Математическая модель крылового профиля в аэродинамической трубе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Е. П. СЕМЁНОВА, А. Б. ЗАХАРОВА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Предложена математическая модель крылового профиля с упругими предкрылком (рассекателем) и закрылком (элероном), расположенного в аэродинамической трубе и обтекаемого дозвуковым потоком. Приводится решение аэрогидродинамической части соответствующей краевой задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного. Получена связанная система дифференциальных уравнений, описывающих динамику упругих элементов.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, аэродинамическая труба, деформация, динамика, дозвуковой поток, крыловой профиль, проточный канал, рассекатель, упругая пластина, элерон.

При проектировании различных конструкций, устройств, приборов, аппаратов, систем и т. д., находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой (обтекаемых потоком жидкости или газа), необходимо решать задачи, связанные с исследованием динамики и устойчивости упругих элементов, требуемой для их качественного функционирования и надёжности эксплуатации [4-25]. Воздействие потока может приводить к эффектам, являющимся причиной нарушения функциональных свойств элементов, вплоть до их разрушения (например, приводить к состоянию неустойчивости вследствие увеличения амплитуды или ускорения колебаний до критически допустимых значений). Такая проблема, когда неустойчивость является негативным явлением, возникает, например, при проектировании составных частей летательных и подводных аппаратов: элерона - составной части крыла; руля высоты - составной части стабилизатора, руля направления - составной части киля; панели - составной части фюзеляжа или крыла.

В данной статье предложена математическая модель крылового профиля с упругими предкрылком (рассекателем) и закрылком (элероном), расположенного в аэродинамической трубе и обтекаемого дозвуковым потоком.

Рассматривается соответствующая плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях упругих элементов тонкого крылового профиля при обтекании его бесциркуляционным потоком идеального газа (жидкости) в канале с прямолинейными стенками. Элементы представлены в виде упругих деформируемых пластин. В физической плоскости хОу упругим элементам (пластинам) соответствуют на оси Ох отрезки [а,с] и [^Ь] (рис.1).

Рис. 1

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., Захарова А. Б., 2013

Скорость набегающего потока газа (жидкости) равна V и направлена вдоль оси Ox, ширина канала равна H. Предполагается, что возмущение однородного потока и деформации упругих элементов (пластин) малы, то есть Pp(x,y,t) = V x + sp(x,y,t) , vvV(x,t) = swk(x,t) , £«1 ,k = 1,2 . Здесь Pp(x,y, t) - потенциал скорости потока, vvV(x , t) и îv2(x, t) — деформации (прогибы) упругих элементов [a,c] и [d,b] соответственно; x,y - декартовы координаты, t - время. Потенциал p удовлетворяет уравнению Лапласа

Pxx + Pyy = 0 , (x,y) EG = R 2\[ a, b ] (1)

условию отсутствия возмущений на бесконечности слева и справа от профиля

lim ( p2 + p2 + p2) = 0 (2)

X—>+оо 4 J 1

и линеаризованным граничным условиям

Py(x,+^,t/ = 0, x E ( - œ, + œ), ( 3 )

Îw^x, t) + V w'x(x , t) , x E (a, c)

Vf±(x),xE( c,d) , (4)

w2(x,t) + V w'2(x,t),x E ( d,b) где f+(x),fX(x) - функции, определяющие форму недеформируемой части профиля. В (4) и далее штрих обозначает производную по , а точка - производную по .

Линеаризуя интеграл Лагранжа-Коши, получим следующее выражение для реакции газа (жидкости) на профиль

Q = P(P + - P t ) + P V (Px - PX ), где p — плотность газа (жидкости). Тогда уравнения колебаний упругих элементов можно записать в виде

L= p(p+ - PX) + pV (p+ - Pt),x E (a, c),y = 0 , (5)

L 2(W2) = P(P + - P t)+P V (Px - PX ),x E (d,b ),y = 0, (6)

L k (wk) = Mkwk + Dkw'' ' ' + N kw ' + SkW' ' ' +ßkwk + ykwK (7)

где Mk, Dk, Nk, Sk, ßk, Yk — некоторые постоянные (k=1,2).

