Научная статья на тему 'Автомодуляция одномерных волн на основе нелинейного уравнения Шредингера с некерровской нелинейностью'

Автомодуляция одномерных волн на основе нелинейного уравнения Шредингера с некерровской нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
148
54
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Компьютерная оптика
Scopus
ВАК
RSCI
ESCI
Область наук
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА / НЕЛИНЕЙНОСТЬ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ / ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ / КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ / УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ / СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алименков Иван Васильевич

Показано, что нелинейное уравнение Шредингера с некерровской нелинейностью имеет решение в виде локализованного импульса, движущегося с постоянной скоростью без дисперсионного уширения. Данное решение найдено прямым методом, основанном на теории гамильтоновых систем, и содержит в себе, как частный случай, известное решение кубичного нелинейного уравнения Шредингера.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Алименков Иван Васильевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Автомодуляция одномерных волн на основе нелинейного уравнения Шредингера с некерровской нелинейностью»

АВТОМОДУЛЯЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С НЕКЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Иван Васильевич Алименков (доцент кафедры прикладной математики, e-mail: i-alimenkov@mail.ru) Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Показано, что нелинейное уравнение Шредингера с некерровской нелинейностью имеет решение в виде локализованного импульса, движущегося с постоянной скоростью без дисперсионного уширения. Данное решение найдено прямым методом, основанном на теории гамильтоновых систем, и содержит в себе, как частный случай, известное решение кубичного нелинейного уравнения Шредингера.

Ключевые слова: нелинейное уравнение Шредингера, нелинейность пятой степени, теория гамильтоновых систем, канонические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби, солитонные решения для степенной нелинейности.

Введение

Перечень физических приложений стандартного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)

idyl dt + Э 2yl dx2 + 2h\y\ \ = 0, описывающего в

общем случае эволюцию огибающей несущей квазимонохроматической волны в слабо нелинейной системе, и связанных с ним нелинейных уравнений в настоящее время чрезвычайно обширен, и вряд ли можно сомневаться в их физической значимости. Нелинейный кубический член \\\ в

различных физических моделях, описываемых этим уравнением, возникает обычно из степенно -

го разложения некоторой физической величины

2

nNL, зависящей от интенсивности I = y\ . Это разложение имеет вид:

n

(I) = n21 + n412 +.... = n 2\y" + n 4\y\4 +....

2

NL *

К примеру, в нелинейной оптике пщ^ - нелинейная часть показателя преломления п = п0 + пЩц. Стандартный безразмерный вид НУШ, приведенный выше, записан при учете наинизшего члена разло-

При этом коэффициент

жения n

■■n 21 = П2 \У

нелинейности г пропорционален п2 .

Функция нелинейного отклика системы яж(7) на внешнее воздействие несущей квазимонохро -матической волны в общем случае имеет сложный вид, определяемый конкретным физическим механизмом взаимодействия системы с полем несущей волны. Для нахождения явного вида яж(/) часто требуется квантовомеханический расчет, не позволяющий определить аналитическую зависимость функции отклика от интенсивности в широ -ком диапазоне. Функция отклика должна обладать двумя очевидными свойствами, а именно: обращаться в ноль при I = 0 и выходить на насыщение при I >>1. Степенное разложение, указанное выше, применимо при малых значениях интенсивно -сти, но даже в этом случае, если ось I является правой касательной к графику функции пж (I) в

нуле, то разложение начинается только с члена n412 = n4\y 4 , что приводит к НУШ

idyl dt +d 2yl dx 2 + 2r\\ \ = 0

с нелинейностью пятой степени.

Чтобы включить в решение и керровскую нелинейность третьей степени, рассмотрим более общее уравнение

idyldt + d2yldx2 + 2Гу\ \ = 0.

(1)

При V = 1 уравнение (1) очень хорошо изучено [1] и его решение имеет вид

ехр {[их/2 + (и2-ь2)/4 + ]}

y = A-

ch — (x - x0 - ut)

где и = 2А^. Здесь А,ь,х0,^0- свободные параметры.

