Точно решаемые математические модели в нелинейной оптике Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ

И.В. Алименков

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Получены точные трехмерные решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих в различных приближениях прохождение линейно-поляризованного оптического излучения в нелинейном изотропном диэлектрике. Показано, что найденные трехмерные решения содержат в себе, как частный случай, известные двумерные решения.

Введение

Многие математические модели физических, технических, биологических задач могут быть описаны с помощью нелинейных уравнений в частных производных. Наиболее доступными для анализа являются решения в виде уединенных волн, не испытывающих дисперсионного уширения, и сохраняющих свою форму и скорость. Прогресс в изучении нелинейных уравнений в частных производных, достигнутый в последние десятилетия, представляется одним из самых важных и интересных достижений современной науки. Перечень практических приложений нелинейных уравнений и их решений в виде уединенных волн в настоящее время чрезвычайно обширен. Так, например, нелинейное уравнение Шредингера и связанные с ним уравнения описывают многие явления в нелинейной оптике, теории волн на глубокой воде, физике плазмы, физике низких температур, а комплексные уравнения типа Г инзбурга-Ландау находят применение в теории нелинейных волн, описывают на качественном, а иногда и на количественном уровне, такие явления, как фазовые переходы второго рода, сверхпроводимость, сверхтекучесть, конденсацию Бозе-Эйнштейна, жидкие кристаллы, зарождение турбулентности в гидродинамике и так далее. В одном пространственном и одном временном измерениях теория таких уравнений детально разработана. Известны также стационарные решения в двух пространственных измерениях. Большинство реальных систем требуют описания в трех пространственных измерениях, но на сегодняшний день не существует ни одного систематического метода нахождения трехмерных решений.

Единичные точные трехмерные решения некоторых сложных систем получены лишь благодаря изощренным приемам, приводящим к упрощению полевых уравнений, только для данных систем. Для подавляющего большинства реальных моделей приходится изучать общие свойства решений, не решая полевых уравнений.

Объектом исследования в данной статье являются нелинейные уравнения, описывающие комплексное скалярное поле в трехмерном пространстве на примере уравнений нелинейной оптики.

Целью работы является разработка прямого метода нахождения точных аналитических решений некоторых модельных эволюционных уравнений

для комплексного скалярного поля типа нелинейного уравнения Шредингера и волнового уравнения типа Гинзбурга-Ландау, когда естественной постановкой задачи является получение решений в виде модулированной периодической волны.

В данной работе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие в различных приближениях распространение оптического излучения в нелинейных изотропных средах. Получены точные трехмерные аналитические решения таких уравнений в виде уединенных волн. Для некоторых из рассматриваемых уравнений такие решения известны, однако они зависят всего от двух пространственных переменных, т.е. исходные уравнения, записанные в реальном трехмерном пространстве, редуцируются на пространство меньшей размерности, где разработаны методы решения таких уравнений.

Рассмотрим прохождение вдоль оси х линейно поляризованного оптического излучения через изотропный диэлектрик. Электрическое поле Е представим в виде произведения медленно меняющейся функции Е0 (г,/) и быстро осциллирующей функции в'('к°х-1, где к0 - модуль волнового вектора к0 направленного вдоль оси х, ю - циклическая частота, т.е.

Е(г, /) = Е0 (г, /) е (к°х).

Медленная изменяемость функции Е0 (г,/) означает, что мало ее относительное изменение на интервалах времени — 1/ю и расстояниях — 1 / к0. Входящие в Фурье-разложение этого поля волновые векторы распределены в небольшом интервале значений вокруг вектора к0, направленного вдоль оси х.

Для поля Е0 = (0,0, Е0) линейно поляризованного вдоль оси г получено [1] приближенное уравнение:

к

дЕ(

дх

0 +1 дЕ0

и д/

0|2 Е0= 0,(1)

где п(ю) - коэффициент нелинейности, и - групповая скорость 1/ и = dk0/dю , причем принято кд = (ю / с)2 е(ю) согласно линейной теории, е(ю) -линейная проницаемость среды.

Следуя [1], рассмотрим стационарную задачу о пространственном развитии возмущений вдоль направления распространения волны, т. е. рассмотрим уравнение

дЕ

І2К-Х- + У2угЕ0 +2ПЕ0\ Е0 = 0.

(2)

Приведем вкратце некоторые известные результаты.

Если считать, что поле Е зависит только от одной поперечной координаты у, то (2) упрощается:

‘2к0 ~Е0 + + 2П 1ЕоГ Е0 = 0-

дх ду

(3)

Решение этого уравнения в виде Ео = Р(у)/<х , (4)

где у - малая поправка к волновому вектору к0 Ду) - вещественная функция, найдено в [1]:

Р (у) = ■

У2тУ П ((А у)

ск

Решение имеет смысл при положительных значениях у . Тогда (4) принимает вид:

Ео =

ек

ехр {/ух} .

