Отрывное обтекание тонкого профиля с параболической передней кромкой при больших числах Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XVI 1985 М2

УДК 532.526.5

ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКОЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

С. Н. Тимошин

Исследовано влияние относительной толщины профиля с параболической передней кромкой на положение точки отрыва при больших числах Рейнольдса. Рассмотрен симметричный отрыв вблизи носовой части профиля. Показано, что решение существенно зависит от деталей формы профиля в окрестности передней кромки и для определенных форм оказывается неединственным.

Решение плоской задачи обтекания безграничным однородным потоком несжимаемой жидкости симметричного профиля, установленного под нулевым углом атаки (рис. 1), встречает принципиальные трудности в области больших чисел Рейнольдса. Для ламинарных установив-

Рис. 1

шихся течений, которыми ограничивается настоящая работа, структура решения здесь становится крайне сложной, если происходят отрыв пограничного слоя и образование зоны возвратных токов. Понятно, что отрыв потока тесно связан с относительной толщиной тела; к примеру, профиль нулевой толщины (пластина) обтекается без отрыва при сколь угодно больших числах Рейнольдса.

Решение задачи обтекания тела конечной толщины построено в работе [1] с использованием метода сращиваемых асимптотических разложений [2], когда характерное число Рейнольдса стремится к бесконечности. Оказалось, что эллиптическая по форме рециркуляционная зона имеет продольный и поперечный размеры соответственно О (Не с£0)

и О (Ие1/2 сТо), давление в ней, за вычетом давления невозмущенно-

го потока, в первом приближении постоянно и равно 0(Не-12 Схо2)« Здесь сх о — предельное значение коэффициента сопротивления тела сх. На конечном расстоянии от профиля предельное состояние поля течения при Ие->оо дается решением задачи потенциального обтекания по схеме Кирхгофа с бесконечной застойной зоной. Детали течения в области смыкания слоев смешения обсуждались в работе [3].

Представляет интерес изучение зависимости параметров отрывной структуры от толщины профиля. Впервые такое исследование было проведено в работе [4] для профиля клиновидной формы, установленного острием навстречу набегающему потоку. Благодаря тому, что положение точек отрыва фиксировано в вершинах клина, уменьшение относительной толщины профиля к сопровождается монотонным сокращением размеров рециркуляционной зоны, и при /г==0 (Ие-5/8) отрыв локализуется в пределах трехслойной схемы взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком [5, 6].

Иначе обстоит дело, если профиль имеет гладкую форму, например как нз рис. 1. Дело в том, что потенциальное течение по схеме Кирхгофа содержит произвол в выборе точек схода свободных линий тока. Для замыкания задачи требуется локальное рассмотрение течения вблизи то^ки отрыва. В работе [7] установлено, что при Ие^-оо положение точки отрыва на теле конечной толщины определяется условием Бриллюэна—Билля ограниченности кривизны свободной линии тока при приближении к твердой поверхности [8]. Под влиянием вязкости точка отрыва оказывается смещенной вниз по потоку от своего предельного положения на рейнольдсовски малую величину, размер этого смещения может быть найден из сформулированного в работе [7] условия отрыва.

Впервые влияние относительной толщины тела на положение точек отрыва изучалось в работе [9], где была обнаружена существенная зависимость от формы передней и задней кромок профиля. Например, если относительная толщина Н профиля с клиновидными кромками лежит в диапазоне Ие~1/16-СЬ<1, положение точек отрыва в первом приближении не меняется (согласно условию Бриллюэна—Билля); £х=О (/г2); продольный и поперечный размеры отрывной области и давление в ней равны соответственно 0(КеЛ4), 0(Ке|,2/г3) и

О^е-^/г1). При конечных /г Яе1/16 условие отрыва [7] уже в главном приближении определяет координату точки отрыва, которая с уменьшением /г1?е1/16 смещается вниз по потоку до тех пор, пока не достигнет критического положения так называемой каверны нулевого сопротивления, при котором Пт сх Ие1/8 обращается в нуль. Вместе с умень-

1?е-*оо

шением сопротивления, возникающим при приближении точки отрыва к критическому положению, происходит сокращение размеров зоны отрыва; давление в ней возрастает по порядку величины, и, когда сх Ие1/8 = О (Ие_3 40), масштабы рециркуляционной области становятся сравнимы с соответствующими размерами профиля. Дальнейшее уменьшение толщины сопровождается перемещением точки отрыва в окрестность задней кромки, где при к = 0(Яе~114) отрыв исчезает.

Здесь важно отметить, что монотонное уменьшение толщины Н от некоторого конечного значения до критической величины каверны нулевого сопротивления у профиля с клиновидными кромками сопровождается монотонным перемещением точки отрыва вниз по потоку. Как отмечено в работе [9], такая монотонность может не иметь места, если задняя кромка представляет собой точку возврата формы профиля или если радиус кривизны передней кромки отличен от нуля и бесконечности.

