CC BY
47
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ IX А Г И
Т о м XX 1 98 9 №6
УДК 629.735.33.015.3.025.1 : 532.526
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ УЗКОГО КЛАССА ФОРМ СЕЧЕНИЯ СО СТАЦИОНАРНЫМИ СРЫВНЫМИ ЗОНАМИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА*
Г. И. Таганов
Решена задача построения предельного плоского отрывного течения при Ие->-оо для некоторых несимметричных тел с одной или, двумя заостренными кромками, имеющими нулевой угол заострения. Показано, что введение в рассмотрение отрывного обтекания острой задней кромки крылового профиля с образованием точечной стационарной срывной зоны позволяет при Ие °о получить конечные величины интеграла диссипации и толщины потери импульса второго диссипативного следа при сохранении бесконечной скорости обтекания острой кромки, т. е. при нарушении условия Кутта — Чаплыгица — Жуковского. Для плоской пластинки получены аэродинамические характеристики су(а) и с* (а) во всем диапазоне углов атаки аКр<ск90° на режиме отрывного обтекания обеих кромок.
Асимптотическая теория отрывного обтекания плоских тел симметричной (относительно оси, совпадающей с направлением невозмущенного потока) формы сечения при больших числах Рейнольдса содержится в работах [1—3]. Было установлено, что при нахождении вихрепотенциального решения уравнений Эйлера, соответствующего предельному (при Ие->-оо) решению уравнений Навье — Стокса, не нужно удовлетворять граничному условию непротекания на поверхности тела, так как последнее вырождается в точку.
В настоящей работе решается задача построения предельного отрывного течения при Де->-оо для некоторых плоских тел несимметричной формы сечения, отличающихся тем, что одна или две кромки профиля сечения тела заострены и имеют нулевой угол заострения. Для таких тел можно построить предельные течения при Ке->- ОО, в которых, в противоположность указанным выше работам, срывная зона, а не тело, вырождается в точку, благодаря чему происходит также существенное упрощение решения задачи обтекания. Хотя класс форм тел, рассматриваемых в настоящей работе, достаточно узок, он включает важную для приложений форму тела: профиль крыла бесконечного размаха с одной точкой заострения (возврата), исследование безотрывного обтекания которого связано с именами Кутта [4], Чаплыгина [5], Жуковского [6]. Выяснилось, что при построении отрывного течения при Ие-^оо около тел рассматриваемого класса наряду с ре-
* Впервые опубликовано в 1980 г. в Препринте № 5 сектора механики неоднородных сред АН СССР. Воспроизводится по исправленному автором тексту.
зультатами указанных исследований безотрывного обтекания профиля крыла и теории пограничного слоя Прандтля [7] нельзя обойтись без использования модели второго диссипативного слоя и следа в вязком течении около тела, введенной в рассмотрение в работе [8], сущность которой состоит в учете вязкой диссипации вне пределов пограничных слоев Прандтля.
Хотя ранее [1] и было показано, что вклад вязкой диссипации вне пограничных слоев и слоев смешения в предельном (при Ие-^-оо) течении около симметричного тела со стационарными срывными зонами является определяющим в законе сопротивления, долгое время казалось несущественным ее влияние на течение в целом при Ие-ХЭО, если в течении присутствовали достаточно протяженные участки границы тела, на которых развивались пограничные слои, вклад которых в ин-
_
теграл вязкой диссипации ~Ие г и безгранично превосходит вклад вязкой диссипации вне пределов пограничных слоев — Яе-1. Однако в работе [9] на примере обтекания сплюснутого эллипса (пластинки) обнаружилось, что при безотрывном обтекании острых кромок интеграл диссипации расходится.
В работе {10] была доказана теорема: при безотрывном обтекании гладкого профиля с одной острой кромкой выполнение условия Кут-та — Чаплыгина — Жуковского (КЧЖ) необходимо и достаточно для ограниченности интеграла диссипации. В работе [9] указывалось, что доказательство этой теоремы представляет интерес с точки зрения физического обоснования постулата КЧЖ-
В настоящей работе показано, что введение в рассмотрение отрывного обтекания острой задней кромки крылового профиля с образованием точечной стационарной срывной зоны позволяет при Яе->-оо получить конечную величину интеграла диссипации и соответственно конечную толщину потери импульса второго диссипативного следа при сохранении бесконечной скорости обтекания острой кромки, т. е. при нарушении условия КЧЖ.
Установлено, что отказ от выполнения условия КЧЖ на задней кромке профиля крыла дает возможность объяснить механизм образования циркуляции скорости вокруг профиля и подъемной силы, до сих пор остававшейся тайной природы, и построить асимптотическую теорию обтекания крыла при Яе-э-оо на режиме безотрывного обтекания передней кромки крыла (первая ветвь зависимости су{;а), соответствующая экономичному созданию подъемной силы, когда сопротивление, связанное с созданием подъемной силы, минимально).
Для плоской пластинки оказалось возможным получить аэродинамические характеристики су{;а) и сх(а) во всем диапазоне углов атаки аКрит<а<90° на режиме отрывного обтекания обеих кромок (вторая ветвь зависимости су{а), соответствующая неэкономичному созданию подъемной силы, когда сопротивление, связанное с созданием подъемной силы, максимально).
С развитых для исследования плоских течений позиций оказалось возможным получить также некоторые из аэродинамических характеристик пространственных тел (треугольное крыло под углом атаки, круглый диск, плоскость которого нормальна к направлению набегающего потока).
1. Глобальная и локальная картины предельного течения вязкой жидкости около тел с точечными срывными зонами. В соответствии с опытом построения предельных течений вязкой жидкости [1—3] необходимо найти вихрепотенциальное решение уравнений Эйлера, удовлет-
воряющее граничному условию непротекания на поверхности тела. Как правило, такое семейство вихрепотенциальных течений — однопараметрическое: Однозначное определение величины параметра, удовлетворяющего уравнениям Навье — Стокса при Ке->-оо, замыкает решение задачи обтекания.
