CC BY
71
Том ХЫУ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2013
№ 6
УДК 532.526.5
К ТЕОРИИ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
Вик. В. СЫЧЕВ
Рассмотрено установившееся осесимметричное обтекание тела вращения однородным потоком несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса. На основании асимптотического анализа системы уравнений Рейнольдса для осредненных по времени функций показано, что в масштабах тела течение описывается решением задачи обтекания со свободной поверхностью тока по схеме Кирхгофа, в области смыкания зоны отрыва и в следе оно турбулентное, а всюду вне этих областей турбулентные напряжения экспоненциально малы. Установлено, что продольный и поперечный размеры области отрыва велики и в главных приближениях эта область имеет форму эллипсоида малой относительной толщины.
Ключевые слова: область смыкания, зона отрыва, слой смешения, турбулентные напряжения.
При построении асимптотической теории [1] плоских установившихся течений несжимаемой жидкости около затупленных тел при больших числах Рейнольдса (Яе) делались следующие предположения: во-первых, о существовании стационарного решения системы уравнений Навье — Стокса при Ие ^да и, во-вторых, что коэффициент сопротивления сх стремится к ненулевому значению. Однако при этом из области смыкания слоев смешения (обл. 4, рис. 1) выходит струя, направленная к телу и обладающая конечным потоком импульса [1]. (На рисунке она не изображена.) Это нарушает структуру течения в масштабах тела, которое описывается решением задачи о течении идеальной жидкости со свободными линиями тока по схеме Кирхгофа (см. [2]). Возникающее противоречие было отмечено в работе [3]. В дальнейшем путем рассмотрения баланса сил, действующих на разделительную поверхность тока, охватывающую зону отрыва (обл. 3), было установлено [4], что при условии конечности сх возвратной струи не возникает и в области смыкания течение нестационарно. Более того, эту локальную нестационарность «следует интерпретировать как хаотическое движение» ([5], с. 214). Действие сил внутреннего трения в области смыкания несущественно при Ие^да [1], т. е. в главном приближении течение здесь должно описываться решением задачи для системы уравнений Эйлера. Согласно результатам работ [6, 7], решения последней при больших значениях времени (£ ^да) теряют гладкость и соответствующие течения уже не могут оставаться ламинарными [6]. Следовательно, в области смыкания установившееся течение является турбулентным: для его описания следует исходить из уравнений для осредненных функций и в главном приближении здесь существенны турбулентные напряжения Рейнольдса [8]. Дальнейший анализ показал [9], что если в каких-либо областях течение турбулентно (в данном случае это области смыкания 4 и следа 5), то для описания течения во всех остальных областях также необходимо исходить из уравнений Рейнольдса для осредненных функций. Это области 1, 2, 3 и области в масштабах тела. В то же время, здесь турбулентные напряжения и соответствующие им изменения
СЫЧЕВ Виктор Владимирович
доктор физико-математических наук, начальник сектора ЦАГИ 3
величины осредненнои скорости являются малыми,
течение слаботурбулентное — по существу ламинарное.
Согласно экспериментальным исследованиям (например, обтекания кругового цилиндра),
1 2
плоское отрывное течение уже при небольших значениях числа Рейнольдса (Re=10 — 10 ) становится нестационарным и несимметричным [10]. Однако в результате надлежащего осреднения по времени оно приобретает симметричную стационарную структуру и выглядит как стационарное при небольших числах Re [11, 12]. Об этом свидетельствует визуализация течения. В работе [13] (а также [14]) были помещены две фотографии, полученные F. R. Hama, с изображением отрывного обтекания кругового цилиндра. На одной из них дана мгновенная картина течения, на другой — осредненная (сделанная с большей выдержкой). Этот экспериментальный результат подтвердил основную идею работы [13]: интересоваться течениями, осредненными по времени, если число Re велико. Особенно важно, что с ростом числа Re турбулентность впервые возникает в области смыкания слоев смешения осредненного поля течения [11, 12]. При дальнейшем увеличении Re, турбулентность усиливается и расплывается, охватывая все большую часть слоя смешения (обл. 2). В конце концов, турбулентными становятся весь слой смешения и пограничный слой на поверхности тела. Это распространение турбулентности из области смыкания вверх по потоку связано с ростом влияния внешних возмущений (см. [10]).
Результаты асимптотического анализа работ [1, 4], а также [8, 9], относятся к плоским течениям. Представляет интерес рассмотреть соответствующие осесимметричные течения. Этому посвящена данная работа.
1. Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидкости около тела вращения, имеющего конечную относительную толщину и находящегося под нулевым углом атаки к однородному набегающему потоку при отсутствии внешних возмущений.
Введем следующие обозначения: lx0, lr0 — оси цилиндрической системы координат с на-
2
чалом внутри тела; u0u, u0o — соответствующие проекции вектора скорости; р0 + p0u 0р — давление; u0l f — функция тока. Здесь l — характерный размер тела; u0 и р^ — величины скорости и давления в набегающем потоке, направленном вдоль оси Ox0; Р0 — плотность.
Наконец Р0ЦОl2cx/2 — сила сопротивления и Re = u Jijv0 , где V0 — кинематический коэффициент вязкости. В свете сказанного во вводной части, искомые функции u, o, p, у суть функции осредненные. Они входят в систему уравнений Рейнольдса, которая содержит также турбулентные напряжения p0u00xij [15] и является исходной. Временное осреднение какой-либо функции
f 0(xi, t) вводим [15] следующим образом:
Т/2
1
Т^о ~
-Т/2
где lt/u 0 — время.
