CC BY
22
УДК 532.516 : 532.516.5
И. А. Строчков, А. А. Хватцев
РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Решение линеаризованной по Озеену плоской задачи гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости (НВЖ) записано в виде обобщенного потенциала плоскости, ядром которого служит потенциал простого слоя, содержащий функцию Макдональдса.
Для отыскания неизвестной плотности потенциала простого слоя получено линейное интегральное уравнение. Распределение давления в свою очередь определяется потенциалом простого слоя с плотностью потенциала, определенной линейным интегральным уравнением, зависящим от решения указанного выше интегрального уравнения. Предложен метод последовательных приближений, позволяющий уточнять решение задачи до достижения заданной точности.
В качестве примера приложения теории рассмотрено решение задачи гидродинамической теории смазки.
Ключевые слова: несжимаемая вязкая жидкость (НВЖ), плоская задача гидродинамики, проблемы гидродинамической теории смазки, линейные интегральные уравнения
§1. Рассмотрим задачу обтекания контура I однородным потоком несжимаемой
вязкой жидкости (НВЖ) с вектором скорости и(их; иу). Выберем декартову систему координат ХОУ с центром О внутри области О. ограниченной контуром / (рис. 1).
Рис. 1.
Запишем уравнения Навье — Стокса плоской задачи гидродинамики НВЖ:
(у У)у = - 1/ Р • Ур + уАУ
(11)
Шу у = 0 ' к ' ;
Граничные условия в рассматриваемой задаче могут быть записаны в виде
I/
у\ / = 0, V ^ й, р ^ Р0, Г ; г = д/ х2 + у2 . (1.2)
Серия «Естественные и физико-математические науки». 8/2016 Введем безразмерные переменные
* I 2 2 — — { \ и и у
V = иу , где и = д/их + иу и = и(а,р); а = —, р =—; (1.3)
у и и
Ух ~, Уу (1.7)
р = ри2р*, г = dг*(х*,у*) d = х* = ^, у* =
(далее «звёздочку» в обозначениях безразмерных переменных опускаем).
В новых переменных уравнения (1.1) и граничные условия (1.2) примут вид:
Дв(уУ)у = -Ур + Ау , div У = 0 (1.4)
V^ = 0, V ^ й(а,в), Р ^ Р1, г р\ = Р°2 .
ри (1.5)
Линеаризуем (1.4) по Озеену:
Яв(йУ)у = -Ур + Ау . (1. 6)
Введем функцию тока у с помощью соотношений
ду ду
-, У =--
ду у дх
и перепишем (1.6) и (1.7) в форме обобщенного уравнения Гельмгольца
Г д& „дО^ _ Яв а-+ в- = А& . (1.8)
у ду дх )
& = -Ау, & = (0,0,о), & = гогУ . (1.9)
Введём новую неизвестную функцию то(х, у) с помощью соотношений
& = &(х,у) = в?(ах+РУ)ет(х,у), 7 = —
V V г 2 . (1.10)
и приведём (1.8) к каноническому виду
Аа = уа . (1.11)
Решением уравнения (1.11), зависящим только от г и стремящимся к нулю при г ^ +<х>, является функция Макдональда
-г2г= ^ 1 ^ -1 . (1.12) Поэтому интегральное представление решения уравнения (1.8) имеет вид
1 г у1,
&(М) = 1Г в МРК0 (Ггм/)М(Р, (1.13)
п
I
где Чм? =а(хм-х?)+в(Ум-у?); гмр =^(хм—Хр)^+(Ум—Ур)^
*
ц(Р) — неизвестная плотность потенциала (1.13), Р е I, М е О .
При г ^ 0 функция Макдональда имеет логарифмическую особенность
K0 (r ) = n [ 1 ] + )
А при r ^ +<х>
(1.14)
K0 (r ^ - + { 1
e 1 +Е|
^7 (1.15)
Следовательно, (1.13) является обобщенным потенциалом типа потенциала простого слоя.
Запишем формальное решение уравнения Пуассона (1.9):
{ " \
1
у/(М)= — || П(Р)1п D
\'мр J
ds + y/Q
(1.16)
В (1.16) функция y 0 является решением уравнения
ДУ0 = 0 . (1.17)
В силу соотношений (1.13) и (1.15) Q ^ 0 при r ^ +<х> . Граничное условие (1.5) для скорости будет удовлетворено, если положить
Y 0 =ay -Px (1.18)
Тогда
1 я
л ^
í Л 1
D
г
V мр J
ds\i=px-ay\i
(1.19)
Решение линейного интегрального уравнения (1.19), в котором потенциал О
определяется соотношением (1.13), относительно плотности ) будем искать в виде многочлена Фурье
ц(0) = j(ak cosk0 + bk sinkQ),
k=0
где 0, 9e [0,2п] — полярный
угол.
