CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м VI 1 97 5 М 4
УДК 533.6.011.55
ОБТЕКАНИЕ МАЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВЫПУКЛОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА
В. В. Боголепов
Исследуется обтекание цилиндрической выпуклости на поверхности пластины равномерным сверхзвуковым потоком вязкого газа. Численное решение получено для случая, когда местное число 1?е равно нулю, т. е, локальная задача решена в приближении Стокса. Приведены распределения теплового потока, напряжения трения и давления по поверхности обтекаемого тела. Показано, что на поверхности выпуклости максимальное значение теплового потока почти в два раза, а максимальное значение напряжения трения более чем в три раза превосходят соответствующие величины в невозмущенном пограничном слое на пластине. .
Под действием аэродинамического нагревания и всевозможных механических нагрузок поверхности летательных аппаратов, стенки сопл и различных каналов претерпевают искажения, которые вызывают значительные изменения распределений тепловых потоков, напряжения трения и давления. Небольшие искажения гладких поверхностей могут быть также причиной локального отрыва потока, потери устойчивости ламинарного пограничного слоя, перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный [1, 2]. Подобные явления будут наблюдаться и при обтекании различных мелких элементов конструкции на поверхности летательных аппаратов, рядов заклепок, сварочных швов и т. п.
В работе [3] приведена подробная классификация режимов течений около малых двумерных неровностей, расположенных на поверхности гладкого тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком вязкого газа. При использовании метода сращиваемых асимптотических разложений [4] получены уравнения и граничные условия для всех режимов течений и представлены решения для некоторых случаев. Обтекание малых неровностей с характерными размерами, соответствующими масштабам области течения со „свободным взаимодействием“ [5], исследовалось в работе [6] в линейной постановке. Некоторые случаи обтекания малых неровностей рассматривались в работах [7, 8].
В настоящей работе исследуется обтекание малой цилиндрической выпуклости, расположенной на поверхности пластины,
равномерным сверхзвуковым потоком вязкого газа. Решение уравнений Навье—Стокса в возмущенной области течения строится при стремлении характерного числа, определяющего глобальное течение в пограничном слое Ке0 к бесконечности. Рассматривается случай, когда характерные размеры выпуклости по порядку величины много меньше толщины пограничного слоя и таковы, что в первом приближении -течение около выпуклости описывается полными уравнениями Навье — Стокса с местным числом Яе. При этом получается, что выпуклость обтекается пристеночной частью невозмущенного пограничного слоя. Математически эта задача очень похожа на задачу об обтекании кругового цилиндра равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости [9—12].
Методом последовательных приближений получено решение для случая, когда местное число Яе равно нулю, т. е. задача решена в приближении Стокса. Найденное решение симметрично относительно вертикальной оси. Приведены распределения теплового потока, напряжения трения и давления по поверхности обтекаемого тела. Получено, что на поверхности выпуклости максимальное значение теплового потока почти в два раза, а максимальное значение напряжения трения более чем в три раза превосходят соответствующие величины в невозмущенном пограничном слое. Около передней и задней критических точек обнаружены симметричные локальные срывные зоны. Дано сравнение коэффициента сопротивления выпуклости с известными результатами [13—16] для сопротивления кругового цилиндра в равномерном потоке вязкой жидкости.
1. Рассматривается обтекание пластины равномерным сверхзвуковым потоком вязкого газа (число М. в набегающем потоке М0^1, давление равно р0). Пусть на расстоянии I от передней кромки пластины на ее поверхности находится малая двумерная выпуклость, характерные длина и высота которой одинаковы по порядку величины и много меньше толщины пограничного слоя в этом месте, т. е. выпуклость находится на дне пограничного слоя. Строится решение уравнений Навье — Стокса при стремлении характерного числа Ие0 к бесконечности Ие0 = = ро«о^О = £_2 (Ро> м0> — плотность, скорость и коэффициент ди-
намической вязкости в набегающем сверхзвуковом потоке).