J Т/2
/(хг) = lim - Г /°(xt, t + t)dt,
Т^о 1 j
Обратимся к течению в масштабах тела: х0 = О(1), г 0 = 0(1) . Согласно Прандтлю [16], при Яе ^ да в главном приближении оно должно описываться решением задачи обтекания тела идеальной жидкостью со свободной поверхностью тока по схеме Кирхгофа. Это означает, что за-
стойная зона за телом расширяется и при х 0
г = а о х 01/2 Х_1/4
• да:
1п X Ь
0
1--+ — + О
^1п2 Х^
8Х X
Х = 1п х0
а0 =
1/4
%
V /
0 11
Ь = — +—1п 4 2
0 а0
(1.1)
Здесь г5 (х0) представляет форму свободной поверхности тока и сх — значение коэффициента сопротивления при Яе ^да. Главный член асимптотического разложения (1.1) был впервые определен независимо Г. В. Логвиновичем и Л. А. Галиным (см. об этом в [17], с. 467). В представленном виде это разложение было получено в работах [18, 19], но содержало два члена с указа_1 _2
нием порядка третьего: 0(Х ) . В [20] было найдено пять членов, с остаточным 0(Х ) . Наконец недавно [21], это разложение было доведено до десяти членов.
Вдоль поверхности тела развивается тонкий «вязкий» пограничный слой. Используя ортогональную криволинейную систему координат ¡5, ¡п, связанную с поверхностью, можем представить решение в этом слое в виде [22]:
5 = О(1), п = Яе_1/2 N, и, ип, р) = (и0, Яе_1/2 и0, р0) + о(0,
(1.2)
где 5 — расстояние до начала нормали, отсчитываемое от передней критической точки вдоль поверхности, и ида и5, ида ип — соответствующие составляющие вектора скорости. Для искомых функций приходим к задаче для уравнений пограничного слоя Прандтля [22]:
,8н 0
8и 0
с5 8N 8(г,и 0) , 8(г,и 0)
8р 0 85
82и 0 8N 2
8р 0 8 N
= 0,
85
8N
1 9
= 0, р 0 = ре (5) = ^(1 _ и2);
(1.3)
N = 0: и 0 = и0 = 0; N ^да: и0 ^ ие (5); 0 < 5 < 50.
Здесь ие (5), ре (5) — распределения скорости и давления, определяемые решением внешней задачи; г (5) — расстояние точки на поверхности тела от оси симметрии и ¿о — координата линии отрыва на поверхности.
При 5 = 50 пограничный слой в результате отрыва переходит в слой смешения, который сглаживает разрыв — свободную поверхность тока при 5 > ^0 . Пусть 5, п связаны с этой поверхностью: г = (х0). Тогда на внешней границе слоя смешения ие = 1, ре = 0 и краевые условия для уравнений (1.3) при 5 > Зд имеют вид:
N ^да: и01; N = 0: и0 = 0; N ^-да: ис
•0.
(1.4)
Если обтекаемая поверхность вращения является гладкой, то отрыв потока [23] происходит
в области взаимодействия, имеющей размеры порядка Яе_38 . При этом решение внешней задачи в главном приближении удовлетворяет условию Бриллюэна — Вилля (см. [2, 17]) о конечности кривизны свободной поверхности на линии ее схода [23]. Течение в области взаимодействия
при отрыве от угловых точек (например, при обтекании диска) также хорошо изучено [24], см. гл. I, II в [5]. Заметим, что течение в областях взаимодействия здесь квазидвумерно. Преобразование Степанова — Манглера
s
S =
jr*ds', N = r0N, u(s,N) = u°(s,N),
о'
0 (1.5)
- 1К ^
v(s, N) = ih +v>° , iie(s) = ue(s)
r0
vro
V /
приводит задачу (1.3), (1.4) к виду, соответствующему плоскому течению, т. е. для функций й, и, йе это задача (1.3), (1.4) с r{) = 1. Как и в случае плоского течения [1], решение для слоя смешения при 5—>оо имеет автомодельную асимптотику:
v|/ = .v' 2/о(П) + Ш), г| = N/2, (1.6)
где
й=дХ Ъ = -дХ v = Re1/2V (1.7) dN 8s
и f0 — решение известной задачи [25 — 27]:
2/0"+ fofo" = 0, f'M = 1, fo(0) = f0(-^) = 0. (1.8)
Застойная зона за телом в действительности есть область медленного возвратного течения, обусловленного эжекцией жидкости в слой смешения. Поскольку в последнем, согласно (1.7),
V = O(ReL2) , в области возвратных токов [1]
х 0 = O(L), г0 = O (L) (V, и, о, p -Р00) = (Re-1/2 V*, Re-1/2u*, Re-1/2 о*, Re-1 p) + o(-). .
Здесь p00 , как будет показано позже, некоторая малая постоянная: p00(Re) ^ 0 при Re^да. В результате подстановки (1.9) в исходные уравнения приходим к системе уравнений Эйлера:
д2V* d2V* L dV* 2 dh* . +----= r 02
дхо2 дго2 г0 дг0 йV 1о)
1 дЖ * 1 дЖ 1 , *2 *2. * т^^лч
и* =--, и =---, -(и + и ) + р = к (V*).
г о дг0 г0 дх0 2
Краевые условия на оси симметрии, на поверхности тела (г 0 = г№(х0)) и условия сращивания с разложением для слоя смешения имеют вид:
г° = 0: Ч7* = 0; г° = г„: 4^=0; г° = г5: У* =0(3), (1.11)
где <2 = Ч^я, - оо), а Л') —решение задачи (1.3) — (1.5), (1.7) для слоя смешения. Используя
разложения (1.1) и (1.6), а также (1.5), находим, что при х
0
>■ да:
* f | r?iX°lnXl У-lnr0 О-О 6 _ Д^оС-00)
где У0(_да) = _1.2386 [26]. Тогда из последнего условия в (1.11) (с учетом первого) и уравнения (1.10) следует, что
С = Ф*=%2, (1.12)
Х!/4 х а0 а0
когда х0 ^да, а также, что dht /dу* = 0 и течение в этой области в рассматриваемом приближении потенциальное, поскольку завихренность & = —r0dh*/dу* . Это означает, что условие 8и' */8г 0 = 0 при г 0 = 0 будет выполнено. Заметим, что на поверхности тела в области возвратных токов лежит пограничный слой, имеющий толщину 0(Яе^ 4), так как скорость на его
внешней границе — величина 0(Яе_1 2) (см. [5], гл. I, II).
