Математическое моделирование динамики упругих элементов, взаимодействующих с потоком газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 532.5.01; 533.6.011

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. В. ПОКЛАДОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ПОТОКОМ ГАЗА

Предложены математические модели гидродинамического излучателя - вибрационного устройства, предназначенного для приготовления однородных смесей и эмульсий. Основным компонентом устройства является упругий элемент (деформируемая пластина), расположенный в проточном канале. Колебания упругого элемента приводят к размешиванию неоднородной среды, подаваемой в этот канал. Рассматривается плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при дозвуковом обтекании упругой пластины потенциальным потоком газа в канале с прямолинейными стенками.

В статье рассматривается также нелинейная математическая модель динамики упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа, учитывающая продольную и поперечные деформации и её предварительный изгиб. Приведён пример численного эксперимента.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, упругая пластина, деформация, динамика, устойчивость, дифференциальные уравнения с частными производными, численное решение, метод Бубнова-Галёркина, дозвуковой и сверхзвуковой потоки.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Ульяновской области в рамках научного проекта № 18-41-730015.

Введение

При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств, установок различного назначения, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование динамики и устойчивости деформируемых элементов [4-10, 12, 15, 16]. В некоторых случаях воздействие потока может приводить к значениям амплитуды, частоты и скорости колебаний, не позволяющим осуществлять надёжную эксплуатацию систем и обеспечивать функциональную точность их работы. В то же время для функционирования некоторых устройств явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии является необходимым. Примером могут служить вибрационные устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий (см., например, [11, 17]). Другим примером являются датчики давления. В этом случае деформация чувствительного элемента датчика необходима для функционирования приборов [4, 5, 10, 12, 16].

В данной работе предложены математические модели гидродинамического излучателя - вибрационного устройства, предназначенного для приготовления однородных смесей и эмульсий. Основным компонентом устройства является упругий элемент, расположенный в проточном канале. Колебания упругого элемента приводят к размешиванию неоднородной среды, подаваемой в этот канал. Подобные модели впервые рассматривались в [11, 13]. В этих работах исследование динамики упругих элементов на основе методов теории функций комплексного переменного сведено к изучению уравнений для их деформации.

В статье рассматривается также нелинейная математическая модель динамики упругой пластины, учитывающая продольную и поперечные деформации, а также предварительный изгиб пластины. Предлагаемая нелинейная модель динамики упругой пластины может быть использована в задачах о гидродинамических излучателях.

© Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., 2018

Математические модели гидродинамического излучателя

1) Проточный канал с одним упругим элементом

Рассматривается плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при дозвуковом обтекании упругой пластины потенциальным потоком газа в канале с прямолинейными стенками у = 0, у = И, 0 < х < I (рис. 1). Скорость потока газа равна V и направлена вдоль оси Ох. Продольный и поперечный размеры канала равны I, И . Пластина в недеформированном состоянии занимает положение у = И*, а < х < Ь.

V

©

а Ъ I х

Рис.1. Проточный канал с одним упругим элементом

Введём обозначения: w(х, г) - функция деформации (прогиб) упругого элемента (пластины); (р1(х,у,г) - потенциал скорости газа в области 1 (0 < у < И*, 0 < х < I), (р2(х,у,г) - потенциал скорости газа в области 2 (( < у < И, 0 < х < I).

Математическая постановка задачи имеет вид:

рк +рк = 0, к = 1,2, (1)

' Кхх ' Луу

Ру(х,И*, 1) = р2у(х,И*, 1), х е (0,I), (2)

Ру(х,И*, 1) = wt + Vwx, х е (а,Ь), (3)

-Р( + ри + рх)у=И* = х е ^(Ь,I), (4)

(5)

р(0,у, 1) = р(0,у, 1) = 0, у е (0,И), р(1, у, г) = р(1, у, г) = 0, у е (0, И), р1у (х,0, г) = 0, р2у (х, И, г) = 0, х е (0,1), (6)

^(а, г) = ^"(а, г) = т(Ь, г) = ^"(Ь, г) = 0, г > 0, (7)

w(х,0) = /(х), wt(х,0) = /2(х), х е (а,Ь). (8)

Здесь оператор Ь(^) задаётся формулой Ь(^) = mW(х, г) + Dw""(х, г). Для описания динамики упругих элементов можно использовать и другие, например, нелинейные модели [11, 13, 14]. Одна из таких моделей приведена во второй части этой статьи.

