CC BY
26
УДК 621.373.826
О.В. Матусевич1, В.А. Трофимов2
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СОЛИТОНОВ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ*
В работе предложен численный метод нахождения СФ и СЗ нелинейного уравнения Шредин-гера в аксиально-симметричном случае. С помощью описанного метода также найдены оптические солитоны, понимаемые в физическом смысле, для различных значений коэффициента нелинейности. Как показано ранее в работах других авторов, подобные солитоны неустойчивы к малым возмущениям своей формы. Из-за многочисленных физических приложений рассматриваемой задачи широко обсуждаются в литературе способы достижения их стабилизации. Один из них заключается в реализации сильной модуляции нелинейности среды или даже смены знака нелинейности, что приводит к необходимости учета отраженной от неоднородностей волны и дополнительного анализа применимости математической модели. Нами показана принципиальная возможность стабилизации солитона за счет слабой модуляции коэффициента кубичной нелинейности, которая наряду с чередованием длины нелинейных слоев позволяет увеличить длину трассы без коллапса пучка в 70 раз.
Ключевые слова: нелинейное уравнение Шредингера, итерационный метод, собственная функция, собственное значение, солитон, фемтосекундный импульс.
Введение. Как известно, солитон представляет собой уединенную волну, не изменяющуюся в направлении распространения оптического излучения в среде. В связи с уникальными свойствами со-литонов им постоянно уделяется внимание в литературе при изучении нелинейного взаимодействия оптического излучения с веществом [1-24]. Однако использовать на практике солитоны в аксиально-симметричном случае сложно в связи с их неустойчивостью к начальному возмущению их формы. Поэтому для приложений актуальным является вопрос о принципиальной возможности стабилизации их неустойчивости на больших трассах. Этот вопрос широко обсуждается в литературе [7-24]. Так, в недавно выполненной работе [17] (см. также [16]) рассматривалось влияние периодически (скачкообразно) изменяемой расстройки волновых чисел двух взаимодействующих в среде с квадратичной нелинейностью волн ("mismatch management") на устойчивость распространения солитона, аналитическая форма которого известна [18]. Физически такое изменение расстройки волновых чисел соответствует периодическому обращению ориентации доменов в соответствующем сегнетоэлектрическом кристалле ("quasi-phase matching"). Подчеркнем также, что влияние периодической во времени модуляции коэффициента кубичной нелинейности ("Feshbach-resonance management", FRM) ранее анализировалось в [19] при рассмотрении одномерного бозе-эйнштейновского конденсата. При этом в работе [19] исследовался случай слабого возмущения нелинейности на частоте модуляции. В частности, была показана возможность расщепления первоначального солитона, являющегося таковым для среды без периодической модуляции кубической восприимчивости, на несколько солитонов неравной амплитуды. В двумерном случае FRM в режиме сильной модуляции позволяет стабилизировать солитоны по отношению к коллапсу и распаду [20, 21].
В отличие от этих работ в данной статье рассматривается влияние слабой модуляции кубичной нелинейности и варьирования ширины фокусирующих слоев на эволюцию солитона с целью его стабилизации. За счет специального подбора параметров модуляции коэффициента кубичной нелинейности удается стабилизировать солитон на большом расстоянии. Это позволяет существенно уменьшить амплитуду модуляций параметра нелинейности.
Для нахождения солитонов нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) был построен численный метод, позволяющий находить солитоны из широкого диапазона коэффициента нелинейности. В его основе лежит итерационный процесс, описанный в работах [25-27]. Основное отличие приведенного ниже метода заключается в том, что в аксиально-симметричном случае не удается построить симметричную матрицу для нахождения собственных значений НУШ, что повышает сложность алгоритма. Отметим, что в отличие от большинства работ, посвященных солитонным решениям НУШ, в данной
1Факультет ВМиК МГУ, м.н.с., e-mail:lmmfQcs.msu.su.