Параметрические уравнения контура / в этом случае будут иметь вид
(1.20)
= x(0)
1у = y(0)'
Подставив соотношение (1.20) в выражения (1.13), (1.16) и (1.19), получим
M(M ) = jj (ak Ak (M) + bkBk (M)). (1.21)
k=0
Ak(M) = \ JJlnf—Ids JeTqpQK0 (yrPQ (eQ)+ у2 (eQ) cos (ep >10,.
7Г a I IV *га /
0
2 n
в.
(M)=-i-fjln — ds ÍeY4PQ K° ta Vx2(eQ)+y2(eQ)sin(eQ)dec
Для отыскания ак,Ьк разобьем отрезок [0,2п] на (2п +1) частей (по числу искомых коэффициентов) произвольным образом, например, точками
в =;, ; = 0,1, ..., 2п. 1 2п +1
Вычислим Ак (в1), Вк (в1) и подставим их в (1.21) и (1.19). В результате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ак,Ьк. Решив эту систему, найдём функцию тока (1.16), плотность потенциала (1.20), ротор скорости (1.13) и поле скоростей (1.7).
Вычислим теперь дивергенцию от обеих частей соотношения (1.6). В силу того,
что а и в являются постоянными числами, а V = 0 , получим, что
Ар = 0 . (1.22)
Умножая (1.6) скалярно на вектор п(пх,пу) — нормали к контуру I, запишем
Щ|/= ф(^У), У11 =(А^ -Ке(й^))I. (1.23)
Решение внешней краевой задачи Неймана (1.22), (1.23) имеет вид:
1 Г 1 1
р(М) = Р0 +-<£ 1п - х(Р. (1.24)
П I IГмр )
Плотность потенциала (1.24) удовлетворяет линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода
пх(М)+ Г 0051ШР х(Р)*I = Ф(М), (1.25)
ом Гмр
Фмр— угол между нормалью к I в точке Р и гмр .
§2. Полученное таким образом решение дает нулевое приближение рассматриваемой задачи в приближении Озеена.
Для его «улучшения» запишем поле скоростей в виде
(х.у) ., _„ .V «I (х.у)
Х^^.Уу = 7^, (2.1)
к=1 г к=1
Фк, 5к — известные функции.
С помощью (2.1) линеаризуем уравнения (1.4) и ищем решение линеаризованного таким образом уравнения в виде
« = « 0 .
к=1 г
Г. (2.2)
Яв
а +
т ,„ 1 я С Фк д
1 лгк дх к=1 У ч
,Ок
т х. 1 д (
к=1 ^ У Ч к=1^ УдУ ч
,Ок
к=1г
(
= А
т
Ц + 1 %
к=1 гк
Л
(2.3)
Собирая в (2.3) члены при одинаковых степенях ц, получаем уравнения для Цк . При этом Ц0 является известным нулевым приближением решения (1.13), а уравнение для О1 имеет вид:
АЦ -Яв\адЦ- + 1 = /1(х,у).
дх
ду
/i(x, У ) = Яв
г дО0 дО01
- + 51 и
ф-
дх
ду
Так что
Решая уравнение Пуассона
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
с граничным условием
= 0 . (2.9)
Поскольку D* — произвольная область (I — любой гладкий контур), то из (2.8) и (2.9) следует, что для любой точки М е I правая часть соотношения (2.6) равна
нулю. Другими словами,
Ау1 = —Ц,
находим
п\ пЦ ^Гмр ^
Ме1
° . (2.10) Таким образом, получаем линейное интегральное уравнение типа Фредгольма первого рода.
Решив (2.10), находим (2.6), (2.8) и
Аналогично, полагая
у (1)=д*1,у (1) = -^ ду у дх
0 , \-Рк(х,у)
Р=р0 +х
(2.11)
(2.12)
к=1
к
г
где рх (х,у) — нулевое приближение решения (1.27), находим р1 (х, у) в виде
§ 3. В случае, когда рассматривается поле скоростей и давлений НВЖ в ограниченной области, процедура решения, рассмотренная в разделах § 1 и § 2, может оказаться неприменимой.
В качестве примера рассмотрим решение известной задачи гидродинамической теории смазки (ГТС), когда исследуется движение НВЖ в области между двумя окружностями радиуса R1 и Я со смещенными центрами, вызванное вращением меньшей окружности (цапфа) с заданной угловой скоростью ю. Окружность большего радиуса (подшипник) неподвижная (рис. 2).