При обтекании под заданным углом атаки а крылового профиля с задней кромкой, имеющей нулевой угол заострения (точка возврата), известно однопараметрическое семейство потенциальных течений с циркуляцией, параметром которых является величина циркуляции скорости Г вокруг профиля. На рис. 1 представлена картина линий тока около крылового профиля для трех значений параметра Г:Г = 0, Г, Г = Гж, где Гж — величина циркуляции, при которой выполняется условие КЧЖ. Подъемная сила У изменяется пропорционально Г согласно формуле Жуковского У = рУосГ. Ограничим рассмотрение возможных вязких течений диапазоном изменения параметра 0<Г<Гш. Пусть точка Л — передняя критическая точка, а В — задняя критическая точка профиля при значении параметра Г и соответственно Л0 и В0 — критические точки при Г = 0, Ат и Вж — критические точки при Г =ГЖ, Вт — совпадает с задней кромкой профиля.
При учете вязкости жидкости появятся пограничные слои Прандтля: пограничный слой, на верхней поверхности профиля,, простирающийся от точки А и характеризуемый на удалении за
профилем в точке С толщиной потери импульса §Ло—Иеоо2; и пограничный слой на нижней поверхности профиля, простирающийся от точки А и характеризуемый в точке С толщиной потери импульса
_1 Ъу
йноо^Иеоо2. Здесь Квсо = —где Ь — длина хорды профиля крыла.
При стремлении Ке<эо -*■ оо ТОЛЩИНЫ Соо и 8**те стремятся к нулю, и приобретает силу результат работы [10]: задняя кромка (точка Вж> из-за расходимости интеграла вязкой диссипации при Г^ГЖ становится генератором мощного второго диссипативного следа 8200->оо, <^2 = 25200 оо. При этом возникает дилемма: либо отказаться от попыток построить предельное течение вязкой жидкости при Г ф Гж и вернуться к выполнению условия КЧЖ, либо поискать иную форму локального течения около острой задней кромки, которая обеспечит конечность интеграла вязкой диссипации. В настоящей работе выбран второй путь.
Рассмотрим возможные локальные картины течения невязкой несжимаемой жидкости около точки Вж при Г=И=ТЖ (рис. 2).
Уже в 1910 году |5, 6] было известно, что подсасывающая сила П„ приложенная к острой кромке профиля при безотрывном ее обтекании, сохраняется неизменной при закруглении и утолщении ее до величины
с
В)
\Ь
а)
Рис, 2
(I, как остается неизменной глобальная картина обтекания профиля, но величина скорости IЛзж на скруглении изменяется так, чтобы выполнялось соотношение, следующее из уравнения Бернулли;
Механика необходимости существования и постоянства подсасывающей силы при утолщении кромки весьма проста: для сохранения предположенного глобального течения и поворота на 180° жидкости, обтекающей кромку, к ней должна быть приложена сила притяжения /, равная по величине П и обратная по направлению (рис. 2,9). Можно ли создать эту силу притяжения при локально отрывном обтекании кромки? В теории струйных течений несжимаемой невязкой жидкости имеется множество примеров таких течений. На рис. 2, б показано струйное (р=const на свободной линии тока) течение с отрывом от поверхности тела в точке Вт. Струйка с толщиной s и скоростью ,
несущая в направлении действия силы I импульс , при изме-
нении направления движения в окрестности точки 0 на 180° создает необходимую для сохранения глобального течения силу I, приложен-
2 /
ную к жидкости, если р51^вж ——. Как видно, необходимая величина
силы / может быть обеспечена и при локально отрывном течении, если отщепляемая струйка сохраняет конечную величину импульса при стремлении расхода к нулю и со.
Однако в целом схема струйного течения невязкой жидкости не применима для нашей цели, так как во-первых, возвратная струйка уходит из физической плоскости на второй лист римановой поверхности, и, во-вторых, течение в окрестности точки Вт — сильно вязкое.
Квж d
В самом деле, оценим величину Red =-----------, характерную для
локального течения у кромки Вж в вязкой жидкости, используя соотношение (1.1) и тот факт, что величина подсасывающей силы порядка величины подъемной силы, т. е. УвжЛ—
Увж d — const.
(1.1)
Red ~ ReM
ЗО
У*ж
Как видим, Кей 0 при любом конечном числе Иеоо, если -у---------->-оо,
х со
как это имеет место в рассматриваемом вязком обтекании кромки Вж.
В работе [11] дан пример вязкого обтекания с вырожденным течением внутри срывной зоны (т. е. при отсутствии циркуляционного ядра внутри срывной зоны), в котором схема струйного течения, изображенная на рис. 2,6 реализуется в физической плоскости с помощью предельно сильного диссипатора, воспринимающего импульс возвратной струйки и передающего телу силу 1/2. Как указано в работе [11], «... диссипатор является стоком импульса, но не стоком массы, хотя в модели исходного струйного течения идеальной жидкости он является одновременно и стоком массы».
В рассматриваемом вязком течении диссипатором является отрезок ОВж (рис. 2, в) границы тела, на котором возникают исключительно высокие по величине вязкие касательные напряжения, поскольку
п п П /
Ке<г->-0, передающие телу силу — =
; Недостающая сила П/2 со-
здается касательными напряжениями на другой стороне тела на участке 0'Вт, величина скорости вдоль которого также порядка I/вж и число Кео*вж ~ йе^.