2Факультет ВМиК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-mail:vatroQcs.msu.su.
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-107).
статье задача их нахождения рассматривается на конечном отрезке. При этом описанный в статье метод позволяет найти известные в литературе солитоны, что говорит о корректности его работы.
И)А, Л + ж Л Л 2 0. О < г < Ьг, 0 < г < Ьг
(1)
Постановка задачи. Как известно, распространение оптического излучения в среде с кубичной нелинейностью в аксиально-симметричном случае описывается следующим нелинейным уравнением Шредингера [1-4]:
ЭА дх
Здесь г — нормированная на дифракционную длину 1Д = 2ка2 пучка основной волны продольная координата, к — волновое число, а — начальный радиус пучка, Дг = ^^ (г-^) — оператор Лапласа по координате г, измеряемой в единицах а, Б — коэффициент дифракции. В выбранной нормировке он равен 1, но оставлен в (1) для удобства проведения расчетов, а — коэффициент, характеризующий отношение начальной мощности импульса к характерной мощности самовоздействия, А(г, ¿) — комплексная амплитуда пучка, нормированная на квадратный корень из максимальной интенсивности оптического излучения на входе в нелинейную среду, Ьг — безразмерная длина нелинейной среды, Ьг — ее поперечный размер.
На входе в нелинейную среду задается начальное распределение импульса:
А(г, г = 0) = А0(г), 0 < г < Ьг. Граничные условия для уравнений системы (1) имеют вид
ЭА
дг
= О, А
= 0.
(2)
(3)
г=Ьг
Для нахождения собственных функций (СФ) уравнения (1) представим решение в виде
А(г, г) = и(г)е~гХг.
Подставляя эту функцию в исходное уравнение (1), получим следующую задачу на собственные значения (СЗ) [1, 2, 12, 24]:
£>Д,
■и
аи М = Хи,
ди
0 < г < Ьг, г— дг
= 0, и{Ьг) = 0.
(4)
Задача (4) имеет только вещественные СЗ и СФ. Действительно, умножим первое уравнение системы на и* и проинтегрируем полученное тождество от 0 до Ьг. Воспользовавшись интегрированием по частям и граничными условиями, получим следующее тождество:
Ьг / о \ ьг
с1и
йг
а|"|;г<!г=А./|"г
' о
Учитывая, что стоящие в правой и левой частях интегралы вещественны, получим, что А — вещественное. Следовательно, уравнение (4) — с вещественными коэффициентами. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать только действительные решения, и, значит, знак модуля в уравнении (4) можно опустить.
Разностная схема. Для решения задачи (4) введем, например, равномерную сетку:
Шг = {гк = (к + 0,5)Л,Г, к = 0, кг = ЬГ1{ЫГ + 0,5)}. Определим сеточную функцию и^ на шг: = и{гк) и разностный оператор Лапласа во внутренних
узлах сетки:
Л | и =
1
(гк +1 + гк)
ик+1 - ик Гк+1 - гк
(г к + Гк-1)
У'к - ик-1 г к ~ Гк-1
Схема 1. Разностная схема для уравнения (4) во внутренних узлах сетки запишется в следующем
виде:
ИА±и + аик = Хи^. (5)
Разностное уравнение (5) необходимо дополнить следующими условиями в граничных точках [31]:
/иг — ио
0,5/гН
сшп = А^о, и,]уг = 0.
Разностная схема (5) аппроксимирует уравнение (4) на отрезке (О, Ьг) с порядком 0{Ь%/г).
Так как записанная система уравнений нелинейна, то для ее разрешения запишем итерационный процесс:
г, А 8+1 « «+1 2 Ч1^1
ХМ_|_ и +а ик ик = А ик ;
к = 1,ЛГГ - 1,
5 — 0,2,1
Б
8+1 8+1 и 1 — Щ
0,5/г?
8+1 ®+18+1 а ио иа = X ио ,
я+1
= и.
