CC BY
158
Том ХЫН
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2012
№ 5
УДК 532.526.5 532.526.2
СТАЦИОНАРНОЕ ВЯЗКОЕ ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
ДО ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА 900
Г. Л. КОРОЛЕВ
Получено численное решение задачи симметричного стационарного обтекания эллиптического цилиндра потоком вязкой несжимаемой жидкости до чисел Рейнольдса Яе = 900. Изучены зависимости размеров зоны отрыва и коэффициента сопротивления от числа Яе и относительной толщины тела.
Ключевые слова: уравнения Навье — Стокса, эллиптический цилиндр, отрыв, численный метод, несжимаемая жидкость, стационарное решение.
ВВЕДЕНИЕ
Обтекание эллиптического цилиндра потоком несжимаемой жидкости представляет собой классический объект изучения как теоретической, так и экспериментальной аэрогидродинамики. Наиболее сложными для исследований представляются течения с зонами отрыва потока, когда вязкий пристеночный слой жидкости под действием неблагоприятного градиента давления отходит от обтекаемой поверхности. В результате в потоке появляются области возвратного течения, сильно усложняется общая картина течения. Как показывает эксперимент, отрывное обтекание тела при увеличении числа Яе, как правило, сопровождается возникновением несимметрии при симметричных граничных условиях, трехмерностью, нестационарностью и переходом к турбулентности. Тем не менее, исследование решений двумерных стационарных уравнений Навье — Стокса представляет не только чисто теоретический, но и практический интерес. И в первую очередь это связано с проверкой точности решаемых уравнений Навье — Стокса и постановки краевых условий, используемых при исследовании реальных отрывных течений. С теоретической точки зрения интересно проанализировать поведение решений уравнений Навье — Стокса с увеличением числа Яе для построения адекватной асимптотической теории, в частности, теории пе-
_________________ рехода течений с локальными зонами отрыва к развитым, а также создания
упрощенных моделей отрывного обтекания.
КОРОЛЕВ Георгий Львович
доктор физикоматематических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
1. ИСТОРИЯ ВОПРОСА
Несмотря на огромное количество публикаций, посвященных численному решению уравнений Навье — Стокса, работ по расчету стационарного обтекания эллиптического цилиндра однородным потоком несжимаемой жидкости немного. Одной из основных трудностей при получении надежных численных решений является корректная постановка граничных условий для функции тока на больших расстояниях от тела. Первоначально [1 — 3] эти условия ставились как выход на невозмущенный поток на конечных расстояниях. Но из-за медленного затухания завихренности в вязком следе за телом такая постановка оказалась неудовлетворительной. Течение в следе за телом на больших расстояниях от него было исследовано аналитически [4 — 7], и эти асимптотические решения в дальнейшем стали использоваться для постановки краевых условий на конечных, но больших
расстояниях от тела [8 — 11]. В работе [12] были рассмотрены четыре «возможные» постановки краевых условий на бесконечности и сделано детальное сравнение численных результатов, полученных при их использовании. В [13] было получено численное решение стационарного симметричного обтекания кругового цилиндра при значениях числа Рейнольдса до 600. Численное исследование обтекания бесконечного каскада плоских цилиндров, расположенных на одинаковом вертикальном расстоянии друг от друга, было проведено в работах [14, 15].
Что касается теории стационарного отрывного обтекания тела, то обычно принимается, что с увеличением числа Яе происходит отрыв пограничного слоя с твердой поверхности тела. Далее за телом вниз по потоку формируется отрывная область. Теория ламинарного отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности создана давно [16] и получила свое численное подтверждение в [17, 18]. Основная проблема заключается в описании отрывной области за телом. В [19] считалось, что размеры отрывной области остаются порядка размеров тела при Яе ^ да и завихренность внутри этой области постоянна. В [20] была представлена модель, в которой длина отрывной области растет линейно с числом Яе, а ее ширина остается порядка единицы. В [21] (см. также гл. 6 в [22] и [23]) была развита асимптотическая теория, основанная на схеме Кирхгофа обтекания тел со свободными линиями тока. В [21] было показано, что длина отрывной области растет линейно по Яе, а ширина — как Яе1/2. В [24] представлена модель, в которой длина и ширина отрывной области растут линейно по Яе, завихренность внутри отрывной области остается постоянной, а сопротивление тела падает обратно пропорционально Яе с^ = ^Яе 1. В [25] проведено численное исследование невязкой вихревой модели, основанной на этой теории, и получены результаты для однопараметрического семейства вихревых течений, названных вихрями Садовского, а в [26] определено значение к0> = 146.1. В [27, 28], основываясь на вихревой модели Садовского, предлагали ее модификации. Позже в [29] предложена асимптотическая структура течения на базе этой же модели, где, основываясь на существовании численного решения периодического пограничного слоя внутри отрывной зоны, получена зависимость ее длины и ширины от числа Рейнольдса. Позже эта теория была распространена на обтекание каскада цилиндров [30]. Подробные обзоры методов и моделей отрывных течений см. в [22].
