CC BY
27
МЕХАНИКА
УДК 532.516
РЕШЕНИЕ ЗДДАЧИ ОБТЕКАНИЯ СФЕРЫ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ С ОЦЕНКОЙ ПОГРЕШНОСТИ
В.М.Быков
Челябинский государственный университет
Получена оценка отклонения приближенного решения задачи обтекан произвольного тела от точного решения по норме, задаваемой интеграл Дирихле. Эта оценка справедлива при малых числах Рейнольдса с приближенных решений, достаточно быстро стремящихся в бесконечной к однородному потоку. Из соображений минимизации величины, оценивающ отклонение, отыскивается приближенное решение задачи обтекания сфер отменяющееся от точного на величину порядка О (-/Её). Доказывается, ч/ решение Стокса имеет отклонение не меньшего порядка малости. Отсю вытекает, что формула Стокса для коэффициента сопротивления имел относительную погрешность
1. Оценка погрешности решения общей задачи обтекания. Рассмотр: движение жидкости, обтекающей тело, ограниченное гладкой замкнут поверхностью 2. Область течения обозначим через О. Примем за едини длины некоторый характерный размер тела я, за единицу скорости — скорос потока за единицу плотности — плотность жидкости. Выберем нача координат внутри тела и направим ось хг по потоку. В этой системе коордив
задача обтекания тела имеет вид (массовые силы предполагаются потенциал ными)
18»
135
Ду - Ре V- ^у - Ие V р=0, (1.1)
(¡IV у=0, (1.2)
у|£ = 0, (1.3)
- е3 " (0.0.1). «Л
где Ие = — число Рейнольдса, V — кинематический коэффициент
вязкости.
Предположим, что кроме точного решения (узадачи (1.1) — (1.4) имеется приближенное решение (а,р") уравнения (1.1), точно удовлетворяющее уравнению несжимаемости (1.2) и условию прилипания (1.3). Тогда (а,р") является точным решением уравнения
Да - а-Уа - 1*е Чр' = Г, (1.5)
где ( — результат подстановки (а,р') в (1.1).
Обозначим и-у-я, д-р-р. Вычитая (1.5) из (1.1), получим для уравнение
Ли = Яе (и-Уи + а-Уи + и Уа + д) - I (1.6)
Кроме того, для и выполнены условия (1.2) и (1.3).
Рассмотрим сферу с центром в начале координат настолько большого
радиуса К, чтобы поверхность тела 2 содержалась внутри Область,
заключенную между X и обозначим через Умножив скалярно обе
части (1.6) на и и проинтегрировав по £2Я, получим
/ (Ди, и)с1У = Re /(и-Уи + а-Уи + « Уа + иуИ - / (Г.иуИ.
я я я
Для преобразования интегралов воспользуемся следующими тождествами, справедливыми при и=сИи у=0:
(Ди,и) = ±Д|и|2 - |Уи|2 ,
(и-Уи + а-VII,и) = ^ йЫ |и|2 (и + а), (и-Уа,и) = (м-У(а - е3),и) = <1Ь>(а - е^и)!! - (а - е^и-Уи),
и)=А\> д и.
Объемные интегралы от слагаемых, содержащих дивергенцию, преобразуем по формуле Гаусса в поверхностные, причем интегралы по 2 исчезают в силу (1.3). В итоге получим
- / |Уа|ЧУ =
Ч
= Яе /
х«
^|и|2(и + а,п) + (а - е3,и)(м,п) + <7(11,п)
£¿5 -
- Ие /(а - - /(1,в)йУ- (1.7)
136
Здесь п — единичный вектор внешней нормали к
В работе [1] при достаточно малых Яе было построено решение задачи (1.1) — (1.4), удовлетворяющее более сильным условиям на бесконечности, чем (1.4), а именно
0(г~1) всюду в области течения,
0(г~3) при х3 < 0, т.е. впереди тела, (! §)
|v - е,| =
0[р 2) при 0 s хг s р\ т.е. вне следа за телом,
р = 0{г~г) всюду. (1.9)
Здесь г = + х\ + х])1/г, р = (х\ + х\)>/2. Более того, для производных решения, построенного в [1], справедливы оценки
<9(r~v2) всюду в области течения, 0(Г3) при хг < О, <1Л0)
|W| =
0(р~3) при 0 £ х3 <s р2.
