Нелинейное уравнение Шредингера в трех пространственных измерениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

нелинейное уравнение шредингера

В ТРЕХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

И.В. Алименков

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Найдены в аналитической форме гладкие решения нелинейного уравнения Шредингера в виде уединенных волн для случая трех пространственных измерений. Рассмотрено явление оптической самофокусировки.

Ключевые слова: нелинейное уравнение Шредингера, линейное однородное уравнение первого порядка, полный интеграл, уравнения характеристик, уединенные волны, оптическая самофокусировка.

Введение

Нелинейное уравнение Шредингера находит широкое применение в различных областях физики, например, в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости, физике низких температур. Для одного пространственного измерения теория нелинейного уравнения Шредингера детально разработана [1-3]. В этой статье рассматривается случай трехмерного пространства, т.е. изучается уравнение

і ду/д і + У2у + 2пу|у|2 = 0, (1)

где у (г, і) - комплексная функция, п - веществен-

ный параметр нелинейности.

Основной формализм Найдем «стационарные» решения вида: у (г ,і) = ф(гУЕі, (2)

где є - свободный параметр. Подставляя (2) в (1),

получим

V2ф-єф + 2пф|ф|2 = О .

(3)

Уравнение (3) допускает решения в классе вещественных функций, где оно принимает вид

У2р = ер- 2пф3. (4)

Будем искать решение уравнения (4) в виде сложной функции ф = р(и(г)), где и (г) = к(г - г0)/к . Здесь к - произвольная векторная постоянная

к = (кх, ку, кг) , к = ^к_2 + к2 + к] . Подстановка

р = р(и(г)) в (4) даёт

р" (и) = ер(и) - 2пр3(и). (5)

Перепишем (5) в виде р"(и) = дV(р)/ др ,

где V(р) = (е-пр2)р2/2 . «Потенциал» V(р) неотрицателен при |р| < ^/е / п и имеет нули

р1 = 0, р2 = -у/е / п, р3 = -^/е / п , поэтому [4] граничными условиями для (4) примем р(г) = р(, I = 1, 2, 3 ; др/ дх1 = 0 при |г|=да.

Так как др/ дх1 =р'(и)ди / дх1 =р'(и)к,. /к = 0 при | г |=®, то это означает, что р'(и) = 0 при | и |=».

Умножим последнее уравнение на ф'(и) и проинтегрируем. Получим ф'2 /2 = V(ф) + С . Из граничных условий следует, что С=0. Интегрируя ещё раз, находим

| ё ф/^ф) = и ,

или

г ё ф

ф

■ = k(r - Го)/к .

Пф

Вычисляя интеграл и обращая полученное выражение, имеем

ф(г) = -

ек (к (г - г0)/ к)

Очевидно |р| < л/е / п . В силу симметрии (4) и (5) относительно преобразования ро-р , решением будет также ра = -р. Итак, окончательно

у (г, 0 =-

ch ^Vek (г - г0)/ к) или, введя обозначение a = -у/є / n , ±a exp {ia 2nt}

откуда є = a n,

y(r, t) =-

ек [а^/цк (г - г0)/ к) Если п < 0 , т.е. п = -|п| , то (5) принимает вид ф''(и) = єф(и) + 2|п|ф3 (и),

или

ф"(u) = dV (ф)/ дф,

где

V (ф) = (ф2 +є/2-

/2.

Несингулярное решение последнего уравнения существует только при е< 0, т.е. е = -|е|,

р" (и) = 2 Щр3(и) -|е|р(и). (6)

Интегрируя (6) тем же способом, что и (5), полу-

d ф

^ г

Ч^ф2-N/2I n|

= k (г - Го)/к .

чим

ЗЗ

Вычисляя интеграл и обращая полученное выражение, находим

ф(г) = ±Л 2wth

2k (r - ro)/ к

Вводя обозначение ^\е\/2| п| = а, откуда

е = -2а2 Ш, окончательно имеем

у (r, t) = ±ath ^a^jn|k(r - r0)/ k exp |-/'2а2 |n| t}.

В классе комплексных функций решение уравнения (3) ищем в виде

ф(г) = f (r)ei?r, (7)

где f (r) - вещественная функция, q = (qx, qy, qz )-

свободный векторный параметр. Подставляя (7) в (3) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, находим

(qVf) = 0, (8)

V2 f = (q2 +е) f - 2nf3. (9)

Уравнения (8) и (9) совместны, т.к. (8) является линейным однородным уравнением первого порядка и, как известно [5] из теории таких уравнений, решением уравнения (8) является любая дифференцируемая функция f = f (s(r)), где s(r) - полный интеграл уравнения

(qVs) = 0 ,

или

ді ді ді

qx—+qL—+q, — = o.