В первом случае для того чтобы точка отрыва монотонно смещалась вниз по потоку, нужно сначала уменьшать h Re1/16 до некоторого конечного минимального значения (ниже которого решение перестает существовать), после чего с увеличением толщины достигается критическое состояние каверны нулевого сопротивления. Ясно, что при определенных конечных /г Re1'16 возникает неединственность решения.

Второй случай — профиль с параболической передней кромкой — подробно изучается в настоящей работе. Интерес к таким формам вызван тем, что, как показано в работе [9] на отдельных примерах, если h уменьшается от конечного значения, то точка отрыва начинает смещаться в окрестность передней кромки (так ведет себя точка Брил-люэна—Билля на тонком профиле с параболическим носком). При достаточно малых h на координате точки отрыва в первом приближении начинает сказываться влияние вязкости, благодаря чему точка отрыва перемещается вниз по потоку.

1. Рассмотрим профиль толщиной h = О (Re-116). Будем искать условия, при которых точка отрыва может оказаться вблизи передней кромки.

Пусть L — длина хорды профиля, Uи — соответственно скорость и давление невозмущенного потока. Введем декартову систему координат с началом в передней кромке профиля и осью абсцисс, направленной вдоль потока (см. рис. 1). Координаты точек плоскости в этой системе будем обозначать xL, yL, компоненты вектора скорости — uilaо, vUoc. Считая плотность жидкости р и коэффициент кинематической вязкости v неизменными во всем поле течения, определим давление в

потоке Рсю + pUlop и число Рейнольдса Re = £Ло L v~1 -> оо.

В силу предполагаемой симметрии задачи всюду в дальнейшем рассматривается только верхняя половина области течения 0. Форму обтекаемого профиля зададим в виде yw = hf(x), h = h(Re), х 6'[0, 1]; /(0) =/(1) =0, f(x) —гладкая в интервале (0, 1) функция с единственным максимумом.

Пусть ре, Le, Не — соответственно безразмерные величина давления в рециркуляционной зоне, ее длина и ширина, уг — форма оторвавшейся линии тока. Тогда [1, 3] при h = 0(1) и Re->-oo

Le = 0 (Re с2х0), Не = 0 (Re2 сх о2),

-Г1 -I

Ре — С) (Re 2 сх 0), сх ~ сх о -р . . . ,

(1.1)

у —X схъ + ' %

Х-+оо,

где сх — коэффициент сопротивления профиля.

Координата точки отрыва х8 на таком профиле может быть найдена из условия отрыва работы [7], согласно которому если I — безразмерная длина дуги обтекаемого контура, отсчитываемая от передней

кромки, — значение этой величины в точке отрыва, р 2 Х5—

величина трения на поверхности перед областью взаимодействия, то давление на поверхности профиля, определенное из решения потен-

циальной задачи обтекания по схеме Кирхгофа, представляется в виде асимптотического разложения

Р~ Р*0{1) + Ие”16 р\ (I) + . • . . , Ие -> оо,

£ 1

р1= О (1,-1), р\----------к01] (/, _/)* + ...,

где к0 = 0,42 [10, 11].

'5

■+о,

(1.2)

Рассмотрим область значений /г~Яе 16, где, как можно предполагать на основании условий (1.2), координата точки отрыва хе, а значит

и величина трения остаются конечными при Яе^-оо. Положим /г = 1_

= /г^е16 =0(1). При (х, у) =0(1) будем искать решение потенциальной задачи обтекания со свободной линией тока в виде

_1___

1 + Ие 16 и {х, у) + ... ,

_1___

Ие 16 V (х, у) + . . . ,

_1____

Ие 16 р (х, у) ,

_1 _

Ие 16 уг(х, у) + . . . ,

V‘

Р'

Уг

'■** + •

Ие

ОО.

(1.3)

Подставляя разложения в уравнения Навье—Стокса, для функций с чертой получим систему линеаризованных уравнений Эйлера, т. е. р + ш — аналитическая функция в верхней полуплоскости комплексной переменной г=х+гг/. Граничные значения р и у на действительной оси у = 0 имеют вид

V = 0, х < О,

v = hf(x), *6(0, х,),

(1.4)

р = 0,

штрих обозначает дифференцирование по х. Решение краевой задачи (1.4) может быть найдено по известной формуле Келдыша—Седова [12]. При у = 0, х £ (0, х,\

Р—------- (х5 — х? у.р. |

(1.5)

(*$ ) (х — О

Линеаризация условия отрыва, очевидно, заключается в подстановке в условия (1.2) разложений 1~х-\-..., — х, + . . . ,

1

хз 2 “Ь • • • • Последнее означает, что трение на поверхности профиля в главном приближении совпадает с трением на пластине, Х0 = 0,33206. Имеем

9 9 1

■х)2 +

■ X

+ 0.