Незамкнутость застойной зоны, как об этом впервые было сказано в работе [13], делает необходимым полагать длину зоны отрыва большой. Для плоского течения предполагалось [13], что ее величина растет пропорционально Яе. Асимптотическое решение [1] дает следующие выражения для длины и максимальной ширины зоны возвратных токов, имеющей форму эллипса:
2
13/2^1/2
Ь* = Яе, ^ = D0*Co Яе1 , (1 13)
¿0 = [8Л"(0)] = 0.3922, D00 = (2/* /%) 1/2 = 0.4997.
Здесь /0' (0) = 0.1996 [26] (см. (1.8)). Заметим, что использование схемы Рябушинского (см. [2])
привело в [14] к оценкам для Ь* и D*, соответствующим (1.13). Перейдем к рассмотрению осе-симметричного течения в масштабах зоны отрыва.
2. Пусть длина зоны отрыва Ь = X(Яе)Ь0(Яе), где Х^-да, Ь0^Ь00 при Яе^да и Ь00 — некоторая постоянная. Следуя [1], введем переменные (х, г) , в которых продольный размер этой зоны (обл. 3, рис. 1) конечен:
х = Х"1 х0 = 0(1), г = Х"1 г0 = 0(1). (2.1)
Переходя к этим (внешним) переменным в разложении (1.1), получаем выражение для формы разделительной поверхности тока, охватывающей область 3:
г0 = Хг = Х1/2ц_1/4Д.,(х, Ц), ц = 1пX, Я 5 = ^0(х) + с^ (х) + с2(х) + 0(с3),
1п Ц 1 2 „
С1 =-, с2 =-, С3 = с^ (2.2)
Ц Ц
а0
х^+0: К К = -—х1/2 + •••>
и 1 8
а0
2 4
Функции ^0 , , пока неизвестны, а приведенные разложения для них обеспечивают сращивание с разложением (1.1) решения в масштабах тела при х0 ^да .
Относительная толщина зоны отрыва, как и в [1], мала — согласно (2.1), (2.2) — порядка
Х_1/2 (1пХ)_1/4. Следовательно, вне нее (обл. 1) величина продольной составляющей вектора скорости в главном приближении равна единице. Тогда для течения в слое смешения при х0 = 0 (X)
(обл. 2), исходя из выражений (2.1), (2.2) и баланса инерционных и «вязких» членов в исходных уравнениях, представим решение в виде:
X0 = Ях, г0 -Я1/2ц-1/4Л, = (Я/Яе)1/2у,
и = и0(х, у) + о(1), р = о(1), (2.3)
и = Я-1/2ц-1/4и0 ^ + (ЯЯе)-1/2 V0(х, у) + 0(.).
Для функций и0, V0, Х приходим к уравнениям вида (1.3) с ие = 1. Вновь применяя преобразование Степанова — Манглера
х=|R2sdx\ y = Rsy, U(х, у) = U°(x, у),
1
fK ^
(2.4)
R
yRs
получаем уравнения пограничного слоя Прандтля для плоского течения, решение которых есть:
Ф = х1/2/0( л), г) = у/х1/2, йЖ, У = Ж Ф = Ке1/2Я"У/Ч (25)
дУ дх
где Уо(^) — функция из (1.8), и следовательно, это асимптотическое решение удовлетворяет
условию сращивания при x^ + 0 с разложением (1.2) при x0 ^да, а также всем граничным
условиям для слоя смешения.
Своим эжектирующим действием течение в слое смешения вызывает медленное возвратное движение в области 3 [1]. Зная, на основании (2.5) и (2.3), значение функции тока при да и размеры этой области, представим решение в виде:
X0 = Яx, rо = Я1/21—1/4r*, (V, и, и, Р — Роо) = (Re—1/2 Я!—1/4У*, Re—1/2 l1/4U, (2.6)
Re—1/2 11/2V*, Re—111/2P*) + o(-).
Внося это разложение в исходные уравнения, приходим к уравнениям движения идеальной жидкости в тонком ядре:
+ P* = И* (у*), U*= ——, — = 0; ,„„ч
2 r * 8r * 8r * ' (2.7)
Здесь приведены еще условия на оси симметрии и сращивания с разложением (2.3) — (2.5) для
слоя смешения. Наконец, в соответствии с (1.9) и (1.12), при х—> + 0: U* = 2Q0 а\f + о(1).
Обратимся к течению в области 1 (рис. 1), имеющей продольный и поперечный размеры порядка длины зоны отрыва. Здесь, в силу малости относительной толщины последней, течение является слабовозмущенным. Разложения для радиальной составляющей и в (2.3) и для функции Rs(x, |) в (2.2) позволяют представить (см. [28]) решение в рассматриваемой области в виде:
X
0
X0 = Ах, г0 = Хг, х = Я"1/2Ц"1/4,
(и - 1, и, р) = Х 2(М1, «1, Р1) + Х 2С1(м2, 02, Р2) + +х Ъ 2(из, 03, Р3) + 0(х 2а12),
(2.8)
где х — относительная толщина (по порядку величины) области отрыва (см. (2.1), (2.2)). Нетрудно убедиться, что течение здесь безвихревое и потенциал, удовлетворяющий условию затухания на бесконечности, представляется в виде интеграла от распределенных по оси симметрии источников [28, 21]. При г^ 0, 0 < х < Ьо решение ведет себя особым образом [28, 21]:
ик = Б"к (х) 1п г + Тк (х) + 0(г 21п г), ок = Як (х)/г + 0(г 1п г); к = 1,2,3;
(2.9)
2
Тк =-^к 1п2 -1 к к 2 с1х2
¿0
| Б'к (¡) (х -1) 1п I х - г I.
