Колебания идеальной жидкостив прямоугольном подвижном сосуде с учетом внутреннего трения в материале упругой вставки на стенке Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 533.601

Б. А. Ершов, Г. А. Кутеева

КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОДВИЖНОМ СОСУДЕ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ В МАТЕРИАЛЕ УПРУГОЙ ВСТАВКИ НА СТЕНКЕ

Тема предлагаемой работы относится к теории колебаний твердых, упругих тел и оболочек, частично заполненных идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкостью [1-5]. В упомянутых выше работах не учитывается влияние внутреннего трения в материале. В гидроупругой системе, которая рассматривается в настоящей работе, подвижной сосуд с жидкостью имеет упругую вставку. В системе учитывается внутреннее трение в материале упругой вставки [6, 7] и исследуется влияние такого трения на перемещения свободной поверхности жидкости и упругой вставки.

Рассматривается следующая задача: прямоугольный сосуд наполненный идеальной несжимаемой жидкостью движется по заданному гармоническому закону параллельно невозмущенной поверхности жидкости. Задача решается в плоской постановке. Одна стенка сосуда и дно твердые, другая стенка содержит упругую вставку. Упругую вставку моделируем балкой, жестко заделанной на краях. Решение этой задачи было рассмотрено в работах авторов [8, 9]. Настоящая статья продолжает эту тему.

Введем неподвижную систему координат О'х'г' и систему координат Охг, неизменно связанную с сосудом. Начало системы координат Охг выберем посередине невозмущенной поверхности жидкости. Ось Ох направлена по поверхности жидкости, ось Ог перпендикулярно к ней. Примем, что в начальный момент координатные системы О'х'г' и Охг совпадают.

Запишем уравнение абсолютного движения жидкости и граничные условия в подвижной системе координат [10]. Граничные условия на жестких поверхностях приведем к однородному виду. Граничные условия на свободных поверхностях снесем на недеформированные границы. Считаем, что амплитуда колебаний жидкости и амплитуда колебаний балки малы, порядок малости равен е. Закон перемещения подвижной системы координат относительно неподвижной зададим в виде О'О = хсосуда(£) = еА0 8ш(^о£).

Математическая модель задачи определяется следующим уравнением и граничными

© Б.А.Ершов, Г.А.Кутеева, 2005

условиями, записанными в безразмерном виде

^ + ^ = 0 (1)

дх2 + ду2 ’ ^

где у>(х, у, Ь) — потенциал возмущенных скоростей и граничные условия на твердом дне

и твердой стенке

^=0 при 2 =-£ь (2)

7^=0 при ж =—1/2, (3)

дх

где ^1 = Н/Е, Н — длина балки (к совпадает с высотой невозмущенной поверхности жидкости), Е —ширина сосуда.

На свободной границе г = ](х,Ь) ставим два условия. Кинематическое условие соответствует условию непротекания:

дЬ дг [/ дг2 дх дх) ПрИ * ' ^

Динамическое условие соответствует равенству давлений на свободной границе внутри и вне жидкости:

дг

где

^+6/ = ^01вт(^)+є(^ (У^)2 +при г = 0, (5)

Аоі(х) — —?Д, и — А0и>0,

й>о = —у3- — безразмерная частота перемещения подвижной системы координат относительно неподвижной, д — ускорение свободного падения.

На гибкой стенке х = 1/2 + и(г, г) имеем кинематическое условие:

д-ш д^р ( д2<р д<рд-ш\

-т~ді = 4при *_,Л (6)

и динамическое условие д2и д4и д5и дш (1 2 д2ш> \

~д^+ь^+ьд^д1 = й^+л028ты)+£й{2(Ус^ +и,д^т)’ х = 1Д (7)

где

ҐрВ ЕЛ (рВ \ Вшо

^ = и2тВ2 ’ ^4 = ~~т’ & = тшоВЧ]1, 02 = + Ш) ~т0~'

т — погонная масса балки, Е — модуль Юнга, .1 — момент инерции поперечного сечения балки, р — плотность жидкости.

