CC BY
45
Том ХЬН
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011
№ 5
УДК 532.526.5
ОБ ОБЛАСТЯХ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ ОТРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ
Вик. В. СЫЧЕВ
Рассмотрено плоское установившееся обтекание симметричного тела однородным потоком несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса. Показано, что в области смыкания зоны отрыва и в следе вниз по потоку от нее течение турбулентное, а всюду вне этих областей — слаботурбулентное: турбулентные напряжения и соответствующие им изменения скорости здесь малы.
Ключевые слова: зона отрыва, слой смешения, турбулентные напряжения.
Согласно исходному предположению, положенному в основу асимптотической теории отрывного обтекания тел [1], коэффициент сопротивления тела Сх принимает при Re ^ да конечное значение. (Здесь Re — число Рейнольдса и речь идет о плоском течении около тела конечной относительной толщины и (или) установленного под конечным углом атаки к однородному набегающему потоку несжимаемой жидкости при отсутствии каких-либо внешних возмущений.) Следствием этого предположения является невозможность появления возвратной струи [2], исходящей из области смыкания слоев смешения, охватывающих зону возвратных токов. Более того, течение в области смыкания неизбежно является нестационарным [2], причем эту нестацио-нарность «следует интерпретировать как хаотическое движение, связанное с интенсивным перемешиванием жидкости и сопутствующей ему сильной диссипацией кинетической энергии» ([3], с. 214). Действие сил внутреннего трения в области смыкания при Re ^ да в главном приближении несущественно [1], т. е. течение здесь должно описываться решением краевой задачи для системы уравнений идеальной жидкости. Согласно результатам работ [4, 5] решения этой системы теряют гладкость при больших значениях времени и это свойство относится к очень широкому классу течений. Потерю гладкости можно [4] интерпретировать как невозможность для течения оставаться ламинарным. Таким образом, в области смыкания движение жидкости является турбулентным, поскольку в задаче обтекания тела при стационарных краевых условиях речь идет о течении при сколь угодно больших значениях времени.
Данная работа является продолжением работы [6], в которой описанная выше асимптотическая теория [1, 2] получила дальнейшее развитие, а также была сделана попытка исследования ламинарнотурбулентного перехода для течения в слое смешения.
Введем следующие обозначения: I *^ых — время; I * х0, I * у0 — оси прямоугольной декартовой системы координат с началом внутри обтекаемого тела или на его поверхности; ыхы, ыху — соответствующие проекции вектора скорости; р^+ры £р — давление. Здесь I* —
характерный размер тела; ых и рх — абсолютная величина вектора скорости и значение давления в однородном набегающем потоке,
СЫЧЕВ Виктор Владимирович
доктор физикоматематических наук, начальник сектора ЦАГИ
Асимптотическая структура отрывного течения при больших числах Рейнольдса направленном вдоль оси Ох0; р — плотность. Наконец, ры^I *сх/2 — сила сопротивления и
* /
Re = ы I V — число Рейнольдса, где V — коэффициент кинематической вязкости. В дальнейшем рассматривается обтекание тела, симметричного относительно оси Ох0, поэтому будем говорить о течении в верхней полуплоскости у 0 > 0.
Согласно [1], в масштабах тела (х0 = 0(1), У0 = 0(1)) при Re ^ да в главном приближении
имеет место обтекание по схеме Кирхгофа (см. [7]), застойная зона расширяется при хс параболическому закону:
■да по
у, = а 0х01/2 + с + + 0(х0-1/21п х0), а 0 = (2с%)1/2 .
(1)
Здесь у, (х0) определяет форму свободной линии тока, сх — значение коэффициента сопротивления при Re ^ да и, согласно [8], с + = с° ¡4 .