В результате сращивания разложений (2.3) и (2.8) для о при и г ^ 0, на основании (2.2)
и (2.9), находим:
1 2
= - К0 > Я2 = К0 К1> 1 3 = К0 К2 .
(2.10)
Разложения (2.8), (2.9) и интеграл Бернулли определяют давление на разделительной поверхности тока при 0 < х < Ь 0 :
Р, = Р(х, хЯ,) = х 2
ц ! + [ I + Т ] 1п ц +1Я3 - *'1п К -
-Т1 -1 1 2
2
11
V Р0 )
О
2
1п ц
V Ц )
(2.11)
Здесь были также использованы выражения для малых параметров в (2.2).
В дальнейшем будет показано, что переменная часть давления в зоне отрыва, которая согласно (2.6) есть величина 0(Ие-1 Ц1 2), по порядку меньше полученного значения Р, в (2.11). Это означает, что давление Р, в рассмотренных приближениях постоянно и поэтому в соответствии с (2.10), (2.11):
К = ^ [х(¿0 - х)]1/2, ¿0
К =-1К = а 0
Г1 = й Ко, ■— = а
(2.12)
Это окончательные формулы, учитывающие выполнение условий сращивания при х ^ + 0 в (2.2). Таким образом, в первых двух приближениях зона отрыва имеет форму эллипсоида. Этот результат аналогичен полученному для плоских течений [1], где, как уже отмечалось, эта зона имеет форму эллипса.
Для третьего члена разложения (2.11), используя (2.9), (2.10), (2.12), получаем:
2 ^3 +
П 2
8 х (Ь0 - х)
130 = Р,3,
П /
е _ П0
130 =77 Ь 0
1 + 1п
2
П
2Ьг
(2.13)
0
где постоянная Р;3 определяет давление в рассматриваемом приближении. В результате интегрирования
Б 2
= = (Р;3 - ^о)х2--— [(¿0_х) 1п (Ь0 —х) + х 1пх] + й1 х + й0.
4 ¿0
(2.14)
Необходимость в ограниченности функции х) при х ^+0 и х ^ Ь 0 — 0 дает значения й 0 и
Б
й0 = ^Л1пЬ0, й1 = (<$30 — Р;3)Ь0,
Бп
Б0
+ —=(1п Ь 0 +1) = а 0Ь 0.
4710
(2.15)
Последнее равенство следует из выполнения условия сращивания для х) в (2.2). Таким образом, решение (2.12) — (2.15) содержит одну произвольную постоянную Ь. Выражения (2.10) — (2.13), (2.15) определяют р00 в (1.9), (2.6):
р00 = X 2(ЦР; 1 + 1п ЦР;2 + Р;3 + 1 1п2 Ц)),
р = а0 р = а0
Р = — 2Ь0, р 2 = — 8Ь0'
Р;3 =
2 Ь
1 + 1п
( \ а0
211
12
Следует заметить, что изложение результатов и библиография по теории малых возмущений для осесимметричных течений, в частности задача об обтекании эллипсоида, содержатся в работах [28, 21].
Пусть р0)и 2} Т есть поверхностный интеграл от трения на разделительной поверхности, охватывающей зону отрыва. Используя разложение (2.3) для и и (2.4), (2.5), находим, что
¿о
Т3 = Яе-1 2 4тг/;'(0)4/2 , ¿о=|Я^сЬс.
0
(2.16)
Подставив сюда разложение для (х, ц) из (2.2) и воспользовавшись формулами (2.12) — (2.15), а также выражением для Ь0 в (1.1), получаем:
Т; =ЯЦ- 1/4Яе-1/24<(0)а 0Ь 0
л/б
1 — ^ -8
3 I 1 1,
+а9- - + - 1п 2 41 2 3
( п ^
(2.17)
V ЦЬ 0 „
+О(а?)
Если теперь, следуя [4], записать уравнение количества движения в интегральной форме в проекции на ось Ох0 , взяв в качестве контрольной разделительную поверхность тока, не охватывающую тело, то в результате имеем:
Т — 1 с 0 = 0 Т; 2 Сх а
(2.18)
Это означает, что поверхностный интеграл от силы трения равен действующей в точке х = Ь 0, г = 0 силе, которая равна силе сопротивления тела и противоположно ей направлена (см. [2]). Из (2.17), (2.18) следует выражение для длины зоны отрыва в зависимости от числа Рейнольдса:
2
0
L = XLq, X = Re1/2 Д1/4, Д = In Re,
T -T h+3lnil
f i f _n2 >
-In
4 .
V v
2L
00
+O
v Д2
V ^
Loo -
46a
21/4 • 32f ''(0)
V
1/4
%
V /
(2.19)
Поскольку Л, = 0(Re1 2 Д1 4), то легко видеть (см. (2.6)), что переменная часть давления в зоне отрыва, как и полагалось, много меньше Ps в (2.11). Таким образом, задача (2.7), решение которой описывает движение жидкости в области 3, есть задача следующего приближения. Для плоских течений соответствующее рассмотрение было проведено в работе [8]. Решение задачи (2.7)
требует задания функции Бернулли H* (¥*). Не повторяя сказанного в [8] относительно предположения о том, что H* (Y*) = const, вследствие чего течение в этом приближении здесь безвихревое, отметим еще одно исключительное свойство таких течений: безвихревые течения удовлетворяют принципу минимума диссипации механической энергии [29].