В данной работе рассматривается симметричное обтекание эллиптического цилиндра однородным набегающим потоком. Кроме числа Яе эта постановка задачи включает дополнительный параметр, связанный с относительной толщиной эллипса. При численном решении уравнений Навье — Стокса ставится краевое условие для функции тока, которое является точным решением уравнения Пуассона.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоское стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости около эллиптического цилиндра, обтекаемого однородным потоком под нулевым углом атаки. Пусть а*, Ь* — большая и малая полуоси эллипса; и** — скорость течения на бесконечном удалении от тела;
Е * — сопротивление тела. Определим число Рейнольдса как Яе = 2м * а * /у* , где V* — коэффициент кинематической вязкости.
Введем прямоугольную систему координат х* , у *
* * * * х = ах, у = а у
с осью Ох, направленной вдоль набегающего потока, и началом на оси симметрии эллипса. Обозначим через и, V соответствующие безразмерные компоненты вектора скорости, а через р, с^ — безразмерные давление и коэффициент сопротивления тела:
** ** * *2 т* *21 1—1 * *2 *
и = ихи, V = их, р =рих р, к =рих к, Е =рм<ю а сё.
Будем считать течение симметричным относительно оси у = 0. В этом случае можно рассмотреть постановку задачи и решение только для верхней полуплоскости. Для зависимых переменных завихренности ю и функции тока у:
f, V = -* (1)
dy dx
dv du
m =---------------------------------------------------------------------------------------------- (2)
dx dy
имеем уравнения Навье — Стокса:
п Яш Лт 2 (d 2т d2т ^
= 0, (3)
5т 5т 2
dy dx dx dy Re
dx2 dy2
S2 ш S2 ш п //1Ч
#+#+ (4)
Будем считать, что большая полуось эллипса расположена параллельно набегающему потоку. Тогда форма тела, на поверхности которого должны выполняться условия прилипания и = 0, v = 0, определяется уравнением:
f = x2 + y2lb2 - 1 = 0,
где b = b */a * . Таким образом, имеется два свободных параметра — число Re и относительная толщина эллипса b. Случай b = 1 соответствует круговому цилиндру.
Профиль скорости набегающего потока на бесконечности предполагается однородным:
и = 1, v = 0. (5)
На оси симметрии течения ставятся условия:
Ш = т = 0 при у = 0 и х > 1, (6)
а на поверхности тела условия прилипания:
Ш = —Ш = 0 при х2 < 1 и y = b(1 -x2)12, (7)
dn
n — нормаль к поверхности тела.
Основные трудности численного решения поставленной задачи состоят в следующем: правильная постановка краевых условий на бесконечности и на теле, наличие достаточно высокой степени точности аппроксимации уравнений конечно-разностными схемами, высокая степень разрешения уравнений в областях пограничного слоя и слоя смешения потоков, а также эффективный численный метод, позволяющий решать нелинейную систему уравнений, полученную в результате конечно-разностной аппроксимации уравнений движения и краевых условий.
Анализ решения уравнений Навье — Стокса при больших расстояниях от обтекаемого тела показывает [5], что в полярных координатах г, 0 завихренность затухает как
т = _cd ReQе-Q + ., г2 = x2 + y2, 0 = arctan(y/x). (8)
4v nr
При этом функция тока может быть представлена как
Ш = y + y(0-erf Q) +..., (9)
где
1 1Q Q = i] 2 sin f, erf Q = 2 j e ~q dq (10)
и Сс1 — коэффициент сопротивления тела, который может быть вычислен как интеграл по произвольной замкнутой кривой С, охватывающей обтекаемое тело, [5]
сё = Яеа1
д^_,_
-2і(£ I------| ёг - і(£ югё¥- 2/Яе(£ --------------гёг
Ус І дг I Ус ' Ус &
г = х + іу.