Уравнение Лапаласа (1) описывает течение газа в канале в модели идеальной несжимаемой среды; (2) - равенство нормальных составляющих скорости на линии у = И*; (3), (6) - условия непротекания; (4) - уравнение, описывающее при х е (а,Ь) динамику пластины, а при х е (0,а) и (Ь,I) задающее равенство давлений на линии у = И*; (5) - условия отсутствия возмущений на входе и выходе из канала (справедливо для достаточно длинного канала); (7), (8) - граничные и начальные условия. Линия у = И* является линией контактного разрыва.

Потенциалы скорости р и р2, описывающие движение газа в областях 1 и 2, представим функциями

р( X, .у, г) = X «я (г )яп Лпх(еЛ + е-ЛпУ ), Л„ = ^

п=1 I

р (х,у,г) = £Ьп(г)81п Лх(еЛу + е^е2^), Л = ^

п=1 I

Удовлетворяя условию (2), получим

ап(г)(еЛпк* -е-Лк* )=■

•) = Ьп (г)(еЛк* - е-Лк*е2лпк) Из условия (3)следует

Xап (Ояп Лпх(* -е-Лпк* ) = м, + Ум х, х е (а, Ь),

п=1

Удовлетворяя условию (4), получим

-XX ап (г )й1п Лпх( + еЛ )-У£ ап (Г)Лп оо*Лх( + еЛ )+

(10) (11)

+

■X Ь'п (Ояп Лпх( + е-ЛпЫе1Лпк)+У£ Ьп (г)Лп оо8Лпх(еЛк + е-Лк*е2Л )

п=1 п=1

Применим метод Галёркина. Решение м( х, г) будем искать в виде

—Ь(м), х е (а,Ь), (12) Р

0, х е (0,а) и (Ь,I).

м(х, г) = £ М (г) 8Ш мк (х - а), Мк =

кж Ь - а

где ^п цк (х - а)} - полная система базисных функций на отрезке [а,Ь], подобранных так, чтобы выполнялись заданные краевые условия (7). Проецируя невязку уравнения (11) на систему функций ^п /ик (х - а)}, невязку уравнения (12) на систему функций ^тЛх)}^ и, пользуясь уравнением (10), получим систему уравнений для нахождения неизвестных функций ап (г), Ьп (г), мп(/) :

Лй*

Ьп (г) = -ап (г)

Ь - а

$ЬЛп(к - к)'

Xап(г)2Лп 8Ик• Оап = -—мт(г) + УXМ(х)ц£тк, а = 1,2....

- а'т (г)1 оЬ Лак* + а'т (г)1еЛак • Лак* • Ла (к - к*)- 2УX ап (г)Лп оЬЛпк* • Я

• Я +

ап

+

ии I / ОО ОО \

2УX ап (г)Лп shЛnк* • ел"к • И^ • оШ Лп (к - к ) = -\mX М (г^ + D£ М (га = 1,2

а р\

Здесь Иап = | оо8Лпх 81пЛахях =

0, а = п, 1 - (-1)а+п

Л - л2 а'

ап

Ла, а Ф п,

Оак = 100Мк (х - а) *1п Ма (х - ^

0, а = к, 1 - (-1)а+к

2 2 га Ма -Мк

Ма, а Ф k,

0ап = | §1п Лпх §1п Ма (х - а)^ .

Применяя для начальных условий (8) метод Галёркина, получим начальные значения мп (0), мМп (0). Начальные значения для ап (0) получим на основе метода Галёркина, задавая 4(х, у,0). Предполагая, в частности, в начальный момент времени поток невозмущённым, можно положить р(х, у,0) = 0 , тогда ап (0) = 0 .