При получении решения в области 3 необходимо иметь в виду, что поперечный перепад давления в слое смешения, обусловленный кривизной разделительной поверхности тока (см. [22]), имеет тот же порядок, что и переменная часть давления в (2.6), (2.7).
3. Рассмотрим течение в области смыкания зоны отрыва (обл. 4). Согласно (2.12) — (2.15) при х - L0 = x ^ -0:
F0=a°(-x)V2+-, Fl = -^(-x)
1/2
(3.1)
F2 = -^-(-xf2 ln(-x) + a°b° (-x)1'z + • • •,
0u0( л\1/2
т. е. это в точности представления (2.2) при х ^+0. Вспоминая далее выражение для Я,(х, ц) в (2.2), находим, что область смыкания имеет размеры порядка единицы и для формы разделительной поверхности тока получаем разложение вида (1.1):
Rs = а°(-Х)1/2Х
lnX b
о
8Х X
Л In 1
г
(3.2)
-L = X, r° = R, X = ln(-X)
при X ^ -да. Изменения скорости и давления в рассматриваемой области — величины порядка единицы [1] и, поскольку течение является турбулентным [8], справедливо следующее представление решения:
(V, u, Ч p, Tij ) = (^0, U0, V0, P0, Tj) + о(1).
(3.3)
В главном приближении течение здесь «невязкое». Произведем сращивание (3.3) с разложением (2.3) для слоя смешения при х^Ь0 - 0. В результате, используя (2.1) — (2.5) и (2.16), (2.17), (2.19), находим, что при ^ = О(1), X ^ -да:
dR
%=а0/0(п) + о(1), С/о=/о'(л) + о(1), Fo=^/0'(Tl),
—> 0, ti = a"d\RS(R~RS), a0=2ича ^
,1/4 0
(3.4)
где для RS(X) имеет место разложение (3.2).
3
0
0
х
Решение в области возвратных токов, как и в случае плоского обтекания [8], ведет себя особым образом при х —> Ьо - 0 или (см. (2.4), (2.16)) при х —> Ь0 : из (2.7) следует, что
= Зн г*2 р* = 24/о2(-°°) (3 5)
Я5 Я Я
где ¿о 2 и /¿.у(х, ц.) суть разложения (2.16), (2.17) и (2.2), (3.1) соответственно. Наконец, из сращивания разложений (2.6) и (3.3), используя (2.19) и (3.5), получаем:
2 г 2 -0 10
Я дЯ Я.2 " Я
= 1 = 2 а0 /0(-да) , р =_ 2о^(-да), „ ^ 0 ^
0 Р ЯР г> 2 0 ÍS4 lJ у '
при Х->-да, R/Rs = 0( 1) (см. (3.4)).
Введем сферические координаты р, 9:
р = (X2 + R2)1/2, 9 = arctg (R /X)
и обозначим через ида Up, идащ соответствующие составляющие вектора скорости. Тогда, при p ^ да, 0 < 9 < л условия сращивания с разложением в области 1 внешнего потенциального течения имеют вид:
% = у sin2 9 + Yo (cose - l)p(ln P)_1/ 2 + • • •,
up =--- = cos0-Yop-1(lnP)~1/2 н—'
p2 sin 9 cQ q jj
1 Yo(cose-l) 4—1/2
u9 =
p sin 9 Sp
= _ sin 9_ Sin 9 p(ln p)_
Л
^0 = у0р-1(1пР)-1/2+-, 0, у0=а°/4.
Это разложение непосредственно следует из представления, полученного в [30] для потенциала вектора скорости. В (3.4), (3.6) и (3.7) Т®, как и для плоских течений [9], стремятся к нулю экспоненциально. Краевые условия на оси симметрии Я = 0 в области смыкания суть:
Г0 =д|0 = ТХ0я = ТяЯ = 0. (3.8)
Вниз по потоку (X ^да) решение уравнений Рейнольдса (без «вязких» членов) для функций из (3.3) должно выходить на известную автомодельную асимптотику [31, 32] для течения в осесимметричном турбулентном следе:
к 2
(3.9)
к0=х-4/3ф'й)/з+-, = ^^Г
Влияние изменений давления, согласно (3.7), существенно только в следующих членах этого разложения. Вид последнего определяется [33] соображениями теории размерностей
(без использования гипотез замыкания) и тем, что толщина потери импульса в следе постоянна и равна величине силы сопротивления тела:
5** = —, 5** = 2 л |фУ Е = 2лф(<х>),
2 о (3.10)
Я +1 ф' = о, Я = Яхя, ф(о) = Я О») = о
и (Е"У)' = 0 при Е = 0. Здесь также приведены уравнение и краевые условия, соответствующие (3.8), (3.7).
Применение уравнения количества движения в интегральной форме в проекции на ось ОХ для течения в области 4 приводит к результатам, изложенным в [8], и дает, в частности, обоснование отсутствия возвратной струи (см. также замечание на с. 86, 87 в [34]).
