CC BY
63
УДК 532.25.032 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3
С. Г. Кадыров1, Е. Н. Афанасов1, В. Н. Зверков2
НОВАЯ МОДЕЛЬ В ТЕОРИИ «ПОЛЗУЩИХ» ТЕЧЕНИЙ
1 Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Российская Федерация, 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3
2 Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Общепринятым способом линеаризации уравнений Навье—Стокса при малых значениях числа Рейнольдса является модель Стокса, в которой предлагается полностью пренебрегать конвективными членами в этих уравнениях. Однако при рассмотрении плоской задачи об обтекании произвольного контура уравнения Стокса не имеют решения. Этот факт известен, как «парадокс Стокса». Для его преодоления используют приближение Озеена, в котором в квадратичных членах часть составляющих скоростей заменяется на постоянные скорости внешнего потока, а остальные члены уравнений отбрасываются как «малые». В работе предлагается провести линеаризацию уравнений Навье—Стокса на «фоне» поля скоростей идеальной жидкости, обтекающей тело. Система линеаризированных уравнений Навье—Стокса при таком подходе является линейной с переменными коэффициентами. Предлагаемый метод применяется для описания плоских задач обтекания тел равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для плоских задач оказывается, что если в качестве независимых переменных выбрать функцию тока и потенциал, то задача формулируется в виде уравнений для завихренности, составляющих скорости и давления, и успешно решается численно. Для построения численного метода применен переход к новым координатам — потенциалу и функции тока при обтекании контура идеальной жидкостью. В качестве модельной задачи обтекания плоских тел рассмотрена задача об обтекании кругового цилиндра равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Результаты расчета коэффициента сопротивления для задачи об обтекании цилиндра сравниваются с экспериментальными и полученными по теории Озеена данными. Библиогр. 12 назв. Ил. 4.
Ключевые слова: уравнения Навье—Стокса, малые числа Рейнольдса, линеаризация уравнений Навье—Стокса, новая модель «ползущих» течений.
S. G. Kadyrov1, E. N. Afanasov1, V. N. Zverkov2
A NEW MODEL IN THE THEORY OF "CREEPING" FLOWS
1 St. Petersburg State Marine Technical University, 3, str. Lotsmanskaya, St. Petersburg, 190008, Russian Federation
2 St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
Common way of Navier—Stokes equations linearization at small Reynolds number is Stokes model, which proposes completely neglected of convective members in these equations. However, when considering the plane problem of flow past an arbitrary contour, Stokes equations do not have solutions. This fact is known as the "paradox of Stokes". For overcome the "paradox of Stokes" the Oseen approximation is used, where a part of speed components in quadratic terms is replaced with speed constants of outside flow, while the rest equation members are rejected as being "small" ones. The paper suggests linearization of Navier—Stokes equations against
Кадыров Сергей Газимурович — кандидат технических наук, профессор; e-mail: skadyrov@gmail.
com
Афанасов Евгений Николаевич — аспирант; e-mail: zhenya.afanasov@yandex.ru Зверков Василий Николаевич — магистр; e-mail: onlyliar@gmail.com
Kadyrov Sergey Gazimurovich — candidate technical sciences, professor; e-mail: skadyrov@gmail.com Afanasov Evgeny Nikolaevich — post-graduate student; e-mail: zhenya.afanasov@yandex.ru Zverkov Vasily Nikolaevich — magister; e-mail:onlyliar@gmail.com
velocity field of perfect liquid flowing the body around. The system of linearized Navier—Stokes equations under such approach is a linear one with variable coefficients. The offered method is used for description of plane problems of body uniform flow with viscous incompressible liquid. It turns out for plane problems that in case flow stream function and potential are selected as independent variables, the problem is formulated in the form of equations for vorticity, speed and pressure components, and is successfully solved numerically. To develop numerical method transition to new coordinates is used — to potential and stream function of contour flow of perfect liquid. The problem of circular cylinder uniform flow with viscous incompressible liquid is analyzed as a model problem of flat body flow. Results of resistance coefficient prediction for the circular cylinder flow problem are compared with experimental data and results of Oseen theory. Bibliogr. 12. Il. 4.
