Неединственность ламинарного отрывного обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVI 198 5 №5

УДК 532.526.5.011.7

629.735.33.015.3.025.73 : 532.526

НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ ЛАМИНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ ПОД УГЛОМ АТАКИ В СХЕМЕ

КИРХГОФА

А. Н. Храброе

Рассматривается отрывное обтекание профиля толщиной порядка О (Ие-1 16) при наличии угла атаки той же величины. Отрыв моделируется зоной постоянного давления Кирхгофа. В точках отрыва потока на профиле выполняются асимптотические вязкие условия для давления. В данной модели, учитывающей вязко-невязкое взаимодействие при отрыве, изучается обтекание профилей с закругленной передней кромкой с конечным углом раствора и точкой возврата на задней кромке. Исследуются условия, при которых решение задачи неединственно.

В работе [1] была развита теория стационарного отрыва потока несжимаемой вязкой жидкости от гладкой поверхности при больших числах Рейнольдса. Она базируется на использовании схемы Кирхгофа течения идеальной невязкой жидкости со свободными линиями тока и асимптотического вязкого условия для давления в точке отрыва. В дальнейшем в рамках асимптотической теории отрыва были решены многие конкретные задачи [2]. Была, например, рассмотрена задача о возникновении коротких отрывных зон на передней кромке тонкого профиля при наличии угла атаки [3]. В работах [4, 5] указано, что данная задача может иметь более одного решения.

В работе [6] рассматривается обтекание симметричного профиля при нулевом угле атаки с образованием отрывной зоны, размеры которой велики в масштабах тела. Исследуется влияние толщины профиля и числа Рейнольдса на местоположение точки отрыва с использованием теории [1].

В постановке, аналогичной [6], можно рассмотреть отрывное обтекание тонкого профиля при наличии угла атаки. В дальнейшем используются безразмерные переменные. Все величины размерности длины относятся к I* — характерной длине, имеющей одинаковый порядок величины с длиной профиля. Скорости относятся к и* — скорости набегающего потока на бесконечности, давление — к р*и*2, где р* — плотность жидкости, причем считается, что статическое давление в набегающем потоке равно нулю. Число Рейнольдса определяется следую-и* I*

щим образом: Ие =--------, где V — кинематическая вязкость жидкости.

Для толстых профилей, безразмерная толщина которых т~0(1), вязкость оказывает малое влияние на отрыв потока при Не-»-+оо. Однако для профилей толщиной т~0(Не_1/16) эффекты вязкости определяют положение точки отрыва в главном члене, что показано в [6] для симметричного обтекания. В настоящей работе исследуется влияние на положение точек отрыва на профиле наличия угла атаки а*~0 (.'Не-1/16).

1. Введем малый параметр е = Не~1/16, стремящийся к нулю при Не-»-+оо. Будем рассматривать отрывное обтекание тонкого профиля под углом атаки а* = ва. Верхняя поверхность профиля в прямоугольной декартовой системе координат х, у, с осью х, направленной вдоль хорды, и началом координат в носике профиля описывается функцией Ув=е/в(*), НИЖНЯЯ— ¿/н=е/н(*), где (О, I) (см. рис. 1). Величины а, /, /„(*)> Ых) имеют порядок 0(1). С верхней и нижней поверхностей

п +6Т]

С в 0 А С

Í, S

Рис. 1

профиля происходит отрыв потока в точках А и В соответственно. Отрывная зона моделируется зоной постоянного давления в схеме Кирхгофа со свободными линиями тока АС и ВС.

Течение потенциально везде за исключением пограничного слоя на профиле и отрывной зоны. Для нахождения потенциала скорости ср(х, у) необходимо решить следующую краевую задачу:

V2<p = 0,

на ОЛ и Об,

ду ! дх dx

со = X COS а* —f-_v sin а* при X* + У2 -» + оо.

Для ее решения воспользуемся наличием малого параметра. Представим потенциал ф (х, у) через потенциал возмущенных скоростей <Pi(x, у) с точностью до членов первого порядка малости в виде

® (л, у, е) = х —f- S [ср! (х, у) + ау] + О (е2). (2)

Так как в пределе при Re-»- + oo и профиль и зона Кирхгофа примут вид бесконечно тонкого тела, граничные условия краевой задачи

(1) можно снести на ось у—0. Раскладывая в ряд при малых у производные потенциала скорости, имеем из (2)

ду

ду

-8['>т'|^±0> + .] + о(.г), а.=! + .»<*• ±.а. + 0(.«,

1 Л** ‘ \ /

(3)

„ д?,(х, ±0) д<о,(х, +0) -

В выражениях 1 ------, Т1 - - — ' знак плюс берется для верх-

дх ду

ней поверхности, минус-—для нижней. Подставляя (2) и (3) в (1), получаем линеаризованную краевую задачу для потенциала возмущений

V2 ?1 =

д<Р1

ду

ду

д?1

= —а +

4Л,

с1х

дх

х £ (0, х2), у = + 0,

у = -о,

дх

д?1

дх

ь -»

0, х ^ (х2, + оо), _у — + 0, = 0, (хи + оо), у = — о,

0, х2+у2-* + °о,

(4)

где л:, и л:2 — координаты точек отрыва на нижней и верхней поверхностях соответственно.