Основной формализм Целью данной работы является решение уравнения (1) при произвольном V > 0 (не обязательно целом) прямым методом, основанном на теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и теории гамильтоновых систем. Подстановка полевой функции у вида

у = Лехр{(хь/2 -1д + ф0)}, (2)

где ь,3,ф0 - свободные параметры, в (1) приводит после отделения мнимой и вещественной частей к двум уравнениям

Ы Ы п

+ ь = 0, (3)

от ах

2IЦ - {^ I = a 212 - 8hV+2. dx2 I dx J '

где

= u2 - 4d

(4)

(5)

Уравнение (3) является линейным однородным уравнением первого порядка с детально разработан-

2

a

2009

Компьютерная оптика, том 33, №3

ной теорией [2]. Как известно из теории таких уравнений, общим решением (3) является любая дифференцируемая функция I = и(«(х, /)}, где s(x,/) - левая часть первого интеграла уравнения характеристик, имеющая, как легко проверить, вид

5 = X — Х0 .

Подстановка I = и(«) в (4) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

......~ (6)

преобразование

2u(s)u '(s) — u' 2(s) = a 2 u 2(s) — 8ruv+2(s)

Упрощающее масштабное

( 2 A a

1/v

f(t), t = as приводит (6) к виду

2f f — f 2 = f 2 — 8f v+2,

(7)

где / = 4/(г)/4г.

Как легко проверить, (7) следует из нормальной системы гамильтоновых уравнений

/ = дН / др/, р/ = —дН / д/ с функцией Гамильтона

H = — f|1 — 2pf I + fv+1/(v +1).

(8)

Решение уравнения (7) можно провести с помощью канонических преобразований и теории Га-мильтона-Якоби. Как следует из теоремы Якоби-Пуанкаре, если существует принадлежащая классу

С2 функция £(/, р, г), такая, что д 2 £ / д/др\ Ф 0, то преобразование (/, р/) « (д, р), генерируемое этой функцией: р/ = д£ / д/; д = д£ / др , является

каноническим, а новая функция Гамильтона имеет вид

Н(д, р, г) = Н(/(д, р, г), р/ (д, р, г), г}+

+-д£ (/ (д, р,г), р, г}.

дт

В теории канонических преобразований для двумерного фазового пространства можно исходить из четырех типов производящих функций [3]. Для дальнейших целей наиболее подходящей является функция Е = Я2(р/,д,г). Тогда явный вид преобразований найдется из разрешения уравнений

/■ дЕ дЕ

/=^—; р , (9)

др/ дд

а новая функция Гамильтона

Н(д, р, г) = Н(/(д, р, г), р/ (д, р, г), г}—

дЕ ( ( ) } . (10)

—^(р/д p,т), д,г}

дг

Перейдем от динамической системы {/, р/, Н } к представлению взаимодействия {д, р, Н }с помощью

производящей функции Е = 2дЛггИ4р/ — дг . Из уравнений (9) следует явный вид преобразований:

2 р + г.

f = 8qch 2

1 p + t

pf = — th--

f 4 2

(11)

(12)

а из (10) явный вид функции Гамильтона:

H = М^ ch 2(v+1) E±1 . v +1 2

На заключительном этапе совершим второе преобразование от {q, p, H} к {<2,P, H ° о}, откуда следует, что Q = const; P = const, а производящая функция преобразования F (p, Q,t) удовлетворяет уравнению H(dF / 5p, p,t) = dF / Эг. Теперь соотношения

q = dF / Bp, P = ЭF / Э2 (13)

в неявной форме задают первые интегралы гамиль-тоновой системы

q = ЭH /dp; p =—ЭH /Эq

(14)

Уравнение для производящей функции с учетом (12) имеет вид

(8ЭF / Эp )v+1 ch 2(v+1) Z±T = <F

(15)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п +1 2 дг

Покажем, что частное решение системы (14) для случая нулевых значений произвольных постоянных Q = 0, Р = 0 приводит к солитонному решению исходного уравнения (1). В этом случае производящую функцию можно представить в виде

Е (р, Q/г) = я (р,г) + Qh( р, г), (16)

ограничившись первой степенью по Q, имея в виду, что после составления уравнений (13) следует положить Q = 0, Р = 0 .