Keywords : Navier—Stokes equations, small Reynolds numbers, linearization of Navier— Stokes equations, new model of "creeping" flows.
Введение. Задача об обтекании твердого тела вязкой несжимаемой жидкостью описывается системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса и уравнением неразрывности
(V • V) V = -igrad (р) + i/AV.
divV = 0, ( )
Здесь V - вектор скорости, p - давление, р - плотность жидкости, v - коэффициент кинематической вязкости.
Граничные условия для системы уравнений (1) имеют вид
V |г =0,
V ^ U0i, |r| ^ то. (2)
Первое граничное условие (условие «прилипания») обеспечивает равенство вектора скорости нулю на поверхности тела. Второе граничное условие (на «бесконечности») означает, что скорость жидкости стремится к скорости набегающего однородного потока [1, 2].
Задача (1), (2) нелинейна. Точные ее решения удается получить в очень редких частных случаях. Если ввести число Рейнольдса Re = где L - характерная
величина линейного размера обтекаемого тела, U0 - скорость однородного потока, то при малых значениях Re нелинейную задачу (1), (2) можно линеаризировать. Такие течения принято называть «ползущими» [3].
О моделях «ползущих» течений вязкой несжимаемой жидкости. Если полностью пренебречь конвективными членами в уравнениях Навье-Стокса, то система уравнений (1) принимает вид
г/ДУ = igrad(p),
divV = 0. (3)
Это так называемые уравнения Стокса - система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для них в некоторых простых случаях (обтекание шара) получены точные решения [4].
Однако, как показал сам Стокс, при рассмотрении плоской задачи об обтекании кругового цилиндра уравнения (3) не имеют решения. Впоследствии такой факт, который известен как «парадокс Стокса», был установлен для плоской задачи об обтекании произвольного контура [1, 4].
В последующем было показано, что пренебрежение (V • V)V конвективными членами по сравнению с vAV вязкими членами возможно лишь вблизи тела. На больших расстояниях сделанные пренебрежения оказываются необоснованными [5].
Для изучения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого тела приходится учитывать конвективные члены. Поскольку на этих расстояниях скорость жидкости мало отличается от скорости набегающего потока, то, например, можно частично учесть конвективные члены и получить так называемые уравнения Озеена [5]
Уравнения Озеена (4) вдали от тела лучше аппроксимируют уравнения Навье-Стокса, чем приближение Стокса. В области, примыкающей к телу, такая аппроксимация конвективных членов неудовлетворительна, однако для течений при малых числах Рейнольдса все конвективные члены по сравнению с вязкими малы. В силу этого уравнения Озеена (4) можно использовать и вблизи тела. В ряде случаев с помощью приближения Озеена можно получить результаты, лучше согласующиеся с экспериментом, чем с помощью уравнений Стокса [6].
Новая модель «ползущих» течений. Источником завихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью является его поверхность. На линиях тока, проходящих достаточно далеко от тела, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и потому завихренность близка к нулю, как было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших расстояниях от тела движение жидкости можно считать потенциальным везде, за исключением лишь (весьма узкой) так называемой области следа [5].
У границ тела конвективные члены при малых числах Рейнольдса малы по сравнению с вязкими членами при любой их аппроксимации.
На мысль о линеаризации уравнений Навье-Стокса на «фоне» поля скоростей идеальной жидкости, обтекающей тело, авторов этой работы натолкнула статья академика В. В. Новожилова [7], в которой предлагается использовать в качестве первого приближения не поле скоростей в однородном потоке, а потенциальное решение задачи обтекания. Данное решение является частным решением уравнений Навье-Стокса, однако оно не удовлетворяет граничным условиям прилипания.