(6)
Для реализации итерационного процесса необходимо задать значения функций на нулевой итерации (5 = 0). В качестве начального приближения выбирался гауссов пучок:
8 = 0
и =е-(г/г^
либо распределение в виде синуса:
8 = 0 _ . и ул — БИ!
/ жтг
т= 1,2,
(7)
(8)
Введем вектор ф = («о, и\, щ, ■ ■ •, и^г-1)- Тогда систему уравнений (6) можно представить в компактной форме
в н-1 в+1 н-1 д ф = \ ф ,
я
где Л
вещественная несимметричная трехдиагональная матрица
8
Л =
/ -21),,™
о о
\...........
сей.
Бр
(3)
а и 2
Вр^
ВрГ Ор?
а и ч
а«4
р( 1) = П + Гк-!
к гк(гк+1
(2)
1
(Пг + 1 - г/;)(г/;_Г;._1)' Р/г + 1 - - гку
Необходимо отметить, что даже при выборе равномерной сетки по координате г невозможно получить симметричную матрицу Л- Кроме того, исходя из физической постановки задачи, на каждой итерации
происходит нормировка вектора ф в соответствии с условием тах | ф^ | = 1.
з
Итерационный процесс завершается, если достигается условие
(з)
Гк+1 + гк
¡8+1 А
® I I ® I
А < е А
£,6 > 0.
(9)
Таким образом, задача нахождения функций и(г) сводится к нахождению СЗ и СФ матрицы Ля
Из-за несимметричности матрицы Л метод бисекции, используемый в [25, 26] для нахождения СЗ,
здесь применять нельзя. Поэтому СЗ вещественной несимметричной трехдиагональной матрицы Л
находятся с помощью С^Ы-алгоритма [28-30]. Заметим, что матрица Л уже имеет форму Хессенберга, что позволяет снизить сложность С^Ы-алгоритма до О(^), тем не менее это на порядок больше, чем
5+1
для симметричной матрицы. После этого находится т-я СФ, соответствующая т-му СЗ Ато, методом
обратной итерации [28, 29]. Как известно, QR-алгоритм и метод обратной итерации стандартны и реализованы во многих математических пакетах. Нами использовалась библиотека Intel MKL 9.1. Помимо условия (9) при вычислении СФ контролировалась также невязка решения в норме С:
Ф =
s+1 /s+143 s+1s+1
DAj_ ф +а(фк) - А фк
с
(10)
Эта характеристика важна именно для нахождения солитонного решения уравнения Шредингера. Она не должна превышать 10_6. При нахождении СФ разностной задачи (6) это требование может быть ослаблено.
С целью возможного уменьшения числа операций ниже рассматривается еще одна разностная схема, записанная для преобразованного уравнения. Это преобразование часто встречается на практике.
Схема 2. Для симметризации разностной схемы проведем замену V = ил/г. Подставив в уравнение (4), получим:
,й2у I) а о
.у3 = Аг>, 0 < г < Ьг, (И)
D
dr2 4г2 г-dv
v
dr 2 л/г
= 0, v{Lr) = 0.
(12)
Для вывода аппроксимации краевого условия в нуле воспользуемся методом, предложенным в [31]. Для этого домножим обе части уравнения (11) на л/г и проинтегрируем его по г от е до 2кг. Применив интегрирование по частям дважды и учитывая условие (12), перейдем к пределу при е —> 0, получим
D
2 hr
2 hr
v=2hr
2лДК~г
а
v=2hr
dr = А / л/rv dr.
