле

г

W = р + гу=\ /г (г, № + С (£), (10)

х е (—а, а) . (9)

где С(£) — производная функции времени, г е G. Так как G — двусвязная область, то интеграл в (10), вообще говоря, зависит от линии интегрирования. Поэтому р, а значит и правая часть уравнения (5), однозначно не определяются. Подберём функцию Г(£) так, чтобы циркуляция скорости вокруг пластины равнялась нулю.

При обходе против часовой стрелки разреза [—а, а] циркуляция

а —а а

Го(£) = | Р—Ух +\р+Ух =| (Р— — р+)Ух.

—а а —а

Воспользовавшись формулой (9), получим

Г (£) = 2у [\у(т, £)у[к(г)с£ку(т — х)Ут + ^^ [ Ух

-ГГ * /^тЛ * -гг *

если

2Л[К(х) I' ж -атЩх)

1 а Ух

"Му—_^и( х)

= о,

Л а А а

Г(£) =--1$у(т,£)л[Кт)с£ку(т — х)Ут , (11)

. . В этом случае при обходе против часовой стрелки разреза I = [—а, а] имеем

—а4к( х)

а

а

а

1/,(г,= |рхйх+руйу+рхйу-руйх = |рхйх-т|руйх = Г0^) + т |(р+у-ру )йх = 0.

II I II -а

Отсюда по теореме Коши следует, что интеграл от функции / (г, t) по любому замкнутому контуру, принадлежащему области О, равен нулю. А тогда значение потенциала р, определяемое формулой (10), не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки (— а) и г . Интегрируя по частям, представим (7) в виде

_

Лу[к(7)

а

) - |У(т, t- г)\йт

где

т т

У (т, t) = | у( х, t )йх =| (М + Ум>')йх. Далее, с учётом того, что (см. Приложение)

(

4м7) ) _ ( 4н(7)

имеем

sh_(т - г)

(

У т

урт 1 ^_(т-г)

У г

/ (г, t) =

Яу/ К( г)

_г(t) V (т, t)

4т

sh_(т - г)

сК_(т - г) + _у[й(т)

йт

_

Ял] К( г)

Полагая А^) = Г^) - | V (т, О^Щй

Г(t) V(т,t)у[к(т)йт +_!

_ (У (т, t)

я

У -а

4т

sh_(т - г)

сК_(т - г)йт.

т и замечая, что

4ы7)

У г

sh_(т - г)

а — у 1

_ Су(т^)

сК_(т - г) = (у]К(г)с^_(т - г))/ + _^К(г) ,

окончательно запишем

/г(г^) = _ 3ЦШ\(4К(7)сК_(т-г)Х +_4к(7) я—ау1К(т) Ь .

йт +

_2А0)

я

Подставляя (14) в (10), получим

Ж = р + = }УМ сК_(т-г)йт +

я

+

_ (У (т, t)

4т

_А(0 \ йг

| уЩ йг \

-а\\/ -а -а

+ с а).

(12)

(13)

(14)

(15)

Я —-а^К(т) V я —а4т

Подберём функцию С(^) так, чтобы выполнялось условие (2). Пусть г = х < —а, тогда у/К(г) = -¡у]- К(х) в силу выбора ветви корня (8), а

Ж = /(х,0 =

-¡_4—К(х) г у(т^)

я

3

-сЛ_(т - х)йт -

■ 2 а —, | х

_ ГУ(т^)

я

|* У, йт[л1-Мх)йх

—а * -а

4т

? х т_2А(t) | йх

+ -

я

следовательно,

Если г = х > а, то 4т = Ц-К(х),

4~К(х)

р(х,0, {) = Ке{С(0}, х < -а .

+ С^),

(16)

—а

а

а

/

_

а

а

г

а

а

г

а

W = f (x, t) = 1 ^Idl cthy(z- x)dz + — l^ßü dz a i+-Jh(x) d

ж -Jh(T) ж - Jh(T) r

y2A(t) a dx jy2 arv(T, t) x {—— y1 A(t) x dx +- I-.-+- I —¡^=dz I д/-h(x)dx +-I —, + С(t),

Ж -_a+ д/h(x) Ж -Jh(T) а Ж _ h(x)

2 f а y( f\ а а dx ^

p(x,0,t) = + yl I V'.( T ) dTI-Jh(x)dx + A(t)| , + Re{C(t)}, x > а .

Ш T^**+А(0Ьад= 0' <17)

Поскольку (см. Приложение)

'V(t, t) i , dx

w

то

p(x,0, t) = Re{C(t)}, x > а . (18)

Из (7), (16), (18) следует, что lim f (z,t) = Yimp - jp ) = 0,

Um p(x,0, t) = Re{C(t)},

поэтому условие (2) будет выполнено, если положить Re{C(t)} = const.