(11)
(12)
3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
Сделаем следующее комплексное преобразование и перейдем от переменных х, у к переменным 5, п:
с = -
1 + Ь2
(13)
Это преобразование переводит область над верхней частью эллипса в плоскости х, у в правый верхний квадрант плоскости 5, п. Верхняя половина эллипса переходит в отрезок прямой 0 < 5 < 2, п = 0.
На левой границе квадранта ставятся условия симметрии для ю и у:
ю = 0, у = 0 при 5 = 0.
На нижней границе условия прилипания на теле и условия симметрии:
= 0 при 0 < 5 < 2 и п = 0,
5п
ю = 0 при 5 > 2 и п = 0, у = 0 при п = 0.
Уравнения Навье — Стокса в переменных 5, п имеют следующий вид:
= 0,
ду дю ду дю 2
дп д5 д5 дп Яе
^д2ю д2ю^
д5 дп
д2 у д2 у .
т +—2 + ю/Л = 0,
д5
дп2
(14)
(15)
(16) (17)
(18)
(19)
где Л — якобиан преобразования.
Функция тока на нижней и левой осях квадранта в силу условий (5) — (6) равна нулю. Поэтому решение для у, удовлетворяющее уравнению Пуассона (19) и нулевым краевым условиям на осях квадранта, а также условию на бесконечности (5), может быть представлено в виде [31]:
у = (1 + Ь) 5п + ^,
^ = Ц О(5', п'О (5, п, 5', п')<*', ё п',
О = ю/Л,
(20)
0 0
при условии ограниченности функции ^ на бесконечности. Как видно из асимптотического решения (9), это условие выполняется. Здесь О — функция Грина задачи Дирихле для квадранта:
О(5, п,5',п') = -1|„ У(5 - 5)2 + (п - ^ + 5')2 + (п + п'>1.
2п 4(.5 - 5')2 + (п + п')2д/(5 + 5')2 + (п-п')2
Для правильной постановки краевых условий рассмотрим поведение функции О при больших ^. Из асимптотического решения (8) следует, что ю затухает как
Яе п
ю = -ег, Яе3/2 е 2т
пл/г
4л/2л (5 2 +п2)
а из конформного преобразования (13), что -Г1 растет как
—-1 = 4(5 2 + п2) +
2
т = -
1 + Ь
Таким образом, О определяется в главном приближении как
Яе п
п
О--С , Яе^2 е 2т
Яе е ^2Лт^2
+ ...
(22)
и не зависит от 5. Поэтому на верхней и правой границах расчетной области будем использовать краевые условия для завихренности в виде:
ю - 0, п ^ да, д(ю/—)
д5
• - 0, 5 ^-<х>.
(23)
(24)
X
Что касается краевых условий для у, то заметим, что решение (20) для у справедливо во всей рассматриваемой области. Поэтому в дальнейшем оно будет использоваться при задании граничных условий для функции тока на верхней и правой границах расчетной сетки. В [13] на правой границе расчетной сетки использовалось краевое условие
^ + ю = 0. (25)
дп
Это условие, удобное для численного решения задачи, строго говоря, справедливо только в вязком следе на расстояниях п * Яе-^2. Вне следа в невязкой области, где п * 1 и завихренность близка к нулю, течение потенциально:
д!у=^д!у. (26)???
д5 2 дп 2
Как показывают наши расчеты для обтекания цилиндра, уже при Яе = 600 и 5 = 12, п = 2 из-за сильного влияния вихревого диполя, образованного отрывной областью за телом, величина
^-У- * 1. (26)???
д5
Введем равномерную сетку (п, 5у), к = 1, ..., М, у = 1, 2, ..., N и обозначим значения завихренности в узлах сетки через ю(пк, 5у) = Юку- и, соответственно, значения функции тока через
у(пк, 5у) = Уку.