Вязкий слой (штриховая линия абс на рис. 2, в) характеризуется толщиной потери импульса второго диссипативного следа, связанной с П соотношением
Р1^С = П. (1.2)
Мы пришли, таким образом, к понятию сильно вязкой точечной срывной зоны при Увж ->оо, генерирующей второй диссипативный
след при Г¥=Гж с конечной величиной ТОЛЩИНЫ потери импульса §2^ и устраняющей вязкую «катастрофу», имевшую место при безотрывном обтекании острой кромки.
Возвращаясь к сформулированной выше задаче определения единственного значения параметра Г*, легко заметить ключевую роль течения в окрестности задней критической точки В, где встречаются два течения: течение с верхней стороны профиля, характеризуемое толщиной потери импульса 8В00, и течение с нижней стороны профиля, в котором к толщине потери импульса 8„оо добавляется толщина потери импульса 82^,, генерируемая точечной срывной зоной Вт. Третий закон Ньютона (действие равно противодействию) в рассматриваемом случае (окрестность точки В) дает соотношение
*.** .**
В 00 == Н со 82оо , (1-3)
которое замыкает решение задачи.
2. Обтекание профиля крыла при Г#=ГЖ (первая ветвь зависимости су(а)) без учета вытесняющего действия второго диссипативного следа.
Выясним на примере обтекания крылового профиля, представляющего собой пластину, к чему приводит отказ от точного выполнения условия КЧЖ в точке Вж.
Сначала ограничимся малыми значениями коэффициента подъемной силы су и предположим также, что
Гж-г*
гж
<1,
где Г* — значение параметра, удовлетворяющего условию (1.3). Из теории тонкого профиля известно, что
су — 4и, (2.1)
где и = -Д- ; ы — приращение скорости при циркуляционном обтекании
оо
дуги круга. Среднеквадратичное значение величины скорости на верхней стороне пластины:
^в= + « V*.
Среднеквадратичное значение величины скорости на нижней стороне пластины:
14 = Усо—й Усе.
Определим теперь 8**то И Сею. Сопротивление трения верхней поверхности пластины
*„•1,328 Р VI
ЛГВ= *—±Ь, (2.2)
^ев 2
где — коэффициент, больший единицы, учитывающий увеличение коэффициента трения при неравномерном распределении скорости на верхней стороне пластины по сравнению с постоянной скоростью в решении Блазиуса, 1,328 — коэффициент Блазиуса при обтекании одной стороны пластины. Сопротивление трения нижней поверхности пластины
*„•1,328 Р VI
•=-рвг V (2-3)
где — коэффициент, меньший единицы, учитывающий недобор коэффициента трения при неравномерном распределении скорости по нижней стороне пластины.
Коэффициенты сопротивления трения из (2.2) и (2.3) будут соответственно равны:
2ХВ *„•1,328 / Кв\з/2 *,.1.328 / 3
УЩо (О ( 2 ’
2ХН *„-1,328 /Уя\3/2 *„-1,328 / 3 _. /л _ч
?У1ь~ ущ; (и,) ~ ГЩо ( 2 м) • ( • )
При безотрывном обтекании пластины при Г<ГШ подсасывающая сила, действующая на заднюю кромку пластины при а<С1, равна
где Уж — сила Жуковского при выполнении условия КЧЖ. Г су
Поскольку р—=——, сУж = 2ка, то коэффициент подсасцвающей
ж суж
силы сХп будет с использованием соотношения (2.2) равен
2П 2—2 (.и Сх„ = т72 . =---- «Ж 1 — —
п Р Ь я \ и}
Если обозначить
“ж/
то
и = «ж — о ,
2 2 С г =---------- о1 .
(2.6)
(2.7)
р V '
Переписывая соотношения (1.2) =^„ —- 6 и используя
п 2
формулу (2.7), получим:
**• 2<х>
°2оо =—Г-
Разность С» — Сев = — (сх —сх ) из соотношений (2.4) и (2.5) равна
2 В И
-»* -** 3 1,328 /' 2 \ -
8.00-8.00 = — 7йГ(1+7*) где х = &в — 1 = 1 —
Обозначим 1,328 ^1 + — = х, тогда
\ з ,/
Соо-С«=-^- ^е^й.
Замыкающее условие (1.3) в рассматриваемом случае дает
— х Иеот1/2 « = — а2 ,
(2.8)
или с учетом соотношения (2.6)—квадратное уравнение относительно о при заданном значении «ж:
о2 + — 1СТ Ке»1/2 о---— X
2 2
X Иеоо’'2 «ж= 0.
(2.9)
На рис. 3 представлены зависимости су(а), полученные из решения уравнения (2.9) при л: = 0 и Квсо= 106; Яеоо = 108; Ие = оо.
Как видно, производная ~ быстро уве- 0
личивается с ростом а, имея при а = 0
3—«Ученые записки» № 6
33
нулевое значение. При сУж = 1 и Кем = Ю6, су — 0,853 сУж, т. е. лежит в области значений, соответствующих экспериментальным данным, полученным в аэродинамических трубах. При йе -+оо сусУж, т. е. приближается к течению, удовлетворяющему условию КЧЖ.
Однако полученное решение задачи течения вязкой жидкости с точечной срывной зоной у задней кромки пластины является только нулевым приближением теории второго диссипативного следа: обратное влияние толщины вытеснения второго диссипативного слоя на глобальное течение и на величину, подсасывающей силы П здесь не учтено. Рассмотрим, к чему приводит учет вытесняющего действия второго диссипативного следа сначала на более простом примере пластины, установленной под углом атаки 90°.