о о
Аппроксимируя каждый из интегралов формулой прямоугольников, получим
ВлДьГ^
dr
D
r=2hr
2 hr
а
r=2hr
= 2 hr
r=h.r
(13)
r=h.r
Введем сетку шг = {гк = (к + 1)ЬГ, к = О, кг = ЬГ/(МГ + 1)}, на которой определим сеточную функцию г^: = у(гк) и стандартный оператор разностного дифференцирования в точке гк:
2ук + ук-1
Vk+l
h2
Для уравнения (11) можно записать следующую разностную схему:
s+l U Vfr '
D
"Щ
a s+i 2 S+1S+1 Vk + — Vk vk = A Vk, Гк
/,• I . : Vr ^ I .
Исходя из уравнения (13), граничные условия можно аппроксимировать следующим образом:
D
S+1
V2
s+1 ' «0
hrV2 2 hr
D s+i a s+i % s+is+i s+i —7=— Vi +— VQ Vq = A VQ , vNr = 0,
4л/2]г2 К
s — 0,2, i
(14)
Несмотря на то что во внутренних узлах сетки записанная разностная схема приводит к симметричной матрице, аппроксимация граничных условий (14) не позволяет записать симметричную матрицу для всех точек сетки. Это означает, что замена V = ил/г для данной аппроксимации граничных условий не улучшает свойств матрицы применительно к задачам на СФ и СЗ.
Результаты компьютерного моделирования. На основе схемы 1 найдены СФ, отвечающие первому СЗ, для которых невязка (10) не превышала 10_6. Важно подчеркнуть, что выбор начального приближения не влиял на сходимость итерационного процесса. В качестве примера на рис. 1 сплошной линией изображена СФ, построенная для области с радиусом I., 1 и числом точек сетки, равным Иг = 500, а также приведена аппроксимация СФ гауссовым пучком:
и гиперболическим секансом:
и(г) = Щфр)'
Как видно из рис. 1, найденная СФ имеет форму, отличающуюся от перечисленных выше. Однако она наиболее близка к гиперболическому секансу.
А(г,г = 0) 1,0 Ч
Рис. 1. Вид СФ (сплошная линия), соответствующей первому СЗ (А = 1,027) для I) = 0,1, а = 5, Ьг = 4 и ее аппроксимация гауссовым распределением (пунктир, гр = 0,39) и гиперболическим косинусом (точечная линия, гр = 0,23)
Зависимость частоты изменения однородной фазы Асотр солитона, соответствующего первому СЗ, от поперечного размера нелинейной среды Ь, при фиксированном значении коэффициента кубичной нелинейности и от значения коэффициента нелинейности а при фиксированной длине среды
Ьг, а Асотр (Ьг), а = 1 Асотр , Ьг = 10
1 -5,228 0,2049
2 -0,92 0,4109
4 0,07 0,8218
8 0,202 1,6436
16 0,205 3,2873
С целью подтверждения того, что найденная СФ является оптическим солитоном, распределение амплитуды, представленное на рис. 1, использовалось в качестве начального условия для уравнения (1). Поскольку безразмерный коэффициент дифракции меньше единицы, то распространение найденного пучка анализировалось на достаточно большой трассе: 0 ^ £ ^ 16. Заметим, что величина абсолютного изменения профиля интенсивности по сравнению с начальным распределением не превышала 10~6. Важно подчеркнуть, что расширение области по поперечной координате дополнением найденной СФ нулями не влияло на эволюцию профиля. Следовательно, найденная СФ действительно является оптическим солитоном в его физическом понимании.
Данный солитон называется таунсовым солитоном [1, 2] и для него не существует точного аналитического представления. Сделав замену (р(в) = я = получим решение, совпадающее с
таунсовым пучком, приведенным в работах [1, 2]. Это говорит о том, что численный метод, построенный на основе схемы 1, работает корректно.
Для практики отдельный интерес представляет изучение влияния длины отрезка Ьг на СЗ. Результаты компьютерных экспериментов, приведенных в таблице для ,0 = 1, показывают, что первое СЗ при увеличении Ьг также растет и его значение для указанных параметров стремится к 0,205 при кубичной нелинейности, равной а = 1. Расчеты для различных значений керровской нелинейности показали, что СЗ для первой СФ всегда стремятся к а/5, что иллюстрируется в таблице.