На левой границе расчетной сетки ставим условия:
^к1 = юк1 = ° (27) Lk+м,1 = ук1 = 0, к = 1 • ••, м. (28)
На нижней границе (поверхность тела) используем конечно-разностную схему четвертого порядка точности для аппроксимации краевого условия (15)
2 ^ І < Іо, 5]0 = 2
и вне обтекаемого тела
ьу = ю1і = 0, і = іо,...,N
(30)
а также
¿1 + м, і = Уу = 0, І = 2, ., N.
(31)
На верхней границе расчетной сетки ставим условия
¿м/ = юм/ = 0,
(32)
(33)
¿м+м,1 = Ум/ -(1 + Ь)5Іпм -^(5І,пм) = 0, І-2,•••N. На правой границе расчетной сетки ставим условия
¿км = юкы1—кы - юк,N-1І—к,N-1 = 0,
(34)
¿к+м^-VkN -(1 + Ь)5Nпк -^(5N,пк) = 0, к-2,..-м-1,
(35)
где ^(5у, пм) и ^(5^ пк) вычисляются с помощью интеграла (20). При вычислении этого интеграла внутри расчетной области с шестым порядком точности аппроксимации по шагу сетки (метод Симпсона) используются значения ю в узлах сетки. Вне границ расчетной сетки будем использовать при интегрировании асимптотическое решение для О из (22). Интегрирование по 5 от правой границы расчетной сетки до да выполняется аналитически, по п (0 <п~пм) — численно. Вне
области п > пм в силу экспоненциального затухания по п функция завихренности предполагается равной нулю, и в вычислении интеграла уже не учитывается.
Во внутренних узлах расчетной сетки уравнения (18), (19) аппроксимируются компактными конечно-разностными схемами четвертого порядка точности [34]. Эта симметричная аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости осуществляется на девятиточечном шаблоне, так что аппроксимацию уравнений движения можно представить в виде:
где Ьку и Ьк + м,у — соответствующее конечно-разностное уравнение для завихренности и функции тока (более подробно см. в [32]).
Численное решение задачи (27) — (37) находится на основе прямого метода решения уравнений теории свободного взаимодействия [33, 34], разработанного применительно к уравнениям Навье — Стокса.
Введем векторы '^, Р размерности М и N1 соответственно:
Предположим, что нам известно распределение функции тока на границах расчетной области, т. е. заданы значения ^(5/, пм) и ^(5^ пк) в (33) и (35). Тогда систему соотношений, аппрок-
¿к/ (юк-1,і-1,.,юк,і,. •,юк+1,і+1, Vк-1,/-!,•••, Vк,/, • • • Vк+1,/+1) 0,
(36)
¿к +м, І (юк-1, у-!,"’, юк, І ,---юк+1, /+1,V к-1, І-1, — ,V к, І ,•••V к+1,/+1) - 0,
(37)
симирующих уравнения движения и краевые условия, можно записать в компактном векторном виде:
MWi, P) = 0, L 2(W!, W2, P) = 0,
L j (Wj-2, Wj-! Wj, Wj+1, Wj+2, P) = 0, j = 3,..., N - 2,
= Г Г (38)
L = L j \_L1] ,L2 j,.,Lkj,.,LM, j J ,
L N-1 ( Wn , Wn-1, Wn-2, Wn-3, P) = 0, L n ( Wn , Wn-1, Wn-2, P) = 0,
где Lkj = 0 — соответствующее конечно-разностное уравнение в k-й точке на j-й вертикали. Здесь к = 1, 2, ..., M.
Пусть имеется некоторое приближение для векторов Wj и P на 7-й итерации. Для того чтобы найти улучшенное приближение этих векторов, введем соответствующие векторы поправок AWj, AP и, разлагая в ряд Тейлора систему уравнений (38), получим соответствующую линейную систему уравнений относительно векторов поправок, решение которой ищется методом матричной прогонки. Алгоритм метода матричной прогонки подробно представлен в [33].
Далее из (20) находится уточненное приближение для значений ^(sj, пм), ^(sn, Пк), и вся процедура повторяется с некоторым релаксационным параметром г:
Wj+1 = W j + г AWj.