Н. Петров в 1883 г. рассмотрел простейший случай соосных окружностей. А. Зоммерфельд рассмотрел задачу ГТС в описанной постановке, однако оставил только одно уравнение из системы уравнений Навье — Стокса, упростив его до вида
—^Р -р
д 2у е
я, де
дг2
Рис. 2.
Введем полярную систему координат (г, е) с центром в точке 01. Уравнение вращающейся окружности будет г — , уравнение неподвижной окружности г — Я (е) определяется по теореме косинусов:
я(е) — е ^(е -ф)+д/ Я2 —е ^т(е-ф),
(3.1)
е- 0]02, ф — угол между 01 02 и осью ОХ.
Отметим, что г — Я2 + е при е — ф и г — Я2 — е при е — ф + %.
Так что
М (г, е) е D, г е[Я2 —е,Я2 + е], е е [0,2%].
(3.2)
Обобщенное уравнение Гельмгольца и уравнение неразрывности в полярных координатах имеют вид:
дО уа дО А ^
1 д / \ ду е
7 ¥('у )+дут=° <з-4)
(А — оператор Лапласа в полярных координатах).
Удовлетворяя уравнению неразрывности, положим у =
го«', Ф(°Д у(', е)).
Тогда
Ау = -О. (3.5)
Перейдём к безразмерным переменным:
* Г * О * V от* р
Я2 ®Я2 аЯ2 2 ' 1 Я2
В новых переменных уравнение (3.3) примет вид:
п ( дО^ уе дО А ^
ЯТг дО >~е=АО, (3.6)
2
где Яв = / V.
Линеаризуем (3.6), положив
14 =
у е = 1/',
(при этом уравнение неразрывности выполняется автоматически). Уравнение (3.6) в таком случае преобразуется к виду
Яв ^ = АО. (3.8)
Г2 де v '
Подстановкой
о = вуех(г,е) (3.9)
приводим уравнение (3.8) к канонической форме
д2Л 1 дЛ 1 д2 Л г2 . п Яв
+ + —2Л = = . (3.10)
дг2 г дг г2 де2 г22 ^ '
Решением (3.10), зависящим только от ', будет
Л = С!'у+ С2'-у. (3.11)
В силу (3.7) выбираем
Л = С1'-у, (3.12)
что позволяет записать интегральное представление решения (3.8):
'мр гм + гР - 2гМгР с™(еМ - еР ) ,
(3.7)
¡1 и ¡2 — окружности, радиусы которых равны 5 и I соответственно. При обходе области D вдоль ее границы, как обычно, делается разрез, соединяющий контуры ¡1 и ¡2. Следовательно, если контур ¡1 обходится против часовой стрелки, то контур ¡2 — по часовой. Поэтому интеграл вдоль ¡2 в (3.13) взят со знаком «минус». Решение уравнение Пуассона (3.5) запишем в форме
г|/(м) = — f f n{Q)lní — Ids + - <£k
D I/MQJ 71 Í
( ! ^
V.rMP )
Xi(P)dl-j)ln
12
(
1
VrMP 7
;(p)dl
(3.14)
Граничные условия, которые имеют вид
vr li = vr 2 = ve 12 = 0, ve
1 1 Sy Sy g R1
11 = g, Vr = - r s^ ve=-~sГ, = R7
(3.15)
дают систему четырех линейных интегральных уравнений относительно плотностей
потенциалов ц (м), ц2 (М), X! (М), %2 (М).
Перепишем условия (3.15) в стандартной форме
(3.16)
при этом Sy | Sn
r=8
Sy. Sy i
"T- r=g , ~Z r=R (l
Sr on 1
Sy „ 1 Sy . Sy, 1 Sy,
1TC0S Sln С e=R (e) , r=8 r=8
Sr r se p Sr r se
В соответствии с теоремой синусов
sln С = 8 sin(e - ф)^ COS С = ±-\j 1 -82 sln2 (e-ф) . Из (3.15) следует, что функция тока принимает постоянные значения на окружностях r = 5 и r = R (e). Поскольку y определяется с точностью до постоянного слагаемого, можем положить, что
г=к (е)= 0 (3.17)
г=8=-Ь 5 . (3.18)
Другими словами, функция тока является решением уравнения Пуассона (3.5) с граничными условиями
Sy Sn Sy Sn
1
r=8 = — (внешняя задача Неймана)
8
r=R (e)
= 0 (внутренняя задача Неймана)
(3.19)
(3.20)
и условиями (3.17) и (3.18).