Предполагается, что характерные размеры выпуклости по порядку величины равны 0(еа/), где а>1. Известно, что при в О в области с характерными размерами х— О (/) и у~0 (/) решением уравнений Навье —Стокса в первом приближении является равномерный набегающий поток (здесь х, у — декартова система координат). Это решение не удовлетворяет условиям прилипания на поверхности пластины и, согласно теории Прандтля, следует рассматривать область с характерными размерами х — О (/) и О (е/)— пограничный слой. Решение для этой области течения также хорошо известно. Однако в масштабах пограничного слоя окрестность выпуклости с характерным размером порядка 0(ва1) при е -> 0 представляет собой точку и остается неисследованной. Принцип сращивания асимптотических разложений в пограничном слое и в возмущенной области течения с характерными размерами
дг~0 (в“/) и у ~ О ($“/) показывает, что при Х—-£-—> — оо или
У = ->■ оо решение в этой области должно переходить в сдви-
£“ I
говое течение с такими же градиентами продольной скорости и и энтальпии Н, как в невозмущенном пограничном слое у поверхности пластины.
На основании вытекающих из этого факта оценок в области с характерными размерами x-~0(s“/) и* .у—О (s“/) необходимо, следуя [3], ввести следующие независимые переменные и асимптотические представления для параметров течения:
Н(х,у, е)=Ио[/^і(0) + є“-1 G(X, Y)-\- ...], ¡л(х, у; е) = ¡j,0 ^ (0)+. .. ;
здесь индексом 1 отмечены параметры течения у поверхности пластины в невозмущенном пограничном слое, т. е. при X -*—оо. Если теперь разложения (1.1) представить в уравнения Навье — Стокса и перейти к пределу е -»0, то при <х = 3/2 течение в рассматриваемой области будет описываться следующими уравнениями:
где о—число Прандтля.
На поверхности обтекаемого тела должно выполняться
Внешние краевые условия получаются из сращивания решения в рассматриваемой области течения и в пристеночной части невозмущенного пограничного слоя
где А и В — безразмерные градиенты продольной скорости и энтальпии у поверхности пластины в невозмущенном пограничном слое.
Пусть выпуклость имеет следующую форму
2. Вместо переменных (X, Y) вводятся новые независимые переменные (5, r¡) [9, 11, 12J
U (X, Y) = V (X, Y) = G (X, Y) = 0.
(1.3)
U (X, Y) -* А У, G (X, Y) -* В Y при ЛГ2+ У2 - оо, (1.4)
/Г (X) = + У а2 — Xі.
Схема исследуемого течения показана на фиг. 1 ,а. В дальнейшем будет использоваться функция тока
(1.5)
Pi (0) U = -gy-; Р](0)К=—
^ = Т arg-ÍA' + fl').
(2.1)
3—Ученые записки № 4
33
Преобразование (2,1) отображает всю область течения в плоскости (А-, У) на полуполосу 0<£ < оо и 0<тг)<1 (см. фиг. 1,6). В качестве искомых переменных выбираются возмущения функции тока, вихря и энтальпии [10, 12].
Ф = Pi (0) Аа2 [ 2 =
: Ва
+ g (&. *))] >
\~ШГ + ТР") = Pi (°) А [_1 + ® & чЧ-
(2.2)
В новых переменных (2.1), (2.2) система уравнений (1.2) принимает вид
д2/
¿2/
дгр
— я2 е2^ ш;
д2
^2 =Re jrcé2"5Sin Щ ^COS ТС-У) -
( df дт df <?<О
\ дí dr¡ di ) J ’
sin TC7¡
du>
dr¡
)
d2g , d2g
d&
dr¡2
Rea Jrce^sin ir») (eos tct¡ dg-
I^COST^-SinrcT]-^-).
-i
df dg dr¡ di
(2.3)
P. (0) Aífl
t1! (Ü)
где местное число Re
Уравнения (2.3) являются уравнениями эллиптического типа, для их решения необходимо задавать граничные условия для неизвестных функций /($, к)), ш($, т|) и g($, ч) на всех границах области течения. Из условий (1.3) следует, что на поверхности пластины должно выполняться
/(&>0)=/(S, l) = g(?, 0) = g($, 1) = 0, (2.4)
а на поверхности выпуклости .
sin2 1TÍ)
/(0, -Ч) :
g (о, *i) = — sin щ.