3. Обтекание платинки под углом атаки а = 90° с двумя симметрично расположенными точечными срывными зонами и с учетом вытесняющего действия второго диссипативного следа. На рис. 4, а представлена глобальная картина течения около пластинки при указанных условиях. Генерируемые точечными срывными зонами, расположенными в точках
А и А', вторые диссипативные слои оказывают значительное вытесняющее действие и заметно изменяют картину глобального течения. Поскольку в модели второго диссипативного слоя и следа [8] единственным параметром, который может быть точно определен, является толщина вытеснения 8200 = §2» на бесконечном удалении за телом, а форма полутела вытеснения не может быть определена точно и имеется некоторая неопределенность в выборе ее формы, отражающаяся, конечно, и ,на величине интеграла вязкой диссипации. Однако, как показано в работах [8—10], величина этой неопределенности весьма мала,
г..*
5* °2оо
и главную роль играет точно определяемый параметр °2со=------------ , где
Ь
Ь — характерный размер тела. В рассматриваемом случае систему пластина+полутело вытеснения целесообразно моделировать однопараметрическим семейством пластина + плоский источник, расположенный в точке О' (рис. 4,6).
Величина подсасывающей силы П[ в точках А и А' зависит от
А
А
Рис. 4
2
мощности источника <3:
(3-1)
Здесь (± — РЬ Уоо, где Р =-----------безразмерная толщина полутела от
ь
источника на бесконечном удалении от пластины.
Разрешая это квадратное уравнение относительно с 1 , получим
а толщина полутела вытеснения на бесконечном удалении за пластинкой
т. е. немного меньше хорды пластины. Значение сх^ 1,7 для плоской пластинки бесконечно большого удлинения близко к значению с*»*2,0, которое из эксперимента известно уже с конца XIX века (опыты О. Лилиенталя на ветру подробно изложены в )[ 12]) и неизменно подтверждается в тщательно поставленных современных опытах.
Модель второго диссипативного слоя и следа в рассматриваемом случае обтекания пластинки, как и в более ранних случаях ее применения |[8], позволяет найти силу сопротивления тела, но не дает количественной информации о том, как эта сила приложена к телу. В рассматриваемом случае вопрос о картине распределения давления по задней стороне пластинки остается открытым. Однако следует заметить, что особый характер течения в точечных срывных зонах делает возможным появление сосредоточенных сил в этих точках, направленных вниз по потоку по нормали к задней плоскости пластинки.
4. Сопротивление, связанное с созданием подъемной силы, на первой ветви зависимости су(а). Важным следствием условия (1.3) является необходимость появления дополнительной силы сопротивления (обусловленной отрывным обтеканием острой кромки Вж) для создания циркуляции отличной от нуля, а следовательно, и подъемной силы.
По-видимому, мы имеем дело с неизвестным ранее видом сопротивления у крыла бесконечного размаха, движущегося в несжимаемой жидкости. В самом деле, теория крыла при дозвуковой скорости полета допускает возникновение сопротивления, связанного с созданием подъемной силы только при конечном размахе (удлинении) крыла (индуктивное сопротивление, найденное Прандтлем {13]). Условие (1.3)
В рассматриваемом случае /7 = 2§Г , но так как §Г = —■-т
9°=> 2
сх 1/2
= Сп 1/2 , то Р = спц2- Подставляя эти значения в (3.1) и деля обе
Р К г
части равенства на -------- о, получим
с х = (2— /3)гс^0,27тс.
Полный сх пластины будет тогда
сх = 2с 1 =2 (2 — у^З) *^0,54 я ^ 1,7 ,
позволяет определить величину этого дополнительного сопротивления безотносительно его механизма.
Из теории тонкого профиля известно, что распределение дополнительной скорости при а=0 у вогнутой дужки вдоль верхней и нижней сторон при Г=т^0 может быть сделано равномерным. Если коэффициент подъемной силы будет изменяться не за счет изменения угла атаки а, а за счет изменения относительной вогнутости дужки, то коэффициенты кв и кя (см. п. 2), учитывающие неравномерность распределения скорости и вдоль хорды, будут тождественно равны единице.
Тогда для такого адаптивного профиля из выражений (1.3) и (2.8) получим точное (при и<С 1) соотношение
-с Ие~2 й.
С другой стороны, мы знаем, что
8в 00 + 5ноо = -у {сХв 4- Сха) = -С ^1 + и +
+ !_-!:)=, Кет.
Поэтому с учетом (2.1) получим
СХ2 В2со
с 8** I 5**
5в 00 + 8н 00
где сХр^—коэффициент сопротивление, обусловленный пограничными слоями на верхней и нижней стороне профиля; сх — коэффициент дополнительного сопротивления, обусловленного отрывным обтеканием острой задней кромки Вж.
Уравнение профильной поляры будет тогда
з
с, = сх- + — сХп . (4.1)
■* Л 8 Р* ?
Как видно, дополнительное сопротивление в данном примере адаптивной дужки пропорционально подъемной силе и при су= 1 составляет величину около 1/3 сопротивления трения (рис. 5).
Для того, чтобы выяснить соответствие полученного результата экспериментальным данным для крыловых профилей, у которых:
1) коэффициент неравномерности £в:ф\\
2) кроме сопротивления трения, есть еще сопротивление давления, связанное с толщиной вытеснения на верхней и нижней сторонах профиля;
3) имеются достаточно протяженные участки турбулентного пограничного слоя, необходимо дополнить уравнение профильной поляры
(4.1).
В случае симметричного профиля, как показывают расчетные оценки, добавочный член, учитывающий увеличение сопротивления трения из-за неравномерности распределения скорости на верхней стороне профиля (&в=тМ), может быть приближенно представлен в виде
Д<4 = А (6'*р2)а,оСу ,
схт^ а 0,005 0,01 сх
Рис. 5 Рис. 6
и уравнение профильной поляры при выполнении условия (1.3) будет иметь следующий вид:
СХ = (С*р,)о=0 — (С*й)в=0 СУ + (СдгР,)« = о °У ’
т. е. коэффициент профильного сопротивления увеличится на 2Дс*в при увеличении сопротивления трения на верхней стороне профиля на Асх .