(5)

Таким образом, уравнение (3) допускает решение в виде стационарного нерасширяющегося пучка (отвлекаясь от того обстоятельства, что пучок имеет бесконечную ширину в направлении оси г). Такое самоканалирование или самофокусировка - специфический нелинейный эффект, возникающий на частоте ю первичной волны, проходящей через нелинейную среду. В линейной среде всякий ограниченный по сечению пучок расходится из-за дифракции. В нелинейной же среде дифракция может точно скомпенсироваться фокусирующими свойствами среды. Этот эффект возникает от кубичной нелинейности по полю Е, так как квадратичные члены содержат [1] частоты 2 ю и 0.

Обратим внимание на то, что уравнение (3) является нелинейным одномерным уравнением Шредин-гера, в котором роль времени играет х /2к0. Теория нелинейного одномерного уравнения Шредингера детально разработана [2]-[4]. Если записать его в форме [4]

ді дх'

(6)

то решение, представляющее собой уединенную волну, имеет вид [4]:

Ф = -

1 Ьх - (-1 Ь2 - а2)і

2 4

ек а(х - Ьі)

(7)

где а и Ь - произвольные константы.

Осциллирующая часть имеет огибающую

1/ск а(х - Ь/).

Если в (6) положить

Ф = Ео, і = х / 2ко, х = у, р = 2п ,

то получим уравнение (3). Проделав то же с (7), находим:

Ео =

1 и А и2 2\ х

—Ьу - (— Ь - а )------------

2 4 2ко

ека I у --Ьх-

1 2ко

(8)

Прямой подстановкой в уравнение (3) легко убедиться, что найденная функция (8) является его решением.

1. Точные трехмерные решения исходной математической модели В этой главе будут найдены точные решения уравнений (1) и (2) в аналитической форме, как функции трех пространственных переменных. Начнем с более простого уравнения (2):

дЕ

/2ко~д° + У2,*Ео + 2ПІЕо\ Ео = о.

(1.1)

Его решение ищем в виде

Ео =Ф( у, 2)в^х, (1.2)

где ф(у, х) - вещественная функция, у - малая поправка к волновому вектору к0 Подстановка (1.2) в (1.1) дает

Уу ,х Ф = 2ко УФ- 2ПФ .

(1.3)

Будем искать решение уравнения (1.3) в виде сложной функции

ф = ф(и(у,г)) ,

где

Ьу (у - У0) + Ьг (г - г0)

и( у, X) =-

(1.4)

Здесь Ьу, Ьг, у0, г0 - произвольные постоянные. Подставляя ф = ф(и (у, г)), где и (у, г) определяется формулой (1.4), в (1.3), получим

ф" (и) = 2к0 уф(и) - 2пф3(и). (1.5)

Перепишем уравнение (1.5) в виде

дv (ф)

ф" (и)=-

дФ

где

V (ф) = ко уф2 -ПФ4 / 2 = Ф2( ко у -ПФ2 / 2).

(1.6)

(1.7)

«Потенциал» V (ф) положителен при

|ф| < ^2к0у / п и имеет нули ф1 = 0, ф2 = ^2к0у / п, ф3 = -у]2к0у / п , поэтому [5] граничными условиями для уравнения (1.3) примем

ф(у, г) = фг, / = 1,2,3; дф / ду = дф / дг = 0

при у|=®, |г|=® .

Так как

дф / ду = ф'(и)а/4 а2 + Ь2,

дф / дг = ф'(и)Ь/л/ а2 + Ь2, то из граничных условий следует, что ф'(и) = 0 при

|и|=®.

Умножим (1.6) на ф'(и) и проинтегрируем. По-

лучим

ф'2(и)

2

= V (ф) + С .

Из граничных условий следует, что С=0. Интегрируя еще раз, находим

ё ф

=и

или с учетом (1.4) и (1.7)

| ё ф = Ьу(у - у0) + Ьг (г - г0)

ф4 2к0 У-Пф2 + Ьг2

Вычисляя интеграл [6] и обращая полученное выражение, имеем

ф( у, г) =

У2к0 У / п

ск

Т2^ (Ьу (у - (0) + Ьг (г - г0)))^у2 + Ьг2

В силу симметрии уравнений (1.3) и (1.5) относительно преобразования ф -о -ф , решением будет

также фа = -ф . Очевидно, что

|ф| ^2к0У / п .