Начальные и граничные условия для прогиба и зададим в виде

ди)

т(г,0) = и>0(г), —(г,0)=гЬ0(г), (8)

дї

г 1/2 ло

/ /(х,г) йх + / и(г,г) йг = 0.

./-1/2 •/-£,

(10)

Условие сохранения объема в безразмерных переменных будет

г-1/2 г0

/-1/2 J-^1

При решении системы (1)—(10) проводим разделение переменных в виде:

к

/ (х,г) = ^2 Рк(г)Хи (х), к = 1

к

<р(х,г,Ь) = ^2 &к(-г)Хк(х)Як(г), к = 1 к

и(г,г) = ^2 -{кОЖк (г). к=1

Здесь Хк(х), Zk(г), Шк(г) —координатные функции, вк(г), ^к(г'), 1к(г) —обобщенные координаты свободной поверхности жидкости, потенциала скоростей и упругой вставки соответственно.

Координатные функции Хк(х), Zk(г), Шк(г) определяются решением следующих граничных задач:

Х^^(х)+Х2к Хк (х)=0,

(11)

Х[ 1ж= —1/2 0

X [|

1/2

хХк

1/2

1, 2,....,К,

Zк(г) - ЛкZk (г) = ° z [

к г=—.

&

!^к Zk 1

к = 1, 2,..., К, г Є —і, 0),

Ш""(г) - 4Шк(г)=0,

Шк (-&) = —і) = Шк (0) = (0) = 0,

сов(ук£і)сЬ(і/к£і) = 1, к = 1, 2,..., К.

(12)

(13)

(14)

Отметим, что последнее условие в (12) содержит постоянную X. Если положить X = 0, то уравнения (12)—(13) приведут к задаче о прямоугольном твердом сосуде со свободной поверхностью [3, 5]. Эта задача по сути является предельным случаем задачи

о колебаниях жидкости, частично наполняющей сосуд с упругой вставкой.

Решения задач (12)—(14) имеют вид

Хк(х) = сов(Лк(х + 1/2))/пх, к = 1, 2,..., К,

Zk(г) = сЬ(Лк (г + £і)), к =1, 2,..., К,

X

X

г

г

Шк(г) = [ сЪ(^к(г + £і)) -соб(щ(г + £і)) - 4 (^а(щ(г + £і)) - вт(^к(г + £і))) )/п^,

где

_еЪ(щ^1) — сов(и^1) _

^ь(и^^1) - &т(и^^1)

пх, п% —нормировочные коэффициенты, величины А1, х, Ш1 определяются соотноше-

х ад

ниями

tg(Аl) + th(Аl^l) = 0, х = -А1 tg(Аl), Ш = А1 Ш(А^).

Отметим, что анализ ряда задач гидроупругости показывает, что ряды типа (11) быстро сходятся, поэтому будем искать решение задачи, используя первые координатные функции (К = 1):

I (х,г) = р1(г)Х1 (х),

р(х,г,Ь) = Я1(Ь)Х1 (x)Z1(г), (15)

■т(г,г) = ^1^^1(г).

Далее опустим индекс «1» в обозначениях для координатных функций Х1(х), Zl(г), Ш1(г) и введем новые обозначения для обобщенных координат:

х1 = в1, х2 = Е1, хз = л, х4 = ^1.

Подставим выражения (15) для /, <р, V в уравнения (4), (5), (7) и в уравнения (6), (10). Затем проведем процедуру метода Бубнова—Галеркина, что приведет к следующей системе дифференциальных уравнений, записанной в нормальной форме относительно неизвестных х1, х2, хз, х4:

х1 = а 12 х2 + еххЪп2,

г2

г'2

х2 = а,21 х1 + е (х2>Ъ222 + хх0121) + ек.1 вт^о^,

хз = х4,

(16)

х4 = а43хз + 02'х2 + а,44х4 + е (1)422х2 + 042зх,2х^ + ек2 вт^о^

и к двум условиям связей

хз = к1х1, х4 = к2х2 — еЬ2зк^1 х1х2. (17)

Линейная часть системы (16) определяется коэффициентами

а\2 = Я (0) = ЛзЬ(А^1), а21 = — ~

Л(А^1)

1 г1/2

еЦАН) }_1!2

Ао1(х) X(х)йх, а,4з = —^з^А,

го

а41 = &а21 X(1/2) Z(г)Ш(г) йг, а,44 = —£5V4,

•/—^1

02 = &Х(1/2) [ Z(г)Ш(г) йг,

•} — ^1

/0 (• 0

Ш(г) йг + £4к1 X(1/2) Z(г)Ш(г) йг.