В
На рис. 6 представлены экспериментальные поляры двух профилей, имеющих одинаковую геометрию симметричной части ординат контура: МАСА-0012 и ЫАСА-2412, полученных при Ке^^З-Ю6 [14]. Экспериментальное значение схт[п =0,0061 у симметричного профиля ЫАСА-0012 отождествим с {схр^)л=0 в уравнении профильной поляры (4.2). Заметим, что в экспериментальное значение °хт{п , наряду с сопротивлением трения, входит и сопротивление давления, связанное с отклонением линий тока потенциального течения из-за нарастания толщины вытеснения на верхней и нижней сторонах симметричного профиля.
Тогда линейная часть дополнительного сопротивления, обусловленного отрывным обтеканием задней кромки, может быть представлена на рис. 6 заштрихованной областью I. Нелинейная часть дополнительного сопротивления найдется, согласно соотношению (4.2) как половина разности сх — Схт1п ^ 1 -Ь -у- су| и может быть представлена на
рис. 6-заштрихованной областью II, примыкающей к экспериментальной поляре профиля МАСА-0012. Для вогнутого профиля МАСА-2412 линейная часть дополнительного сопротивления совпадает с линейной частью дополнительного сопротивления симметричного профиля ЫАСА-0012 и представлена на рис. 6 той же заштрихованной областью I. Как видно, экспериментальная кривая сх=!(су) почти касается и на некотором участке изменения су идет параллельно линейной зависимости, полученной для адаптивного профиля. Этот факт мы интерпретируем как подтверждение существования линейной части дополнительного сопротивления у вогнутого профиля КАСА-2412, по меньшей мере* равной
* При наличии участков турбулентного слоя значительной протяженности числовой коэффициент линейного члена будет больше 3/8.
(на так называемом расчетном для этого профиля значении су) линейной части дополнительного сопротивления у ламинарного адаптивного-профиля.
Из проведенного анализа следует, что хотя абсолютные значения аэродинамического качества у профилей ЫАСА-0012 и ЫАСА-2412 заметно различаются между собой за счет малости нелинейной части дополнительного сопротивления у вогнутого профиля ЫАСА-2412, относительное понижение аэродинамического качества при су — 1 из-за дополнительного сопротивления, обусловленного отрывным обтеканием задней кромки, у них приблизительно одинаково и составляет 1/3, как и у адаптивной дужки крыла.
Подытоживая, можно заключить, что при циркуляционном обтекании крыла бесконечного размаха вязкой несжимаемой жидкостью на него действуют три силы:
1) сила Жуковского (подъемная сила), отличающаяся по величине от силы Жуковского, определенной из условия КЧЖ;
2) сопротивление трения и давления, обусловленное пограничными слоями на верхней и нижней сторонах крыла;
3) сопротивление, обусловленное отрывным обтеканием задней кромки, ответственное за значительную часть экспериментально наблюдаемого «отвала» профильной поляры крыла.
5. Обтекание плоской пластины с отрывом от обеих кромок (вторая ветвь зависимости су(а). При превышении критического угла атаки аКр у большинства крыловых профилей при Неоо>106 наблюдается резкое падение су (на 30% -н-40%), сопровождаемое резким повышением коэффициента сопротивления сх. При дальнейшем увеличении угла атаки вплоть до а~45° наблюдается рост коэффициента подъемной силы и устойчивый, т. е. повторяющийся по результатам многократных весовых измерений в аэродинамических трубах, режим течения. Таким образом, за исключением небольшого участка вблизи аКр (область гистерезиса обтекания), можно говорить о втором режиме обтекания крылового профиля (вторая ветвь зависимости ^(а)) в диапазоне аКр< <ас90°, с иным механизмом создания подъемной силы, отличающимся от механизма создания подъемной силы на первом режиме обтекания, рассмотренном в п. 2, поскольку сопротивление, связанное с созданием подъемной силы, здесь на порядки превосходит сопротивление, связанное с созданием подъемной силы на первом режиме обтекания крылового профиля.
Переход с первой ветви су(а) на вторую ветвь физически обусловлен возникновением отрывного обтекания передней кромки профиля. Поэтому для описания течения около профиля при акр<а<90°, наряду с модельной точечной срывной зоной в точке Вж, введем в рассмотрение модельную точечную срывную зону, расположенную на передней кромке в точке 0 (рис. 7). Заметим, что в отличие от п. 2, где плоская пластина была взята в качестве примера из-за простоты расчета, а не из-за ограниченных возможностей модели (все расчеты для первой ветви зависимости <?;,(«) могут быть проведены для произвольного крылового профиля с острой задней кромкой (точка возврата кривой), если известно потенциальное циркуляционное течение около него), то в рассматриваемом случае обтекания профиля с двумя модельными точечными срывными зонами возможность теоретического определения зависимостей сж(а) и су(а) принципиально ограничена вырожденным случаем крылового профиля — плоской пластинкой — из-за иного механизма создания подъемной силы.
Рис. 7
Рис. 8
Рассмотрим обтекание плоской пластинки с модельными точечными срывными зонами в точках йж и О (рис. 7) сначала без учета вытесняющего действия диссипативных следов, генерируемых этими зонами. Поскольку вклад пограничных слоев Прандтля в сопротивление пластинки на втором режиме обтекания пренебрежимо мал по сравнению с сопротивлением, обусловленным отрывным обтеканием передней и задней кромок, мы не будем его учитывать.