Подставляя (16) в (15) и удерживая только члены линейные по Q , находим

8v

v +1

f) + (v +1> (f

Q Э±

Эp

2(v+1)

ch

p + г

= ^g + Q ^

Эг Эг

отсюда следуют два уравнения для g и h:

8V+1 (jg)V+1 ch 2(v+1) p +t Jg v + 1 (Эp) 2 Эг'

8v+1|^gj dhch2(v+1) p + T =M

Э^ | Эp 2 Эг

Полагая g = g(p + г), из (17) находим

Эg (v +1)

1/v

Эp 81+1/v

ch

p + г

—2(1+1/v)

(17)

(18)

(19)

u =

r

2

2

Подстановка этого выражения в (18) приводит к линейному однородному уравнению первого порядка

дк дк

---(п +1)— = 0,

ат ар

простейшее нетривиальное решение которого имеет вид

к = p + (n + 1)t.

Соотношения (13) с учетом (16) дают:

q = *L + Q ^ . dp dp

(20)

P = к .

Полагая здесь Q = P = 0, с учетом (19) и (20), находим:

p = -(n + 1)t,

)1/П

-,1+1/n

q =

П1- (ck(nt/2))-2(1+1/n).

8

Подстановка последних двух формул в (11) дает решение исходной гамильтоновой системы с гамильтонианом (8):

f =

n +1

1/n

[ck(nt /2)]

-2/n .

(21)

pf = - — tk(nt/2)

Подстановка первой из этих формул в уравнение (7) обращает его в тождество.

Из приведенного выше масштабного преобразования и первой формулы (21) получается следующее выражение для интенсивности I :

I =

/ 2 \1/n

a (n +1)

8h

[ck(asn /2)]

l-2/n

Учитывая (5) и вводя обозначение a -= 8^A2v / (n +1), окончательно находим решение (2):

exp <i

y = A-

xu 2

V

A ln2^ n +1

t + <

f

ck

1/n

nAl

2h n +1

(x - x0 - ut)

которое является гладкой функцией, локализованной вдоль направления x(t) = x0 +ut, и представляет собой волновой пакет, движущийся без дисперсионного уширения с постоянной скоростью u. Очевидно, что при v = 1 последняя формула превращается в известное решение НУШ с кубичной нелинейностью [1].

Заключение Таким образом, модуляция нелинейной системой (со степенным по интенсивности откликом на квазигармоническое возмущение) несущей волны в последовательность локализованных импульсов, имеющих форму гиперболического секанса, возведенного в некоторую степень, является общей чертой НУШ с любой положительной степенью нелинейности.

Литература

1. Тахтаджян, Л. А., Гамильтонов подход в теории соли-тонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев // М.: «Наука», 1986. - 528с.

2. Степанов, В.В., Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. - 468с.

3. Шмутцер, Э., Основные принципы классической механики и классической теории поля / Э. Шмутцер, // М.: Мир, 1976. - 160с.

References

1. Takhtajan L.A., Faddeev L.D. Hamilton approach in theory of solitons. - Moscow: Nauka, 1986, - 528p.

2. Stepanov V.V. Course of differential equations. - Moscow: GITTL, 1953. - 468p.

3. Schmutzer E. Grundprinzipien der klassischen Mechanik und der klassischen Feldtheorie (kanonischer Apparat). - Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1973. - 160p.

4

8

AUTOMODULATION OF ONE-DIMENSIONAL WAVES BASED ON NONLINEAR SCHREDINGGER EQUATION WITH NON-KERR NONLIANERITY

Ivan V. Alimenkov (associatedprofessor, e-mail: i-alimenkov@mail.ru) S.P. Korolyov Samara State Aerospace University

Abstract

It is shown that nonlinear Schredinger equation with non-Kerr nonlinearity has a localized solution moving with constant velocity without dispersion. This solution is found by straight method based on Hamilton systems theory and it contains the well-known solution of cubic nonlinear Schredinger equation.

Key words: nonlinear Schredinger equation, nonlinearity 5Aorder, theory of Hamilton systems, canonical transformations, Hamilton-Jacoby equation, soliton solutions for degree nonlinearity.

В редакцию поступила 28.05.2009г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.