Найдём граничные значения функции p (x, y, t) . Переходя в (15) к пределу при z ^ x ± i0, xе (-а, а) , получаем

Y ,ч а ,ч Л

_± Jh(xj v(x,t) Jv(t,t)

p + = + -

ж

' rn T^d+ ^ Ы)+c (t),

+ y f vST,tl cthy(z- x)dz

yim ijmt) J

+

ж

следовательно,

p, -p- =

2Ул1 h(x) агу(т, t)

" ж {fiT

I У~Шcthy(z- x)dz-

а n

2У Ш ^ - ^ Шг

(19)

~ dv г

где ~(т, t) = — = I (w + Vw ')dx. Pit J

dt

Таким образом, согласно формулам (9), (19) уравнение колебаний пластины (5) принимает вид

Kw) = -1Py

■Jh(x) I^^^L^^Lcthy(z - x)dz + y J vT t) dz x)dx +

-аЛ]h(z) -аЛ/h(z) -а

A , „ T а A (20)

ж

+ yA'(t)f -dL= - 2уР^_ I iv(z, t)Jh(T)cthy{T - x)dz + yT(t)

-Jh(x) J ж^h(x) { -а

x е (-а, а) , y = 0 .

В уравнении (20) левая часть определяется формулой (6), h(x) = эку(а + x)shy(ü - x), y = ж/H,

r(t) = —— f fX \v(z, t)Jh(z)cthy(T - x)dz= fv (т, t)Jh(z)dz - N [^^Idт, Myljh(x) -a V У i V M IJhT)

T

v (t, t) = I v( x, t )dx, v(x, t) = w (x, t) + Vw'(x, t),

г

а

x

а

N = , M = , A (t) = Г'(t) - J~(r, t)y[h(T)dT = -N Jdr

N rv(r, t)

jy[h(x)

M L4m

r

v(r, t) = J v(r, t)dr .

Нелинейные модели. Постановка задачи (1) - (6) соответствует линейной теории аэрогидроупру-гости, когда движение жидкости (газа), а также динамика деформируемого тела описываются линейными уравнениями. Можно предложить также «смешанные» математические модели, в которых уравнения, описывающие динамику упругого элемента, являются нелинейными. Одна из таких моделей предполагает применение уравнения

Га N

У Л

Dw"

[1+(w ' )2f

1/2

+ Nw" - dw"

1 + (м') йх + -2а

\-а

х е (-а, а) (21)

где Р(й) — аэрогидродинамическая нагрузка, определяемая правой частью уравнения (20); / (х, t, у, у/) — заданная функция, характеризующая внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства основания («постели»); штрих обозначает частную производную по х, точка -частную производную по I.

Вторая модель предполагает использование двух уравнений

1

+ Mw + 8w"" - aw" + f (x, t, w, w) = P(w),

- EF

- EF

u +— (w') 2

+ Mii + 8„u' + g (x, t, u, u, w, w) = 0

w

u + — (w') 2

+

Dw "

[1 + (w" f f'

;/2

+ Mw + 8w" " - aw" + Nw" -

(22)

-dw "

" ( V1 + (м') йх - 2а | + /(х, t, и, й, м, М) = Р(м), х е (-а, а), V-а у

где и( х, х, t) — продольная и поперечная деформации упругого элемента; Р(м) — аэрогидродинамическая нагрузка, определяемая правой частью уравнения (20); g (х, t, и, и, у, у), / (х, t, и, и, у, у) — заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства подкрепляющих элементов.

Нелинейные математические модели можно получить на основе уравнений (21), (22), в частности,

заменяя [l + (w')2]~3/2 и [l + (w')2}2 на 1 -3(w')2

и

1 + i(w ' )2 2

соответственно, а также заменяя

эти выражения единицей.

Приложение. а) Докажем равенство (13). Так как

' 4т у

shy(r - z) shy(r - z)

h'(r)shy(r - z) - 2yh(r)chy(r - z)

Jr \/

2^h(r)sh 2y(r - z)

h'(z)shy(r - z) + 2yh(z)chy(r - z) 2yjh(z)sh 2y(r - z)

то

f

shy(r - z) Учитывая, что

4m Y 4m f 4m Y _ (h'r+h'(z))shy(r - z) - 2ychr - z)(h(r) - кz))

4m

shy(r - z)

2^1 h(r)sh2y(r - z)

h(z) = shy{a + z)shy{a - z) = ^ - ch2y),

a

a

- a

a

ft

z

z

получаем

h'(r) + h'(z) = -y(sh2yz + sh2yr) = -2yshy(z + r)chy(z - r), h(r) - h(z) = 1(ch2yz - sh2yr) = shy(z + r)shy(z - r) .