Во всех расчетах использовалось значение г = 0.8. Количество итераций, необходимых для сходимости решения, зависит от числа Re и размера отрывной зоны. Так для отрывных зон порядка размеров тела требуется порядка 11 — 12 итераций, чтобы получить решение для завихренности и функции тока с точностью 10 5
max |Аю, Ayjk, j < 10-5. (39)
В том случае, если отрывная зона намного больше характерного размера тела (как в случае обтекания цилиндра при Re = 900), требуется порядка 500 итераций. Приведенные далее результаты расчетов получены с использованием равномерной сетки с максимальным количеством расчетных точек N х M = 1301 х 201, и шагом As = Ап = 0.01, средней сетки N х M = 2001 х 301
2 -2
(As = An =310 ) и мелкой сетки N х M = 3001 х 401 (As = An =5 • 10 ).
и
Рис. 2. Зависимость полуширины отрывной зоны Б от числа Яе и параметра Ь
На рис. 1 и 2 показано изменение длины S и полуширины Б отрывной зоны в зависимости от числа Яе и относительной толщины эллипса Ь. Для сравнения кружками показаны результаты, полученные на крупной сетке, треугольник — результаты на самой мелкой сетке для случая обтекания кругового цилиндра (Ь = 1). Квадратами для сравнения показаны результаты работы [13]. Штрихпунктирные линии построены для кругового цилиндра по формулам работы [16] (см. также гл. 6 в [22]):
5 = 0.784с^2 Яе, Б = 0.500с^2 Яе1/2, (40)
где — коэффициент сопротивления, определяемый решением задачи обтекания по схеме
Кирхгофа при выполнении условия Брюллюена — Вилля. Для кругового цилиндра = 0.5 [22]. Пунктирные линии на рис. 1 и 2 соответствуют зависимостям, полученным для кругового цилиндра в [29]:
5 = 0.196Яе, Б = 0.0295Яе. (41)
Интересно, что для кругового цилиндра зависимости 5(Яе) в (40) и (41) практически совпадают.
Рис. 1. Зависимость длины отрывной зоны £йжчйсЗ&1Явимо£рам!тра)Ь величины Ь и Яе
На рис. 3 и 4 показаны зависимости изменения коэффициента сопротивления тела Cd и относительной толщины отрывной зоны D/S в зависимости от относительной толщины эллипса b и числа Re. Пунктирной линией на рис. 4 показан результат следующий из работ [24, 25] D/S = 0.3.
Картина обтекания для значений b = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 при значении числа Рейнольдса Re = 900 представлена на рис. 5, а — д. Можно проследить основные изменения картины отрывного обтекания при увеличении b от 0.2 до 1. На достаточно тонком эллипсе (b = 0.2) отрывная
Рис. 3. Зависимость cd от величины b и Re
Рис. 5. Картины отрывного течения в зависимости параметра Ь при Яе = 900: а — д: Ь = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1
зона локализована в окрестности задней кромки и ее ширина меньше толщины эллипса. Увеличение Ь до 0.4 приводит к росту длины отрывной зоны, точка отрыва начинает смещаться вверх по потоку, толщина отрывной зоны слабо растет. Формируется также длинная вихревая зона с переменной завихренностью. С дальнейшим увеличением Ь до 0.6 в области присоединения отрыва начинает формировать-
ся локальная вихревая зона, поперечный размер которой резко возрастает. Дальнейшее увеличение Ь до 0.8 — 1 приводит к возрастанию области отрыва как в поперечном, так и продольном направлениях. На рис. 6 показаны значения длины и ширины отрывной зоны в зависимости от Ь для Яе = 900.
На рис. 7 — 9 показаны распределения завихренности и давления на поверхности тела, а на рис. 10 — распределение давления на оси симметрии следа для Яе = 900 при различных значениях Ь.
Рис. 11 показывает линии постоянной завихренности в потоке для кругового цилиндра при Яе = 900. Здесь для удобства значения завихренности нормированы по отношению к значению завихренности юс, в центре вихревой системы отрывного течения, где значение у достигает своего минимума и и = V = 0. На рисунке видно, что завихренность оторвавшегося от тела пограничного слоя наматывается вокруг области постоянной завихренности, образуя в данном случае около двух оборотов, прежде чем диссипирует до значения С0с.