Итак, окончательно решение (1.2) имеет вид:

Е0( х, у, г) =

= ±42к0У / п ехр {/ух}

ск

(Ьу(у - (0) + Ьг (г - г0))

(1.8)

Полагая здесь Ьг=0, у0=0, получим известное решение (5), модуль которого зависит только от одной поперечной координаты у.

В решении (1.8), как и в (5), учтена только продольная поправка у к волновому вектору к0. Решение, учитывающее поперечные поправки чу и чг, запишем в виде:

Е0 = ф(у, г) ехр {/(ух + <зуу + чгг)},

где ф( у, г) - вещественная функция. Подстановка (1.9) в (1.1) дает

(1.9)

-2к0 Уф + V2, г ф + г2

дф

Чу Ту +

дф

дг

( + Чу )ф + 2пф3 = 0.

Приравнивая к нулю мнимую и вещественную части этого уравнения, получим:

дф дф

Чу ду+ч2 т. = 0;

ду дг

(1.10)

V2,гф = (2к0У + Чу + Чг2 )ф - 2пф3 .

(1.11)

Уравнения (1.10) и (1.11) совместны, так как

(1.10) является линейным однородным уравнением первого порядка, теория которых хорошо разработана [7]. Как известно из теории таких уравнений, решением уравнения (1.10) является любая дифференцируемая функция ф = ф((у,г)), где s(y,г) -

полный интеграл уравнения

дs дs Л

Чут:+= °.

ду дг

(1.12)

Для нахождения полного интеграла этого уравнения применим метод уравнений характеристик (метод Коши) [7]:

ёу ёг ёг а.

— = — или — = — .

Чу Чг ёу Чу

Решение последнего уравнения при начальном условии г( у0) = г0 имеет вид:

г = —(у - у0) + г0.

Чу

Выражаем отсюда г0 = у(у, у0, г):

г0 = г-—(у-у0) .

Чу

Искомый полный интеграл имеет вид:

5( у, г) = Ьу( у, у0, г) + Ь

или

5(y, г) = Ь (г - (у -у0)Ч. / Чу )+ Ь0,

где Ь и Ь0 - произвольные постоянные.

Аддитивную произвольную постоянную Ь0 выберем в виде Ь0=-Ьг0. Тогда

s(У, г) = Ь (г - г0 - (у -у0)Чг /Чу ) =

или, приводя к общему знаменателю и обозначая Ь/чу = с, окончательно находим

5( ^ г) = с [Чу (г - г0) - Чг (у - у0) ] .

(1.13)

Прямой подстановкой (1.13) в (1.12) легко убедиться, что (1.13) является решением уравнения (1.12).

Теперь подставим ф = ф((у,г)), где 5(у,г) выражается формулой (1.13), в уравнение (1.11)

Ф"(5)е (Чу + чг) =

= (2ко У + ду, + чХ )ф(5) - 2ПФ3 (5)

Положим

1

(1.14)

■\1дУ + д2

тогда (1.13) и (1.14) примут вид:

5(у, X) =

Чу(х - хо) - чг (у - уо)

^чУ+чї

ф"(5) = (2коу + чУ + Чг2 )ф(5) - 2ПФ3 (5). Перепишем (1.16) в виде: дV (ф)

ф" (5) = ■

дФ

(1.15)

(1.16)

(1.17)

где

V(ф) = (2коу + чУ + Ч2)ф2 /2-Пф4/2. Для краткости введем обозначение

а 2 = 2ко У + чУ + чг2.

Тогда

V(ф) = (а2 -пф2)ф2/2.

V (Ф),

(1.18)

(1.19)

\ф\ < а4^

«Потенциал» 'т'положителен при

ф, = 0, фу = а/*/п ф3 =-а/л/п

имеет нули ’ Т2 , 3 » 1 ,

этому граничными условиями для (1.11) примем

ф(у,г) = фг, / = 1, 2, 3; дф/ду = дф/дг = 0

и

по-

при у = го, X = ГО .

ф'(5)

и проинтегрируем, по-

Умножим (1.17) на лучим:

ф'2 /2 = V(ф) + С .

Из граничных условий следует, что С=о. Интегрируя еще раз, находим

Г ё Ф = 5

(Ф) ’

или с учетом (1.19)

С ё ф

ф^а2 -пФ

Вычисляя интеграл и обращая полученное выражение, имеем

2

Ф =

(12о)

Прямой подстановкой легко убедиться, что (1.20) является решением обыкновенного дифференциального уравнения

ф''(5) = а2ф(5) - 2пф3 (5).