(2.5)
Граничные условия для функции со ($, -/¡) на поверхности обтекаемого тела получаются только приближенно [17]. Для функции /(£, •»]) около поверхности выпуклости, например, справедливо разложение
/(45, „)_/«>, 4) + W(^)s_o + f Щ,0+^(^)„+О(4Е*).(2.6)
Из условия прилипания (1.3) следует, что на поверхности выпуклости
Выражение для ('^г)£_0 получается из первого уравнения системы (2.3) и первого условия (2.5)
(w)e=o = я* cos 2тс71 ~ те2 “ ^ ^2-8^
Дифференцируя первое уравнение системы (2.3) по 5 и используя соотношение (2.7), можно получить, что
1~й9г=0 2тс8 cos 2,tY1 + ~ST ^ “ е2пА5 “ (д^> ч)] + 0 (д£)- (2-9)
Теперь из соотношений (2.6)—(2.9) следует, что
(В (0, ■*]) = (~5—(- яДе) cos 2тг») — " (AS’ ^ е-
3 J/ (д5. i) + sinS B1ij
; (л£5)*
Подобным образом получаются граничные условия для функции <o(S, tj) на поверхности пластины:
+ 0(Д$2). (2.10)
*<Е’0)—+0
“ (е' ■>=- з/,:^и' - ‘>Hr-’i!+°
(2.11)
Граничные условия (2.10), (2.11) имеют второй порядок точности относительно приращений М и Д?). Из первого уравнения системы (2.3) и условий (2.4), (2.5) сразу следует, что в критических точках
а>(0, 0) = ю(0, 1)=1. (2.12)
При больших значениях £ возмущения функций должны быть много меньше значений самих функций в невозмущенном набегающем сдвиговом потоке:
/(£. о (в2*5 б!п2 тс-»)), <» (£, 1]) — о (1), £•($, ?)) — о (е^эт 1сг(). (2.13) Нетрудно получить, что распределения безразмерных теплового потока О, и напряжения трения Т по поверхности обтекаемого тела (за характерные величины приняты значения в невозмущенном пограничном слое) определяются следующими соотношениями:
Q- 1±-^г-бг при ^0; 1;
Q = sin ятг) -J- -§f- при 5 = 0, Т = I
(2.14)
а для расчета распределения давления необходимо интегрировать уравнения
Коэффициенты сопротивления и подъемной силы выпуклости от сил давления и от напряжения трения определялись по формулам
а безразмерный момент вращения, действующий на выпуклость,, вычислялся по следующей формуле
3. В настоящей работе представлены результаты расчетов для случая, когда местное число Ие = 0, т. е. задача решалась в приближении Стокса. В плоскости (£, г[) задавалась равномерная по & и по к) разностная сетка
а дифференциальные уравнения (2.3) с помощью первой основной схемы [18] на шаблоне „крест“ (см. фиг. 1,е) аппроксимировались следующими разностными уравнениями второго порядка точности (Ие = 0)
Разностные уравнения (3.1) с граничными условиями (2.4), (2.5), (2.10)—(2.13) решались с помощью следующего итерационного процесса: .
1) Задается некоторое приближение для функций /(£, ?)) и о» (5, т))—/<л> и (здесь п — номер итерации).
2) Используя каждый раз приближение /(п) и ю(л), методом прогонки [18] поочереди решаются два первых уравнения системы (3.1) сначала вдоль линий •») = const, а затем вдоль линий £ = const. В качестве («+1)-го приближения берется полусумма полученных решений.
3) Для улучшения процесса сходимости приближений использовалось демпфирование [/("+1) =/С/(л+1) + (1—/С)/(л), в расчетах коэффициент демпфирования К был близок к единице].
4) Итерации повторяются до тех пор, пока отличия значений давления и напряжения трения на поверхности обтекаемого тела на соседних итерациях не становятся меньше некоторой заданной величины е0 (абсолютная точность в расчетах е0=Ю-4).
5) После того как получено решение для функций /(£, ?)) и «о (£, к)), тот же итерационный процесс повторялся для нахождения функции g (5, y)); итерации оканчивались, когда значения тепловых
о
о
(2.16)
(2.17)
Д5 == Дт) = h,
(3.1)
Ш0-------- *4" (Ш1 + Ш2 + Ш3 + ®4)‘> go — “4" (gl + £2 + if 8 + £4)-
потоков к поверхности обтекаемого тела на соседних итерациях ■отличались меньше, чем на величину е0 = 10-4.