Таким образом, получаем задачу Коши для неизвестных функций ап(г), мп (г) . При численном решении этой задачи выбираются конкретные количества слагаемых в выражениях для р1(х, у,г), р2(х, у, г) и м(х, г).

п=1

п=1

к=1

к=1

п=1

п=1

п=1

к=1

2) Проточный канал с п последовательно расположенными упругими элементами Рассматривается плоское течение в проточном прямолинейном канале с расположенными последовательно друг за другом п упругими пластинами (рис. 2). Пластины занимают положение у = к,,

х е[,Ь 1 к = !,...,п .

'1 и\ "2 и2 ~п л

Рис. 2. Проточный канал с п упругими элементами

Введём обозначения: w1(х,t),^2(х,t),..., wn(х,t) - функции деформации упругих пластин; р(х,у,^ - потенциал скорости газа в области 1 (0 < у < к,, 0 < х <I), (р2(х,у,t) - потенциал скорости газа в области 2 (к, < у < к, 0 < х < I). Математическая постановка задачи имеет вид:

рк +рк =0, к = 1,2,

' Кхх ' Куу

р1у(х,к,,t) = р2у(х,к,,t), х е (0,1), р(х,к,,t) = ^к, + УЫкх, х е (ак,Ьк), к = 1,...,п,

Wk X х е (ак, ЬкX [0, х е (0, а1) и (Ь1, а2) и... и (Ьп, I),

- Р(Р, + УРХ ) у=к, + Р( + УРг х) у

р(0, у, t) = р2 (0, у, t ) = 0, р(1, у, t) = р(1, у, t ) = 0, Ру (x,0,t) = 0, р у (х, к, 0 = 0.

Для каждой из пластин задаются также граничные и начальные условия, аналогичные (7), (8). Потенциалы скорости р и р2 имеют вид (9). Функции (х, t) задаются в виде

да

^ р (х, 0 = ^ wpk ^) gpk (х), где gpk (х) выбираются в соответствии с типом закрепления каждой из пла-

к=1

стин, при этом {рк (х)}} 1 образуют полные на отрезках [ак, Ьк ] системы функций. При решении задачи методом Галёркина условия непротекания на [ак,Ьк ], к = 1,...,п, проецируются на системы

функций { (х)}} l,

а условие для перепада давления - на

- на систему функций {т(.Якх)}°=1.

3) Проточный канал с двумя параллельно расположенными упругими элементами Рассматривается плоское течение в вибрационном устройстве, моделируемом проточным прямолинейным каналом с расположенными в нём двумя параллельными упругими элементами (рис. 3).

Введём обозначения: w1( х, t), w2( х^) - функции деформации упругих пластин, расположенных на линиях у = к1, у = к2 соответственно; р( х, у, t) - потенциал скорости газа в области 1 (0 < у < к1, 0 < х < I), р2(х, у, 0 - потенциал скорости газа в области 2 (( < у < к2, 0 < х < I), р3(х, у, 0 - потенциал скорости газа в области 3 (к2 < у < к, 0 < х < I).

У

i (3) i

i ® i

О а ь I

Рис. 3. Проточный канал с двумя упругими элементами

Математическая постановка задачи имеет вид:

(Pí + Pk =0, k = 1,2,3,

' kxx ' kyy

Piy(x,hi,t) = (2y(x,hi,t), x e (0,l),

P2y (x, h2, t) = P3y (x, h2, t), x e (0, l),

Piy(x,hj,t) = Wit + Vwix, x e (a,b),

P2y (x, h2, t) = W2, + VW2x, x e (a,b),

-p{pi, + VpixU + p( + Vp2xU ^ x e (0,ea((a¿b(b',l),

"p(p + Vp2xU + p(p + Vp3xU = ^xe (0,a)u£l), p(0, y, t) = (2(0, y, t) = (3(0, y, t) = 0, P (l, y, t) = p(l, y, t) = P3 (l, y, t) = 0,

Piy (x,0,t) = 0, p y (x, h, t) = 0.