Требовать аналогичной асимптотики от приближенного решения нереалистично: например, решение Стокса задачи обтекания сферы [2, с.91] удовлетворяет не всем условиям (1.8) — (1.10).
Ограничимся более слабыми предположениями
ja - е3| = 0(г-1), (1.11)
/|а - е31\eya)dS -* 0 при /?-*<», (1.12)
| Va | = 0(г~ъп), (1.13)
/ | Va j 2dV < оо, (1.14)
а
р' - 0(г'г). (1.15)
Тогда разность (u,#)=(v-а,р-р') также удовлетворяет условиям (1.13) — (1.15), а (1.11) и (1.12) заменяются для и на
1"1 =
j |u|2(e3,n)d5 - 0 при R - (1.16)
Поэтому все поверхностные интегралы в (1.7) исчезают при Л-»», а объемные интегралы, кроме последнего, абсолютно сходятся. Отсюда следует, что и последний интеграл в (1.7) обязан сходиться, и справедливо тождество
J | Vu| 2dK=Re/(a-e3,n-Vu)dK+/(f,ii)dK (1.17)
a a Q
Из (1.11) ясно, что для приближенного решения а можно определить число
А ~ sup г|а - е,|. (1.18)
а
Тогда из оценки |(а - е3, u-Vu)| s ja - е3| |u| |Vu| < A |Vu|
137
и неравенства Коши-Буняковского следует, что
| / (а - еуи-ЧиуУ\2 * ^ ( /-^и^И )2 5
а
I 2
* Л2 fЩ~dУ /|Уи|Чу. (1.19)
г о
а
Первый интеграл в правой части (1.19) допускает оценку
* 4/|Уи|2^, (1.20)
^ а
в
поскольку условия (1.3), (1.14) для поля и и асимптотика (1.16) позволяют воспроизвести доказательство неравенства (1.20) из [3, с.24], где оно проведено для финитных векторных полей. После подстановки (1.20) в (1.19) и извлечения квадратного корня из обеих частей полученного неравенства имеем
I / (а - е3, и-Уи^К 1 5 2А /|Уи|^К (1.21)
I а 'о
Заметим, что из условий (1,3), (1.14) для поля и и неравенства (1.20) следует, что и принадлежит пространству Я(й) [3, с.45], а интеграл в правой части (1.20) есть квадрат нормы и в этом пространстве, которую мы будем обозначать || и||я . С учетом последнего замечания из (1.17) и <!.21) получаем
|| и|2 <24 Ие || „82 + /(Г, иУУ
а
откуда при Ке < (24)"' следует оценка
II «II/, * 1 — 24 Ие I (1'22) Если то в силу неравенства Коши-Буняковского
I /(Г,и>*И2 < ¡\г(\ЧУ / ^¿У. (1.23)
•о 1 а а г
Первый интеграл в правой части (1.23) есть квадрат нормы векторного поля ИГ в пространстве которую мы будем обозначать || гГ||2, а второй
оценивается согласно (1.20). Извлекая квадратный корень из обеих частей (1.23) и подставляя в (1.22), получаем
21| *|2
11 £ 1 - ТА & (1"24)
Во многих задачах (в частности, осесимметричных) удобнее оценивать интеграл (1.22) другим способом. Для поля скоростей а всегда можно подобрать давление р так, чтобы невязка Г удовлетворяла условиям
div N0, (1.25)
138
( f, n) I g = 0. (1.26)
Достаточно взять в- качестве р' решение внешней задачи Неймана
Ар' = - div (a-Va), (1.27)
Re^- |х = (Да,«) |г (1.28)
При условии (1.25) имеет смысл говорить о векторном потенциале невязки f, т.е. о векторном поле F, для которого rot F=f. Предположим, что векторный потенциал существует и принадлежит Ц(£2), т.е.