.х x ^ J. у J. z

дx ду дz

(10)

Если одна из координатных осей, например ось х, является выделенной среди других, то выбираем переменную х в качестве параметра уравнений характеристик для (10), записав его в виде

— + Уу.—+ Як — = 0

дх дх ду дх дг Уравнения характеристик

йх _ йу _ йх 1 Чу / Ух Чг / Ух

или

йу = ч^ йг= йх ях йх дх

элементарно интегрируются при начальных условиях у( х0) = у0, 2 (х0) = г0-.

Чу / ч Чг , ч

у =----(х - х0) + у0, 2 = —(х - х0) + 2й.

Чх Чх

Для нахождения полного интеграла выражаем отсюда начальные данные

у0 = у - — (х - х0), г0 = 2 - (х - х0). (11)

Чх Чх

Согласно методу Коши [5], полный интеграл уравнения (10) имеет вид:

^(г) = кууй + кг20 + k0, где ку, кг - произвольные постоянные, к0 - аддитивная произвольная постоянная, а у0 и х0 выражаются формулой (11), т.е.

s(r) = ку

qy ( )

У-----------(x - x,)

qx

+ kz

z------- (x - x,)

qx

+ ko .

Аддитивную произвольную постоянную к0 выберем в виде

к0 =-куу0 - ^, тогда

s(r) = ку

У - Уо —-(x - xo) qx

+kz

z - z, —z- (x - x,)

qx

В силу линейности уравнения (10) его полный интеграл можно умножить на любой числовой множитель 1/С, что сделано для дальнейшего удобства. Итак,

s(r) =

ку ( у - Уо- (x - xo)qy/ qx)

C

kz (z - z, - (x- xo)qz /qx)

(l2)

C

Подставляя f = f (s(r)) в (9), получим

f'" ( s)

(kLqL +kzqz )2 + k2 + kz2

/ C2 =

(13)

= (q2 +е) f (s) - 2n/3(s).

Положим

C = V (kyqy+Kqz)2 + ql(kl + kz2) / qx ■ Тогда (12) и (13) примут вид:

, ч ky \qx(y->,o)-qy(x-xo)l

s(r) = ■ L :d= +

V(kyqy + kq)2 + ql (кУ + kZ)

+ kz [qx(z - zo) - qz(x - xo)]

(kyqy + kzqz )2 + ql (kl + kZ )

(l4)

(1З)

/"(5) = (д2 +е)/(5) - 2пТ3(5).

При п > 0 несингулярное решение уравнения (15) существует только, если д2 + е = а2. Тогда (15) примет вид:

/" (5) = а2 / (5) - 2п/3( 5), (16)

совпадающий по форме с уравнением (5). Повторяя ход решения уравнения (5), получим

±а/-/п

f (г) =

ch a s(r)

где *(г) выражается громоздкой формулой (14). Так как є = а2 - д2, то окончательно

У (г, і) = ±а 1^ехр (і 1> + (а2 - д 2)і ]} .

ек а г)

Если п<0 , т.е. п = —п , то несингулярное решение уравнения (15) существует только при д2 + є = -а2 и (15) принимает вид:

/'(*) = 2 |п| /3(*) - а2/(5), (17)

совпадающий по форме с уравнением (6). Интегрируя (17) тем же способом, что и (6), находим

f (г) = ±-

a , as(r)

rth-

Учитывая, что є = -(a2 + q2), окончательно имеем

у (r, t) = ±

th

as(r)

Ж.

{i [qr - (a2 + q2)tl} .

Нестационарные решения уравнения (1) будем искать в виде

у (г, і) = ф(г, і)ехр {/(г -юі + ф0)} , (18)

где ф(г, і) - вещественная функция, ч, ю и ф0 -свободные параметры. Подставляя (18) в (1) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, находим

дф / ді + 2(чУф) = 0, (19)

V^ = (q2 - ю)ф - 2пф3 .

(20)

Линейное однородное уравнение первого порядка (19) имеет своим решением любую дифференцируемую функцию ф = ф(*(г, і)), где *(г, і) - полный интеграл уравнения д* / ді + 2(чУ*) = 0 , или в развёрнутой форме

д* ( д* д* д* ^ л

Т,+1{д-ді*ч’іУ+д‘ ъГ0 (21)

Уравнения характеристик для (21) имеют вид

йі йх йу йг

1 2дх 2ду 22 ’

откуда

йх йу йх

— = 2дх, — = 2ду, — = 2д . йі йі йі

Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений элементарно интегрируется при начальных условиях х(0) = х0, у(0) = у0, г(0) = г0:

х = 2дхі + x0, у = 2дуі + у0, г = 2дгі + г0.