В силу симметрии уравнений (1.11) и (1.21) относительно преобразования ф-о-ф , решением будет также фа = -ф .

Итак, с учетом (1.15) и (1.18) решение (1.9) принимает окончательный вид:

±4(2коУ + ч\ + чУ)/ П ехР { г(Ух + чуу + чгх)}

(1.22)

ек -|[ чу (х - хо)- чг (у - уо)]|

(2ко 7 +чуу + чгх)

(чУ + чУ)

Отметим тот факт, что решение в форме (1.22) не содержит в себе решения (1.8), имеющего две произвольные постоянные Ьу и Ьх .

Найдем теперь решение, в котором |Ео | зависит от всех трех пространственных координат, т.е.

Ео = /(г) егчг. (1.23)

Подставляя (1.23) в (1.1) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, имеем

дх

ко~ + чу— + ч^ — = о

дх

ду

Vу,/ = (2ко чх + чу + чХ)/ - 2/.

(1.24)

(1.25)

Так как ось х является направлением распространения волны, то запишем (1.24) в виде

д± + Чу_ (£_ + Чг_ д± = 0

дх к0 ду к0 дг

Это линейное однородное уравнение первого порядка имеет своим решением любую дифференцируемую функцию / = / («(г)) , где «(г) - полный интеграл уравнения

+ чу + чг = о

дх ко ду ко дх Его уравнения характеристик

(1.26)

ёу

ёх

ёх

1 чу / ко чх / ко

или

ёу = чу ёх ко

ёх

ёх

(1.21)

Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений при начальных условиях у(х0) = у0, г(х0) = г0 имеет решения

чу / ч Чг , ч

у = — (х - х0) + у0; г = ~~~ (х - х0) + г0,

откуда

чу Ґ Ч чг Ґ Ч

уо = у -Т~(х - хо); хо = х-~т(х - хо).

ко ко

Полный интеграл уравнения (1.26)

5(г) = Ьууо + Ьххо + Ьо

или

е =

Ео =

а

«(г) = Ьу

+ь,

Чу ( )

у - —(х - х0)

, к0 у

Л

г —у (х - х0) к0

+ Ь0

V л0

где Ьу, Ьг, Ь0 - произвольные постоянные. Положим Ь0 = -Ьуу0 - Ьгг0. Тогда \ Ч Л

«(г) = Ьу

у-у0 -Т“(х-х0) к

+ь,

0 у

Л

г - г0 —г~ (х - х0)

или

«(г) =-

Чу ( )

у -у0 , (х- х0)

В

Ьг I г - г0 - ~Т~ (х - х0)

(1.27)

В

где, в силу линейности уравнения (1.26), постоянная В введена для удобства.

Подставляя f=f («), где «(г) определяется формулой (1.27) в (1.25), находим

f" («) ( + ьу)/ в 2 =

= ( Чх + Ч2у + Чу ) У О - 2п/3 («).

Выберем В = ^Ь^ + Ьу , тогда

У"(«) = (2к0Чх + Ч2у + Чу ) ВО- 2п/3 («).

Вводя обозначение

а = д/2к0 Чх + Чу + Чу , последнее уравнение приводим к виду

f" («) = а 2 f («) - 2^ 3(«),

совпадающему с (1.21) и, следовательно, имеющему решение, согласно (1.20)

f (г) - ^

у[ц ск а«(г) где из (1.27)

Ьу [к0(у-у0) -Чу(х-х0)]

«(г) =-

к^Ь2у + ьу

Ьг [(г - г0) - Чг (х - х0)]

К^ьу + ьу

В силу симметрии (1.25) относительно преобразования f о - f, решением будет также fa = - f. Окончательно решение (1.23) принимает вид:

Е0 =■

ц/(2к0 Чх + Ч2у + Чу)/п ехР Йг}

ск |«(г^2к0Чх + чу; + чу}

(1.28)

Заметим, что решение (1.28) содержит в себе решение (1.8). Если в (1.28) положить чу = Чг = 0, а

Чх =у, то получим (1.8). Покажем, что (1.28) содержит и известное решение (8). Полагая в (1.28)

Ьг=0, у0 =х0=0, Чг=0, имеем

Е0 =

72к0Чх + Чу ехР {/(Чхх + Чуу)}

4цск

^2к0 Чх + Ч1 \ и - 4

Введем обозначение а = ^2к0 Чх + Ч

откуда

Чх = (а -Чу)/2к0. Тогда

а ехр <! /

Е0 =-

(а 2 - ч^2)УТ+Чуу

4цскс

у-

Чух

^0 у

Полагая здесь чу=Ь/2, получим (8).