Построенный численный метод позволяет находить солитоны, соответствующие первому СЗ, для широкого диапазона коэффициентов кубичной нелинейности. В качестве примера на рис. 2 показаны солитоны, соответствующие изменению 2 ^ а ^ 15. Из него следует известный вывод: чем больше значение коэффициента кубичной нелинейности су, тем меньше ширина солитона.
Следует подчеркнуть, что нахождение СФ с номером, большим или равным 2, ограничено сходимостью итерационного метода при неизменном шаге интегрирования и длине среды. Так, вторую СФ возможно найти при а ^ 6. Для примера на рис. 3 приведена ее форма для а = 6. Однако она не является оптическим солитоном.
Как отмечалось в работах [7-15], аксиально-симметричные солитоны неустойчивы к малым начальным возмущениям их формы. Так, возмущения начальной интенсивности (меньшие 0,1%) могут вырасти до 3-5% на довольно небольшой трассе: х ^ 2 (рис. 4). Однако частичной стабилизации можно добиться с помощью слабой модуляции коэффициента нелинейности вдоль продольной координаты
Рис. 2. Вид солитонного решения, соответствующего первому СЗ для I) = 0,1, Ьг = 4 при различных значениях кубичной нелинейности: а = 2 (сплошная линия), 5 (пунктир), 10 (точечная линия) и 15 (штрихпунктир)
Рис. 3. Вид СФ, соответствующей второму СЗ (А = -0,6), для D = 1, а = 6. L, = 4
Рис. 4. Эволюция пиковой интенсивности пучка, имеющего на входе невозмущенную солитонную форму (сплошная линия) и с начальным возмущением интенсивности 0,1% (пунктир), 1% (точечная линия) для И = 0,1, а = 5, Ьг = 4
Рис. 5. Распространение пучка, имеющего на входе солитонную форму с начальным возмущением интенсивности 0,5% при постоянном (пунктир) и периодически изменяющемся (сплошная линия) коэффициенте кубичной нелинейности а для Б = 0,1, ао = 5. Ь, = 10, 6а = —0,05, си(а1} = 36, ш(а2) = 49
[7, 13, 14]. При этом максимальная интенсивность пучка осциллирует около некоторого критического значения. Один из способов полной стабилизации неустойчивых солитонов описан в [8]. В этой статье на основе компьютерного моделирования показано, что при использовании слоистой среды с чередующимися знаками коэффициента кубичной нелинейности (или одного знака, но с сильно различающимися коэффициентами самофокусировки) можно избежать коллапса импульса. В работах [9-11] предлагается другой способ — варьирование знака дисперсии оптического волновода. Поэтому методы нахождения солитонов в аксиально-симметричном случае важны для практики, несмотря на их неустойчивость.