(1.6)

Из (1.5) и (1.6) получаем уравнение для определения зависимости xs(h) при заданной форме профиля f(x):

Видно, что при а> 15/16 монотонное уменьшение /г сопровождается смещением точки отрыва вниз по потоку (соответственно с увеличением толщины профиля точка отрыва сдвигается в окрестность передней кромки). Такое поведение решения отмечалось в работе [9]. Однако, если а £(1/2, 15/16), характер зависимости жв(/г) меняется на обратный. Более того, при а= 15/16 уравнение (1.7), а значит и условие отрыва (1.2) допускают произвольное значение ха. По-видимому, координата точки отрыва в этом случае должна определяться из решения задачи для функций следующего приближения в разложении (1.3).

Можно рассматривать (1.7) как уравнение для определения функции Ь (х3) при заданной /(х). Будем искать асимптотику Л (х$) при х3 0. Пусть при х 0

Подставляя (1.9) в (1.7) и учитывая (1.8), нетрудно убедиться, что решение при существует только тогда, когда выполнено одно

из двух условий:

9

15

А = я £0X8a-ig(a)-4\:j6

где

g («) > 0 при a > Д- ,

(1.8)

g (a) < 0 при 0 < a <

2

f(x) — айх°-° — ах + • • • , ai>ao>0. 0-9)

1. О < a0 < -g- , и тогда

9

15

—__j — о

1г&0Х0 h----------g (a0) а0 а0 Х3

2. а0 = у и а;>0; при этом

9 15

/ ч — 0 16

g(«0)a0a0xs ;

(1.10)

гс£0Х08 h 1 — ^(a,)^ 16

В обоих указанных случаях необходим дополнительный анализ для тех значений /г<С1, при которых точка отрыва оказывается вблизи передней кромки Как будет показано ниже, решение в этой

области можно непрерывно продолжить в область /г — 1.

В дальнейшем ограничимся профилем вида (1.9) с параболической передней кромкой Оо=1/2.

2. Допустим, что х8<с1, но при этом т. е. при х~х8 профиль

можно рассматривать как тонкое тело. Независимые переменные порядка единицы в окрестности передней кромки, содержащей точку отрыва, определим как х = хх~х и у = ухТх . Тогда, если уш=х8ую, то профиль (1.9) при «0=11/2 в первом приближении представляет собой тонкую параболу.

уш~кх3 (а0х — х3 а^х*' + . . .).

Переменная часть давления на таком профиле имеет порядок большей из величин Л2 и Ал:"*-1. В то же время условие отрыва (1.2) будет влиять на положение точки отрыва в главном при-

1____1_

ближении, если переменная часть давления равна 0(Яе 16 х3 16 ). В случае совпадения трех указанных порядков величин Л =

= 0(Ие 32*1-15), д:5=0(Не 32а1-15); при таких значениях параметров можно ожидать возникновения новых явлений, связанных как с влиянием вязкости, так с учетом эффектов второго приближения.

Пусть /г = /гНе32“‘-15 = 0(1), = Не32“‘~15= О(1). Определяя

2а,—1

малый параметр задачи в = Б!е 2(32«1-15)> имеем форму профиля

(2.1)

_1_

Ут ~ ес0 X 2 — £2 с1 хщ + . . ., е -> О,

_

С0 = Ъх$ 2 а0, сг = Ихр ~1 «1,

и линеаризованное, как и прежде, условие отрыва (1.2):

А _Л_ -1

р~ — в2 [к0 Х08 Хэ 16 (1 — х)2 , е 0, 1 — х ->■ -\- 0. (2.2)

Решение потенциальной задачи обтекания профиля (2.1) со свободной линией тока, начинающейся в точке с координатой х=\,

требует отыскания функции Жуковского о) = т + £8, т = — у1п(и2+ + V2), 8 = ап^-^-, аналитичной в области течения по переменной г = х + 1у и принимающей на границе области значения 8 = 0, У = 0, х<0,

8 = аг^-^-, У = У«„ *£[0, 1],

т = 0; У = у„ х>\,

где уг = *51 уг — форма свободной линии тока.

(2.3)

Решение краевой задачи (2.1) и (2.3) ищем в виде

8 — г&0 (г) + га(г) + . . ., х ~ ех0 (г) + е2 х, (г) + . . .,

Уг~еУго(г*) + £2Уг1 £) + •••. 5->0.

Для функций первого приближения имеем краевые условия при

у=0:

»о-0,

х<0,

I

9о = -2-С0Х , *£(0, 1],

х0 = О, X >- 1.