Итак, для уравнения (1.1) мы нашли три точных решения, выражающихся формулами (1.8), (1.22) и (1.28), причем, при переходе к низшим размерностям (1.28) трансформируется в известные решения (5) и (8).

Представляет также интерес особый интеграл [7] уравнения (1.26), имеющий вид

«(г).

у-у0 -~т(х-х0)

+ 1 г-г0 -7г(х-х0)

нелинейной функции от пространственных переменных.

Подстановка f = f («) в (1.25) дает:

f ” («) + /М = а 2 f («) - 2пГ 3(«).

Точные аналитические решения этого обыкновенного дифференциального уравнения автору неизвестны, однако легко найти приближенное решение при больших значениях «, выраженных в единицах длин волн. Тогда вторым слагаемым в левой части последнего уравнения можно пренебречь, и мы получим уже известное уравнение:

f" («) = а 2 f («) - 2пГ 3(«),

имеющее решение f («(г)) =-----/ с нелинейной

ск а«(г)

функцией «(г).

Займемся теперь нестационарным решением уравнения (1):

+

іко|*1+і а

дх и ді

2 " (1.29)

+П (ю) Ео|2 Ео = о,

Функцию Ео (г, і) будем искать в виде

Ео(г,і) = /(г,іУчг, (13о)

где / (г, і) - вещественная функция, q - малая поправка к волновому вектору к0 . Подстановка (1.3о) в (1.29) дает:

' д/

і2ко| ^ + ічх/ +1 | + V2yг/ +

о 1 дх х и ді І ух

+г 21 Чу / + Ч дгЛ~ 4 + чУ)/ + 2п/3 = 0

Приравнивая к нулю мнимую и вещественную части этого уравнения, получим

, д/ к0 дf дf дf п

к0— + —— + Чу + Чг = 0,

дх и д/ у ду дг

V2yZ/- 2ко чх/- (чУ + чУ) / + 2П/3 = о

или

• + и--------------+

ді дх к

о ду

ко дх

= (2ко чх + чУ + чгУ) У - 2п/3.

Положим в (1.31) / = / (5(г,і)). Поскольку

(1.31)

(1.32)

^=/ ад І;

ді ді

^ = / ’(5) -

дх- дх

то, подставляя это в (1.31) и сокращая на /'(5), находим

д5 + и д5 + ичу д5 + ичх д5 = о

ко ду

ко дх

(1.33)

ді дх ко

Записываем уравнения характеристик для (1.33):

ёі ёх ёу ёх

1 = =

или

dx

■ = и;

ичу / ко ичг / ко dy = ичу ; dz

ичг

dі

dі

Х0 ш п-0

Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений при начальных условиях х(0) = х0 , у(0) = у0, г(0) = г0 элементарно интегрируется:

ичу ичг

х = и/ + х0; у = ——/ + у0; г =——/ + г0.

к0 к0

Выражаем отсюда начальные координаты

х0 = х - и/; у0 = у —Чу/; г0 = г - . (1.34)

к0 к0

Согласно методу Коши полный интеграл уравнения (1.33) имеет вид

«(г >0 = Ьхх0 + Ьуу0 + Ьгг0 + Ь0 ,

где Ьх, Ьу, Ьг - произвольные постоянные, Ь0 - аддитивная произвольная постоянная, а х0, у0 и г0 выражаются формулой (1.34), т.е.

ичу

5(г, і) = Ьх (х - иі) + Ьу | у —і

I Г ич2 '

х ——і

+ Ьх

+ Ьо.

^-о у

Аддитивную постоянную Ь0 выберем в виде

Ьо = -Ьххо -Ьууо -Ьххо .

Тогда

5(г, і) = Ьх (х - хо - иі) +

+Ьу

ич |

у

у - уо-^~і

V ко у

+ Ьх

ич2 , х - хо-ухі

ко у

что можно записать в векторной форме

«(г,/) = Ь (г - г0 - V/), (1.35)

где V = и + 5и± - вектор скорости с проекциями

V = (и; ичу /к0; ичг /к0). (1.36)

В силу линейности уравнения (1.33), его решение (1.35) можно умножить на любой числовой множитель 1/А, что сделано для дальнейшего удобства. Итак, окончательно полный интеграл уравнения (1.33) имеет вид:

«(г,/) = Ь(г-г0 - V/)/А . (1.37)

Решим теперь уравнение (1.32).