В качестве начального приближения использовались следующие распределения:
, 1 + 2тс£ 0 . 14-2я; _ '
/ —-2— (1 —СОЭ (о = сов 2щ]
(1—СОЭ 2тстг));
1+2^
ё
2ег'
(3.2)
Соотношения (3.2) удовлетворяют уравнениям (2.3) при больших значениях £ (в случае Яе — 0) и всем граничным условиям, и могут
рассматриваться как асимптотика решения системы (2.3) при больших значениях I. Из формул (3.2) следует, что при больших значениях \
(3-3)
Условия (3.3) использовались в расчетах вместо (2.13) и выполнялись на внешней границе области течения, которая определяется максимальным значением координаты \ Как следует из формул (2.1), расстояние до внешней границы области течения
г1 = е^'.
Для проведения расчетов была составлена программа на языке ■ФОРТРАН—ЦЕРН, вычисления были выполнены на ЭЦВМ БЭСМ-6. Как это следует из уравнений и граничных условий, найденное решение симметрично относительно вертикальной оси У (так же, как и другие известные решения при Ие=0).
На фиг. 2 показаны распределения теплового потока ((^— 1), напряжения трения (Г—1) и давления Иеср по поверхности обтекаемого тела (кривые /, 2 и 3 соответственно). Величины ((^—1),
(Т — 1) являются четными функциями координаты X, а Ие ср — нечетная функция X. Видно, что на большом удалении от выпуклости тепловой поток равен значению в невозмущенном пограничном слое. По мере приближения к выпуклости поток газа тормозится, тепловой поток уменьшается и в критической точке равен нулю [это следует из определения теплового потока (2.14) и граничных условий (2.4), (2.5)]. При обтекании выпуклости поток газа разгоняется, тепловой поток увеличивается и в верхней точке выпуклости достигает своего максимального значения, почти в два раза превосходящего тепловой поток в невозмущенном пограничном слое. Подобным образом изменяется и напряжение трения на поверхности обтекаемого тела. В критических точках обнаружены маленькие локальные симметричные срывные зоны.
Аналогичные срывные зоны были получены в работе [19] при исследовании течения в прямоугольных кавернах. Так же, как и тепловой поток, напряжение трения в верхней точке выпуклости достигает своего максимального значения, которое более чем в три раза превосходит напряжение трения в невозмущенном пограничном слое. Распределение давления по поверхности обтекаемого тела определялось путем интегрирования соотношений (2.15) методом трапеций. Видно, что по мере приближения к выпуклости давление возрастает, характер изменения давления вдоль поверхности выпуклости объясняется изменением наклона выпуклости и тем, что набегающий поток — сдвиговый. Уступ в кривой распределения давления появляется из-за наличия локальной срывной зоны в критической точке. Погрешность при интегрировании уравнений (2.15) составляла не более 1% от максимальной величины давления (здесь давление достигает максимального значения где-то на поверхности выпуклости, а не в критической точке, как при обтекании кругового цилиндра равномерным потоком [9—16]).
Для проверки достоверности полученных результатов проводились расчеты при значениях шага разностной сетки Л = 0,05 и 0,025 и различных значениях величины 1,0; 1,5 и 2,0. Результаты для сравнения различных вариантов представлены в таблице,
Значения величин Результаты расчетов
при шаге разностной сетки Л, равном
0,05 0,025
«1 1,0 1,5 2,0 1,0 1,5
Г\ 23,14 111,3 535,5 23,14 111,3
Ттах 1 2,064 2,045 2,043 2,085 2,063
ИесдТ 3,7916 3,7671 3,7648 3,8084 3,7798
ПесВр 2,6499 2,6254 2,6233 2,8129 2,7832
Ие см 4,2970 4,2689 4,2662 4,3138 4,2811
Огаах 1 0,9070 0,9121 0,9125 0,9337 0,9389
коэффициенты (2.16), (2.17) определялись с помощью численного интегрирования методом трапеций. Из таблицы видно, что при изменении величины от 1,0 до 1,5 различные характеристики течения изменяются примерно на 1 % для обоих значений А, а при увеличении ^ от 1,5 до 2,0 (к = 0,05) изменение характеристик
течения составляет не более 0,1%- Уменьшение шага разностной сетки в два раза (от 0,05 до 0,025) вызывает изменение в распределении напряжения трения примерно на 1%, а в распределении теплового потока — на 3%. Увеличение величины £, и уменьшение шага Л вызывает увеличение расходов машинного времени за счет увеличения объема вычислений и за счет ухудшения сходимости итераций.