Обозначим = = и введем в рассмотрение функцию

№'(г) = ъ + ш, для которой на одних участках сторон разреза вдоль положительной действительной полуоси в плоскости г — х-\-4- /у известно значение действительной части, на других — мнимой (см. рис. 1). Плоскостью с разрезом после конформного отображения С = ]/гг переходит в верхнюю полуплоскость плоскости

С = $ + 1’71. причем действительные и мнимые части функции ИГ (С) известны теперь вдоль всей действительной оси. Аналитически продолжим функцию \У® из верхней полуплоскости в нижнюю, так что №(£)= №(!!.). Вводя обозначения

= +0) = «(6, 0)+ *«(£, 0),

W-=zWq¡, - 0) = V (5, 0) — ш (?, 0),

перепишем граничные условия (4) в плоскости С в виде ХР+- \У-=0,

+ = ?1<5<6а, (5)

Ш+-№~ = 0, $2<Е<+оо,

%2—Ух2, а функция (?) известна:

Я+/„(^Ш)- 5, <&<(),

■«+/;(-«(5)). о<к?2.

где ?, = — Vхи

Р$) =

Известно [7], что краевая задача (5) имеет единственное решение, ограниченное в окрестности точек |1 и £2 и стремящееся к заданному нулевому пределу на бесконечности:

— (-2« ) і

2^(0

ійі

■ с V а - 2.) (і2 - і)

(6)

Для тонкого профиля под малым, углом атаки давление на его поверхности выражается следующим образом:

Р(х) = —є

<*Рі

дх

ей.

Вид функции и можно найти, выделяя мнимую часть функции \У(£) (6). Таким образом, давление на профиле при отрыве потока в точках, соответствующих и имеет вид

і<и

Еі

У^-біНЬ-О

(7)

Отметим, что распределение давления имеет особенность в точке |=0, соответствующей носику профиля. Это характерно для обтекания тонкого профиля под углом атаки. Можно построить равномерно пригодное решение, например, более детально рассматривая окрестность передней кромки с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений.

2. В настоящей работе не будем касаться деталей решения около передней кромки профиля. Предположим, что она скруглена так, что отрыв начинается в окрестности задней кромки. Если отрыв происходит в точке х = х0, для давления в этой точке имеем следующее асимптотическое условие [1, 6]:

р (х) = — р Ие-1/16 (>. (лг0))9/8 (х0 — хУ<2 при х -> х0 — 0,

где Х(хо) —напряжение трения на профиле при х=х0, р = 0,42— численно найдецная константа. Величина Цхо) заранее неизвестна, но в первом приближении, учитывая, что при малой толщине профиля и малом угле атаки внешнее решение для пограничного слоя является малым возмущением равномерного потока, можно считать, что трение на стенке изменяется так же, как в задаче Блазиуса: Х(х) = 0,332-х-^2.

Таким образом, условие для давления в точке отрыва преобразуется к виду

р (х) = — р • гхо9/16 (х0 — х)1Г* при х х,

1/2

о.

(8)

где р = 0,42 • (0,332)9/8.

Зная распределение давления на профиле (7), условие (8) можно использовать для нахождения значений координат, в которых происходит отрыв потока. При стремлении | к |2 слева и к ^ справа имеем

$,) (£* ~Л |

ІІШ

га

р(()

ісіі

тс|

= ІІШ [-

£->-Е3-0

Еі

5-< у

щ8і8&-т

Нгп

е-*е,+0

V (5-60 <6,-6) Г Р(Ц

Т.Ч

Г ру) «) е-<

ш

= Пт [— р(„?)9/8 (5=2 _ £2)1/2].