Выражая потенциал ( ) через функции прогиба ( ), запишем уравнения колебаний (5),(6) относительно функций wk(x,t). С этой целью в области G введём комплексный потенциал W = f (z , t) = p + ixp, где y = y(x,y,t) - функция тока,г = x + iy. Функцию скоростей fz(z , t) = представим в виде

fz(z , t) = v(T, t)4h(c)coth y(t -z)dT + Yr(t)/ +

d

+Y Vf [f ~(T) - f+ (t)] cthY(t - z )d t, z E G, (8)

с

л

где h(z) = shY(z - a) shY(b - z), y = —,

H

Îw1(x,t) + Vw' 1(x,t),xE (a,c), V[f+(x) + f ~(x)],x E (c,d),

w2(x,t) + Vw' 2(x,t),x E (d,b), r(t) - функция, определяющая циркуляцию скорости вокруг профиля [a,b]. Ветвь корня в формуле (8) фиксирована условием

jh(z) = i ^s h y(x - a) s h y(x - b ) при z = x > b. (9)

Так как функция ( ) аналитическая в области G, то в этой области согласно условию Коши-Римана ( px) х = ( - Py)y, или pxx + Pyy = 0 . Проверим выполнение граничных условий (3), (4). На

стенках канала z = x±^- = x±^. Поскольку shY(z - a) = shY .x - a ± = ± i chY(x - a),

sh Y(b - z~) = shY .b - x = + i ch Y(b - x), cth y(t - z) = cth Y.J - x ± j-/ = th y(t - x), то

/ H \ y

fz(x±i-,t) = Px-i Py

njchY(x - a) chY(b - x)

f v(t, t)jh(T) thY (t - x)dt + Yr(t) ) +

\a )

а

+ 7^/ [/"(т) " /+ (т)] ¿л7(т - х)Ст,

следовательно, .х, ± = 0 , х 6 (—о, + со).

Чтобы проверить выполнение условий (4), воспользуемся разложением [2]

оп

2г

1 V 2

п2п2'

71 = 1

согласно которому

сп

2 (т —2)

7 с £/1у(т — г) = ¿7 с ¿в ¿7(т — г) =--1" X

т — г

( ) 71=1

и перейдём в (8) к пределу при г — х ± £0 , х 6 ( а, Ь).

Пусть х 6 ( а, с) и ( Ь , с?), тогда, применяя формулы Сохоцкого [1-3] и учитывая, что в силу условия

<Рх ~ 1<Ру

(9) Твд - + Увд, будем иметь

ь

± тКт,х)ТВД + | Кт, ¿)у//(х) (-^х + X (т — х)2 /п2Я2 ) СТ + 72Г( ¿)

+тТ^(х)

+

71=1

а

+ I ^ ~(т) — /+(т)]с ^7(т — X) Ст, ( 1 0 )

или

<± — ¿<± = — £ т;(х, ¿) Л--7 ( I ^(т, /1(т)с¿/7(т — х)Ст + тД ¿) ) +

Л у /(X) \

а

уУ Г

+— I [/ "(т) —/+(т)]с ¿/1/(т — х)Ст,х 6 (а, с) и (С,Ь ). 277: Л

с

Если ( ), то

<± — ¿<± = — £ т;(х, ¿) Л — 7 ( I ^(т, /1(т)с¿/7(т — х)Ст + тГ(¿) ) +

тУ/(х) \

V

лУ/(х)

/ оп

( )

( )

(ОО

71=1

<± — ¿<± = —¿г?(х, ¿) Л —-( I Дт, ОТ^(т)с¿/17(т — х)Ст + 7Д ¿) ) ± [/ "(х) — /+(х)] +

^ВДу^ ) 2

+ — I [/"(т) —/+(т)]с ¿/17(т — х)Ст,х 6 (с, С) . ( 1 1 )

277: Л

с

Из (10) и (11) следует: если х 6 ( а, с) и ( Ь , С), то

± г . (VI/! (х, 0 + Уш{(х, 0, х 6 (а, с), <у = ¿) = {^2(х, ¿) + ^(х, ¿), х 6 ( Ь , С); если х 6 (с, С) , то <± = Кх, ¿) + £ [/"(х) — /+(х)] = £ [/+(х) + / "(х)] Л £ [/ "(х) — /+(х)] =

= Г/±(х).