При асимптотическом анализе течений с развитыми зонами отрыва в качестве характерных областей выделяются слой смешения, область смыкания, зона возвратных токов (или отрыва) и след. (На рисунке это области 2, 4, 3 и 5 соответственно.) В целом зона отрыва имеет [1] в глав____________________________________________________________________________1/2
ном приближении форму тонкого эллипса с относительной толщиной 0^е ). Длины боль-
шой и малой осей этого эллипса велики и определяются выражениями [1]:
Ь = Ь 0Re, В = В^е
1/2
Ь0 = 0.392 с0 , В0 = 0.500с0
п3/2
(2)
Вдоль свободной линии тока развивается слой смешения — оторвавшийся от твердой поверхности тела пограничный слой, имеющий при х0 = 0(1) толщину порядка Re_12. При х0 ^ да этот слой расширяется и в масштабах зоны отрыва (х0 = 0(Re)) его поперечный размер становится 0(1), т. е. порядка размеров тела [1]. Асимптотическое разложение решения в слое смешения (см. [6]) имеет вид:
5 = Re_1Л 5 = 5°, п 0 = N п = N/5^,
V = У0(,, N) + 0^е_1/2) +... + у'^е, t, 5,5,N),
(3)
У0 = 51/2Л(п), У = в Real[ф 0(5, п) Е ] + 0(в Re 1), Е = ехр[/(0 _ юt)], ^5 = К(,), в = ехр(00/- Re), 00/- = 1т0(Ь 0), 00г- < 0.
Здесь I *ы дау — функция тока; I*50 и I*п° — оси ортогональной криволинейной системы координат, связанной со свободной линией тока, а перед точкой отрыва — с поверхностью тела. Функция У0(5,N), согласно [1], есть известное автомодельное решение (см. [3], с. 205), Ь0 — постоянная из (2). Вид функции у', описывающей малое нестационарное возмущение, определяется следующими соображениями. Поскольку рассматривается установившееся течение, соответствующее решение должно быть периодическим по времени, т. е. частота ю — действительная
постоянная. Существование двух характерных масштабов — продольного 50 = 0(К-е) и поперечного п0 = 0(1) — определяет соответственно «медленную» и «быструю» переменные 5 и 5. Кроме того, необходимо прийти к задаче на собственные значения при однородных условиях для Ф0(5, п) при п = ± да . Наконец К(5) — комплексное волновое число.
Этот подход, использующий метод двухмасштабных разложений и учитывающий непарал-лельность потока, применялся при изучении устойчивости и распространения возмущений для течений в пограничном слое [9, 10] и в слое смешения [11]. (См. обзор [12].)
В силу автомодельности решения для невозмущенного течения, в (3)
ф0 = А(5) Ф 1(5, п), (4)
где А^5) — амплитудная функция и Ф1 (5, п) — собственная функция, определяемая решением
уравнения Рэлея, которое было получено численно в [13, 14].
В [6] было показано, что при подходе к области, охватывающей тело, т. е. при 5 ^ + 0, решение для у' имеет трехслойную структуру: это область п = 0 (1) и расположенные под ней и
над ней области, где п = 0(5_1/2), т. е. N = 0(1) и N < 0, N > 0. В последней из них
Ф1 = 00(М) + 0(51/2), О0 = у+ехр(- к^), N > 0,
К = к 0 + 0(51/2), к 0 = (1 _ 7>, А1 = А10 + 0(51/2).
Здесь у+ и А10 некоторые комплексные постоянные. Это разложение с учетом (3), (4) определяет дальнюю асимптотику при 5 0 ^ да, N = 0(1) для малого возмущения в масштабах тела.
Действительно, если при х 0 = 0(1), У 0 = 0(1):
V = У к (х0, У0) + ••• + вУ'^, х0, у0) + ., (6)
где У к (х0, у0) есть решение задачи обтекания по схеме Кирхгофа, то при 5 0 ^ да, N = 0(1):
У' = Real{A10G0(N)exp[7(k050 _ ^)]} + ...,
а02
5 0 = х0 + Ь11п х0 + Ь1Ь 2+0 (х0 11п х0), Ь1 = , (7)
8
N = у0 _ а0х0 _ с + + 0(х0 1п х0).
Здесь а0 , с + — постоянные из (1), О00(№) — функция из (5) и постоянная Ь2 определяется решением задачи в масштабах тела. Однако оказалось, что дальней асимптотики
(х02 + у02 ^да) для У' , совместимой с (7) и удовлетворяющей при этом условию симметрии
при у 0 = 0, х0 ^ _да, не существует. Возникающее противоречие связано с тем, что в масштабах тела в рассматриваемом приближении (экспоненциально малые члены, см. (6) и (3)) течение уже не является чисто ламинарным.