Рис. 6. Длина и ширина отрывной зоны при Яе = 900 Рис. 7. Распределение завихренности на поверхности
кругового цилиндра
е' = Л- -0
-80 -(О
Рис. 8. Распределение завихренности на поверхности тела при Яе = 900:
Линия а — Ь = 1, б — 0.9, в — 0.8, г — 0.7, д — 0.6, е — 0.5, ж — 0.4, з — 0.3, и — 0.2, к — 0.1
50 100
Рис. 11. Распределение завихренности при Ь = 1 и Яе = 900
Рис. 10. Распределение давления вдоль оси симметрии следа при Яе = 900 (обозначения, как на рис. 8)
¡-_I_| | | | |_I_I_I_11-,_I
100 200 300 400 500 600 700 800 Яе900
Рис. 12. Зависимость коэффициента сопротивления тела сл от Яе (обозначения, как на рис. 8)
На рис. 12 показано изменение коэффициента сопротивления тела сл в зависимости от числа Яе и относительной толщины эллипса Ь. Для сравнения кружками показаны результаты для цилиндра (Ь = 1) в [13]. Пунктирной линией дана зависимость сл = 146.1Яе 1, полученная в [26] для тел произвольной формы. Теория отрывного обтекания, предложенная в [29] дает очень близкий результат сл = 149.8Яе-1.
При небольших числах Рейнольдса сопротивление тонких тел меньше, чем толстых. Однако с увеличением числа Яе наблюдается интересное явление: коэффициент сопротивления толстого тела становится меньше чем тонкого. Например, сопротивление кругового цилиндра (Ь = 1) при Яе = 900 меньше, чем у более тонких эллипсов со значениями Ь = 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Этот эффект снижения сопротивления объясняется тем, что когда при увеличении числа Рейнольдса поперечный размер отрывной области становится намного больше размеров обтекаемого тела (а у более толстого тела это происходит раньше, чем у тонкого), зона отрыва начинает тормозить поток в окрестности тела. Так что локальная скорость в области порядка характерных размеров более тупого тела становится меньше, чем у тонкого.
Проверка полученных результатов проводилась путем увеличения числа расчетных точек в 1.5 раза N х М = 2001 х 301 и уменьшения значения шага по 5 и п также в 1.5 раза. Максимальные отклонения вычисленных величин в полученных решениях обнаруживались в области максимального градиента давления и не превышали 7% для Ь = 1 и меньше 5% для Ь < 0.9. Отдельно для случая обтекания цилиндра и Яе = 900 был проведен расчет на максимально мелкой сетке N х М = 3001 х 401 и уменьшения при этом шага сетки еще в 1.33 раза (Л = Ап = 0.005). В этом
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0/
Рис. 13. Сравнение распределения завихренности на поверхности кругового цилиндра полученных на различных расчетных сетках при Яе = 900
случае решение практически совпадает с решением на средней сетке. Максимальные отклонения по величине завихренности на теле, коэффициента сопротивления тела и размерам отрывной зоны находятся в пределах 2.3%. На рис. 13 показаны распределения завихренности на поверхности тела, полученные на различных конечно-разностных сетках. Сплошная линия — самая мелкая сетка N х М = 3001 х 401, кружки — средняя сетка, треугольники — крупная сетка.
Исследование влияния постановки условий на краях расчетной сетки показало, что в исследуемом диапазоне чисел Яе и параметра Ь продольный размер расчетной области за телом должен превышать продольный размер области отрыва более чем в 1.7 раз, а поперечный — в 1.2. В этом случае размеры расчетной области при фиксированном шаге расчетной сетки не оказывают заметного влияния на полученные результаты.