Тогда замыкающее условие, заменяющее в данном случае условие (1.3), будет:
(О = (ЗГооК' (5-і)
Коэффициенты подсасывающей силы, действующей на заднюю (сп)вж и переднюю (сп)о кромки будут (см. приложение) соответственно равны
(5.2)
(5.3)
(сп)вж = Ysln*a ’
(^п)о — -н- sin2 а (1 +
Поскольку (С)і„ = 4- (сп)в , а (Оо = 4* (сп)0, то из соотношений-
ж ^ Ж &
(5.2) и (5.3) следует, что удовлетворить условию (5.1) можно только при Г/Гж = 0, т. е. Г*/Гж = 0, а коэффициент сопротивления пластинки из рассмотрения течения на бесконечном удалении за пластинкой равен:
сх = 2 [(8**ос)вж + (82*00)0] =71 sin2 я
Поскольку при выполнении условия (5.1), подсасывающие силы, приложенные в точках Вж и О, равны по величине, а из геометрии следует, что они противоположны по направлению, результирующая аэродинамическая сила направлена по нормали к пластинке. Последнее обстоятельство позволяет определить подъемную силу У по величине силы сопротивления X (аналогично формализму струйной теории Рэлея — Кирхгофа для плоской пластинки) из очевидных геометрических соотношений:
* = <-■
tga
и нормальную силу
N=VX*+ У*.
Коэффициент подъемной силы су на второй ветви зависимости су{о) будет тогда равен
cy = T'sin2a (5-4)
При малых углах атаки (а«С1) из (5.4) получаем су = па.
Следовательно, в начале второго режима обтекания генерируется значительная подъемная сила, всего лишь вдвое меньшая максимально возможной (Суж=21ха) на первом режиме обтекания. Однако сопротивление, связанное с созданием подъемной силы, возрастает на порядки!
Учет вытесняющего действия диссипативных следов не меняет качественно этого вывода.
Коэффициенты подсасывающей силы (сп)вж и (сп)0 с учетом вытесняющего действия диссипативных следов, создаваемых модельными точечными срывными зонами в точках Вт и О, определяются формулами (см. приложение):
(спЬ =
1-^-
V'
г
sin3 a Sin a —— sin a COS a
Гж
Vі (г*
; о Г
sina cos a — _sin2 a
X w
(cn)o = -s- sin2a
/1 — (^—\ sin3 a sin a — І sin a COS a
\ГЖj Гж
1 + sin2
in2a + j/~ J
Г \*
Sin a COS a
(5.5)
(5.6)
где (3>0— мощность источника, расположенного в задней критической точке В, моделирующего вытесняющее действие диссипативных следов аналогично рассмотренному в п. 3 случаю а = 90°.
Для произвольного угла атаки внутри диапазона акр<а<90о условие (5.1) из-за асимметрии зависимостей (5.5) и (5.6) выполняется при Г/Гж<0, как это показано йа рис. 8, где представлены зависимости
(5.5) и (5.6) от Г/Гж) при С2>0, типичные для рассматриваемого диапазона углов атаки. Вычисление Г*/Гш и С}, удовлетворяющих условию
(5.1) и соотношениям
С
Oqo
при a 90°
(5.7)
00
2
(5.8)
проводилось графически.
Разница между (5.7) и (5.8) обусловлена пренебрежимо малым влиянием диссипативного следа, создаваемого точкой О при малых углах атаки на величину (сп)вж и течение вблизи задней кромки Вж, из-за большого удаления от нее истинных источников вытеснения диссипативного следа, создаваемого точкой О.
Результаты вычислений могут быть аппроксимированы следующими формулами:
сх = (0,62 + 0,08 сое 2 а) тс біп2 а, с = (0,62 + 0,08 соэ 2 а) эт 2 а,
(5.9)
На рис. 9 сплошными линиями представлены зависимости су(а) и £дг(а) на втором режиме обтекания пластинки с учетом вытесняющего действия диссипативных следов и для сопоставления приведены американские экспериментальные зависимости су(а) и Сп(а) для плоской пластинки (горизонтальная штриховка) и симметричного профиля ЫАСА-0012 (вертикальная штриховка), полученные в аэродинамической трубе в условиях, соответствующих обтеканию крыла бесконечного размаха при Кеоо~10в с учетом поправок на блокинг-эффект [14].
Рис. 9
Экспериментальные значения су для плоской пластинки во всем диапазоне углов атаки аКр<ск90о приблизительно на 15% выЩе теоретических (5.9). Такое же положение имеет место и для коэффициентов сопротивления сх (не показанных на рис. 9). Рис. 9 еще раз подтверждает давно известное из опытов свойство течения на втором режиме обтекания крыла: слабую зависимость характеристик крыла сх и су от формы профиля (малое отличие зависимостей су(«) для плоской пластинки и симметричного профиля КАСА-0012 с относительной толщиной 12%. Второе свойство течения на втором режиме обтекания: практическая независимость характеристик сх(а) и су(<а) от числа Рейнольдса, положенная в основу рассматриваемой модели (пренебрежение вкладом пограничных слоев в коэффициент сопротивления), также подтверждается обширным экспериментальным материалом. Однако наблюдаемое превышение экспериментальных значений сх и су над теоретическими предсказаниями рассматриваемой модели требует объяснения.
Представляемся, что модель течения со стационарными срывными зонами, описанная в п. 1 настоящей работы, не реализуется полностью при больших значениях коэффициента подсасывающей силы Сп, имеющих место на втором режиме обтекания. Напряжения трения на стенке в области, примыкающей к острой кромке, оказываются недостаточ-
ными для обеспечения стационарного течения внутри срывной зоны и соотношение (1.3) выполняется только в среднем за достаточно большой промежуток времени, в течение которого последовательно возникают, растут и отрываются вихревые области от острой кромки. Если рассматривать настоящую модель как стационарную модель осреднен-ного по времени реального нестационарного течения, то нельзя забывать, что в этом случае кроме вязкой диссипации имеет место затрата энергии (т. е. увеличение коэффициента сопротивления тела) на создание кинетической энергии пульсационного движения в следе за телом. Тогда 15%-ное превышение экспериментальных значений коэффициента сопротивления плоской пластинки над модельными значениями сх следует трактовать как плату за образование средней кинетической энергии пульсационного движения в следе за пластинкой. Такая трактовка позволяет дать количественную оценку величины средней пульсационной скорости в следе и допускает в дальнейшем ее количественную проверку путем сопоставления расчетных оценок с прямыми-экспериментальными данными по величине средней пульсационной скорости в следе за пластиной в диапазоне углов атаки аКр<а<90°.