В соответствии с такой идеей будем строить решение системы уравнений (1) в виде суммы:
Здесь и* - вектор скорости при обтекании тела идеальной жидкостью, V' - «добавочная» скорость, р* - давление при обтекании тела идеальной жидкостью, р' -«добавочное» давление.
Тогда система уравнений Навье-Стокса записывается следующим образом:
Если учесть свойства потенциального решения и пренебречь нелинейными конвективными членами, то из (5) получаем
(и01 • V) V = -±ёгас1(р) + 1/ДV,
= о.
(4)
V = и* + V', р = р* + р'.
го^и4 + V') х (И4 + V') = <\(р{иг+^')2 +р*+ р') + г/Д(1Р + V'),
ё1у(И* + V') = 0.
(5)
гсЛУ х и4 = -^га(1(р1РУ + р') + г/АУ, ^(ИУУ = 0.
(6)
Уравнения системы (6) являются линейными с известными переменными коэффициентами. Граничные условия для этой системы
V' |г = -И* |г , V' ^ 0,
Метод решения плоских задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью. Уравнения плоской задачи. Преобразуем уравнения системы (6) для плоской задачи (в декартовых координатах) к безразмерному виду. Характерные размерные величины - Ь, По, ро (ро - давление в однородном потоке).
Тогда в декартовых координатах в безразмерных величинах уравнения системы (6) имеют вид
= -Ру+ +<$.),
Р = р' + и*и' + V* V', < + v'y =°.
В этой системе уравнений и1,^ - компоненты скорости идеальной жидкости, и' -компоненты «добавочной» скорости, Р будем называть функцией давления. Граничные условия
и' |г = -и* |г , V' |г = -V* |г , и' ^ = V' ^ = 0.
Введем завихренность потока по формуле С = V' — и'у (£ - единственная отличная от нуля координата вектора ротора скорости).
Дифференцируя и комбинируя первые два уравнения системы (7), получаем систему уравнений, в которой неизвестные функции £ и Р разделены:
Схи' + СуУ* = ¿дс,
Су и* — СхУ = — АР,
и'х + v'y =0, (8)
д =
дх2 ду2
Переход к новым координатам. Для плоских задач в теории идеальной жидкости можно ввести потенциал и функцию тока [1, 8]. Пусть р - потенциал двумерного обтекания контура идеальной жидкостью, ф - функция тока двумерного обтекания контура идеальной жидкостью.
Известно, что р, ф являются гармоническими сопряженными функциями:
Ар = Аф = 0, и* = Рх = Фу,
V* = Ру = —фх.
Перейдем в системе уравнений (8) к новым переменным р и ф:
С0 = тЬ^д^2 + Сф = — +
Рх (и',. + ^ ) + Ру К — и'ф ) = 0.
Для любой формы контура первые два уравнения системы (9) являются линейными с постоянными коэффициентами.
В новых координатах, независимо от вида контура, задача формулируется для внешности отрезка на оси р на вспомогательной плоскости в координатах р, ф; при этом контуру Ь на плоскости в физических переменных х, у соответствует внешность отрезка [В',С] на вспомогательной плоскости в переменных р, ф (рис. 1).
Рис. 1. Физическая (слева) и вспомогательная (справа) плоскости
Используя определение завихренности и уравнение неразрывности для скоростей и завихренности в координатах р и ф, можно получить
с -^(дЧ + дЧ)
— КеУдр2 ^ дф2 п /д2и , д2и \ _ СуУу+С-ффх V ди)2 дгЬ2 ' <~о2 -\-ф2 '
> д^2 ~ дф2 ) Ч>\+Ч>\ 7
V дц>2 ^ дф2 ) ~ <¿>1+^1 ' С = Рх - и'ф) - ру (и^ + ^).
Решать систему (10) приходится методом последовательных приближений, поскольку граничное условие для завихренности на контуре отсутствует (на «бесконечности» завихренность равна нулю).