$-е,+о

Вычисляя пределы и избавляясь от подынтегральных особенностей, получим систему уравнений для определения двух неизвестных величин |1 и §г:

Г РЮ-РЪд в г \\ 1/0 й ^

] (* - 6,)1/у(ея - О3'* ■ ~ (?2> + ^ (5,-51),'а" ’

I

_ / & \3/8

(<_е,)8'2й-о1/2 ш= ~71/7(?1)+ "¿-¿у

,1/2

(9)

После решения (9) и нахождения координат начала отрыва |4 и |г с помощью (6) можно построить характеристическую функцию течения и7('С,), полностью определяющую решение задачи.

Найдем, например, асимптотическую форму свободных линий тока. Известно, что в течениях Кирхгофа зона постоянного давления расширяется при л:->- + оо по закону

1/2, г~

\ х.

Действительная часть выражения (6) при |>|г и т} = 0 дает скорость вдоль оси оу на верхней свободной линии тока. В пределе при ?^+оо

Р (?) tdt

/(¿-£1) (Ь-0

В физической плоскости профиля имеем v(x)~

дает для формы верхней свободной линии тока 5(х)-константа Ь определяется следующим образом:

=41

р(Ш<и

----7=~-> ЧТ0

2 У х_

Ь'У х, где

(10)

Аналогичные оценки для нижней свободной линии тока дают 5(х)—~ЬУх. Константа Ь пропорциональна сопротивлению профиля; в данной схеме обтекания профиля она имеет большое значение, поскольку позволяет судить о пределах применимости модели. Для достаточно толстых профилей или больших углов атаки константа Ь>0 и возможно обтекание профиля с образованием большой в масштабе тела отрывной зоны, которая может быть смоделирована в схеме Кирхгофа. Для очень тонких профилей и малых углов атаки 6<0, что свидетельствует о неприменимости модели. В этом случае необходимо рассматривать другие модели, например, с замкнутой конечной отрывной зоной [6].

3. Рассмотрим обтекание конкретных профилей в рамках схемы, описанной выше. Простым примером является симметричный профиль

с параболической передней кромкой и конечным углом раствора задней кромки, верхняя поверхность которого задается формулой

/в(х) = хх'12{2----0<лг<3,

где х — величина, определяющая толщину профиля.

Функция /7(|) для профиля такого вида определяется следующим образом:

= + -----------?),

Подставляя это выражение в основную систему уравнений (9), беря интегралы и вводя параметры а = у=г=- и т = ^ , получим

нелинейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных величин ^ и 12:

3£1 + $2 , (- б.)3'8

й-ео1

а ~г ~ - 1 ~Ь ; 1/2 =0-

(11)

Решение системы (11) в зависимости от параметров а и т находилось численно с помощью метода, аналогичного описанному в работе [8]. При а = 0 имеем симметричное обтекание профиля, в котором точки отрыва расположены тоже симметрично: %2 = ■—^ = Ух0. Зависимость рассчитанного положения точки отрыва при изменении толщины профиля совпадает с полученной в работе [6]. При уменьшении толщины профиля точка отрыва отодвигается к задней кромке, при этом величина константы Ь, определяемой выражением (10), уменьшается так, что 6 = 0 при т^ОДв. Если еще уменьшить толщину профиля, то получим отрицательные значения Ь, что свидетельствует о неприменимости модели. По-видимому, такие тонкие профили обтекаются при нулевом угле атаки с образованием отрывных зон, ограниченных в масштабах тела [6]. Для профилей с т>0,48 при увеличении угла атаки от его нулевого значения верхняя точка отрыва приближается к передней кромке, а точка отрыва на нижней поверхности стремится к задней кромке.

Для профилей с т<0,48 можно исследовать отрывное обтекание в рассматриваемой схеме при достаточно больших углах атаки, когда выражение (10) становится положительным вследствие увеличения а, а не т. Как показывают расчеты, при а>0 для профилей, у которых т несколько превышает значение 0,48, нижняя точка отрыва подходит к задней кромке уже при малых значениях а. Поэтому обтекание тонких профилей можно рассматривать по упрощенной схеме, считая, что точка отрыва на нижней поверхности находится на задней кромке (Е1 = _ 1/3). При этом от системы (11) остается только первое уравнение, выражающее условие (8) в точке отрыва на верхней поверхности |2. На рис. 2 показаны результаты расчетов положения точки отрыва для профилей различной толщины т в зависимости от угла атаки а. Черные точки на кривых |г=Е2(а) соответствуют значениям а_и |2, при которых выражение (10) обращается в ноль. При меньших а модель неприменима.

С другой стороны, кривые ограничены значением £2=0,1, расчет при этом прекращался вследствие близкого подхода положения точки отрыва к передней кромке, где модель тоже неверна из-за наличия особенности в распределении давления на профиле (7) при | = 0. Интересной особенностью полученных зависимостей £2=12(0) является наличие при различных толщинах профилей диапазонов углов атаки, в которых решение задачи об отрывном обтекании профиля в данной схеме неединственно. Существуют решения, в которых точка отрыва может находиться ближе к задней или к передней кромке при одном и том же значении угла атаки.