Основная трудность при решении данной задачи состояла в получении необходимой точности в области резкого изменения завихренности (пограничного слоя), который срывается с твердого тела и далее отделяет область отрыва от внешнего невязкого потока. При увеличении числа Яе область отрыва растет как в поперечном, так и в продольном направлениях, что требует увеличения размера расчетной области. С другой стороны, поперечный размер пограничного слоя при этом уменьшается, что требует уменьшения шага сетки в этом направлении. Если шаг недостаточно мал, то пограничный слой «размазывается», его вычисляемая толщина и вклад в интеграл для вычисления функции тока на границах расчетной сетки становятся больше. Если на длину получаемой отрывной зоны это влияет слабо, то на ширину отрывной области — гораздо сильнее из-за того, что этот пограничный слой лежит на верхней части отрывной области и влияет сильнее на граничные условия для у на верхней границе расчетной области. Как показывают результаты расчетов, поперечный размер области отрыва при этом оказывается завышенным. При Яе = 950 и Ь = 1 получить точность расчета величины поперечного размера области отрыва на большой и средней конечно-разностных сетках в пределах 7% оказалось невозможным. Для более тонких эллипсов Ь < 0.9 и, следовательно, более малых размеров отрывных зон, шаг сетки при максимально возможном числе конечно-разностных точек можно уменьшить. Для узких отрывных зон были получены решения и при больших числах Яе, но результаты здесь не привсБщнткятакже проведено численное исследование решения обтекания цилиндра Ь = 1 и Яе = 900 на нестационарную устойчивость решения к начальному возмущению. Обозначим через ю решение стационарных уравнений Навье — Стокса. Пусть в начальный момент ^ = 0 начальное распределение завихренности возмущено на величину Ю1, так что распределение ю имеет вид:
ra(s,n,t = 0) = ra0 +ral5 ra1 = 0.1s(2-s2)exp(—s2— n2), s < 2,
= 0, s > 2,
(42)
(43)
тогда нестационарные уравнения имеют вид:
дю 1 т п
-----------+ L = 0,
dt J
(44)
где Ь представляет собой левую часть уравнения (18). Если обозначить величину завихренности ю и величину Ь в момент времени
t = (п - 1)А^ п = 1, 2, ..., как юп и Ьп, то конечно-разностный аналог этих уравнений со вторым порядком точности по шагу Аt можно записать в виде:
п „П-1 тП
ra — ra L - + —
L
п-1
AtJ
2
■ = 0.
(45)
Конечно-разностная аппроксимация Ln такая же, как и в стационарном случае. Тогда на каждом временном шаге получаем систему нелинейных уравнений относительно неизвестных ran, уп, сП , которая решается таким же методом, как и система (38). На рис. 14 показано, как сопротивление кругового цилиндра при Re = 900 со временем выходит на стационарный режим. Сплошная линия — At = 0.01 и расчет на максимально густой сетке N х M = 3001 х 401, точки — At = 0.05, расчет на средней сетке.
ВЫВОДЫ
Численно исследовано симметричное стационарное обтекание эллиптического цилиндра потоком вязкой несжимаемой жидкости с различной относительной толщиной, включая форму тела, близкую к плоской пластине, и круговой цилиндр в диапазоне чисел Re от 50 до 900.
Показано, что в этом диапазоне чисел Re для эллиптического профиля характерны три основных режима отрывного обтекания.
Обнаружено, что в рассмотренном диапазоне изменения чисел Re и относительной толщины эллипса возможна ситуация, когда сопротивление более толстого тела при достижении некоторого числа Re меньше, чем тонкого.
Показано для кругового цилиндра и Re = 900, что решение стационарных уравнений может быть получено как предел решения нестационарных уравнений при небольших отклонениях начального распределения завихренности от искомого.
ЛИТЕРАТУРА
1. Allen D.N.d.G., Southwell R.
V. Relaxation methods applied to determine the motion, in two dimensions, of a viscous fluid past a fixed cylinder // Q. J. Meet. Appt Math.
1955. V. 8, N 2, p. 129 — 145.
2. H a m i e l e c A. E., R a a h J. D. Numerical studies of viscous flow around circular cylinders // Phys. Fluids. 1969. V. 12, N 1, p. 11 — 17.
3. Underwood R. L. Calculations of incompressible flow past a circular cylinder at moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech.
1969. V. 37, pt. 1, p. 95 — 114.
4. F i l o n L. N. G. The forces on a cylinder in a stream of viscous fluid // Proc. Roy.
Soc., Ser. A. 1926. V. 113, N 1, p. 7 — 27. „ , „ „ ,,
ст ■т/'л-п, Рис. 14. Зависимость коэффициента сопротивления cd
5. Imai I. On the asymptotic behavior w ^ d
от времени
of viscous fluid flow at great distance from cylindrical body with special reference to Filon’s paradox // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1951. V. 208, N 1095, p. 487 — 516.
6. Chang I. D. Navier — Stokes solutions at large distances from a finite body //J. Mech. Math. 1961. V. 10, N 6, p. 811 — 876.
7. Бабенко К. И, Васильев М. М. Об асимптотическом поведении скорости и силах, действующих на тело // ПММ. 1973. Т. 37, вып. 4, с. 7.