Выражаем отсюда начальные данные

Х0 = х - 2дхі, У0 = у - 2д і, г0 = х - 2д/ . (22)

Согласно методу Коши, полный интеграл уравнения (21) имеет вид:

5 = кхх0 + куу0 + кг20 + k0,

где кх, ку, кг - произвольные постоянные, к0 - аддитивная произвольная постоянная, а х0, у0, г0 -выражены согласно (22), т. е.

5 = кх (х - 2gxt) + ку (у - 2дyt) + к2 (2 - 2д^) + к, .

Аддитивную произвольную постоянную к0 выберем в виде

к0 =-кхх0 - куу0 - kzzo,

тогда

5 = кх (х - х0 - 2д^) + ку (у - у, - 2д^) +

+кг(2 - 20 - 2gzt), что можно записать в векторной форме

5 = к (г - г0 - 2qt). (23)

В силу линейности уравнения (21) его решение (23) можно умножить на любой числовой множитель 1/С, что сделано для дальнейшего удобства. Итак, окончательно

5(г, ^ = к (г - г0 - 2qt) / С . (24)

Подставляя р = р(5(г,t)) , где 5(г,t) - определяется формулой (24) в (20), получим

ф""(s) — = (q2 - ю)ф(s) - 2пф3 (s).

(2З)

Положим C = k = yjk2 + k2 + k2 . Тогда (24) и (25) примут вид

s(r, t) = к(r - r0 - 2qt)/ k, (26)

ф"(s) = (q2 - ю)ф(s) - 2пф3 (s). (27)

При n > 0 полагаем q2 -ю = a2 и (27) принимает вид:

ф"(s) = a2ф(s) - 2пф3 (s),

совпадающий с уравнением (16), и мы можем сразу записать его решение

( t) ±a ^ ±а ^

ф(г, t) =---------------------------------=- -Г .

chas(r,t) ch[ak(r-r0 -2qt)/k]

Так как ю = q2 - a2, то окончательно

±a exp {i \qr - (q2 - a2 )t + ф0 ]}

у(г, t) =-

yfn ch [ak(r - r0 - 2qt)/ к]

Если принять здесь q = (д, 0, 0), к=(к, 0, 0), то получим известное решение одномерного нелинейного уравнения Шредингера.

При п < 0, т.е. п = -|п| полагаем д2 -ю = -а2 и (27) принимает вид:

р"(5) = 21п|р3(5) - а2р(5)

2

совпадающий с уравнением (l7). Следовательно, ф(г,t) = —±Lrth-^s(r,t) =

л/ГН ^

= ±a ^ ak(r - r0 - 2qt) "

V2k

Учитывая, что ю= q + a , окончательно имеем

4,(r,t) = -±^,hak(r~r ~2qt> x

41 ’ 72П ^2k .

x exp {i \qr - (q2 + a 2)t + ф0 ]}

В приведенных решениях амплитудные функции имеют вид гиперболических секанса и тангенса, аргументами которых являются линейные функции s(r) или s(r,t). Для нахождения решений, зависящих от нелинейных функций s(r) или s(r,t) нужно вместо полных интегралов линейных однородных уравнений первого порядка использовать особые интегралы.

Проиллюстрируем сказанное на примере решений вида (18), сводящихся к уравнениям (19) и (20). Найдем особый интеграл уравнения (19). Для этого исключим стандартным способом [5] произвольные постоянные kx, ky, kz из полного интеграла (26). Дифференцируя (26) по kx, ky, kz и приравнивая производные к нулю, найдем

s(r,t) =

I------------2--------------2--------------Г (28)

= V (x - x0 - 24xt) + (y - y0 - 24yt) + (z - z0 - 2?z0 .

Подставив ф = ф( s) в (20), получим ф""(s) + 2ф (s) = a2ф- 2пф3 .

(29)

Аналитические решения этого обыкновенного дифференциального уравнения автору неизвестны, однако легко найти приближенное решение при больших значениях 5 (что является оправданным в нелинейной оптике, где расстояния измеряются в единицах длин волн). Тогда вторым слагаемым в левой части (29) можно пренебречь и получим уже знакомое уравнение

р" (5) = а2 р(5) - 2пр3 (5) , имеющее решение

р(г, t) =- ,

ек а5(г, t)

где 5(г,t) выражается формулой (28).