Согласно [6] вниз по потоку от области смыкания развивается след (обл. 5), имеющий
в масштабах зоны отрыва (x0 = O(Re)) поперечный размер У0 = O(Re12). Течение в следе
турбулентное. Для описания течения в областях турбулентности будем исходить из уравнений Рейнольдса, определив временное осреднение [15] функции f (Xi, t) как
f (Xi) = lim
-т/2
В следе асимптотическое решение имеет вид [6]:
x 0 = Re x, у 0 = Re1/2 y*, x > L0, и = 1 + Re-12 u*(x, у *) + O(Re-1), v = Re-1 v* (x, у *) + Re-3 2 v2*(x, у*) +...,
tu = Re-1 x* (x, у *) + O(Re-3 2), (8)
и f = ue(x) + (x - L0)-1/2 F°'(^), ; = у */(x-L))1/2, v; = -u'e (x)у* + (x-L0)-1 2F0' (;),
Т *у* = (x-L0)-1G0(;), G0 +;f072 = 0.
Здесь и ниже p и 2 Tij — турбулентные напряжения Рейнольдса, выражения для функции
ue (x) и давления даны в [6]. При ;^<х> функция G °(^) экспоненциально стремится к нулю, тем не менее это не означает полное отсутствие турбулентных напряжений в области внешнего слабовозмущенного течения с масштабами x0 = O(Re), у0 = O(Re) (обл. 1, рис.). Через эту область малые турбулентные возмущения проникают в область, охватывающую тело. В некотором смысле этот процесс аналогичен влиянию завихренности на потенциальное течение вне тонких «вязких» ламинарных слоев. Таким образом, в масштабах тела и в области 1 течение является слаботурбулентным. Таковым оно должно быть и в слое смешения, т. е. не может быть чисто ламинарным, как предполагалось в [6]. Это связано с тем, что нельзя производить сращивание асимптотических разложений, справедливых в областях, для описания течения в одной из которых
исходными являются уравнения Навье — Стокса, а в другой — уравнения для осредненных
функций. (В данном случае это области 2 и 4 соответственно.) Исходя из тех же соображений, что и при построении разложения (3), но уже для осредненных функций, представим решение в области 2 в виде:
у = s1/2 f0 (n) + O(Re-1/2) + ... + s Ф(s, n)E + ..., p = Re-1/2P00 + O(Re-1) + ... +sp(s, n)E +..., (9)
Tij= siiy(s, n)E + ..., E = exp[Re0(s)], it = d0/ds,
где s — неизвестный малый параметр: s(Re) ^0 при Re ^ <x> и согласно [1] P00 = -D\) /L0 (см. (2)). Внося (9), с учетом обозначений в (3), в уравнения Рейнольдса, находим связь между функциями Ф(s,n) и Tij(s, n). В силу автомодельности невозмущенного течения it = k^s_1/2,
-1/ 2
к0 = const > 0 и, полагая Ф = A(s)Ф(П), iy = s A(s)gij (n), получаем:
1 f
т I f(xi,t + T)dт.
Ц,(ф" + k~02 Ф)- U0 ф = g'ss + k-1 gin - k0gsn - gnn,
(10)
где U0 = f (n). Заметим, что в области возвратных токов (обл. 3) течение также является слаботурбулентным, поскольку в главном приближении движение здесь обусловлено эжектирующим действием слоя смешения [1, 6], а турбулентные напряжения Tij(s, n) в (9), как это всегда бывает в тонких слоях, экспоненциально стремятся к нулю при |n| ^да.
Обратимся к течению в области смыкания. Эта область находится на расстоянии L0Re от обтекаемого тела, имеет размеры порядка единицы и изменения скорости и давления здесь тоже порядка единицы [1]. Поэтому, с учетом того, что течение тут турбулентное, решение представимо в виде
x0 - L0Re = X, у0 = Y, (у, p, Tj ) = (У0, P0, Tjj ) + O(Re-1/2) (11)
и в главном приближении приходим к уравнениям Рейнольдса для идеальной жидкости. Из сращивания с разложением (9) следует, что
У0 = L1/2f0 (m^2) +... + e^ SA 0ф( N О + .,
Tj = e^SL~0V2A0gj (N/L10/2), v = k0L-0V2, A0 = A(L0), (12)
s 0 = Re s = L 0Re + 2L1lnRe+ S,
S = X + L1[- ln( - X) + 2(ln L 0 - 2) + L 2] + o(1)
при S ^ - да, N = O(1), где L1 и L 2 — постоянные из (7). Кроме того, из сращивания находим,
- ~ 1/2 -1
что s = exp[- 2k0L0 (Re + L1L0 lnRe)]. Выражения (12) указывают на затухание турбулентных напряжений и других гидродинамических функций вверх по потоку от области смыкания, которое подобно имеющему место для ламинарных течений в областях взаимодействия при сверхзвуковых скоростях (см. [16] с. 26, [17]).