6. Обтекание профиля крыла при Г^ГЖ (первая ветвь зависимости су (а)) с учетом вытесняющего действия диссипативного следа при а<1~ После изложенного выше можно приступить к определению зависимости Су (а) на первом режиме обтекания крыла (при безотрывном обтекании передней кромки) с учетом вытесняющего действия диссипативного следа, генерируемого модельной точечной срывной зоной в точке Вж на величину подсасывающей силы в этой точке. Теперь можно рассматривать зависимость 8*^ от коэффициента подсасывающей силы (^п)вж—единственного параметра, определяющего локальное течение около точки Вж (являющейся точкой возврата кривой), даваемую соотношением (1.2) (в которое не входит число Рейнольдса), как прошедшую экспериментальную проверку при больших значениях сП-
При а<1 коэффициент подсасывающей силы в точке Вт с источником Q, помещенным в задней критической точке В для вырожденного-симметричного профиля — плоской пластинки дается выражением, полученным из (5.5) предельным переходом а-*-О при Г/Гж = const:
Мощность источника, моделирующего полутело вытеснения, равна
Поскольку хорда пластины в выражении (6.1) принята равной 2, то> Гж1 = 2теа1/оо и из (6.2) получаем
(6.1)
О (спЬж
|ГжI 2 па
р
Обозначения Д = 1— , из выражения (6.1) получим
(6.2)
Удобно ввести отношение коэффициента подсасывающей силы с учетом вытесняющего действия (сп)вж к коэффициенту подсасывающей силы без учета вытесняющего действия ((3 = 0), равному
(сп)£ = -д- Д2, т. е. сп =
(сп)в„
Тогда из соотношения (6.2) получается квадратное уравнение для определения сп:
сц — 8 Сп +4 = 0 и имеющий физический смысл корень
<ГП = 4 - 2Уз ^ 0,54. (6.3)
Таким образом, учет вытесняющего действия диссипативного следа почти вдвое уменьшает величину коэффициента подсасывающей силы в точке Вж.
С учетом (6.3) квадратное уравнение (2.9) приобретает вид:
2 0,54 Кесо 2 “ж —0-
Разрешая это уравнение при заданных значениях ит и Иесх,, можно построить, зависимости су(<а) с учетом вытесняющего действия диссипативного следа, генерируемого точечной срывной зоной Вж. На рис. 10 приведены эти зависимости, полученные, как и зависимости, приведенные на рис. 3, при &в = £н=1 и значениях числа Рейнольдса Неоо=106, 108 и оо.
Сопоставляя эти зависимости можно заметить некоторое понижение несущих свойств профиля при учете вытесняющего действия диссипативного следа и более сильную зависимость су при заданном а от числа Рейнольса. Обращает внимание нелинейность полученных кривых (а) (рост производной йсу!йа при увеличении а), отличающая их от привычных линейных зависимостей су{а).
Хотя подробное ознакомление с обширным экспериментальным материалом по крыловым профилям дает немало примеров, когда йсу/йа растет с увеличением а, т. е. имеет место такой же характер нелинейности, как в теоретических зависимостях рассматриваемой модели, представляется преждевременным делать заключение о том, что нелинейность обнаруженного вида является фундаментальным свойством характеристик крылового профиля, поскольку в приведенных теоретических оценках не ' учитывалась, в частности, неравномерность распределения скорости (весьма значительная для верхней стороны профиля) и течение в пограничном слое предполагалось ламинарным. Несомненно этот довольно
тонкий вопрос прояснится, когда в дальнейшем в модель будут введены данные расчета пограничного слоя на обеих сторонах профиля, учитывающего распределение давления вдоль хорды и состояние течения в пограничном слое.
В заключение автор выражает признательность В. С. Садовскому, любезно согласившемуся в приложении дать подробный вывод формул для некоторых потенциальных течений, используемый в настоящей работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Таганов Г. И. О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re->-°o. — Ученые записки ЦАГИ,
1970, т. 1, № 3.
2. Т а г а н о в Г. И. Вязкая диссипация и законы сопротивления тел при l<Re<°o. — Численные методы механики сплошной среды,— 1973, т. 4, № 4, Новосибирск.
3. Б у ко в дайн В. Г., Таганов Г. И. Численные результаты асимптотической теории обтекания тел со стационарными срывными зонами при больших числах Рейнольдса. — Численные методы механики сплошной среды, 1976, т. 7, №. 1, Новосибирск.
4. Kutta W. Illustrierte aeronautische mitteilungen, 1902.
5. Чаплыгин С. А. О поддерживающих планах. — Математический сборник, 1910, т. 28.
6. Жуковский Н. Е. О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов.—ZFM, 1910, № 22, см. также Собр. соч., т. 4, ■—М. — Л.,
Гос. изд-во технико-теорет. литературы, 1949.
7. Р г a n d 11 L. Verhandlungen des dritten internationalen Mathe-matiker — Kongresses (Heidelburg, 1904), Leipzig.
8. Таганов Г. И. О втором диссипативном пограничном слое и следе в вязком течении около тела. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1,
№ 6.
9. С а д о в с к и й В. С., Синицына Н. П., Т а г а н о в Г. И. О диссипации энергии в некоторых течениях вязкой жидкости. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. 2, № 3.
10. Садовский В. С., Синицына Н. П., Таганов Г. И. Исследование некоторых свойств второго диссипативного слоя в двумерных течениях несжимаемой жидкости. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 1.