/ |F|2dV < оо. (1.29)
Q
Проинтегрируем по £2Д тождество (f,u) = (F, rot u) — diV(uxF) и применим теорему Гаусса:
/ (f,u)dV = / (F, roí u)dV - f (uxF,n)dS . (1.30)
c„ o. i„
я я я
По доказанному выше интеграл в левой части (1.30) сходится при R -» оо. Из условий (1.14) для и и (1.29) для F следует, что объемный интеграл в правой части (1.30) абсолютно сходится, поэтому поверхностный интеграл стремится к пределу L, который может быть равен только нулю, т.к. в противном случае при всех достаточно больших R
1М<
, /(uxF.nyds I £ J[u| |F|<1S
1/2 //•,„,, ,„\ 1/2
(1.31)
Согласно (1.16) JI u 12dS ограничен некоторой константой M, а тогда из (1.31)
¡2
следует неравенство J | F12dS < -щ при Я>/?0, что противоречит сходимости
интеграла (1.29). Переходя в (1.30) к пределу, получаем тождество
/ (f,u)dV = / (F/of u)dV. (1.32)
Q Q
Оценивая правую часть (1.32) по неравенству Коши-Буняковского, имеем
|/ {t,uW\ * II F II2 II rot u||2. (1.33)
Q
Покажем, что
II rot u||2 = II u||„. (1.34) Для этого установим более общее тождество, которое понадобится и в дальнейшем:
I rot w||2 = I w||fl, (1.35) где У w|| д — интеграл Дирихле
139
II - J>wl2<W (1.36)
Q
поле w удовлетворяет условиям (1.2), (1.14), (1.16) и граничному условию w = Яе, где А •» const, е — постоянный единичный вектор. Для такого
поля проинтегрируем тождество
|rot w|2 = |Vw|2 - diV(wVw) no Q^ и воспользуемся теоремой Гаусса:
| Jrot w|2dV = J| Vw12dV - /(w-Vw, n)dS. (1.37)
Объемные интегралы в (1.37) сходятся согласно (1.14). Покажем, что подынтегральное выражение поверхностного интеграла на сфере 2 равно нулю. Действительно, на поверхности сферы
w-Vw = AeVw = Aroi(wXe) = Arof(w - Ae)xe. (1.38)
Выбрав декартову систему координат с началом в произвольной точке £ и нормалью к сфере в качестве одной из осей, можно убедиться, что нормальная компонента поля (1.38) содержит производные от (w - Ае)хе только по касательным направлениям, а они фавны 0, т.к. (w — Ае) J г = 0. Поэтому поверхностный интеграл в (1.37) сводится к интегралу по а последний стремится к нулю при К-»« по тем же
соображениям, что были использованы при доказательстве (1.32). Тем самым (1.35) (а при Л - 0 —- и (1.34) ) доказано. Подставляя в (1.22) оценку (1.33), с учетом (1.34) получаем
. , 11 F|i*
■ "И" * гзтп*- «•»>
Заметим, что знаменатель правой части (1.39) имеет прозрачный
ar-vm | а - е3|
механический смысл: А • Re = sup —--- есть верхняя грань локаль-
а v
ньгх чисел Рейиольдса, определенных по расстоянию аг до начала координат и скорости течения | а - е31 относительно потока в бесконечности.
Неравенство (1.39) имеет место, если эта верхняя грань строго меньше ~ (и,
конечно, если Re настолько мало, что существует точное решение, обладающее свойствами (1.8)-(1.10) ).
2. Приближенные решения задачи обтекания сферы. Для осесимметричного течения невязка (1.5), удовлетворяющая условиям (1.25)-(1.26), имеет однозначную функцию тока Ф, связанную с f равенством
f - roi wrr? V (2Л)
где г, ft — cos в, <р — сферические координаты. Тем самым поле
140
Т г
- 1г1 - 0. (2.4)
л/Т^ и
является векторным потенциалом для Г Оценка (1.39) показывает, что для построения хороших приближенных решений нужно стремиться минимизировать | F||2 на выбранном классе полей а. Задача минимизации осложняется тем,
что F вместе с f зависит от а нелинейно. Выделим в f главную линейную часть — озееновскую невязку f0', получаемую заменой нелинейного слагаемого в (1.5) на главный член его асимптотики в бесконечности* согласно (1.11). Таким образом, f0s определяется уравнением
Да - Re e, Va - Re Vp0s = f°s (2.3)
и условиями (1.25)-(1.26) (для их выполнения р°' должно быть гармонической функцией, удовлетворяющей (1.28) ).