Отсюда следует, что

4Щ ^ +jh(z) f jh(z)

shy(r - z)

4m

shy(r - z)

- 2yshy(z + r)chy(z - r)shy(r - z) - 2ychy(r - z)shy(z + r)shy(z - r)

2y/h(r)sh2y(r - z)

= 0,

что и требовалось доказать.

a

б) Докажем равенство (17), в котором A(t) = r(t) -J v (r, t h(r)dr,

-a

1 a doC a

r(t) =--I , I v(r, t)Jh(r)cthy(r - x)dr . Преобразуем выражение для функции r(t) . Интегри-

Myl4m -a

руя по частям и применяя формулу (13) при z = x, будем иметь

a a / \

Jv(r, t)у]h(r)cthy(r - x)dr = v (r, th(r)cthy(r - x) - Jv (r, t)(Jh(r)cthy(r - x))dr =

a

-J v (r, t)

4m

shy(r - x)

chy(r - x) + y^Jh(r)

dr =

a

4m J

v (r, t)

f

4m

4m

V

chy(r - x)dr- yJ v(r, th(r)dr.

v shy(r - x) j

\ / x

Таким образом,

a dx a I-

Myr(t) = - J —j= J v(r, t)yjh(r)cthy(r- x)dr ■ -a4h(x) -a

f П77-; V „

= J dx J

v (r, t)

4Щ

4h( x) shy(r - x)

chy(r- x)dr + y J ^ Jv(r, t)4h(r)dr.

-ay]h(x) -a

Меняя порядок интегрирования и интегрируя по частям, запишем окончательно

My^') = -J ЩЙ drJ

4т

V

4т -Ц shy(r - x)

chy(r - x)dr + My J v (r, t h(r)dr ■

a Ja

v(r,t)

4m

■v (r, t)

yjh(x)chy(r - x)

shy(r - x)

+ y

a

J у!h(x)dx

a

dr + My J v (r, t )t] h(r)dr ■

yJ vr ) drJ4h(x)dx+My J v (r, t h(r)dr.

-a \ h(r) -a -a

или

r(t) = J v (r, t )4mdr- — J

N rv (r, t)

M 14m

dr

где N =

a

N = JyJ h( x)dx. Согласно формуле (*)

A(t) = r(t) - Jv(r, t)4h(j)dr = -N ¡^^dldr . -a M -a 4m

(*)

z

a

a

a

a

a -a

a

a

a

a

a

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Подставляя это выражение в (17), получаем верное равенство.

Работа выполнена в рамках НИР №2-8/12 «Исследование динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии (государственное задание Ми-нобрнауки, 2012-2014 гг.), а также в рамках НИР «Моделирование и исследование новых высокоэффективных смазочно-демпфирующих покрытий на основе частиц диатомита в условиях преодоления вращающегося высокоскоростного аэрогидродинамического пограничного слоя» (грант РФФИ №12-08-97078-р_поволжье_а), 2012—2014 гг.)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1987. - 688 с.

2. Гахов, Ф. В. Краевые задачи / Ф. В. Гахов. - М. : Наука, 1977. - 640 с.

3. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК 6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / П.А. Вельмисов, Г.М. Горшков, Г.К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. - №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. №18.

4. Бочкарев, С. А. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов / С. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // Математическое моделирование. - 2002. — №12. — С. 55—71.

5. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - 220 с.

6. Анкилов, А. В. Численно-аналитическое исследование динамической устойчивости упругой пластины при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 3—22.

7. Анкилов, А. В. Устойчивость упругих элементов крылового профиля / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Н. А. Дегтярева // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. — №7. - С. 9—18.

8. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия упругих стенок каналов с протекающей жидкостью / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. — №1(22). - С. 179—185.

9. Анкилов, А.В. О решениях интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной аэроупругой системы типа «тандем» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. -2011. - № 2(23). - С.266-271.

10. Анкилов, А.В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №1(37). - С. 7—16.

11. Анкилов, А. В. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №2(38), выпуск 1. - С. 7—17.

12. Анкилов, А. В. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2013. — №1(30). — С. 1—7.

13. Анкилов, А. В. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия. — 2008. — №8/1(67). — С. 331—344.

14. Анкилов, А. В. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкций при сверхзвуковом обтекании / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. — №3(57) выпуск 1. — С. 59—67.

15. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - 200 с.

16. Вельмисов, П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е. Е. Колмановский // Дифференциальные уравнения. -1994. - Т. 30, №11. - С. 1966—1981.

17. Вельмисов, П. А. Устойчивость решений одного класса нелинейных начально-краевых задач аэроупругости / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, Ю. К. Замальдинова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвёртой Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцев. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. - М. : РУДН, 2013. — С. 290—292.

18. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вяз-коупругих элементов проточных каналов / П. А. Вельмисов, А. А. Молгачев. - Ульяновск : УлГТУ, 2012. - 185 с.

19. Вельмисов, П. А. Численный эксперимент в задаче о динамике защитного экрана при сверхзвуковом обтекании потоком газа / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, А. В. Анкилов // Вестник Улья-новскго государственного технического университета. - 2013. — № 3. - С. 38—44.

20. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений начально-краевой задачи о динамике защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. А. Судаков // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2013. - № 3. -С. 45—52.

21. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников // Датчики и системы. -2003. — №6(49). — С. 12—15.

22. Анкилов. А. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. — №3(27). - С. 7—14.

23. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки. — 2011. — №1(29). — С. 137—144.

24. Анкилов, А. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. В. Покладова. - Ульяновск: УлГТУ, 2008. - 188 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ.

Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Богданов Виктор Викторович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Семёнова Елизавета Петровна, аспирант факультета математики и информатики университета г. Базель (Швейцария).