На первом шаге метода начальное граничное условие для завихренности на отрезке [В', С] можно выбрать произвольным способом, однако разумнее применять в качестве начального приближения уравнения Озеена. Далее найденное значение завихренности подставляется в правые части уравнений для скоростей. После определения скоростей рассчитываем следующее приближение для граничной завихренности и т. д.
Если завихренность установлена, то можно получить решение уравнения для функции давления
д2Р\
Сф~ + дф2)'
Граничное условие для функции давления является следствием системы уравнений для завихренности и функции давления и имеет вид
Рф\[В>,С>] = (¿С*-с) \[В',С'] '
Численная реализация метода. В качестве модельной используем задачу об обтекании кругового цилиндра равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для этой задачи существуют экспериментальные данные [9] и построено (приближенное) решение в рамках теории Озеена [1, 2].
Потенциал и функция тока в задаче об обтекании кругового цилиндра известны (за характерный размер принят диаметр цилиндра) [8]:
У = ж + </> = 2/(1-
4(х2+у2) у
В виду симметрии контура относительно оси х можно изучить только верхнюю полуплоскость.
Уравнения для завихренности, компонент скорости и функции давления решаются разностным методом с использованием пятиточечной аппроксимации для оператора Лапласа. Граничные условия ставятся точно, а производные функций по нормали заменяются аппроксимацией первого порядка.
При численном методе решения область с бесконечными пределами не может быть рассмотрена, поэтому применяется прямоугольная область, границы которой находятся на достаточно удаленном расстоянии от тела (рис. 2). На сторонах этой области задаются условия затухания.
-11 * 9
Рис. 2. Расчетная область в координатах ф
Разностные уравнения решаются методом неполной факторизации, явным (итерационным) методом Булеева [10].
Размеры расчетной области, значения итерационных параметров и контроль сходимости всех итерационных процедур определяются с помощью численного эксперимента.
Результаты расчета. Проведем расчет коэффициента сопротивления Со, для которого имеются экспериментальные данные [9], по формуле [1]
2п
В Г 1
Здесь В - сила сопротивления цилиндра, d - диаметр цилиндра, в - полярный угол.
Рис. 3. Зависимость коэффициента сопротивления Со от числа Рейнольдса
Сплошная линия - решение Озеена [1, 4]; штриховая линия - результаты расчета; • - экспериментальные данные [9].
Рис. 4. Линии тока при обтекании кругового цилиндра при Ив = 4 (а) и Ив = 10 (б)
На рис. 3 приведено сравнение результатов расчета с экспериментальными [9] и приближенным решением, полученным с помощью метода Озеена [2]. Из него видно, что предлагаемый метод решения позволяет описать течение вплоть до числа Рейнольдса порядка 5, в то время как метод Озеена применим только при очень малых числах Рейнольдса.
Численный эксперимент по излагаемой теории показал существование области замкнутых линий тока за цилиндром, начиная с Ие порядка 5. Этот факт установлен
экспериментально [11] и как результат прямого численного расчета на основе уравнений Навье-Стокса [12]. На рис. 4 показаны линии тока при обтекании кругового цилиндра при двух значениях Re.
Заключение. Предлагаемая модель «ползущих» течений позволила получить хорошее совпадение результатов расчета и эксперимента. При этом метод численного решения уравнений не требует построения расчетных сеток, предназначенных для тел различной формы.
Литература
1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: учебник для вузов. Изд. 4-е, перераб. и доп. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2. 728 с.
2. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости: учебник для гос. ун-тов. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. 520 с.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя/пер. с нем. Г. А. Вольперта; под ред. Л. Г. Лойцян-ского. М.: Наука, 1974. 712 с. (Shlikhting H. Boundary layer theory.)
4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей / пер. с англ. В. А. Смирнова; под ред. А. А. Никольского. М.: Мир, 1967. 310 с. (Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics.)
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: в 10 т. Т. VI: Гидродинамика. Изд. 5-е, стереотип. М.: Физматлит, 2001. 736 с.
6. Шкадов В. Я., Запрянов З. Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 200 с.