В задаче обтекания сферы (радиус которой принимается за единицу длины) поле скоростей а имеет функцию тока Ф, связанную с а равенством, аналогичным (2.1), и условие прилипания (1.3) для а выражается в виде
дЧ?, дг
Асимптотика (1.11) означает для функции тока, что Ф = (1 - ft1) + 0(r), dW
— = r(l - I*2) + O(l) при г-»». (2.5)
Для достаточно гладкого поля а функция тока разлагается в ряд
со
V(r,/0 = (1 - /X1) Jan{r) />», (2.6)
и— i
равномерно сходящийся в любом шаровом слое Qk вместе с нужным числом
производных. Здесь P'Jji) — производные полиномов Лежандра. Разложить
W в ряд (2.6) можно следующим образом. Для поля а построим, согласно 14], функцию F*, для которой rot rot F*г = а, разложим ее в ряд по полиномам Лежандра и воспользуемся отмеченным в [4] тождеством 2 3F+
Ч* = r(l - ft • Нетрудно проверить, что Да имеет функцию тока DV, д2 1 - ц2 д2
где D = + -j— j — оператор Стокса. Ее разложение в ряд (2.6)
имеет вид
DW(r,,0=(lV) , где (2.7)
п™ 1
Функция тока озееновской невязки (2.3) задается равенством
= DV-Re + i-fi! _ (lV)2 ba( 1) r'FJji), (2.8)
Л"1
а ее векторный потенциал — равенством
^ - тггг7-v а9)
Приближенное решение а ищется из условия минимальности || F°'||2 на классе векторных полей, для которых ряд (2.6) обрывается на фиксированном месте. Из (2.5) следует, что коэффициент а, (г) не может быть тождественным нулем,
так что простейшее решение из указанного класса должно иметь функцию тока вида
Ч> - (1 - и2) а^г). (2.10) Для поля а с функцией тока (2.10)
II F°'lll - f*( /I*, - + X ('"Vl2*)- (2Л1)
Рассмотрим (2.11) как функционал на пространстве функций в,€<?([!,«)), для которых оба интеграла в (2.11) сходятся. Уравнение Эйлера
(2 Rt2\
для этого функционала имеет вид ft", - -ц + -у I ft, = 0, где, согласно 2
(2.7), 6, = а", - -раг Его решение при граничных условиях, вытекающих из (2.4)-(2.5), единственно и задается равенством
ft, - (1 + ¿). » = (2.12)
откуда
«. - i с -1»+1; С + i) - С От]- <2-13»
Заметим, что первое слагаемое (2.13) соответствует безвихревому обтеканию. Для функции (2.13) и произвольной ее вариации да,, не нарушающей
граничных условий, имеем
F0s [a, + д«,]||2 - || F01 [a,]"2 =
8
=3*
2
' w ее \
fdb]dr+w2 f [¿(Г2 day]2dr+ [aft1(l)+-w]2--w2
... > -боте2. ( 2.14) 2 4
Подходящим выбором дв, можно показать, что правая часть неравенства
(2.14) является точной нижней гранью его левой части. Так как при да, * 0 интегралы в (2.14) положительны, то нижняя грань не достигается.
Подставляя1 в (2.14) значение
|| ^[и,]!» - Ьт> (1 + |и>), (2.15)
получаем, что на множестве векторных полей с функцией тока (2.10), удовлетворяющей условиям (2.4)-(2.5),
ш/|| Р01||2 = 6я*(1 + (2.16)
142
ш/1! = &ш(1 + (2.16)
Сравнение (2.16) с (2.15) показывает, что, несмотря на недостижимость нижней грани (2.16), главный член ее асимптотики при 1?е-»0 все же достигается на функции (2.13), и в этом смысле решение (2.13) оптимально.