Обратимся к течению в турбулентном следе (обл. 5) в масштабах зоны отрыва. Согласно (3.9), решение здесь автомодельно и (см. (3.3)) имеет вид:
х0 = Ях, г0 = Я1/3г, х > Ь о, х = х - Ь о,
и = 1+ Я-2/3 х_2/3Е-1ф'(Е) + ..., Е = г/х1/3, (3.11)
и = АГ4/3х~4/3ф'(^)/3 + ..., т.. = Х~А,Ъ Г4%(Е) + ...,
где функции ф(Е) и Яхг = Я(Е) связаны уравнением (3.10), из которого следует, что ф'(да) = о, так как я (Е) стремится к нулю экспоненциально при Е ^ Следовательно, след не дает вклада
0( Я-4/3) в и для решения в области 1. Рассмотрим течение в этой области с тем, чтобы найти изменения скорости на внешней границе следа. Функция ^ х) в (2.10), (2.12) определяет потенциал слабовозмущенного течения (см. [28]) при х = 0(1), г = 0(1):
Л° ад^
ф, =— 1 1
2Ц [(Х-ТУ+ГГ2 2Ьо (312)
5Ф, 5Ф,
и =-1, о, =- 1
дх дг
Здесь и1, о>1 — коэффициенты асимптотического разложения (2.8). Выражение для Ф^ х, г) в (3.12) может быть выписано в явном виде. Если затем перенести начало системы координат в точку х = Ьо, г = о и перейти к сферическим координатам, то в результате разложение (2.8) вблизи этой точки удовлетворяет условиям сращивания с разложением (3.3), (3.7). Наконец, при г ^ о, х > Ьо:
дф1 = ц = ие(х) + 0(г2), ие =-а
~ -1 - е V ^ V - е
дх 2Ьо
Ьо(х-Ьо/2) , 1пГх-Ь х( х - Ьо)
и тогда, согласно (2.8), находим, что
и = 1 + т2 [-(а°2/4) х-1 + 0(1п хх)] + 0(т2с)
при х = х - Ьо ^ + о, г = о. Это разложение переходит в (3.7), (3.3) для ир = ио при 9 = о, так
как т2 = Я-1 Ц (см. (2.8)). Легко видеть также, что, в отличие от плоского случая [8], переменная часть продольной составляющей вектора скорости в следе по порядку величины больше, чем на его внешней границе.
да
о2
Следует заметить, что решение (3.11) для следа становится несправедливым при х = О (Л-^3) или х0 = О(Re3). Действительно, согласно (3.11), инерционные члены в исходных уравнениях — величины порядка (Лх)-5/3, в то время как «вязкие» — 0(Re- 1(Лх)-4/3). При
х = О (Л-^3) они становятся одного порядка. Таким образом, на этом большом расстоянии в турбулентном следе начинает проявляться действие сил внутреннего трения. (В случае плоских течений [8] этого не происходит.) Поэтому при х* = Re-3 х0 ^ да след будет расширяться про-
1/2
порционально х * , что, как известно, имеет место для ламинарных течений.
4. Выпишем выражение для максимальной толщины зоны отрыва В (см. рис. 1) в зависимости от числа Re. С этой целью воспользуемся разложением (2.2) для функции Яя(х, ц), которая определяет форму разделительной поверхности тока, выражениями (2.12) — (2.15), взятыми при х = Ь0/2, а также (1.1) для Ь° и (2.19). В результате получаем:
£ = Ке1/4|Г1/821/4
„07-1/2 а ъ 00
\ 3 1пЦ
1---— +
16 ц
( (
1п
V V
.11/8.
„3/4
Л Л
Ь
3 /8 00
О
А2 ,
(4.1)
Эта зависимость вместе с (2.19) для длины зоны отрыва Ь для течения около сферы радиуса I представлены на рис. 2. Ее коэффициент сопротивления при Re ^ да определяется, как уже говорилось, решением задачи обтекания по схеме Кирхгофа при выполнении условия Бриллюэна — Вилля. Согласно [35], численное значение е° = пей, ей = 0.317. На рис. 2 приведены также результаты, полученные экспериментально [36] и путем численного решения системы уравнений Навье — Стокса методом установления по времени [37] и для стационарного режима [38]. (Все символы верхнего ряда относятся к кривой 1, нижнего — к кривой 2.) Заметим, что в [36 — 38] число Re определено по диаметру сферы, в данной работе — по ее радиусу, Ь отсчитывается от центра сферы.
Численные решения в [37, 38] доведены до существенно больших значений числа Re, чем представлено на рис. 2. Однако характер этих решений уже при Re а 250 не соответствует асимптотическому решению. Об этом свидетельствует приведенная на рис. 3 зависимость для относительной толщины зоны отрыва В/Ь, полученная на основании формул (4.1), (2.19) и данных работы [38]. Асимптотическая кривая стремится к нулю при Re ^да. Численное решение стационарной задачи дает минимальное значение для В/Ь при Re « 250 с последующим ростом, так что
Рис. 2. Зависимость длины зоны отрыва Ь и ее толщины В от числа Рейнольдса:
кривые 1 и 2 — согласно асимптотической теории; +++ — экспериментальные данные [36]; □□ и оо — результаты численных 1 4 расчетов [37] и [38]
Рис. 3. Зависимость относительной толщины зоны отрыва от числа Рейнольдса:
———— — согласно асимптотической теории; оо — результаты численных расчетов [38]
относительная толщина не уменьшается при увеличении Яе. (Та же ситуация возникает в задачах для плоских течений [39].) Такое разительное расхождение можно объяснить следующим: асимптотическое решение, как об этом говорилось в вводной части, имеет дело с ос-редненными функциями. Интересно, что оно сохраняет черты стационарного течения, которое реализуется при небольших значениях Яе.
Экспериментальные данные [36] указывают на то, что при Яе « 70 в области смыкания зоны отрыва при обтекании сферы возникают осцилляции, которые с ростом Яе становятся все заметнее. При Яе а 250, согласно имеющимся экспериментальным данным (см. [40]), течение теряет симметрию и с поверхности сферы, как и в случае плоского обтекания [10 — 12], начинается сход вихревой пелены. Следует вспомнить также о результатах визуализации течения около кругового цилиндра (см. вводную часть) и указать на аналогичные результаты для течения около сферы [41].
На рис. 4 приведены значения коэффициента сопротивления сферы при различных Яе, полученные экспериментально [42] и численно [38, 40]. В [40] использовался метод установления для решения системы уравнений Навье — Стокса. При Яе больших, чем показано на рисунке, cd, согласно [42], меняется не сильно и превосходит предельное значение, равное 0.317 [35] и изображенное в виде прямой. В решении [38] cd существенно меньше; так при Яе = 2500: Cd = 0.1131, в то время как в [40] оно равно 0.370 и ближе к экспериментальному.