Потенциалы скорости pi,p2,p3, описывающие движение газа в областях i, 2, 3 соответственно, представим функциями

Pi (x, y, t) = ¿ an (t) sin Anx(y + e ),

n y

n=i

P

(x, y, t) = ¿ sin V (n (t )eAny + dn (t )e),

P3(x, y, t) = ¿ bn (t)sin Ánx(eA"y + e-Anye2Anh), 1 = ™.

n=i

Функции wp (х, t) задаются в виде wp (х, t) = ^ wpk ^) gpk (х), где {gpk (х)}=1 - полные на отрезке

к=1

[а,Ь] системы функций, выбранных в соответствии с типом закрепления пластин. При реализации метода Галёркина условия непротекания на пластинах [а, Ь] проецируются на системы функций {к (х)}}^ а условия для перепада давления (у = к1, у = к2, 0 < х < I) - на систему функций

{п^х)}} 1. Эта задача и её решение элементарно обобщаются на случай п параллельно расположенных друг над другом на отрезке [а, Ь] пластин.

4) Проточный канал с произвольным горизонтальным расположением элементов Задачу о динамике упругих элементов можно обобщить на случай произвольного горизонтального расположения элементов (рис. 4).

n=i

Рассматривается плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при обтекании упругих пластин потенциальным потоком газа в канале с прямолинейными стенками.

1 2

----.....-w-

/ 2 --W1.....АА/1.....

1 2 ----.....АЛ/1- -

(т+|).......

r¡m Л.А/'-

0) 0)

"2

- - --W1----

"1

......-W1- -

Рис. 4. Проточный канал с произвольно расположенными упругими элементами Для решения задачи вся область течения разбивается на (m +1) область. В области 1 решение задаётся формулой (p1(x, y,t) = Ха„ (t)sin+ e-Á„y ), Лп = П^, в области (m +1) - формулой

„=1 l

Pm+i(x,У,t) = Xbn(t)sinЛ„х(ея„у + e-x„ye2Á„h), в промежуточных областях потенциал скорости пред-

„=1

ставляется в виде pk(х,y,t) = £sinÁ„x(c^(t)eÁ„y + d„n(t)e-Á„y), „ = 2,..., m . Упругие элементы могут

„=1

быть расположены также и на стенках канала.

Нелинейная математическая модель динамики упругой пластины, учитывающая продольную и поперечные деформации, а также предварительный изгиб пластины

Рассмотрим плоскую задачу о динамике пластины (рис. 5), занимающей положение 0 < х < l. Над пластиной протекает сверхзвуковой поток газа в направлении оси Ох со скоростью V0 > а0, где

V г

а0 - скорость звука. Предполагается, что число Маха Мд=—>^2 Нелинейные модели, учитываю-

а0 .

щие продольную и поперечную деформации упругого элемента, рассматриваются, например, в [1,2]. Предложенная модель учитывает предварительный изгиб упругого элемента [18].

Рис. 5. Пластина, над которой протекает сверхзвуковой поток газа

Математическая постановка задачи имеет вид:

Р,, + 2VoPxt + КРхх = а0 (Рхх + Pyy )

Py (x,0,t) =

Í0, x e (-<,0) u (l,+<<),

[w + V (w' + v'), x e (0,l), p(0, y, t) = Px (0, y, t) = 0, p(x, y,0) = pt (x, y,0) = 0, p(x, y, t) ^ 0, y ^<x>.

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

-ЕЕ! и +1 w2 + wv | + ти,,-т0ы , + /(х,t,и,w,и,,w,)= 0,

I х 2 х х х I ,, 0 хх, , / '

(w + V |и +1 w2 + w

х\х 2х х

+ 'хххх +70 Wxxxx, + т^>„ + g ((t, u, w, и,, w,) = Ap(x,0, t),

(19)

(20)

w(0, t) = w"(0, t) = w(l, t) = w"(l, t) = 0, t > 0; и(0, t) = и(1, t) = 0, t > 0; w(х,0) = /1(х), w( (х,0) = /2(х), х е (0, I); и(х,0) = g1(х), и{ (х,0) = g2(х), х е (0, I).