Таким образом, условия (4) выполняются. Из формул (10), (11) следует также, что

<±± = ^Оу/Щй** — х)Ст + 7Г(0) +

п

у/(х )

сг

уК Г

+ — I [/ "(т) — /+(т)]с ¿/7(т — х)С т, х 6 (а,Ь ).

277: ^

с

Отсюда получаем

_ I гг(т, ¿)Т/(т)с¿/7(т — х)Ст + 7Д ¿) ) х 6 (а, Ь ). ( 1 2 )

у/(х) \ I

+ -<Рх<Рх =

П.

Комплексный потенциал ( ) найдём по формуле

Ш = < + ¿^ = / /2(г, + С(¿), ( 1 3 )

где ( ) - произвольная функция времени, . Дифференцируя (13) по г, получим

г

+ .^Ы^Ит + с '(0. ( 1 А

а

Так как О - двусвязная область, то интеграл в (14), вообще говоря, зависит от линии интегрирования. Поэтому < £, а значит и правые части уравнений (5), (6), однозначно не определяются. Подберём функцию Г(г) так, чтобы циркуляция скорости вокруг профиля равнялась нулю. При обходе против часовой стрелки разреза [а,Ь] циркуляция

ь ь ь

Го ( ¿) = /<""Сх + /<++Сх = /(<" — <++)Сх.

а а а

Воспользовавшись формулой (12), получим

ь ь ь

2 7 Г Сх Г ---272Г(0 Г Сх

Го ( ¿) = — I I гг(т, ¿)Т/(т) с С / 7( т — х)Ст + ——— I = 0 ,

если

ь ь

1 г с?х г --

Г(¿) = — — I -= I гг(т, ¿)у/(т)с¿/7(т — х)Ст, ( 1 5 )

М7 у/г(х) а у а

Ь

г (1х

гд е М = I Я э то м сл уч а е п р и о б хо д е п р о т и в ч ас о в о й стр е л к и р аз р е з а / = [ а, Ь ] и м е е м

а У1^

| /2(гД)С г =

= I ^.Сх + <уСу +

+ £ ф — <уСх =

= Ф ^.Сх — £Ф <уСх = Го( ¿) + £ I (<+ — <" )Сх =I [/+(х) — /"(х)]Сх,

поэтому

г

Отсюда по теореме Коши следует, что интеграл от функции ( ) по любому замкнутому контуру,

принадлежащему области G, равен нулю. А тогда значение <р t, определяемое формулой (14), не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки а и z. Интегрируя по частям, представим (8) в виде

(ъ \ d

уГ(t) - J V (т, t) (ТВДс t/l/(T - z)^ dr ) +y^ J [/-(т) - / + (т)]с t/y(r - z)dT,

т

где г?(т, t) = J v(x, t)dx. Д ал e e, с уч ёто м то го, ч то (с м . П р ил о же н и е )

а

( У//(Т) \' = _УЩ/ V//ÖÖ У

(s /iy(r - z)/T ^//(Г) (s/iy(T -

имеем

№0=-уЫ yr(t)-J

V(r,t) '

s /у(т - z )

с/у(т - z) + y^/i( т )

dr ) +

а

+ y^ J [/ -(т) -/+(т)]сt/y(r - z)dr =

с

=i(r(t) - / *(I- t)V//Mdr)+y / Ms^l c/y(r -z)dr+

d

+ y^ J [/ -(т) -/+(т)] с t/y(r - z)dr . ( 1 8)

Полагая

b

A(t) - Г (t) - J v(t, t )Jh(T)dt

и замечая, что

r

Г yfhfT) Л v shy(T- z) j

■ chy(T- z) — ^Jh(z)cthy(т - z)) + y^h(z),

z

окончательно запишем

f(z,t) -y ]Щ

z ж Jh(T)

{jh(7)cthy(т - zj) + yjhz

dT +

+ ¿^ + L-d\\f (T) - f+(T)]cthy(T - z)dT. ж^ h(z) 2 ж -

c

Подставляя (18) в (14), получим

Щ = <Pt + =

Г 1;(т, t)

I , сt /y(r - z)dr +

J ' -

y^/i(zUg(r,Q ,2 Ьг !

n j v//(t)

z

y / fv(r, t) Г -- y/ 4 ( tu dz ,

+ — I -^^dr IV/(z)dz + --— I^= + C ( t), ( 1 9 )

T

гд e v(r,t) = v t(r,t) = J

i)(x, t)dx .