Итак, численное решение стационарной задачи [38] таково, что продольный и поперечный размеры зоны отрыва растут, а относительная толщина не уменьшается при увеличении Яе. Еще до появления работы [38] были известны модели как для осесимметричного [43], так и плоского [44] случаев, в которых течения обладают таким свойством. В целом это вихрепотенциальные течения с замкнутыми линиями тока в области отрыва. Они описываются: в осесимметричном случае [43] — решением Хилла, в плоском [44] — решением Садовского. Размеры областей отрыва растут, соот-1/3
ветственно, как Яе и Яе. В масштабах последних (при Яе^да) тело есть точка и она вносит в однородный поток конечные возмущения. Это представляется невозможным, по крайней мере (см. [5], с. 199) с точки зрения строго доказанной справедливости дальней Осееновской асимптотики. Более того, поскольку тело находится в передней критической точке зоны отрыва, течение в ее окрестности является медленным, и поэтому коэффициенты сопротивления тел стремятся к нулю:
сх = с0 Яе"2/3, сх = Со Яе"1
для осесимметричного и плоского случаев соответственно [43, 44]. Здесь Со и с° — универсальные постоянные и их значения не зависят от формы обтекаемого тела, так что, например, коэффициент сопротивления диска (или пластины), поставленного перпендикулярно набегающему потоку, по порядку величины меньше, чем если бы угол атаки был равен нулю.
Дальнейшее изучение течений на основе описанных моделей было вызвано численными решениями работ [45, 38]. На эту тему имеется обзор [46] (см. также [47]). Необходимо отметить, что результаты этого направления не представляют собой асимптотического решения задачи при Яе ^ да. Вопрос о том, могут ли они быть использованы при его построении, остается открытым. Теорема существования стационарного решения внешней задачи в трехмерном случае для системы уравнений Навье — Стокса доказана при любом значении числа Яе [48]. Это, однако, не означает, что стационарное решение существует при Яе ^ да ([49], с. 199).
Рис. 4. Зависимость коэффициента сопротивления сферы
от числа Рейнольдса: +++ — экспериментальные данные [42]; оо и □□ — результаты численных расчетов [38] и [40]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе [14] было отмечено, что изучение течения в области смыкания слоев смешения имеет столь же большое значение, как и анализ течения вблизи точек отрыва. Результаты данной работы и [8, 9] указывают, что поток в области смыкания турбулентен. Таким образом, речь может идти об описании течения в этой области лишь как осредненного, а следовательно, и во всех остальных областях тоже. Последнее является очевидным требованием: при изучении всего поля течения надо исходить из единой системы уравнений для осредненных функций — уравнений Рейнольдса. Вне области смыкания и следа осредненное течение по существу ламинарно, так как турбулентные напряжения здесь экспоненциально малы.
Задача стационарного обтекания затупленного тела изначально представлялась как чисто академическая, так что ее решение не может иметь реального смысла уже при небольших числах Рейнольдса. Однако в свете изложенного, ограничение, в виде возможности рассматривать установившиеся отрывные течения только как осредненные, существенно увеличивает диапазон изменения числа Рейнольдса (Re). Теоретически Re ^го, т. е. диапазон не ограничен, как и для полностью ламинарных безотрывных течений. Все сказанное справедливо для любых течений с развитыми зонами отрыва — течений, при асимптотическом анализе которых в качестве характерной необходимо выделять область смыкания или присоединения слоя смешения на твердую поверхность. Сюда относится также и задача о разрушении вихря [50, 51].
Автор благодарит А. В. Зубцова за внимание к работе и полезные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 13-01-00247).
ЛИТЕРАТУРА
1. Сычев В. В. Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Рейнольдса // Доклад на VIII Симпозиуме по современным проблемам механики жидкостей и газов. — Тарда, Польша, 1967.
2. W u T. Y. Cavity and wake flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 1972. V. 4, pp. 243 — 284.
3. Messiter A. F. Laminar separation — a local asymptotic flow description for constant pressure downstream//AGARD Conf. Proc. N 168, Flow Separation. 1975. Pap. N 4, 10 p.
4. Сычев В. В. Асимптотическая теория отрывных течений // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. № 2, с. 20 — 30.
5. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В. В. Сычева. — М.: Наука, 1987.
6. Юдович В. И. О потере гладкости решений уравнений Эйлера со временем // Динамика сплошной среды. 1974, вып. 16, с. 71 — 78.
7. Ю д о в и ч В. И. О постепенной потере гладкости и неустойчивости, внутренне присущих течениям идеальной жидкости // Докл. РАН. 2000. Т. 370, № 6, с. 760 — 763.
8. Сычев Вик. В. К асимптотической теории отрывного обтекания тел // Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 3, с. 110 — 128.
9. Сычев Вик. В. Об областях турбулентности при отрывном обтекании тел // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 5, с. 3 — 9.
10. Ro shko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets // NACA Rep. 1191, 1954.
11. Roshko A. Transition in incompressible near-wakes // Phys Fluids Supplement. 1967. V. 10, N 9, pt. II, pp. 181 — 183.
12. Roshko A., Fiszdon W. On the persistence of transition in the near-wake // Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. — М.: Наука, 1969, с. 431—438.
13. I m a i I. Theory of bluff bodies // Tech. Note BN-104, Inst. Fluid Dyn. and Appl. Math. — Univ. Maryland, 1957.
14. Roshko A. A review of concepts in separated flow // Proc. Canadian Congr. Appl. Mech. 1967. V. 3, pp. 81 — 115. — Univ. Toronto, 1967.
15. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. — М.: Наука,
1965.
16. Prandtl L. Proc. 3rd Intl. Congr. Appl. Mech. — Stockholm, 1930. V. 1, pp. 41 — 42. — Stockholm, 1931.
17. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Наука, 1979.
18. L e v i n s o n N. On the asymptotic shape of the cavity behind an axially symmetric nose moving through an ideal fluid // Ann. Math. 1946. V. 47, N 4, pp. 704 — 730.
19. Г у р е в и ч М. И. Обтекание осесимметричного полутела конечного сопротивления // ПММ. 1947. Т. 11, вып. 1, с. 97 — 104.
20. S c h e i d F. On the asymptotic shape of the cavity behind an axially symmetric nose moving through an ideal fluid // Amer. J. Math. 1950. V. 72, N 3, pp. 485 — 501.
21. Петров А. Г. Асимптотические разложения для осесимметричных кавитацион-ных течений // Успехи механики. 2003. Т. 2, № 3, с. 55 — 86.
22. Van Dyke M. Higher approximations in boundary-layer theory. Part 1. General analysis // J. Fluid Mech. 1962. V. 14, pt. 2, pp. 161 — 177.
23. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. № 3, с. 47 — 59.
24. Рубан А. И. О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности // Ученые записки ЦАГИ. 1974. T. V, № 2, с. 44 — 54.
25. K e u l e g a n G. H. Laminar flow at the interface of two liquids // J. Res. nat. Bur. Stand. 1944. V. 32, N 6, pp. 303 — 327.
26. Lock R.C. The velocity distribution in the laminar boundary layer between parallel streams // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. V. 4, pt. 1, pp. 42 — 63.
27. Диесперов В. Н. О течении в слое Чепмена // ДАН СССР. 1985. Т. 284, № 2, с. 305 — 309.
28. Van Dyke M. D. Second-order slender-body theory — axisymmetric flow // NASA Tech. Rep. R-47, 1959.
29. Гиргидов А. Д. О диссипации энергии при движении несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 2009. Т. 426, № 5, с. 626 — 628.
30. Зубцов А. В., Судаков Г. Г. Асимптотическое решение задачи об осесиммет-ричном течении идеальной жидкости в окрестности точки замыкания каверны // Изв. АН СССР, МЖГ. 1990. № 4, с. 84 — 87.
31. Prandtl L. Ueber die ausgebildete Turbulenz // Proc. 2nd Intl. Congr. Appl. Mech., Zürich, 1926, pp. 62 — 74. — Zürich, 1927.
32. S wain L. M. On the turbulent wake behind a body of revolution // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1929. V. 125, N 799, pp. 647 — 659.
33. Squire H. B. Reconsideration of the theory of free turbulence // Phil. Mag., Ser. 7. 1948. V. 39, N 288, pp. 1 — 20.
34. Сычев Вик. В. О течении при больших числах Рейнольдса около пластины, установленной под малым углом атаки // Изв. РАН, МЖГ. 2001. № 2, с. 85 — 104.
35. Brennen C. A numerical solution of axisymmetric cavity flows // J. Fluid Mech. 1969. V. 37, pt. 4, pp. 671 — 688.
36. Taneda S. Experimental investigation of the wake behing a sphere at low Reynolds numbers // J. Phys. Soc. Japan. 1956. V. 11, N 10, pp. 1104 — 1108.
37. Казаков В. А. Об одном подходе к применению В-сплайнов в схемах расщепления для решения уравнений Навье — Стокса // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28, № 7, с. 1038 — 1046.
38. Fornberg B. Steady viscous flow past a sphere at high Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1988. V. 190, pp. 471 — 489.
39. Королев Г. Л. Стационарное вязкое обтекание эллиптического цилиндра до чисел Рейнольдса 900 // Ученые записки ЦАГИ. 2012. T. XLIII, № 5, с. 46 — 59.
40. Г у щ и н В. А., М а т ю ш и н П. В. Численное моделирование пространственных отрывных течений около сферы // ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37, № 9, с. 1122 — 1137.
41. Werlé H. Transition et décollement: visualizations au tunnel hydrodynamique de l'ONERA // Rech. Aérosp. 1980. N 5, p. 331 — 345.
42. Roos F. W., Willmarth W. W. Some experimental results on sphere and disk drag // AIAA J. 1971. V. 9, N 2, pp. 285 — 291.
43. Parlange J.-Y. Determination of the wake behind a bluff body of revolution at high Reynolds numbers // J. Aircraft. 1969. V. 6, N 6, pp. 569 — 571.
44. Таганов Г. И. О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re ^ œ // Ученые записки ЦАГИ. 1970. T. I, № 3, с. 1 — 14.
45. Fornberg B. Steady viscous flow past a circular cylinder up to Reynolds number 600 // J. Comput. Phys. 1985. V. 61, N 2, pp. 297 — 320.
46. C h e r n y s h e n k o S. I. Asymptotic theory of global separation // Appl. Mech. Rev. 1998. V. 51, N 9, pp. 523 — 536.
47. H a r p e r J. F. The axisymmetric Prandtl — Batchelor eddy behind a circular disc in a uniform stream // J. Fluid Mech. 1998. V. 377, pp. 253 — 266.
48. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970.
49. F i n n R. On the steady-sate solutions of the Navier — Stokes equations, III // Acta Math. 1961. V. 105, N 3 — 4, pp. 197 — 244.
50. Сычев Вик. В. Асимптотическая теория разрушения вихря // Изв. РАН, МЖГ. 1993. № 3, с. 78 — 90.
51. Сычев Вик. В. К асимптотической теории разрушения вихря // Ученые записки ЦАГИ. 2005. Т. XXXVI, № 3 — 4, с. 13 — 20.
Рукопись поступила 23/Х12012 г.