Ниже мы рассматриваем еще один способ стабилизации неустойчивости — периодическую модуляцию керровской нелинейности вдоль направления распространения волны:
а = a(z) = ско(1 + sinu)az). (15)
Очевидно, она близка к случаю слоев с сильно различающимися значениями коэффициента нелинейности. Тем не менее имеются два существенных отличия. Первое из них заключается в том, что зависимость (15) не содержит разрывов в коэффициенте а. Второе отличие от работ [7, 13, 14] состоит в том, что ширина фокусирующих и дефокусирующих отрезков среды различна. Это достигается за счет выбора масштабирующего коэффициента синуса в виде:
{Ша \ Z € О^ \
(2) ^ о(2)
Ша , Z€ilz ■
Специальный выбор величин Ша \ Ша ^ позволяет добиться стабилизации возмущенного распространения солитона на довольно большой трассе Lz = 70, чего не удавалось получить другим способом. Результаты компьютерных экспериментов приведены на рис. 5. Как видно из рисунка, сначала пиковая интенсивность распространяющейся волны незначительно уменьшается (до Lz 30), а потом начинает возрастать. Это говорит о том, что полностью стабилизировать распространение солитона не удается, однако путем подбора параметров в (15) можно существенно увеличить длину среды, в которой возможно распространение возмущенного солитона. Этого может быть достаточно для практических приложений. Заметим, что при распространении возмущенного солитона пиковая интенсивность осциллирует из-за модуляции коэффициента самовоздействия. Однако, несмотря на ее осцилляции, форма солитона при распространении в нелинейной среде не разрушается. Для практики принципиально, что в обсуждаемом случае стабилизация солитона достигается при небольшой амплитуде осцилляций коэффициента керровской нелинейности. Это позволяет абстрагироваться от влияния волны, отраженной от неоднородностей коэффициента нелинейности. Важно подчеркнуть, что в литературе отсутствуют данные о возможности стабилизации солитона при столь слабой модуляции коэффициента нелинейности. Авторы упомянутых выше работ подчеркивают необходимость сильных изменений коэффициента нелинейности.
Следует обсудить физический механизм стабилизации солитона. Стабилизация за счет смены знака нелинейности очевидна: за самофокусировкой пучка следует его дефокусировка. В результате может быть достигнут баланс этих воздействий. В случае нелинейностей одного знака механизм стабилизации, на наш взгляд, заключается в следующем. Как известно, солитон характеризуется его максимальной интенсивностью и пространственным размером. Изменение нелинейности вдоль среды приводит к изменению максимальной интенсивности. В случае, например, ее уменьшения пучок будет расширяться, а значит, приобретет отрицательную кривизну волнового фронта и будет дефоку-сироваться. Затем при возрастании коэффициента нелинейности пучок будет приобретать волновой фронт с положительной кривизной. Так как мы используем модуляцию коэффициента нелинейности с разными пространственными периодами, то удается компенсировать как самофокусировку, так и подавить развитие неустойчивости на значительной трассе. Примечательно, что при этом используется небольшая амплитуда модуляции.
Заключение. В настоящей работе предложен метод расчета собственных значений нелинейного уравнения Шредингера в аксиально-симметричном случае, который позволяет, в частности, найти со-литонное решение. Это решение совпадает с известным в литературе солитонным решением данной задачи. Так как построенный солитон неустойчив, то для его стабилизации предложена слабая модуляция коэффициента нелинейности, ранее не обсуждавшаяся в литературе. Она позволяет, в частности, уменьшить инкремент возрастания возмущений в 70 раз.
Предложенный метод может быть обобщен на системы уравнений Шредингера, содержащих квадратичную и кубичную нелинейность одновременно. При этом необходимо учесть особенности нахождения солитонных решений, обсуждаемых в [25-27].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1997.
2. Chiao R. Y., Garmire Е., Townes С. Н. Self-trapping of optical beams // Phys. Rev. Lett. 1964. 13. N 15. P. 479-482.
3. Akhmediev N.N., Ankiewicz A. Solitons. Nonlinear pulses and beams. NY: Chapman & Hall, 1997.
4. Кившарь Ю.С., Агравал Г. П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. М.: Физмат лит, 2005.
5. Rozanov N.N., Fedorov S. V., Shatsev A.N. Incoherent weak coupling of laser solitons // Optics & Spectroscopy. 2007. 102. N 1. P. 83-85.
6. Розанов H. H. Непараксиальные диссипативные оптические солитоны // Квантовая электроника. 2000. 30. № И. С. 1005-1008.
7. Berge L., Mezentsev V.K., Rasmussen J. J., Christiansen P.L., Gaididei Y.B. Self-guiding light in layered nonlinear media // Opt. Lett. 2000. 25. N 14. P. 1037-1039.
8. Towers I., Malomed B. A. Stable (2+l)-dimensional solitons in a layered medium with sign-alternating Kerr nonlinearity // JOSA B. 2002. 19. N 3. P. 537-543.