Подберём функцию С(Ь) так, чтобы выполнялось условие (2). Пусть г = х < а, тогда

—ij—h(x) в силу выбора ветви корня, а

ь

ivJ—h(x) Г v(t, t) Wt = ft(x, t) = — —-— I cthy(r — x)dт —

к 1

b x x

iv2 fv(r,t) Г -- iv2А'(t) Г dx

■ — I dT I J—h(x)dx + --— I , + С'(t),

к J jih(T) J к J j—(x)

a4W) l к JaJ—h(x)

следовательно,

p t(x, 0 , t) = R e { С'(t)+, x<a. (20)

Если z = x > b, то Jh(z) = ij—h(x),

ivJ—h(x) Г v(t , t) Wt = ft(x, t) = —-— I cthy(T — x)dт +

к a № - b b b v2 f v(r,t) f (_ --4 v2А'(t) Г dx

к J Jh(T) J v J к J + Jh(x)

b x x

iv2 fv(r,t) Г -- v2А'(t) Г dx ,

+ — I "M= I J—h(x)dx + r--^ I +С (t),

к l JhTjy к l JFW)

2 / Ь ~ Ь Ь \ p(x,0 ,t) = + — ( I V(T' ^ dT I Jh(x)dx + А'(t) I dx ) + R e { С'(t)+.

л\]а^ a a

b b b

r v(t, t) Г ,__Г dx

П о с ко л ь ку (с м . П р ил ож е н и е) I ' dr I Jh(x)dx + А' (t) I = 0, (21)

a w) a aтш

то p(x, 0, t) = Re{С' (t)+,x > b. (22)

Из (8), (20), (22) следует, что

hm fz (z, 0 = lim ( px — ipy) = 0,

X—>+oo X->+oo

lim pt(x, 0,t) = Re{ С'(t)+,

X—>+oo

поэтому условие (2) будет выполнено, если положить R e{ С( t)+ = cons t.

Найдём граничные значения функции pt(x,y, t). Переходя в (19) к пределу при z -> x + i0 ,x Е ( ) получаем

ь

, , _ Jh(x) v(r,t) f v(t, t) p r + iibr = -\--1 + к i , + v I , cthv(r — x)dт I +

к \ Jh(x) l Jh(T) '

b x x

v2 fv(r,t) Г -- v2А'(t) Г dx

+ — I dr I Jh(x)dx + --— I -== + С'(t),

kijW) ^ к IJW)

следовательно,

_ 2vjh(x) Г v(t, t)

p t — p t =--I , c t hy(r — x)dr

к J Jh(r)

Jh(T)

а

b x x

,2 г йСт г ?„2л'

fv(r,t) Г -- 2v2А'(t) Г dx

I , dr I Jh(x)dx--I , , x е (a,b). (23 )

ijHx) ^ к IJW)

Таким образом, согласно формулам (12), (23) система уравнений (5), (6) принимает вид

2 р7 I -- ГУ(тД) Г т?(т, ¿) Г ---Г

I ^(ш/с) =--1 у/(х) I , с С/7(т — х) + 7 I С т I у/(х)С х + 74 ( ¿) I

Л \ У/(т) У/(т) ./ ./

1;(т, ¿)

е?х

УВД

У/т)

у/(х)

77:

У/(х)

' с/

I г(т, ¿)У/(т)с¿/7(т — х)Ст

+ 7Г(¿) ) к = 1 , 2 ;

( )

при ( ) при ( )

7Г

Левые части уравнений (24) определяются формулами (7), /(х) = 5 /7(х — а)5 /7(Ь — х), 7 = —,

Г( )

ь ь

1 г £¡1

1 Г Сх Г ---Г _ -- Л/ Г гг(т, ¿)

=--I , I гг(т, ¿)У/(т)с¿/7(т — х)Ст = I г(т, ¿)У/(т)Ст--I , С т

М7 Л у/(х) 1 } М]