Отмеченное выше противоречие не позволяет считать течение в слое смешения в приближении O(s) чисто ламинарным и, следовательно, приведенные в [6] выражения (5.19) — (5.21) не справедливы и должны быть заменены на выражения (12). Вместе с тем остальные краевые
условия (3.3), (4.3) — (4.6) для функций У0, P0, Tj из (11), полученные в [6], остаются в силе. В частности, из сращивания с разложением для области возвратного течения было найдено, что при X ^-да , Z = Y/(-X)1/2 = O(1): У0 ^ -q0 Z, Tj ^ 0, % = const > 0, причем стремление
0
к нулю Tij является экспоненциальным.
Рассмотрим влияние течения в следе на течение во внешней области 1. След не дает вклада O(Re-1) в вертикальную составляющую для этой области, поскольку в разложении (8) F0' (да) = 0. Однако следующий член для v дает вклад порядка Re 3/2: v2f(x, да) Ф 0. Следовательно, в асимптотическом разложении (2.7) в [6] для членов O(Re-3 2) влияние следа существенно: осредненная функция v2f(x, да) входит в краевое условие при у = +0, x > L0, (у0 = Re у). Таким образом, турбулентность течения в следе проявляется впервые в области 1 через краевое условие, но без появления турбулентных напряжений.
Обратимся к течению в масштабах тела, когда s 0 = Re s = O(1). На основании разложения (9) — —1 1/2
и поскольку K = kz s , заключаем, что для течения в пограничном слое и слое смешения имеет
место следующее асимптотическое представление:
5 0 = 0(1), п 0 = Яе-12 №, у = Яе-1/2 У0( 5 0, N0) + ... + вХ* (5 0, N0) Е *+..., р = Рк (5 0) + ... + ёЯе1/2 Р* (5 0, N0) Е* + ...,
т. =еЯе12 X*.(50,N0)Е* + ..., Е* = ехр[Яе120*(50)], К* = ^0-; (13)
й5
50 — да; у =501/2/)(П) + 0(1), п = №/501/2, К* =¿050-1/2 + ...,
Х*= А*Ф (П) + ..., т* = А* 5 0-1/2 (П) + ..., А* = А(+0).
Здесь У0(5 0, N0) — решение при распределении давления Рк (50), определяемом по схеме
Кирхгофа (см. [3]), а асимптотики при 50 — да обеспечивают сращивание с разложением (9) при 5 —— +0. Подставив (13) в уравнения Рейнольдса, можно найти связь между функциями
X*(50,№) и т* (50,№), аналогичную (10).
Изложенные выше результаты справедливы также для течений около тонких тел при условии, что длина зоны отрыва Ь велика или Ь = 0(1). Если толщина тела 0(с); с (Яе) — 0
при Яе—да, то, согласно (2), Ь = 0(с4 Яе) и при этом область смыкания имеет размеры порядка
толщины слоя смешения, т. е. 0(с2). Когда речь идет об обтекании с отрывом от угловых точек
[18, 19], при с >> Яе-14 в масштабах тела реализуется течение по схеме Кирхгофа, а при
с = Яе-14 длина Ь = 0(1) и в масштабах тела имеет место обтекание по схеме Тулина [20]. Для
гладких тел переход к течению с Ь = 0(1) происходит при с = Яе-116 [21] и течение описывается решением по схеме Чаплыгина [22], хотя локально вблизи точки смыкания зоны отрыва свободная линия тока, как и в схеме Тулина, имеет параболическую форму [23].
Отдельного рассмотрения требует течение с зоной отрыва конечной длины, если точка смыкания (присоединения) находится на поверхности обтекаемого тела. Наибольшие трудности будут возникать при изучении перехода течения с развитой зоной отрыва (малых размеров) в течение с локальной зоной отрыва, когда последняя находится внутри пристеночного подслоя области взаимодействия или области, где справедливы полные уравнения Навье — Стокса (см. об этом в [19, 24, 25]). Заметим, что течения с локальными зонами отрыва (и безотрывные течения) остаются полностью ламинарными при Яе—да, если нет внешних возмущений, по крайней мере, когда значение параметра подобия в задаче не больше (или не меньше) некоторого.