Исследуем также отрывное обтекание симметричного профиля со скругленной передней кромкой и точкой возврата на задней кромке, для которого неединственность решения была обнаружена в работе [6] при а=0. Верхняя поверхность профиля описывается функцией

Рассмотрим сначала решения данной системы при а = 0. В работе [6] исследованы решения уравнения, к которому сводится система при = —|г, т. е. при симметричном отрыве с верхней и нижней поверхностей профиля. Изменение положения точки отрыва в зависимости от толщины профиля —|1 = |г (т) показано на рис. 3 сплошной линией, черная точка на кривой соответствует значению параметра т, при котором выражение (10) обращается в ноль.

для которой система (9) принимает вид

где

3(61 + 5.)«-46, 5,

О ’

5 (6і +У3-12£<Є2(£1 + Є2) 16

%-л

Уз

о.—О

г =0,1

Рис. 2

Рис. 3

Существует некоторая область значений т, в которой возможны два решения для симметричного отрыва. Рассчитанная зависимость совпадает с полученной в работе [6]. При дальнейшем исследовании системы (12) оказалось, что она допускает при а = 0 и несимметричные решения £1^=—£2. Физически это соответствует отрывному обтеканию профиля при нулевом угле атаки, в котором отрыв с верхней и нижней поверхностей начинается на разных расстояниях от передней кромки. Эти решения показаны на рис. 3 штрихпунктирной линией.

Если отрыв на верхней поверхности происходит дальше от передней кромки —£2 изменяется вдоль ветви 1, то отрыв на нижней поверхности начинается ближе к носику— |£4| лежит на ветви 2, и наоборот, при | £11, изменяющемся вдоль ветви 1; £2 находится на ветви 2. Таким образом, в некоторых областях значений параметра т при а = 0 могут существовать два, три или четыре решения отрывного обтекания профиля данного вида. На рис. 4 показано, как ведут себя эти решения при изменении угла атаки а. При а = 0 цифрами 1 и 3 отмечены симметричные решения, цифрами 2 и 4 — несимметричные. Черные точки соответствуют значениям а, при которых 6 = 0 и которые ограничивают применимость модели

Так же как и для профиля с конечным углом раствора задней кромки, профиль с точкой возврата при а = 0, начиная с некоторой минимальной толщины, обтекается с отрывом с верхней и нижней поверхностей. Для профиля данного вида это значение т^О.б! см (рис. 3).

При меньших т при наличии угла атаки можно, как и ранее, рассматривать обтекание профиля с отрывом только с верхней поверхности, считая, что вторая свободная линия тока сходит с задней кромки |1 =—УЗ. На рис. 5 показано изменение положения точки отрыва в зависимости от величины угла атаки а при различных толщинах т<0,61. Видно, что в зависимости от толщины профиля т существуют области параметра а, в которых задача может иметь одно, два или три решения.

Таким образом, при исследовании модели стационарного отрывного обтекания профиля с учетом вязко-невязкого взаимодействия получено, что решение соответствующих нелинейных уравнений в общем случае неединственно. На практике это может приводить, например, к возникновению гистерезисных режимов, наблюдаемых в некоторых случаях в эксперименте [9]. Для выяснения природы аэродинамического гистерезиса при отрывном обтекании профиля необходимо исследование устойчивости получаемых решений.

Автор выражает признательность Г. И. Столярову за полезное обсуждение результатов работы, а также М. Г. Гоману за помощь в численном решении задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ,

1972, № 3.

2. Р у б а н А. И., С ы ч е в В. В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — Успехи механики, 1979, т. 2, вып. 4.

3. Рубан А. И. Асимптотическая теория коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 1.

4. Stewartson К., Smith F. Т., К a ups К. Marginal separation.— Studies in Applied Mathematics, 19i8'2, vol. 67.

5. firown S. ¡N., Stewartson K. On an integral equation of marginal separation. — SIAM Journal of Applied Mathematics, 1983, vol. 43, N 5.

6. С h e n g H. K., Smith F. T. The influence of airfoil thickness and Reynolds number on separation. — ZAiMP, 1982, vol. 33.

7. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного.—М.: Физматгиз, 1958.

8. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. — ДАН СССР, 1953, т. 88, № 4.

9. Ч ж е н П. Управление отрывом потока. — М.: Мир, 1979.

Рукопись поступила 21 ¡V 1984 г.