М = I л = Г у/(х)Сх, 4 '(¿) = Г( ¿) — Г £(т, ¿)У/(т)Ст = — Л I ^1 ) С т

У ( ) У ( )

Л у(тД)

У/со'

ь

Л ^ у(т, ¿)

УШ'

г(т

с

■И

гг(х,£)Сх, V (т,

с

, ¿) = I г>(х,

)

'м/г(х, ¿) + Уи4(х, ¿), х 6 ( а, с), г(х,С) = { У[/+(х) +/"(х)],х 6 ( с, С), ^м/2(х, ¿) + Уи^Х, ¿), X 6 ( С , Ь ).

Уравнения (24) соответствуют линейной теории аэрогидроупругости, когда движение жидкости (газа), а также динамика деформируемого тела описываются линейными уравнениями. Можно предложить также «смешанные» математические модели, в которых уравнения, описывающие динамику упругого элемента, являются нелинейными. Одна из таких моделей определяется уравнениями (24), в которых Д (у) и £ (щ) заменяются соответственно выражениями

№

+ - ^<| \JTVCw\ydx - с + а

Л

[1+Ю2 ]

+ 8у" - +/ (х, г, , у, у, у)

гг

Л

+ Му +

г

[;+ю2 ]

2?/2

1> " 1' 2' "2-

Ь

х е (а,с),

Л

+лх - <1 |у;+щ )2dx - ь+d

V d

+Муп +

где /к (х, г, щ, щ, щ, Щ ) , к = 1,2 - заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а

также упругие и демпфирующие свойства оснований, штрих обозначает частную производную по х , точка - частную производную по г .

Вторая модель также предполагает использование уравнений (24), при этом каждое из них заменяется системой двух уравнений

- ЕЛ

- ЕЛ

+Т(т\)2

+ М1и1 + 8**11'; + g1( х,г,и1,й1 ,и2,й2 ,у2,уУ2) = 0,

т | и; +-2 (т1)2

+

ву

[1 + (У) ]

2 И/2

+ му + ¿Чур"; " - а1 У" + N у" -

- в1 у; | У1 + (у';)2 dx + а - с + /1(х,1,и1,йл1 ,у1,ур1 ,и2,й2 ,у2,ур2 ) = Р1(у1,у2),

х е (а, с)

/г

У

гг

с

- ад

<+1ы2)2

+м2й 2 + + g2(x,t,u1,й1,w1,w1,u2,й2,w2,w2) = О

м2|ик+-(м'2 )

+

( ад >

\2 I 32

+Ы2м2 +30у2" -а2м'к + му2-

[1 + (О2 \

{д/1 + (Юйх + й - Ь | + /2(х^,й1,и1^1,^1,й2>и2,^2,^2) = Р2^1^2)

х е (й,Ь),

где ик(х^), щ(х,t) - продольные и поперечные деформации упругих элементов; р (м м ) - правые

части уравнений (24); gk(X't'и¡,и¡,и2,и2,м2,М2), /к(х,t'и1,иМ1,ы2,ы2,w2'М2) - заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства подкрепляющих элементов.

Часть нелинейных математических моделей связана с заменой [1 + (м'к)2 и [/ + (м'к)2 ~\12 на

1 - 3(мк)2

и

1 1 1 + ~(мк)2

соответственно, а также с заменой этих выражений единицей.

Приложение. Докажем равенство (17). Так как

фк( т) \ к' (т)з ку(т — г) — 2 ук(т)с ку(т — г)

зку(т — гУт 2 фк^з к2 у(т — г)

( фк(г) \ к' (г)з ку(т — г) — 2 у1г(г)с ку(т — г) \з ку(т — г)

то

\ уЩ/ фЩ

з кгу (т — г);т фк(т)\зку(т — г) Учитывая, что

2 фк(г)з к2у(т — г)

( к ' (т) + к '(г ))з ку(т — г) — 2 у( к(т) — к(г))с ку(т — г) 2 фк(т)з к2 у(т — г)

к(г) = зку(г — а)зку(Ь — г) =— (ску(Ь — а) — ску( 2 г — а — Ь )),

получаем

к' (т) + к '(г) = — у(з ку( 2 т — а — Ь) + з ку( 2 г — а — Ь )) = — 2 уз ку(т + г — а — Ь )с кт(т — г), к(т) — к(г) = — (ску (2 г — а — Ь) — ску (2 т — а — Ь )) = зку (т + г — а — Ь )зку(г — т).