7. Новожилов В. В. Об использовании потенциальных решений в теории вязкой жидкости // Докл. АН СССР. 1968. Т. 290, № 6. С. 1320-1323.
8. Ламб Г. Гидродинамика / пер. с англ. А. В. Гермогенова, В. А. Кудрявцева; под ред. Н. А. Слезкина. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1947. 928 с. (Lamb H. Hydrodynamics.)
9. Tritton D. J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers // J. of Fluid Mechanics. 1959. Vol. 6, N 4. P. 547-567.
10. Булеев Н. И. Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии // Матем. сб. 1960. Т. 51(93), № 2. С. 227-238.
11. Taneda S. Experimental investigation of the wakes behind cylinders and plates at low Reynolds numbers //J. Phys. Soc. Japan. 1956. Vol. 11, N 3. P. 302-307.
12. Dennis S. C. R., Shimshoni M. The steady flow of a viscous fluid past a circular cylinder // Aero. Res. Counc. Lond. Current Paper. 1965. N 797. P. 1-44.
References
1. Kochin N. E., Kibel I. A., Roze N. V. Teoreticheskaja gidromehanika: uchebnik dlja vuzov. Izd. 4-e, pererab. i dop. (Theoretical hydromechanics: textbook for high schools. 4 edition revised and enlarged, pt 2). Moscow: Fizmatgiz, 1963, 728 p.
2. Slezkin N. A. Dinamika vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti: uchebnik dlja gos. un-tov (Dynamics of viscous incompressible fluid: textbook for public universities). Moscow: Gostekhizdat, 1955, 520 p.
3. Shlikhting H. Teorija pogranichnogo sloja (Boundary layer theory). Per. s nem. G. A. Vol'perta; pod red. L. G. Lojcjanskogo. Moscow: Nauka, 1974, 712 p.
4. Van Dyke M. Metody vozmushhenij v mehanike zhidkostej (Perturbation methods in fluid mechanics). Per. s angl. V. A. Smirnova; pod red. A. A. Nikol'skogo. Moscow: Mir, 1967, 310 p.
5. Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoreticheskaja fizika: v 10 t. T. VI: Gidrodinamika. Izd. 5-e, stereotip (Course of Theoretical Physics: in 10 vol. Vol. VI: Hydrodynamics. 5 edition, stereotip.). Moscow: Fizmatgiz, 2001, 736 p.
6. Shkadov V. Y., Zapryanov Z. D. Techenija vjazkoj zhidkosti (Viscous flow). Moscow: Izd-vo Mosk. un-ta, 1984, 200 p.
7. Novozhilov V. V. Ob ispol'zovanii potencial'nyh reshenij v teorii vjazkoj zhidkosti (The use of potential solutions in the theory of viscous fluid). Dokl. AN SSSR, 1968, vol. 290, no. 6, pp. 1320-1323.
8. Lamb H. Gidrodinamika (Hydrodynamics). Per. s angl. A. V. Germogenova, V. A. Kudrjavceva; pod red. N. A. Slezkina. Moscow; Leningrad: Gos. izd-vo tehn.-teor. lit., 1947, 928 p.
9. Tritton D. J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers. J. of Fluid Mechanics, 1959, vol. 6, no. 4, pp. 547-567.
10. Buleev N. I. Chislennyj metod reshenija dvumernyh i trehmernyh uravnenij diffuzii (Numerical method for solving two- and three-dimensional diffusion equations). Mat. Sb. (N. S.), 1960, vol. 51(93), no. 2, pp. 227-238.
11. Taneda S. Experimental investigation of the wakes behind cylinders and plates at low Reynolds numbers. J. Phys. Soc. Japan, 1956, vol. 11, no. 3, pp. 302—307.
12. Dennis S. C. R., Shimshoni M. The steady flow of a viscous fluid past a circular cylinder. Aero. Res. Counc. Lond. Current Paper, 1965, no. 797, pp. 1—44.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.