Подставляем /=/ («), где « - определяется формулой (1.37), в уравнение (1.32). Так как

д 2 /

= /”(5)ЬУ/А2, ^ = /"(5)ЬУ/Л2.,

д/ дх

то из (1.32) получим

/”(5) (ь2 + ЬУ )/л2 = = (2кочх + чу, + чг2) / (5) - 2П/3 (5)

(1.38)

Выберем Л =^ЬУ + Ьх? . Тогда (1.37) и (1.38) принимают вид

5 = Ь (г - го - уО/^/Ьу+Ьу , (1.39)

Г(«) = (2к0Чх + ЧУ + ЧУ)/(«)-2п/3(«). (1.40)

Введем, как и ранее, обозначение

а = 1/2к0Чх + ЧУ + Чу . Тогда (1.40) принимает вид:

/"(5) = а2/(^) - 2п/(«), совпадающий с уравнением (1.21), и, согласно (1.20), имеет решение:

а

/ (г, і) =

ч/цек (а5(г, і))

5о

где «(г, /) выражается формулой (1.39). В силу симметрии уравнений (1.32) и (1.40) относительно преобразования /^ -/ , решением будет также /а=-/

Окончательно решение (1.30) имеет вид:

Eg (Г, t) =-

+q2y + qy)/ n exp {qr}

yko qx + qy + qy by + b2

b(r - Го - vt)

2. Математическая модель нелинейного волнового уравнения

Уравнение (1) выведено в [1] при предположениях, что д2 Е0 / дх2 много меньше поперечных производных, а также, что можно воспользоваться приближенной формулой

£» = -ю2е(ю)Е - >ё (°Л(ю)) ТЕ0 е- *'.

д/2 ё ю д/

В этом разделе мы откажемся от этих предположений и выведем нелинейное волновое уравнение.

Рассмотрим прохождение интенсивного лазерного луча с частотой ю через прозрачный однородный изотропный диэлектрик с плавным распределением центрально-симметричных атомов с плотностью п атомов на кубический сантиметр.

Будем исходить из уравнений Максвелла, исключив из них магнитное поле [1]:

т, 1 д2 Б

гоШ! Е +— ----— = 0,

с2 д I2

div Б = 0.

Подставив сюда Б = Е + 4пР , где Р - вектор поляризации, получим:

rotrot E +

1 д2 E 4п д2 P

2 rs,2 2 rs,2

с дt с дt

= 0,

(У.1)

(У.У)

div Е + 4п div Р = 0.

Поляризацию Р представим в виде [3]:

Р = а:пЕ + а3п |Е|2 Е, (2.3)

где а: (ю) - линейная, а а3 (ю) - нелинейная поляризуемость.

Подстановка (2.3) в (2.1) и (2.2) даёт

а

2

rotrot e+су ^+(|2 e ) = o;

2

div E + 2y div IE|2 E = 0,

(2.4)

(2.5)

где a = 1 + 4nna1; у = 2nna3 /c . Для слабонелинейных диэлектриков у - малая величина. Воспользовавшись формулой

div f а = а grad f + f div a,

перепишем (У.5) в виде

а + 2y |e|2 Л div E + 2yE grad|E|2 = 0.

(2.б)

Пусть луч распространяется вдоль оси х. Поле Е будем искать в виде произведения быстро осциллирующей функции el(kox-fflt) и медленно меняющейся функции Е0 (r,t), т.е.

E (г, t) = E0(r, t) е( ko х-fflt\

Тогда в (2.6) последним слагаемым можно пренебречь, так как 2уEgrad|e|2 = 2уEgrad|E0|2 является малой величиной за счёт производных от медленно меняющейся функции Е0 (г, t) и дополнительно мала в силу малости коэффициента нелинейности у. Следовательно, из (2.6) имеем

divE и 0 , т.е. поле остается поперечным, как в линейной теории. Далее

rot rot E = grad div E -V2E и -V2E,

2 E el(k0x-®?

Eo Eoe

и -2Yro2 |E0|2 E0 el(kox-fflt) = -2Yra2 |E|2 E. Тогда (2.4) примет вид:

а д E -V2E - 2n |E|2 E = 0,

с2 dt2

(2.7)

где n = Yro .

Пусть поле Е поляризовано вдоль оси z, т.е.

Е= (0,0,Е). Тогда, подставляя E = £0(г, t) e уравнение

l (kg x-ю?)

а д2E с2 dt2

получим 2

-V2E-2n|E|2 E = 0,

а LEt-Vу Eo +

с2 Сі

[ 2 аю2Л

ko--------Г

Eo -

-2n|Eo|2 Eg - І У

аю dE0 k dE0 + k.

dt

dx

(2.В)

= 0

Функцию E0 (r, t) ищем в виде Eg (г, t) =ф(г, t) elqr,

(2.9)

где ф(г, і) - вещественная функция, q - малая поправка к волновому вектору ко =(ко ,о,о). Подставляя (2.9) в (2.8) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, находим

дф с21о дф с2 _ ч

— +-------------+-----(qVф) = 0,

dt аю dx аю

(У. 10)

а д2ф

—тг ^2ф+

е2 ді2

12 2 ^і аю

ко + ч + 2ко чх г

2

(2.11)

ф- 2пФ = о.