-%1 '1—^1

к

1

Нелинейные слагаемые в системе (16) содержат трехиндексные коэффициенты

Ъц2 = г"(0)/2 - ад/ь Ь222 = ~2Щ (^2(0)71 + (^(°))2/2),

0121 = —Z'(0)І2 / Z(0), 042з = &Х'(1/2)14,

б422 = |((Х'(1/2))2/6 + (Х(1/2))2/Г).

Определенные выше коэффициенты включают следующие интергралы:

^1/2 ,2__ т Г1/2 ^з

Г1'2 2 Г1'2 з

11 = / (Х'(х)) Х(х) йх, 12 = / (Х(х)) йх,

—1/2 —1/2

г1/2 г0 2

1з = / Ао1(х)Х(х) йх, 14 = / Z(г)(Ш(г)) йг,

^ — 1/2 J—« 1

г0 г0 2

15 = Z'(г)Ш'(г)Ш(г) йг, 16 = (Z(г))V(г) йг,

Г0 2

17 = [2\;(г)) V(г) йг.

•'—«1

В условиях связи (17) к\ = — к2 = —с,

Ь2з = — (Х ''(1/2) 14 — Х (1/2)) 15

где

1/2

а = J Х(х) йх, Ь = ! V(г) йг, о = —Х'(1/2) J Z(г)Ш(г) йг.

— 1/2 —«1

Условия связей (17) введем в систему (16) с помощью множителей Лагранжа. Условия связей показывают, что с точностью до е переменная хз пропорциональна х1 , а переменная х4 пропорциональна х2 , что позволяет перейти к системе двух дифференциальных уравнений вида

где

х^1 = Ь12х2 + е(н112)х1х2 + Е22 х2),

х2 = Ь21 х1 + Ь22х2 + к 1 в1п((ко 4) + е(К11)х‘^ + ^22х“2 + Е\_2 х1х2),

- к1 — ок2

'*'= (ТТ^г

Ъ12 = А12 + к2А14, Ь21 = А21 + к1А2з, Ь22 = 1^2А24,

Ь2а12 аЬ

л12 — О , ,П, ^14

(18)

а2 + Ь2 ^ а2 + Ь2 ’

(а21 — оа41) оа4з оа44

Л21 — -------Г-:----о----, ^23 — —-------О , ^24

2 2з — 2 24 — 2

1 + о2 1 + о2 1 + о2

Я 1 2 = — А 1 4Ь23к 1 + Г( 2 + к 1 4 3), 2 = к2Г{24\ = г02 ,

ЯП = Г11 + к1г33 + Ьг^2, в22 = г22 + к2г{24,

Яп = -А24Ь2зк1 + Т$к1к2, Но? = т$ + ,

(1) _ 0.6623044 (2) _ (2с2 — 1)6230.44 (3) _ а (1) (4) _ 2с&23044

г24 “ (а2 + Ъ2)(1 + с2)' гз4 - ГТ^2 ’ Г24 - “Г24 ’ Гз4 “ 1 + с2 '

Перейдем к линейной задаче

X1 = Ъ-\2Х2 ,

1 12 - , ^ (19)

Х2 = 1,21X1 + Ь22Х2 + вЩ^).

Линейную систему уравнений (19) преобразуем к одному уравнению второго порядка относительно Х1:

х1 + 2Кх 1 + х1 = Ql вш^с^)

или относительно Х2:

Х2 + 2Кх2 + Х2 = Q2 сов(^о^), где безразмерные коэффициенты К, , Ql, Q2 определяются выражениями

_ Ь22 _ С2 Е-Еу4 _

~ 2“ _ 20Тс^втъ

2 (Ьа12 + а,с)(Ьсо,41 — 0,21 Ь — аса4з)

^8 = ~-^12-^21 = --------, 9 , „и.—;—тр:----------,

в (а,2 + Ь2)(! + с2)

Ql = Ъ12 Ъ,1 Q2 = Ь,1Шо.