На фиг. 2 представлены результаты расчетов для случая ?!=:1,5 и /г = 0,025. Так как полученное решение обладает симметрией, то коэффициенты подъемной силы Сы и сЬр равны нулю.
При Яе = 0 в задачу не входят никакие характерные параметры, и найденное решение пригодно для случая обтекания кругового цилиндра любого радиуса при произвольных градиентах скорости и энтальпии в набегающем потоке.
Используя асимптотическую форму решения (3.2), можно получить, что для настоящего решения отношение отброшенных конвективных членов к сохраненным вязким при больших значениях \ имеет порядок 0(Нее2,сЕ) и, следовательно, это решение справедливо только при Нее2,15<^1. Если Яее2^^1, то необходимо учитывать конвективные члены и решать уравнения Озеена. Известно, что в случае обтекания кругового цилиндра равномерным потоком уравнения Стокса не имеют решения. Настоящее решение удалось получить благодаря иному виду граничных условий на бесконечности (ф -> ~ при х2+у2 -*■ ос вместо <|» у для
равномерного потока^.
Найденное решение' справедливо также, когда внешний поток является дозвуковым или несжимаемым; при этом различными будут только значения температурного фактора, который появится при переходе к размерным величинам.
На фиг. 3 сравнивается величина сопротивления выпуклости Сй — + (кривая 7) с известными теоретическими результа-
тами [13—15] (кривые 2, 3 и 4 соответственно) и с данными экспериментальной работы [16] для сопротивления кругового цилиндра
в равномерном потоке жидкости при различных значениях числа Re. Необходимо отметить, что в настоящей работе при вычислении Re за характерную скорость принималась скорость сдвигового потока на высоте, равной радиусу обтекаемого цилиндра, т. е. Аа. В работах [13—16] за характерную скорость, как обычно, принималась скорость набегающего потока.
Автор благодарит В. Я- Нейланда за ценные советы и внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. В е г t г a m М. and W i g g s M. Effect of surface distortions on the heat transfer to a wing at hypersonic speeds, IAS Paper, N 62-127.
2. S e d n e у R. The effects of steady, three-dimensional perturbations in boundary layers. AIAA Paper, N 72-713.
3. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.
4. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкостей.
М., „Мир“, 1967.
5. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, №4.
6. Smith F. Т. Laminar flow over a small hump an a flat plate.
J. Fluid Mech., vol. 57, part 4, 1973.
7. Зубцов А. В. Влияние единичной шероховатости на течение жидкости в пограничном слое. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II,
№ 1, 1971.
8. Hunt Т. С. R. A theory for the laminar wake of a two-dimensional body in a boundary layer, j. Fluid Mech., vol. 49, part 1, 1971.
9. Thom A. The flow past circular cylinder at low speeds. „Proc.
Roy. Soc.-. Ser. A, vol. 141, 1933.
10. Kawaguti M. Numerical solution of the Navier—Stokes equations for the flow around a circular cylinder at Reynolds number 40. „J. Phys.
Soc. Japan*, vol. 8, N 6, 1953.
11. A pelt С. T. The steady flow of a viscous fluid past a circular cylinder at Reynolds number 40 and 44. „ARC RMN 3175“, 1961.
12. Keller H. B., Taka mi H. Numerical studies of steady viscous flow about cylinder. Numerical solutions of nonlinear differential equations.
New York — London — Sydney, 1966.
13. Ламб Г. Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.
14. Kaplun S. Low Reynolds number flow past a circular cylinder.
J. Math. Mech., vol. 6., 1957.
15. Tomotika S., Aoi G. The steady flow of viscons fluid past a sphere and circular cylinder at small Reynolds numbers Quart. J. Mech.
Appl. Math, 1950, vol. 3.
16. Tritton D. T. Fxperiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds humbers. J. Fluid Mech, 1959, vol. 6.
17. Wood L. C. A note on the numerical solution of a fonrth order differential equation. „Aeron Quarterly', 1954, vol. 5, N 3.
18. Демидович Б. Л., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М., „Физматгиз“, 1962.
19. Burgqraf О. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows. J. Fluid Mech., vol. 24, part 1, 1966.
Рукопись поступила 2jl 1974 г.