Основной вывод, который можно сделать на основании проведенного анализа состоит в следующем. Для течений с развитыми зонами отрыва при обтекании тел без внешних возмущений, в областях смыкания и следа поток является турбулентным, а всюду вне этих областей слаботурбулентным. Последнее означает, что в главных приближениях оно здесь ламинарное, а турбулентные напряжения Рейнольдса и соответствующие изменения осредненных составляющих вектора скорости и давления экспоненциально малы. Принципиальное значение имеет тот факт, что для описания всего поля какого-либо течения, в котором при Яе — да в качестве характерных возникают области турбулентности, необходимо исходить из уравнений для осредненных функций.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-00516), АВЦП РНПВШ 2.1.1/200 и в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 (ГК № 02.740.11.0203).
1. Сычев В. В. Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Рейнольдса // Доклад на VIII Симпозиуме по современным проблемам механики жидкостей и газов. — Тарда, Польша, 1967, 25 с.
2. Сычев В. В. Асимптотическая теория отрывных течений // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. № 2, с. 20—30.
3. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В. В. Сычева. — М.: Наука, 1987, 256 с.
4. Юдович В. И. О потере гладкости решений уравнений Эйлера со временем // Динамика сплошной среды. 1974, вып. 16, с. 71 — 78.
5. Юдович В. И. О постепенной потере гладкости и неустойчивости, внутренне присущих течениям идеальной жидкости // Докл. РАН. 2000. Т. 370, № 6, с. 760 — 763.
6. Сычев Вик. В. К асимптотической теории отрывного обтекания тел // Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 3, с. 110 — 128.
7. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. — М. : Мир, 1964,
467 с.
8. Сычев Вик. В. К теории обтекания тел по схеме Кирхгофа // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 5, с. 19 — 20.
9. Bouthier M. Stabilité linéaire des écoulements presque parallèles // J. Mécanique. 1972. V. 11, N 4, р. 599 — 621.
10. Smith F. T. On the non-parallel flow stability of the Blasius boundary layer // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1979. V. 366, N 1724, pp. 91 — 109.
11. Crighton D. G., Gaster M. Stability of slowly diverging jet flow // J. Fluid Mech. 1976. V. 77, pt. 2, pp. 397 — 413.
12. Cowley S. J., Wu X. Asymptotic approaches to transition modelling // Progress in Transition Modelling, 1994. AGARD Rep. 793, Chap. 3, pp. 1 — 38.
13. Michalke A. On spatially growing disturbances in an inviscid shear layer // J. Fluid Mech. 1965. V. 23, pt. 3, pp. 521 — 544.
14. Monkewitz P. A., Huerre P. Influence of the velocity ratio on the spatial instability of mixing layers//Phys. Fluids. 1982. V. 25, N 7, pp. 1137 — 1143.
15. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. — М.: Наука, 1965, 640 с.
16. Жук В. И. Волны Толлмина — Шлихтинга и солитоны. — М.: Наука, 2001, 167 с.
17. Stewartson K. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies // Adv. Appl. Mech. 1974. V. 14, pp. 145 — 239.
18. Me s s it er A. F. Boundary-layer separation//Proc. 8th U.S. Natl. Congr. Appl. Mech. 1979, pp. 157 — 179.
19. Сычев Вик. В. Об отрывных зонах при обтекании малого выпуклого угла // Изв. РАН, МЖГ. 2007. № 2, с. 81 — 97.
20. Tulin M. P. Supercavitating flows — small perturbation theory // J. Ship Res. 1964. V. 7, N 3, pp. 16 — 37.
21. Cheng H. K., Smith F. T. The influence of airfoil thickness and Reynolds number on separation // Z. angew. Math. Phys. 1982. V. 33, N 2, pp. 151 — 180.
22. Чаплыгин С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости // Труды Отделения физических наук Общества Любителей Естествознания. 1899. Т. 10, вып. 1, с. 35 — 40.
23. Сычев Вик. В. Об отрывном обтекании дужки при больших числах Рейнольдса // Ученые записки ЦАГИ. 2004. Т. XXXV, № 3 — 4, с. 3 — 12.
24. Сычев Вик. В. О течении при больших числах Рейнольдса около пластины, установленной под малым углом атаки // Изв. РАН, МЖГ. 2001. № 2, с. 85 — 104.
25. Сычев Вик. В. Об обтекании дужки при больших числах Рейнольдса с образованием локальных зон отрыва // Ученые записки ЦАГИ. 2006. Т. XXXVII, № 1 — 2, с. 26 — 33.
Рукопись поступила 18/X 2010 г.