Отсюда следует, что

у з к у (т — гу фк(т)\з ку(т — г) у —2 уз ку(т + г — а — Ь )ску(т — г)з ку(т — г) — 2 уску(т — г)з ку(т + г — а — Ь )зку(г — т)

2 фк(т)з к2 у(т — г)

= О,

что и требовалось доказать.

Докажем равенство (21), в котором А(Ь) = Г(Ь) — ¡а р(т, Ь)фк(т) Ст ,

ь ь

1 Г с1х Г --

Г(Ь) = —-гг- I I р(т,Ь)фк(т)сЬку(т — х)Ст.

Му ) фк(х) 3 а у а

Преобразуем выражение для функции Г(1) Интегрируя по частям и применяя формулу (17) при , будем иметь

и

и

I гг(т, ¿)У/(х)с¿/7(т — х)Ст = г;(т, ¿)У/(т)с¿/7(т — х)| —

а

I гг"(т, ¿) (у/( т)с¿/7(т — х)) Ст =

а

Ь

а

Ь

)

У/(т)

с /17 (т — х) + 7У/г( т)

с1т =

/ г(т, ~у (5/7(т — х)

а 1

= У/X)/ 7Ш(5/7(т(-х)) с/7(т — Х)Ст — 7/ г(т,

а У^СО \

Таким образом,

Ь Ь Ь Ь

М7Д ¿) = — I I г(т, ¿)у/(т)с¿/7(т — х)Ст = — I С х I ^ ^С ) ( У/(х) ) с/7(т — х)Ст +

У ( ) У ( ) ( )

а^Фоа ' а а^^

ь ь

г г _ ,— + 7 I .-I г(т, ¿)у/(т)Ст.

а ^а

Меняя порядок интегрирования и интегрируя по частям, запишем окончательно М7Г(С) = — I ^р^Ст I с/7(т — х)Ст +

а у а 4 ' X

Ь

УЫт) I \5/7(т — х) + М71 г(т, ¿)У/(т)Ст =

а Ь

а

Гг(тД) у/(х)с/7(т —х) Г -

= —5ЛГ(т —X) +7]УВДСХ

У/(х)с/7(т — х)

ЬЬ

аа

Ст +

Ь Ь Ь Ь

+ М71 г(т,¿)У/(т)Ст = —71 ^С СтI у/(х)Сх + М71 г(т,¿)У/(т)Ст,

или

Г(С) = /аЬг(т,С)^Ст — ^/аЬ||Ст, (*)

и

Л = I у/(х)Сх.

где

а

Ь Ь

, , Г I--Л Г С(т, ¿)

С о гл ас н о фо р мул е ( * ) 4 ( ¿) = Г ( ¿) — I £(т, £)у/(т)Ст = — — I Ст

М-/ У/(т)

а а у

Подставляя это выражение в (21), получаем верное равенство.

Частный случай. Пусть а = с, то есть профиль содержит один упругий элемент - элерон. В этом случае система уравнений (24) сводится к одному уравнению

(Ь Ь х х

у/(х) I ^^ЁсС/^т — х)Ст + 7 I Ст I у/(х)С х + 74 '(£) I

2 У/т) „ Уад ^ I УВД,

/ ь

У/(х)

7Г

I г(т, ¿)У/(т)с¿/7(т — х)Ст + 7Д ¿) ), х 6 (С, Ь ). ( 2 5 )

В уравнении (25) 1(ш) = М№ + йш' ''' + N ш' ' + ''' + // ш + уш, ш = ш(х, С) - прогиб упругого

п

элемента, /(х) = 5 /у(х — а)5 /17(6 — х), у = —

н

ь ь ь ь

Г(С) = — —— [ [ т;(т, С)//(т)с¿/17(7 — х)<т = [ т;(т, С) //(т)<т — —0 [ ; , <т,

Мо7^ ,//(х)^ Мо ^ ///(т)

а у а а а у

Ь Ь Ь Ь ^

Мо = [ —о = [ Л'(С) = Г'(С) — [ 1>(т, О/Щйт = — —0 [ ^¿^т,

//(х) Мо ^ //(т)

а а а а

т т

^(т, С) = / ^(х, С)^х, С) = / ^(х, х,

а

ГУ .