Решая эти задачи, получаем систему двух линейных интегральных уравнений
2 JJ дп\
In
/ ! Yt
VrMP J)
Q(Q)d:
s +
f
dr
In
V
1
ЛЛ
V. гмр )
л(Р>11-
У
V. Кгмр jj
h
(P)ü-
ьяХк(м) = Ьк, M e lk, к = 1,2, h, =\, h2 =0
о
В соотношениях (3.21) функция тока определяется выражением (3.14).
(3.21)
Система (3.21) и уравнения (3.17) и (3.18) составляют систему четырёх линейных интегральных уравнений. Решение этой системы можно свести к решению системы 8п + 4 линейных алгебраических уравнений, если искать плотности потенциалов в виде многочленов Фурье, как это было сделано в разделе §1.
Для определения давления в области D запишем уравнение Навье — Стокса в векторной форме
( ( 2 ^ ^
grad p = - Re
grad
2
v /
(hx v)
- Qx v - rotQ
(3.22)
Вычислив дивергенцию от левой и правой частей (3.22), получим уравнение Пуассона, в котором правая часть зависит от решения рассмотренной выше задачи
bp = f{r,9\f{r,9) = -Re
d
dr
1 dvg v^ 1 <52V0 ^
- +
Vr2 80 r2;
+
г3 дв2
(3.23)
Умножая (3.22) скалярно на вектор нормали п к границам области D , получаем граничные условия для уравнения (3.23):
dp dn
lk lk, k = 1,2, (p(r,0) = Re
( .2 ^ dn
2
v /
+ (Qx v )n + A(vn )
(3.24)
Интегральное представление решение задачи (3.23), (3.24) имеет вид:
1 Г 1 ^ | f / I \ ( , \ ^ р(м)=—||f(rM,e)ln - ds + — Ш- ^(P^l-JJln - Х2 (P)dl
2jT D lrMQ J П 1ГМР J ь VrMpJ J
. (3.25)
)
Плотности потенциалов Xj (m), X2 (M) являются решениями интегральных уравнений
(
Зп
/
In
V V
jmp J
dl +
( t X\
3n
In
V v MP ;
;^p)di = -;up(r.e;|]k.k = i.2. (3.26)
Решение системы уравнений (3.26) может быть сведено к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов многочленов
Фурье для Xк (м), к = 1,2 так же как это рассмотрено выше.
Литература
1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М., 1963.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.
3. Tomotica S., Aoi T. The steady flow of viscous fluid a sphere and circular cylinder at small Reynolds number. Quart. Y. Mech. and Appl. Math. 1951. V. III. P. 140, 1950; V.IV. P. 401.
4. Панич О. И. Решение системы уравнений Озеена для установившегося обтекания плоского контура потоком несжимаемой вязкой жидкости методом потенциалов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1962. № 3 (28), № 4 (29), № 6 (31).
5. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики несжимаемой вязкой жидкости. М.: Наука, 1970.
6. Строчков И. А., Хватцев А. А. Решение задачи поперечного обтекания цилиндра однородным по-
током несжимаемой вязкой жидкости (НВЖ) в приближении Озеена // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-25: Сборник трудов XXV Международной научной конференции. Саратов: Изд-во СГТУ, 2012. Т. 1. С. 33-38.
Об авторах
Строчков Илья Александрович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, физико-математический факультет, Псковский государственный университет, Россия.
E-mail: [email protected]
Хватцев Александр Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики, физико-математический факультет, Псковский государственный университет, Россия.
E-mail: [email protected]
I. Strochkov, A. Khvattcev
SOLUTION OF LINEARIZED FLAT PROBLEM OF INCOMPRESSIBLE VISCOUS FLUID HYDRODYNAMICS
In the present paper a method of the generalized potential to planes is applied for solving the linearized according to Oseen flat problem of incompressible viscous fluid (IVF) hydrodynamics. Generalized potential simple layer containing McDonald function serves as a kernel for generalized potential to planes
For finding an unknown density of the potential simple layer a linear integral equation is developed, containing double integral from curvilinear integral along the border of the streamlined area.
Sharing the pressure is in turn defined by potential simple layer with density of the potential, determined by the linear integral equation, dependent on the specified above integral equation solution. A method of the successive iterations is suggested, allowing to elaborate the solution of the problem before achieving the required accuracy.
The solution of the hydrodynamic greasing problem is considered as an example of the theory application.
Key words: incompressible viscous fluid, flat problem of hydrodynamics, problems of hydrodynamic greasing theory, linear integral equations.
About the authors
Ilia Strochkov — Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor at the Department of Mathematics, Faculty of Physics and Mathematics, Pskov State University, Russia.
E-mail: [email protected]
Alexander Khvattcev — Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor Head of the Department of Mathematics, Faculty of Physics and Mathematics, Pskov State University, Russia.
E-mail: [email protected]