11. Таганов Г. И. К теории стационарных срывных зон. — Изв.
АН СССР, МЖГ, 1968, № 5.
12. Жуковский Н. Е. Собр. соч., т. 6. — М.—Л.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1950.
13. Prandtl L. Nachrichten der К- Geselschaft der Wissenschaften zu Gottingen.—Mathematisch-Physikalische Klasse, 1918.
14. Hoerner S. F. and Borst H. V. Fluid-dynamic lift, published by Mrs. L. A. Hoerner, 1975.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Комплексно-сопряженная скорость безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости в окрестности острой кромки пластины (рис. 11) можно представить в следующем виде:
V = + У+, г = х + 1у = ге‘в. (I п)
Первое слагаемое соответствует известной особенности в острой кромке при развороте потенциального потока на угол у = 2 я, а второе является ограниченным в окрестности этой кромки; коэффициент а — действительная константа.
В соответствии с (1 п) проекции скорости на оси х и у имеют вид:
а
и ■■
Vr
а
cos — + и*; 2
V = —— sin — + V* .
Vr 2
(2 п)
Для определения подсасывающей силы воспользуемся интегральной теоремой импульсов в проекции на ось х:
]■ рУпи/?гі6 = — § pcos9RdQ +Рх. (Зп)
Интегрирование проводится вдоль окружности произвольного радиуса И с центром в начале координат. Уп — величина нормальной скорости на окружности, а ('-—Рх)—действующая на острую кромку пластины подсасывающая сила.
Так как Vn = u cos 0 + и sin 0, то с учетом соотношений (2 п) интеграл в левой части уравнения (3) преобразуется к виду:
2 л 2 п ■
р J VnuRd% =7tpa2 + р YR f + V*Ja cos-^ +YRu*V*a\db. (4 n)
о о
Из уравнения Бернулли находим величину давления:
%- + I V* I2 + jLfL I u* cos -!L -f- v* sin —
R YR' 2 2
после чего интеграл в правой части уравнения (Зп) принимает выражение:
'I ТС А ТС
- j*/>cos0/?d0 = -|-lAtf I* Г| y*|2_j_2a ^*cos + u*sin -ljjCos0d0. (5 n)
о 0
Величина подсасывающей силы Fx не зависит от радиуса окружности R в уравнении (Зп), поэтому, совершая в соотношениях (4 п) и (5 п) предельный переход R->- 0, из уравнения (3 п) получим:
Р=Ро~\
рх = пр а3,
где а — коэффициент при особенности в выражении для скорости (1п).
(6 п) 45
Рассмотрим теперь обтекание пластины потоком под углом а и соответствующее течение около кругового цилиндра во вспомогательной плоскости £=5+Й1 (рис. 12). Отображение
'7->
переводит точки £=±/ в острые кромки пластины. Положение критической точки £о на цилиндре при некоторой циркуляции Г находится, как известно*, из соотношения
sin (0О- а) = -—4— - = — Г sin а. (8 п)
4 тс | Vq \ I
Здесь Г = Г/Гж, а Гж=— 4 я[ Vo 11 sin а = — 2 те | 11 sin а—-циркуляция, при кото-
рой выполняется условие КЧЖ на задней острой кромке пластины.
Рассмотрим комплексный потенциал
,= v^+YoJL + г inc + £in(-LzW?, (9п)
£ 2 яг 2гс С
соответствующий циркуляционному течению около цилиндра при наличии в точке go, определяемой из (8 п) источника с интенсивностью Q>0. В физической плоскости г этому потенциалу соответствует циркуляционное течение около пластины, при этом в точке г0 на ее поверхности (см. рис. 12) находится источник Q (при Q = 0 точка Zo является критической). Для вычисления подсасывающей силы, возникающей на острой кромке пластины z=i при Г ф 1 и <3=^0, достаточно, согласно (6п), найти коэффициент а в главном члене выражения для скорости в окрестности задней острой кромки. Для этого следует использовать соотношение
dw _____ dw rfC
dz dt, dz
и выражения (7 п)—(9п). После дифференцирования соотношения (9 п) и подстановки £=/ получим:
dw „ , | , Г , Q ! 2 1 \
W(I) —2,1^1..».+ - т) -
Г Г Q sin 0О I
= q— 2 | У0 I sin а - 2^7 + Ш i_Cos0oJ-
так как С0 — Преобразование третьего слагаемого в скобках с помощью
соотношения (9п) и обратных тригонометрических функций позволяет предста-
dw
вить — в следующем виде:
dw Гж Г — —
где Q = QIГ.
Главны]
из выражения (7 п):
У1—r2sin2asina— Tsinacosa Т ^ 1 — У\ — Г2 sin2 a COS a — Г sin2 a J’
dC
Главный член производной — в малой окрестности точки г = 1 находится
dг
Ж j , .—= лГ 1_
dz К^-/2 V 2 (г — О
* К очи н Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика,
ч. I, 1963.
2пУ2 I
1 — Г —| <?1
-Г2 81'п5 авШа — сова
1-^1 — Г2 вШ® а СОЭ а — Г вт2 а
VI-.
В соответствии с формулой (6п) подсасывающая сила на задней кромке пла-
стины
р I V I2
/7Г = Я--------------—— I вш2а
1_г | <2 | V 1 — Г2 вт2 а в1П а — Г вШа сое а
\-У\ — Г* вШ2 а сое а — Г 51п* а ]
Совершенно аналогично получается выражение для подсасывающей силы на передней кромке;
Р1 ^ос12
I вт2 а
X
у 1 — Г2з1п3д в!!! а — Г б!п а сое а
1 -(- У1 —Г2 вШ2 асова + ГвШ3»
Рукопись поступила 16/Х 1980 г.