Кх, С) = Ь [/+(х) + /-(х)], х 6 (а, <0 I IV(х, С) + Уш'(х, С), х 6 (<, Ь ).

Работа выполнена в рамках НИР №2-8/12 «Исследование динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии (УлГТУ, государственное задание Минобрнауки, 2012-2014 гг.), а также в рамках НИР «Моделирование и исследование новых высокоэффективных смазочно-демпфирующих покрытий на основе частиц диатомита в условиях преодоления вращающегося высокоскоростного аэрогидродинамического пограничного слоя» (УлГТУ, грант РФФИ №12-08-97078-р_поволжье_а), 2012-2014 гг.)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Седов, Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1980. - 448 с.

2. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1987. - 688 с.

3. Гахов, Ф. В. Краевые задачи / Ф. В. Гахов. - М. : Наука, 1977. - 640 с.

4. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / П. А. Вельмисов, Г. М. Горшков, Г. К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. тех-нич. ун-т. - №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. №18.

5. Бочкарев, С. А. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов / С. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // Математическое моделирование. - 2002. — №12. — С. 55—71.

6. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - 220 с.

7. Анкилов, А. В. Численно-аналитическое исследование динамической устойчивости упругой пластины при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - С. 3—22.

8. Анкилов, А. В. Устойчивость упругих элементов крылового профиля / А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов, Н.А. Дегтярева // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. — №7. - С. 9—18.

9. Анкилов А. В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия упругих стенок каналов с протекающей жидкостью / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. — №1(22). - С. 179—185.

10. Анкилов, А. В. О решениях интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной аэроупругой системы типа «тандем» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. -2011. — № 2(23). - С. 266—271.

11. Анкилов, А. В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №1(37). - С. 7—16.

12. Анкилов, А. В. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №2(38), выпуск 1. - С. 7—17.

13. Анкилов, А. В. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2013. — №1(30). — С. 1-7.

14. Анкилов, А. В. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 331-344.

15. Анкилов, А. В. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкций при сверхзвуковом обтекании / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - №3(57) выпуск 1. - С. 59-67.

16. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев. - Ульяновск: УлГТУ, 2011. - 200 с.

17. Вельмисов, П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е. Е. Колмановский // Дифференциальные уравнения. -1994. - Т. 30, №11. - С. 1966-1981.

18. Вельмисов, П. А. Устойчивость решений одного класса нелинейных начально-краевых задач аэроупругости / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, Ю. К. Замальдинова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвёртой Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцев. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. - М. : РУДН, 2013. - С. 290-292.

19. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вяз-коупругих элементов проточных каналов / П. А. Вельмисов, А. А. Молгачев. - Ульяновск : УлГТУ, 2012. - 185 с.

20. Вельмисов, П. А. Численный эксперимент в задаче о динамике защитного экрана при сверхзвуковом обтекании потоком газа / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, А. В. Анкилов // Вестник Улья-новскго государственного технического университета. - 2013. - № 3. - С.38-44.

21. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений начально-краевой задачи о динамике защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. А. Судаков // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2013. - №3. -С.45-52.

22. Вельмисов, П. А . Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников // Датчики и системы. -2003. - №6(49). - С. 12-15.

23. Анкилов, А. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - №3(27). - С.7-14.

24. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки. - 2011. - №1(29). - С. 137-144.

25. Анкилов, А. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. В. Покладова. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - 188 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области аэрогидроупруго-сти, аэрогидромеханики, устойчивости систем с распределёнными параметрами, математического моделирования.

Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Автор монографии и статей по теории функций комплексного переменного, аэрогидроупругости, устойчивости.

Семёнова Елизавета Петровна, аспирант факультета математики и информатики университета г. Базель (Швейцария), автор статей по аэрогидроупругости, устойчивости.

Захарова Александра Борисовна, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ, автор статей по аэрогидроупругости, устойчивости.