Уравнения (2.Ю) и (2.11) совместны, так как

(2.10) является линейным однородным уравнением первого порядка. Как известно из теории таких уравнений [7], решением уравнения (2.1о) является любая дважды дифференцируемая функция Ф = ф(5), где 5(г, і) - полный интеграл уравнения

(2.10), если в нем ф заменить на 5.

Раскрывая скалярное произведение (qVф), перепишем (2.1о) в виде

дф

"дТ

( „2

____о+е чх

аю аю

дф

дх

+ еЧ 5ф+ дф = о

(2.12)

аю ду аю дг Заметим, что каждый множитель перед дф / дхг имеет размерность скорости, и примем обозначения

с2 к0

• = ио

е 2 чх

= дих

е 2 ч

= 5и

е2 чг

(2.13)

у’

= 8и,

аю аю

Тогда (2.12) можно записать в векторной форме

^ + (uVф) = о.

ді

(2.14)

где и = ио +5и , с проекциями на оси координат

ио = (и0 ,о, о), 5и = (5их, 5иу, Ъиг), и = (ио +8их, 5иу, 5и2)

Положим ф = ф(5) .

дф д5

Поскольку -------= ф'(5) —, Vф = ф'(, то, под-

ді ді

ставляя это в (2.14) и сокращая на ф'(5), находим: д?

— + (и^) = о,

ді

или в развернутом виде:

д5 д5 д5 д5

----+ их— + ил.-+ и7— = о.

ді дх у ду дх

(2.15)

Запишем уравнения характеристик [7] для (2.15): dі dx dy <к

1

откуда

dx

dх

dy

= их; — = иу; — = и2

dг dг у dг

Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений элементарно интегрируется при начальных условиях х(0) = х0, у(0) = у0, г(0) = г0 :

х = их/ + х0, у = иу/ + у0, г = и+ г0.

Выражаем отсюда начальные координаты:

х0 = х - ихГ; у0 = у - иуГ; г0 = г -

Согласно методу Коши [7] полный интеграл уравнения (2.15) имеет вид:

« = Ьхх0 + Ьуу0 + Ьгг0 + Ь0,

где Ьх, Ьу, Ьг - произвольные постоянные, Ь0 - аддитивная произвольная постоянная, т. е.

« = Ьх (х - их/) + Ьу (у - иу/) + Ьг (г - и/) + Ь0 .

Аддитивную произвольную постоянную Ь0 выберем в виде

Ь0 = -Ьхх0 - Ьуу0 - Ьгг0 ,

тогда

« = Ьх (х - х0 - их/) +

+Ьу (у - у0 - иу/) + Ьг (г - г0 - иг/), что можно записать в векторной форме:

« = Ь (г - г0 - и /). (2.16)

В том, что (2.16) является решением уравнения

(2.15) легко убедиться прямой подстановкой.

В силу линейности уравнения (2.15) его решение

(2.16) можно умножить на любой числовой множитель 1/А , что сделано для дальнейшего удобства. Итак, окончательно

«(г, /) = Ь (г - г0 - и /)/А . (2.17)

Займемся теперь решением уравнения (2.11). Подставляя в уравнение (2.11) ф = ф(«), где « определяется формулой (2.17), находим:

ТФ = Ф'' (5) Л

ді2 Л

2

(Ьи)2 ,

V2ф = ф'' ( 5)-

2

ьУ + ьУ + ьУ

Л2

• = ф" (5)-

Л2

тогда (2.11) принимает вид: ф'' (5)

Л2

■~т(Ьи)2 -Ь2

+а ф(5)-2пф (5) = о, где принято обозначение

2 7 2 | 2.^7 2/2

а = ко + ч + 2кочх -аю /с .

(2.18)

(2.19)

Положим Л =4Ь2е2 -а(Ьи)2 / е. Тогда (2.17) и (2.18) примут вид:

еЬ (г - го - и і)

5(г, і) =

д/ь2е2 -а(Ьи)2

ф''(5) = а2ф(5) - 2пф3(5),

(2.20)

(2.21)

или

ф'' = д V (ф) / дф,

где

V(ф) = а2ф2 / 2-пф4 /2 = (а2 -пф2)ф2 /2 .