Запишем решение дифференциального уравнения при условии «малого сопротивления среды» (К < &в) в виде

х1 = С1в-Кг + С2) + а1 вт^о4 — /), (20)

- Г-2 а 2Ки>о

^1/3 =\Ы)%-К21 О! = ----- , tg р = -^2----Г2,

У Р ^(си2-си2)2+Ш2си2

где С1, С2 —постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям. Аналогично находится решение дифференциального уравнения для Х2.

Функции Х1 (4), Х2 (1), хз(Ь) — обобщенные координаты свободной поверхности, потенциала скоростей и прогиба упругой вставки соответственно, /1 = Х1, Я1 = Х2, 71 = хз. Обобщенные координаты Х1(1), Х2(1) определяются выражениями (20). Обобщенные координаты хз, Х4 находим из условий связи (17).

Как следует из выражений (15) движение свободной поверхности жидкости имеет вид

/(ж, £) = ^-СОЭ ^Ж + (/?сб(*)+/?вн(*)),

где в соответствии с формулой (20) собственные и вынужденные колебания свободной поверхности определяются выражениями

всб(4) = С\в-Кг + С2), ввн(4) = 01 вт(иог — в).

Прогиб упругой вставки ,ш(г,1) определяется аналогичным образом. При этом свободные колебания свободной поверхности жидкости ](х,Ь) и прогиба упругой вставки ,ш(г,1) совершаются с частотой &1в и декрементом затухания К. Возвращаясь к размерным величинам получаем декремент затухания в следующей форме:

К = В^, ио

где

_ ЕЛ( 4.73)4 2Ь/т{1 + 1/с2)

Приведем таблицу, которая позволяет судить о декременте затухания в зависимости от размеров сосуда, т. е. отношения Ь/Б. Остальные параметры в таблице фиксированы т = 4700 кг/м, ЕЛ =10 Нм2. Эти величины взяты из примера в [9].

h/B 0.289 0.347 0.404 0.5 1

D 4.408 2.494 1.5 0.724 0.057

Таким образом затухание процесса в гидроупругой системе «сосуд — жидкость — упругая вставка» определяется геометрическими параметрами сосуда и характеристиками упругой вставки.

Summary

B. A. Ershov, G. A. Kouteeva. Vibrations of ideal fluid inside a moving rectangular tank taking into account friction in material in elastic part on the wall.

The two-dimensional model of a rectangular tank filled with ideal incompressible fluid is considered. One of the tank walls has an elastic part. The tank is moved by harmomic law. The influence of the friction in material of the elastic part to the motion of the fluid of free fluid surface and elastic part is investigated.

Литература

1. Горшков А. Г., Морозов В. И., Пономарев А. Т., Шклярчук Ф. Н. Аэрогидроупругость конструкций. М., 2000. 591 с.

2. Ильгамов М. А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука, 1991. 195 c.

3. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями содержащими жидкость. М., 1965. 439 c.

4. Рапопорт И. М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. М., 1967. 340 c.

5. Faltinsen О. М., Rognebakke О. F., Lukovsky I., Timokha A. Multidimensional modal analysis of nonlinear sloshing // J. Fluid Mech. 2000. V. 407. P. 201-234.

6. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: 1958, 628 с.

7. Вибрации в технике: справочник. Т. 6. Защита от вибрации и ударов. М., 1981. 456 c.

8. Кутеева Г. А. Возмущенное движение жидкости в прямоугольном баке с упругой вставкой на стенке // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 1. (№1). С. 93-104.

9. Кутеева Г. А. Определение свободной поверхности жидкости в движущемся сосуде с упругой вставкой асимптотическим методом // Международная конференция по механике. Третьи Поляховские чтения. Избранные труды. СПб., 2003. С. 203-207.

10. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М., 1963. 584 с.

Статья поступила в редакцию 14 октября 2004 г.