В стационарной теории оптической самофокусировки ключевую роль играет уравнение [6]

0E

i2k, ~дй + V ,zEo +2n| Eof E0 = 0;

(30)

где £0(г) - комплексная огибающая электрического поля, к0 - главная часть волнового вектора

к = (к0 + дх, ду, дх), дх, ду, дх - малые поправки к

к0 = (к0, 0,0), п - коэффициент нелинейности среды.

Уравнение (30) является «двумерным» нелинейным уравнением Шредингера, в котором роль «времени» играет х/2 к0. Другими словами, (30) записано на Ж3, тогда как (1) на Й.3+І.

Если искать решение в виде Eo(r) = f (r)eiqr,

(31)

где /(г) - вещественная функция, то подстановка (31) в (30) приводит к двум уравнениям:

, f cf cf .

ко— + qy^~ + qz = 0.

Cx

ду

dz

V2y, J = (2ko.

:+ qy + qz) f - 2nf .

(32)

(33)

Уравнение (32) имеет своим решением любую дифференцируемую функцию / = / («(г)), где 5(г) -полный или особый интеграл уравнения

Cs + Чу_ ds + q^ as = o

(34)

cX k0 ду k0 Cz

Полный s(r) и особый s0(r) интегралы уравне ния (34) найдены в [7]:

by [ko( у - Lo) - qy(x - xo)l

s(r) =-

bz [k0( Z - Z0) - qz (X - X0)]

(3З)

2

so(r) J у-Lo--xo)

(

2

Z - Zo -~r (x - Xo)

(36)

’*0 /

где х0 , уо , 20 - координаты центра пучка, Ьу, Ь2 -произвольные постоянные. Подстановка

/ = / (5 (г)) в (33) дает

/" (5) = (2к0 Чх + д2у + д2) / (5) - 2ц/3 (5).

Вводя обозначение

а = 4 2к0 Чх + ду: + д2,

последнее уравнение приводим к виду (16), имеющему решение

±а

f (r) =■

(37)

у[ц ека*(г)

Направим ось х через центр пучка. Тогда у0 = х0 = 0. С учетом (35) приходим к выводу, что вещественная огибающая (37) в любом сечении пучка х=евті является гладкой ограниченной функцией, быстро стремящейся к нулю при удалении от оси х по всем направлениям, кроме прямой у = е1 х + е2 , определяемой из уравнения *(г) =0,

вдоль которой поле остается постоянным. В центральном сечении х=х0 эта прямая имеет вид Ьуу + Ьгг = 0 . Таким образом, решение (37) описывает частично сфокусированный пучок.

Подстановка f = f (s0(r)) в (33) приводит к неавтономному уравнению

f"" (so) +

f '(so)

= a2 f (s,) - 2nf 3( s,),

(3В)

имеющему при больших значениях 5'0 (в единицах длин волн) асимптотическое решение

±а

f (so(r) ) =

yfn ch a s0(r)

(39)

которое в любом сечении пучка х=евт^ быстро стремится к нулю при удалении от оси х по всем направлениям, т.е. пучок является полностью сфокусированным. Однако, поскольку (39) является асимптотическим решением, остается открытым вопрос о поведении функции (39) вблизи центра пучка. Точное решение уравнения (38) не должно иметь сингулярностей, чтобы быть физически допустимым решением.

Для численного решения, уравнение (38) с помощью преобразования | = а50, / = -^и приво-

vn

дим к безразмерному виду u” (I) + ^ = u (I) - 2u 3(|).

(40)

На рис. 1 и 2 представлены численные решения уравнения (40) и их производные. Выходящие из начала координат кривые - графики производных и'(^) соответствующих решений и(|).

Из графиков следует, что решения уравнения (40) являются гладкими ограниченными функциями, асимптотически стремящимися к нулю, а также, что

уравнение (40) обладает симметрией относительно преобразования u ^ -u.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, правительства Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE, REC N 14).

Заключение

Найдены в аналитической форме гладкие решения нелинейного уравнения Шредингера в виде уединенных волн для случая трех пространственных измерений. Рассмотрено явление оптической

самофокусировки.

Литература

1. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д Гамильтонов подход в теории солитонов // М.: Наука, 1986.

2. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солито-ны и нелинейные волновые уравнения. М.: «Мир», 1988.

3. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике // М.: «Мир», 1989.

4. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля // М.: «Мир», 1985.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений //

М.: Государственное издательство технико-

теоретической литературы, 1953.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // М.: «Наука», 1982.

7. Алименков И.В. Точно решаемые математические модели в нелинейной оптике // Компьютерная оптика. 2005. № 28. С. 45.

О