9. Malomed B. A., Mihalache D., Wise F., Torner L. Spatiotemporal optical solitons//J. Opt. B. 2005. 7. N 5. P. 53-72.
10. Nijhof J.H.B., Doran N. J., Forysiak W., Knox F. M. Stable soliton-like propagation in dispersion managed systems with net anomalous, zero and normal dispersion // Electron. Lett. 1997. 33. N 20. P. 17261727.
11. Lakoba Т., Yang J., Каир D. J., Malomed B. A. Conditions for stationary pulse propagation in the strong dispersion management regime // Opt. Commun. 1998. 149. N 4-6. P. 366-375.
12. Moll K.D., Gaeta A.L., Fibich G. Self-similar optical wave collapse: observation of the Townes soliton // Phys. Rev. Lett. 2003. 90. N 20. P. 203902-1:4.
13. Montesinos G. D., Perez-Garcia V. M. Numerical studies of stabilized Townes solitons // Mathematics and Computers in Simulation. 2005. 69. N 5. P. 447-456.
14. Montesinos G. D., Perez-Garcia V. M., Torres P.J. Stabilization of solitons of the multidimensional nonlinear Schrodinger equation: matter-wave breathers // Physica D. 2004. 191. P. 193-210.
15. Mihalache D., Mazilu D., Malomed B.A., Lederer F., Crasovan L.-C., Kartashov Y.V., Torner L. Stable three-dimensional optical solitons supported by competing quadratic and self-focusing cubic nonlinearities // Phys. Rev. E. 2006. 74. N 4. P. 047601-1:4.
16. Malomed B. A. Soliton management in periodic systems. N.Y.: Springer, 2006.
17. Driben R., Oz Y., Malomed B. A. et al. Mismatch management for optical and matter-wave quadratic solitons // Phys. Rev. E. 2007. 75. P. 026612.
18. Карамзин Ю.Н., Сухорукое А. П. Нелинейное взаимодействие дифрагирующих световых пучков в среде с квадратичной нелинейностью, взаимофокусировка пучков и ограничение эффективности оптических преобразователей частоты // Письма в ЖЭТФ. 1974. 20. № 11. С. 734-739.
19. Sakaguchi Н., Malomed В. A. Resonant nonlinearity management for nonlinear Schrodinger solitons // Phys. Rev. E. 2004. 70. P. 066613.
20. Saito H., Ueda M. Dynamically stabilized bright solitons in a two-dimensional Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 2003. 90. P. 040403.
21. Abdullaev F.K., Caputo J. G., Kraenkel R. A., Malomed B. A. Controlling collapse in Bose-Einstein condensates by temporal modulation of the scattering length // Phys. Rev. A. 2003. 67. P. 013605.
22. Turitsyn S.K., Shapiro E.G. Dispersion-managed solitons in optical amplifier transmission systems with zero average dispersion // Opt. Lett. 1998. 23. N 9. P. 682-684.
23. Турицын С.К. Пространственная дисперсия нелинейности и устойчивость многомерных солитонов // Теоретическая и математическая физика. 1985. 64. № 2. С. 226-232.
24. Turitsyn S. К. Wave collapse and optical pulse compression // Phys. Rev. A. 1993. 47. N 1. P. 27-29.
25. Варенцова С. А., Трофимов В. А. О разностном методе нахождения собственных мод нелинейного уравнения Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 3. С. 16-22.
26. Trofimov V. A., Varentsova S.A. Computational method for finding of soliton solutions of a nonlinear Schrodinger equation // Lecture Notes in Mathematics / Ed. L. Vulkov. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. 3401. P. 550-557.
27. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Итерационный метод нахождения собственных функций системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью // ЖВМиМФ. 2008. 48. № 4. С. 713-724.
28. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.
29. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.
30. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
31. Самарский А. А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 21.05.08