Покажем теперь, что для решения (2.13) квадрат нормы векторного потенциала (2.2) полной невязки не превосходит аналогичной величины (2.15) для озееновской невязки. Запишем (1.5) в виде
Г = (Да — Не V р0') - Ее (а-Уа + У(р' - р0')) = Г, - Ке £г, соответственно Ф = Ф, - Ие Ф2 . Если а задано функцией тока (2.10), то'
Ф, = (1 -ц2) - й,(1)г-'), ft, = a", - j av (2.17) Для нахождения Ф2 заметим, что
rot t2 - rot a-Va = - roí (а X-mt л) - -откуда
ЯФ2 = 2р(1 - fi2) a¡ (Г2Ь,у. (2.18) Из условия (1.26) для f2 следует, что
Ф21,=1 = °> <2.19)
а из (1.29) — что
i
/ úr ¡Ф] (МО < 00. (2.20)
1 -i
Если r\r2bi)' G L2(1,oo), то с учетом асимптотики (2.5) задача (2.18)-(2.20) имеет единственное решение
Ф2 = 7fi{\ - ц2) <рг(г), (2.21) 1 "
<Р2(г) = - j fG(rj) a,(s) [í"2é,(í)] 'ds , (2.22)
5
i
где
r \s3 - S 2) при 1 !S S < r, (r3 - r'2)s~2 при 1 < Г S í.
Для поля (2.2) с функцией Ф = Ф, - Re Ф2 имеем
II * И 2 = |«(/»i - ^(ly-^dr + | Re2 J^). (2.23)
Первое слагаемое (2.23) совпадает с первым слагаемым (2.11).
Для оценки второго слагаемого запишем функцию (2.13) в виде
19*
143
afi) ^ (г3 - I - ^ [«"w(l + w) - «""(I + иг)]).
(2.24)
Так как e~w{\ + w) - e~w(l + wr) ~ J ze~'dz и при г г w
w
О < ze~* £ ze~", то при гг 1
О < e~*'(l+w)-e,"'(l+iw) s \ e"V - 1). (2.25)
at
Подставляя (2.25) в (2.24), получим
0 - l)2 (г + s e,(r) s ¿(r3 - 1) < ~ Поскольку G{rj) it 0 и для функции (2.12) [r~2hx(f)\' < 0»то
oe
О < <p2(r) rs - l- /С(м) j [j-2ft,(i)]•ds = \ r2[r-2a,(r)]'
i
и второе слагаемое (2.23) не превосходит второго слагаемого (2.11). Таким образом, для решения (2.13)
|| F ||2 £ &tw(l + (2.26)
Функция (2.22) допускает явное выражение через интегральную показательную функцию, из которого следует асимптотика при Re -* О
9 1 Re
|| F||2 - 6яИ1 - g" in- + 0(w)j, w -
Поэтому оценка (2.26) неулучшаема в главном члене асимптотики.
Для нахождения константы (1.18) заметим, что при любом фиксированном г > 1 для решения (2.13)
Зе"
max г|а - е3| = г"2 (l + — [e"w(l + w) - e_wr(l + wr)]) (2.27)
fi v iv /
достигается при ft = ±1 . Оценивая выражение в квадратной скобке согласно (2.25), получим
3
max r|a - ej| < ^(1 - г"2), t>
откуда
3
А = sup г|а - е3| = sup max г| а — е31 £ —. (2.28)
а r>\ ц L
Учитывая, что при фиксированном г и при w ■* 0 функция (2.27) стремится
3 1 2
К 2 ~ 2 Г можно заключить, .что оценка (2.28) неулучшаема среди оценок,
не зависящих от Re. Итак, приближенное решение а с функцией .тока (2.10), где а, (г) определено в (2.13), отклоняется от точного решения v задачи
(1.1)-(1.4) на величину
144
V2gRe 1 - 3Re
3 4 У
7J + J Re| • (2.29)
Здесь Re < ^ — любое число Рейнольдса, при котором существует решение,
обладающее свойствами (1.8)-(1.10). Сравним решение (2.13) с решением Стокса, которое также имеет функцию тока вида (2.10), где
s af(0 = + \ (2.30)
Для этого решения условия (1.11)-(1.15) выполнены, поэтому справедливы
3
тождество (1.17) и оценка (1.22) с константой А ~ Но интеграл (1.29)
для него расходится, и оценка (1.35) бессодержательна. Тем не менее можно дать оценку его отклонения от точного решения на основе (.2.29) и неравенства треугольника:
¡| v - as«¡|„ < | v - а||„ + || а - as'||„ s (2.31)
S
Ш5ё ( 3 4 п )2 (3 п
175 + 5 ReJ + [rR&¡ ■
Если вместо (2.10) рассматривать функции тока, ряд (2.6) которых обрывается не на первом, а на одном из последующих мест, то метод минимизации озееновской невязки даст новые приближенные решения. Они гораздо более громоздки, чем (2.13), и более близки к точному решению при каждом фиксированном Re, но норма их отклонения от точного решения имеет при Re -» 0 тот же порядок малости, что и (2.29), а именно 0(УгЯе). Поэтому такие решения принципиальной ценности не представляют и в данной работе не приводятся.