8. Kawaguti М. Numerical solution of the Navier — Stokes equations for the flow around a circular cylinder at Reynolds number 40 // J. Phys. Soc Japan. 1953. V. 8, N 6, p. 747 — 757.
9. Keller H. В., Takami H. Numerical studies of viscous flow about cylinders / Ed. by D. Greenspan. — Wiley. New-York, 1953, p. 747.
10. Takami H., Keller H. B. Steady two dimensional viscous flow of an incompressible fluid past a circular cylinder // Phys. Fluids Suppl. II. 1969, p. 51.
11. Dennis S. C. R., Chang G. Z. Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100 //J. Fluid Mech. 1970. V. 42, p. 471 — 489.
12. F o r n b e r g В. A numerical study of steady viscous flow past a circular cylinder // Int. J. Num. Methods in Fluids. 1980. V. 98, p. 819 — 855.
13. F o r n b e rg B. Steady viscous flow past a circular cylinder up to Reynolds number 600 // J. Соmр. Physics. 1985. V. 61, p. 297 — 320.
14. F o r n b e r g B. Steady incompressible row past a row of circular cylinders // J. Fluid Mech. 1991. V. 225, p. 655 — 671.
15. Gajjar J., Azzam N. A. Numerical solutions of the Navier— Stokes equations for the flow in a cylinder cascade // J. Fluid Mech. 2004. V. 520, p. 51 — 82.
16. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. Т. 3, c. 47 — 59.
17. S m i t h F. Т. Laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface // Proc. Roy. Soc. London A. 1977. V. 356, N 1687, p. 443 — 463.
18. Королев Г. Л. Численное решение асимптотической задачи отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности // Ученые записки ЦАГИ, 1980. Т. XI, № 2, c. 27 — 36.
19. B a t c h e l o r G. K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number // J. Fluid Mech. 1956. V. 1, pt. 2, p. 177 — 190.
20. A c r i v o s A., S n o w d e n D., G r o v e A., P e t e r s e n E. The steady flow past a circular cylinder at large revnolds numbers // J. Fluid Mech. 1965. V. 21, N 4, p. 737 — 760.
21. S y c h e v V. V. On steady laminar flow behind a bluff body at high Reynolds number // Proc. 8th Symposium on Current Problems of the Mechanics of Liquids and Gases. — Tarda, Poland, 1967, c. 25.
22. Сычёв В. В., Рубан А. И., Сычёв Вик. В., Королёв Г. Л. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В. В. Сычёва. — М.: Наука, 1987, c. 256.
23. Сычев Вик. В. Об областях турбулентности при отрывном обтекании тел // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 5, c. 3 — 9.
24. Таганов Г. И. О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re ^ да // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1, № 1, с. 1 — 14.
25. Садовский B. C. Область постоянной завихренности в плоском постоянном потоке // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1, № 4, c. 1 — 9.
26. Садовский B. C. Исследование решений уравнений Эйлера, содержащих области с постоянной завихренностью // Труды ЦАГИ. 1973, вып. 1474.
27. P e r e g r i n e Н. A note on the steady high Reynolds number flow past a circular cylinder // J. Fluid Mech. 1985. V. 157, p. 493 — 500.
28. Smith F. T. A structure for laminar flow past a bluff body at large Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1985. V. 155, p. 175 — 191.
29. Чернышенко С. И. Асимптотика стационарного отрывного обтекания тела при больших числах Рейнольдса // ПММ. 1988. Т. 52, № 6, c. 958 — 965.
30. Chernvshenko S., Castro I. High — Reynolds number asymptotics of the steady flow through a row of bluff bodies //J. Fluid Mech. 1993. V. 257, p. 421 — 449.
31. Владимиров B. C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976, c. 1 — 528.
32. Li М.,Tang Т.,Fornberg В. A compact fourth-order finite difference scheme for the steady incompressible Navier — Stokes equations // Int. J. for Num. Methods in Fluids. 1995. V. 20, N 10, p. 1137 — 1151.
33. Королев Г. Л. Об одном методе решения задач асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком // ЖВМ и МФ. 1987. Т. 27, № 8, c. 1224 — 1232.
34. Королев Г. Л. Исследование предотрывного течения в осесимметричном диффузоре // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 4, c. 24 — 31.
Рукопись поступила 23/V 2011 г.