Для описания динамики упругого элемента используется нелинейная модель, учитывающая продольную и (х, t) и поперечную w(х, t) деформации, а также предварительный изгиб v(х) упругого элемента. Здесь индексы х, у, t снизу обозначают производные по х, у, t; штрих и точка над w и и -производные по х и t соответственно; АР(х,0,t) = [Р0 ]у=0 -р^-р+р, + У0рх)]у=0; У0,р0+,Р0+ - скорость газа, плотность и давление в набегающем однородном потоке над пластиной; Е - модуль упругости, т - погонная масса пластины; ЕЕ - жёсткость на растяжение; Ы - изгибная жёсткость пластины; V(х) - предварительный изгиб упругого элемента [18]; г0, у0 - коэффициенты демпфирования на растяжение и изгиб; Р0- - давление под пластиной в состоянии покоя; /(х, t,и, w,и {, wt), g(х,^,и,w,и,wt) - функции, описывающие некоторые внешние (например, управляющие) воздействия на упругий элемент.

Уравнение (13) для потенциала скорости рх, у, ,) описывает течение газа над пластиной в модели идеальной сжимаемой среды; (14) - условия непротекания; (15) - условия отсутствия возмущений перед пластиной; (16) - условия отсутствия возмущений в начальный момент времени над пластиной; (17) - условие затухания возмущений вдали от пластины; (18) - уравнения, описывающие динамику упругого элемента с учётом воздействия на него сверхзвукового потока газа сверху; (19), (20) - граничные и начальные условия.

Применяя для решения задачи в верхней области операционный метод, получим систему дифференциальных уравнений в частных производных [3,6-9], которая описывает динамику упругой пластины с учётом аэрогидродинамического воздействия на неё и содержит лишь функции деформации

- ЕЕ | их + 2 ^ + WxVx ^ + ти„ -Т0ихх, + / (( t, U, ^ и, , W , )= 0 (х + V ^их + ■2

Wx + WxVx

= (р- р+)--

Р+У (

+ EJWxxxx +70 Wxxxx, + + g (( u, W, и, , ^ ) = V (Wx + Vx )

(21)

М0 - 2 ^

М 02 - 1

4м 02 -1

Пусть /(, и, w, и,, ^ ) = 0, g и, w, и,, ^ ) = 0.

Для решения начально-краевой задачи для системы уравнений (21) применим метод Галёркина. Пробные решения и (х,,) и w( х,,) будем искать в виде

N N ^к

и(х, ,) = £ ик (,) ЗШ^х), w(х, ,) = £ Wk (,) ЗШ^х), Л = ~ ,

к=1 к=1 I

где {п^х)} - полная система базисных функций на отрезке [0,I], подобранных так, чтобы выполнялись заданные краевые условия (19).

Из условий ортогональности невязки уравнений (21) к системе базисных функций {п^х)} получим систему из 2N обыкновенных дифференциальных уравнений для ик (,), wk (,) . Начальные условия для wk (,) получим согласно (20)

2 i- 2 I-

Wk (0)= 7 J f (x) sin( V)dx, Wk (0) = y J /2 (x) sin( V)dx;

7 0 y 0

2 i- 2 i-

U (0) = y J /.(x)sin(V)dx, U (0) = y J /2( x)sin(V)dx.

I з 4 к ' кЧ ' I

1 0 4 0

Таким образом, получена задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями (22), которая является основой для проведения численного эксперимента.

Задача Коши решается с помощью системы МаШешайса. Исследовалась деформация элемента как функция времени (в фиксированных точках элемента) и как функция координаты (в фиксированные моменты времени) для различных параметров механической системы.