3. Вычисление силы сопротивления. Пусть V — решение задачи (1.1)-(1.4), удовлетворяющее условиям (1.8)-(1.10). Тогда = V — е3
удовлетворяет уравнению
А\¥ - Яе \7р = йе (3.1)
Умножим (3.1) скалярно на « и проинтегрируем по £2Я :
Г(Д\* - Re = Яе /(у-Ун-^И . (3.2)
а„ о,
я я
Для преобразования левой части (3.2) введем (в безразмерной форме) тензор скоростей деформаций
ДМ = (eiy). 2
1
'dwl dw^ dXj + dx¡
,и тензор напряжении
7-[w] = - рЕ + ¿ D[w], Е = (<5f/).
Из тождеств, справедливых при div w=0,
(Aw.w) = 2 div{v/-D[w]) - 2 |/>[w]|2, (Vp,w) = div pw = div(wpE)
145
следует (Aw - Re Vp,w) = Re div(w- 7[w]) - 2 |Z)[w] |2.
Так как подынтегральная функция в правой части (3.2) равна
^ div |w|2v, применение теоремы Гаусса к интегралам (3.2) дает Re /(w-riwl.nJdS - 2 J|D[w] \2dV = | Re /|w|2(v,n)dS.
¿+Г В S
я я я
Из (1.8)-(1.10) следует, что объемный интеграл сходится, а интегралы по 2Д стремятся к 0 при R-*<*>. Так как w| х - -е3, n | £ = -ег,
7"[w] = T[v], получаем тождество
Re (е3, / ГМе/tt) = 2 J|D|[w]2dK.
£ Q
Интеграл в левой части есть главный вектор силы, действующей со стороны жидкости на сферу а его скалярное произведение на е3 — компонента
2
F3 этой силы вдоль потока: F3 - — /1 £> [w] 12dV. Безразмерная сила F3
ке Q
связана с коэффициентом сопротивления С [5, с.463] равенством л
F3 = — С. Из тождества
2 |D[w]|2 = 2 |Vw|2 - |rot w|2 с учетом (1.35) -(1.36) получаем
2 ¡\DM\2dV = 2 i w||2 - f\rot w|2dV = i w||2 = H v|| q . a
откуда
c - ш I
Хорошо известна (см., например, £21, Í5J) формула Стокса С* = £
Re
справедливая для приближенного решения (2.30), но оценка отклонения этой величины от точного значения (3.3) в литературе не встречалась. Из неравенства треугольника для нормы (1.36) получаем
I II v||2 - II а||2 I < 2 « а||с » v - a||„ + || v - a||2. Подставив сюда решение (2.13) или (2.30) и соответственно оценку (2.29) или (2.31), получим с учетом (3.3) оценку | С - CSl |, из которой следует, что
с = g (i + ода).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Finn Я. On the exterior stationary problem for the Navier-Stokes equations, and associated perturbation problems // Arch. Rational Mech. Anal. 1965. V. 19, № 5. P.363-406.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. 4-е изд. M.: Наука, 1988. 736 с.
3. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е изд. М.: Наука, 1970. 288 с.
4. Быков В.М. Течения Стокса в шаре // Журн, прикл. механики и .техн. физики. 1980. № 5. С.65-70.
5. Лойцянский А.Г. Механика жидкости и газа. 4-е изд. М.: Наука, 1978. 736 с.
Получено 30.01.93
146