аю

2

Нулями функции V(ф) являются ф1 = 0, ф2 = а / у[ц и ф3 = -а / , поэтому граничными

условиями для (2.11) примем:

. 1 у 3 дф дф дф 0

ф = фг, /=1,2,3; — = —1- = —- = 0 дх ду дг

при |г| .

Уравнение (2.21) элементарно интегрируется. Умножив его на ф'(«) и проинтегрировав, получим

ф'2 / 2 = а2ф2 /2 - пф4 /2 + С1.

Из принятых граничных условий следует, что С = 0. Тогда

дф / д« = ф^/а2 - пф2, откуда

г ё ф

Фл/а2 -пф

Выполняя интегрирование и обращая полученное выражение, находим

- = 5.

ф = ф((г, і) ) =

ек (а5(г, і))

(2.22)

где а и «(г, /) определяются формулами (2.19) и

(2.20).

С учетом (2.20) приходим к выводу, что найденное решение (2.22) является гладкой функцией, локализованной вдоль направления г(/)=г0+и/ и его центр движется с постоянной скоростью и.

В силу симметрии уравнения (2.18) относительно преобразования фо-ф, решением будет также

фа = -ф .

Таким образом, огибающая, имеющая форму гиперболического секанса, модулирует монохроматическую несущую волну в последовательность БесЬ-импульсов, каждый из которых отклонен от оси х на угол

^(Ъи'у )2 + (5^ )2

Р = аг^-

ио + 8и‘х

і агС^

УІч У + (ч.2)-

Средняя скорость импульсов (и) = ио =

е2к о

направлена вдоль оси х.

Установим дисперсионное соотношение. Полный волновой вектор k=ko+q имеет проекции

(ко+Чх , Чу, Чг ) и равенство (2.19) записывается в виде

а 2 = (к0 + Чх )2 + ч2 + ч2 -аю2 / с2

или

2 ,2 2/2 а = к - аю / е .

С другой стороны, из (2.22)

Ео|тах = а ^ Отсюда а ^ >/л |Ео|т£

Ітах

ходим

(2.23) следует, что и из (2.23) на-

к2 =

аю

+ П Ео

что и является дисперсионным соотношением.

Установим область значений волнового вектора к, где среда обладает фокусирующими свойствами.

Во-первых, из (2.23) имеем:

а2 =

; 2 2 2 к е -аю

> о,

откуда

кс > >/аю . (2.24)

Во-вторых, скорость движения огибающей и должна быть меньше скорости света в вакууме:

и = ио +5и =

е2к

аю

аю аю

-(к о + q) = ■

е2к

аю

следовательно, е2 к / аю<е, откуда:

ке < аю. (2.25)

Объединяя (2.24) и (2.25), имеем:

•ч/аю / е < к < аю / е.

Это и есть дозволенная область значений волнового вектора.

Функция 5(г, і) из (2.2о) должна быть вещественной. Следовательно,

Ь2е2 -а(Ьи)2 > о или

Ь2с2 - аЬ2и2 соэ2 (ЬАи) > о.

Учитывая, что

и = с2к/аю, отсюда имеем кс<-\/аю/|соБ(Ьли)|. Разрешая это неравенство совместно с (2.25) находим |соБ(Ьли)| < 1/л/а, что можно записать в виде

|Ьи|/Ьи < 1/^/а, или |Ьк|/Ьк < 1/-\/а .

Последнее неравенство налагает ограничение на произвольные постоянные Ьх, Ьу, Ьг.

Заключение

Разработан прямой метод решения модельных эволюционных уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера и волнового уравнения типа Гинзбурга-Ландау на примере уравнений нелинейной оптики.

Найдены точные решения нелинейного уравнения Шредингера в виде гладких стационарных и нестационарных функций, содержащих полные интегралы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка.

Из уравнений Максвелла выведено нелинейное волновое уравнение типа Гинзбурга-Ландау, описывающее распространение оптического излучения в нелинейном однородном изотропном диэлектрике, и найдены его точные аналитические решения для стационарного и нестационарного случаев.

Показано, что использование особого интеграла линейного однородного уравнения в частных произ-

2

е

к

о

водных первого порядка приводит к неавтономному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого найдены асимптотические и численные решения.

Огибающие всех найденных решений имеют форму гиперболического секанса, аргументом которого являются различные функции, порой достаточно громоздкие.

Благодарности Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, правительства Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE, REC N 14).

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // М.: «Наука», 1982.

2. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов // М.: Наука, 1986.

3. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения // М.: Мир, 1988.

4. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике // М.: Мир, 1989.

5. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля // М.: «Мир», 1985.

6. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы // М.: Наука, 1977.

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.