Пример. Будем считать, что упругий элемент изготовлен из алюминия (Е = 7 • 1010 - модуль упругости, рр1 = 2699- плотность), обтекается сверхзвуковым потоком воздуха. Предварительный изгиб задан функцией у(х) = 8т(^х) . Скорость набегающего потока У0 = 600, скорость звука а0 = 340, плотность воздуха рр = 1,3 число Маха М0 = 1,765. Другие параметры механической системы:

1 = 20; кр1 = 0,2 (толщина пластины); т = 539,8 (погонная масса); и = 0,34 (коэффициент Пуассо-

Ек Ек3 на); Е¥ =-- = 1,5834010; Ы =-р-р— = 5,2766-107 (изгибная жёсткость);

1 -о2 12(1 -и2) '

Р0- - Р0+ = 5000 . т0 = у0 = 0,1 . Все значения приведены в единицах СИ. При реализации метода Га-

условия зададим в виде:

. 0 0 ^^ ; - 0 /0

лёркина выбрано N = 5. Начальные

и(х,0) = 0, и(х,0) = 0, м>(х,0) = 0, (х,0) = 0.

5 5

Получены графики функций и(х0, ^ = Х ик (?)8т(2кх0) и м>(х0, ^ = Х (?)8т(2кх0) в точке

к=1 к=1

х0 = у5 (рис. 6).

Рис. 6 Графики функций и(x0, t) и w(x0, t) в точке x0 = 8

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aulisa E. Fluid structure interaction problem with changing thickness beam and slightly compressible fluid / E. Aulisa, A. Ibragimov, E. Kaya // Descrete and Continuous Dynamical Systems. - 2014. - V.7, №6. - P. 1133-1148.

2. Kaya E. A stability estimate for fluid structure interaction problem with non-linear beam / E. Kaya, E. Aulisa, A. Ibragimov, P. Seshaiyer // Descrete and Continuous Dynamical Systems. - 2009. - P. 424-432.

3. Voss H. V. The effect of an external supersonic flow on the vibration characteristics of thin cylindrical shells / H. V. Voss // J. Aerospace Sciences. - 1961. - №3. - P. 945-956.

4. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - №3. - С. 7-14.

5. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Покладова Ю. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления».- Ульяновск : УлГТУ, 2008. -188 с.

6. Бочкарёв С. А., Лекомцев С. В. Аэроупругая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, содержащих текущую жидкость // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2015. - Т. 19, №4. - С. 750-767.

7. Бочкарёв С. А., Лекомцев С. В. Исследование влияния граничных условий на устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, взаимодействующих с текущей жидкостью // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2012. - №3 (28). -С.88-101.

8. Бочкарёв С. А., Матвеенко В. П. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов // Математическое моделирование. - 2002. - №12. - С. 55-71.

9. Бочкарёв С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т.6, №1. - С. 94-102.

10. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С. Математическое моделирование систем динамического контроля за изменением давления // Журнал Средневолжского математического общества. 2012. - Т. 14, №2. - С. 22-33.

11. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Богданов В. В., Семёнова Е. П. Математическая модель гидродинамического излучателя // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2013. - №4. - С.31-39.

12. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Горбоконенко В. Д., Ходзицкая Ю. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2003. - №1-2 (21-22). - С. 22-24.

13. Вельмисов П. А., Манжосов В. К. Математическое моделирование в задачах динамики виброударных и аэроупругих систем. - Ульяновск : УлГТУ, 2014. - 204 с.

14. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математическое моделирование динамики защитной поверхности резервуара // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2018. - №2. - С.27-35.

15. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П. Математическое моделирование упругой динамической системы типа «тандем» при дозвуковом обтекании // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2010. - №2. - С. 36-46.

16. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод - датчик давления» / П. А.Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - №1 (29). - С. 137-144.

17. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК 6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / П. А. Вельмисов, Г. М. Горшков, Г. К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. №18.

18. Шмидт Г. Параметрические колебания. - М. : МИР, 1978. - 336 с.

Вельмисов Пётр Александрович, профессор кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет», доктор физико-математических наук, профессор, velmisov@ulstu.ru.

Покладова Юлия Валерьевна, доцент кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет», кандидат физико-математических наук, доцент, pokladovau@mbox.ru.

Поступила 17.09.2018 г.