Решение по формуле Келдыша—Седова [12] дает

і

1

. = -ъ-СаХ

-■о,

х>1, У = 0,

*£(о, 1Ь у = о,

(2.4)

Уг0 = С0Х , Л>1.

Используя этот результат, во втором приближении получаем краевую задачу для Ті+і#і при у=0:

»1 = 0, *<0,

&і = — с1 ах л;"1-1, *£(0, 1],

1 2 ~-1 ~4-С0Х .

с решением (как и раньше, по формуле Келдыша—Седова) при у=0, *£(0,1):

*, = ^К1-х)2 у.р.

Л-1 <и

. (2.5)

(1-0 \і-х)

Из (2.4), (2.5) и интеграла Бернулли р + (и2 + г»2) = мож-

но найти распределение давления на поверхности профиля при е 0

Р(х, У„)~е2

4 (і-£)2

СI ах

(1-Х) У.р.

Л-1 йі

(1-0 2 (*-*)

откуда с учетом условия отрыва (2.2) и (2.1) получаем искомое уравнение для х8{к):

Решение квадратного относительно Н уравнения (2.6) удобно записать в переменных

9 16

Л

~ 1 8 2 о -2 —2 _ / ч—2132а, —15

Х3----Х$ [&о 0 51 ё (а1) ] >

9 16а, 15 30—32а,

т* л г £» 8132а,—15 г / \ 11 32ах—15 Л32ос ^~““15

/» = 2А[Л0Хо ] [«1 *1«Г(*1)« Ч 'а

Тогда

Л = Й‘ + (Й"‘1-Х?')Т (2.7)

Нетрудно установить, что решение (2.7) со знаком минус перед

Л

радикалом при х5 -* оо непрерывно переходит в решение (1.10)

—т?Г Л

для Л — Ие , 1. Второе решение при х5 -*■ оо имеет асимпто-

Л Ла

тику А ~ 2л:/, что соответствует исчезающе малой правой части уравнения (2.6) и поэтому обеспечивает переход в решение для А—1, удовлетворяющее условию Бриллюэна — Билля. Вид кри-

вых (2.7) при 04 < 15/16, <*! = 15/16 и а! > 15/16 показан на рис. 2—4 соответственно.

Полученное решение вблизи передней кромки справедливо только тогда, когда длина области рециркуляционного течения велика по сравнению с хордой профиля, Ье^>\. Так как коэффициент сопротивления

2а,

прсфиля сх = 0(А2) = О (Ие 32а‘-15); в силу (1.1)

2811,-15 1 26а,—15 15 2а,—1

£е = О (Ие32*1-15), Не = О (Ие 2 '32а‘~15), Ре = О (Ие 2 '32^-15).

Ясно, что область пригодности решения а!>15/28. Если при этом

я1 ________________

а1< 15/16, то во всем диапазоне толщин Ие 32а‘-15 <С1 А <^Г Ие 16 два решения существуют вблизи передней кромки (л^С!) и еще одно, следуя работе [9], — в окрестности задней кромки с = О (1). Непрерывный переход одного решения в другое может быть осуществлен только с помощью немонотонного изменения толщины профиля к.

При а1> 15/16 монотонное уменьшение толщины /г, начиная с конечного значения, сопровождается перемещением точки отрыва в окрестность передней кромки до некоторого минимального значения

^п,щ= 0(Re 32“1-15) (этот минимум для всех otj соответствует х5 = 1). Дальнейшее уменьшение толщины профиля ведет к смещению точки отрыва вниз по потоку.

Автор благодарит В. В. Сычева и Вик. В. Сычева за ряд полезных замечаний и обсуждение результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев В. В. Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Рейнольдса. — В сб. Докл. на VIII Симп. по современным проблемам механики жидкостей и газов.

Тарда, Польша, 1967.

2. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.,

Мир, 1967.

3. С ы ч е в В. В. Асимптотическая теория отрывных течений — Изв.

АН СССР, МЖГ, 1982, № 2.

4. М е s s i t е г A. F. Boundary layer separation. — Proc. в-th U. S.

Natl. Congr. Appl. Mech., Western Periodicals, North Hollywood, Calif.,

1978.

5. Stewartson K. On the flow near the trailing edge, of a flat plate II. — Mathematika, I960', vol. 16, part l!, N 31.

6. Messiter A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate. — SIAM. J. Appl. Math., 1970, vol. 18, N 1.

7. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ,

1972, № 3.

8. Г у р е в и ч М. И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Наука, 1979.

9. Cheng Н. К., Smith F. Т. The influence of airfoil thickness and Reynolds number on separation.'—ZAMP, 1982, vol. 33, N 2.

10. Smith F. T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface. — Proc. Roy. Soc., Lond., A, 1977, vol. 356,

N 1687.

11. Королев Г. JI. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности.—Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. XI, № 2.

12. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1973.

Рукопись поступила 21/VII 1983 г.