Расчет двумерного обтекания решетки вязкой несжимаемой жидкостью с отрывом на выпуклой стороне профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 2

УДК 532.517.4

РАСЧЕТ ДВУМЕРНОГО ОБТЕКАНИЯ РЕШЕТКИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ С ОТРЫВОМ НА ВЫПУКЛОЙ СТОРОНЕ ПРОФИЛЯ

Г. Л. Подвидз

Рассмотрено плоское стационарное турбулентное течение через решетки турбомашины несжимаемой жидкости без отрыва и с отрывом от выпуклой стороны профиля двух видов: с присоединением к профилю и без присоединения. Областью применимости модели течения является полностью дозвуковое обтекание профилей решеток турбомашин при больших числах 1?е с турбулентным пограничным слоем на профиле, имеющем тонкую выходную кромку; отрывная область тонкая.

В плоских дозвуковых решетках турбин в средней части выпуклой стороны профиля обычно достигается максимальная скорость обтекания. На участке выходной кромки течение диффу-зорное и возможен отрыв потока.

В исследованиях отрывных течений используются следующие модели и методы расчета [1—4]: стационарные и нестационарные невязкие струйные течения и со сходящими вихрями; асимптотические методы при больших числах Ие; интегральные методы в вязком слое, а также решение полных уравнений течения вязкой жидкости.

1. В рассматриваемой модели обтекания решетки (при нулевом угле атаки набегающего потока) выделяется внешнее невязкое отрывное течение с границей на контуре профиля, утолщенного на толщину вытеснения пограничного слоя, и изобарическим участком в отрывной области и вязкий слой. Поток отрывается в точке 5, расположенной на выпуклой стороне профиля, и присоединяется в точке Я (рис. 1). Координата точки отрыва в начальном приближении 5° определяется по полуэмпирическому критерию Прандтля — Бури [1] и уточняется в малой окрестности* точки 5°.

Вязкий слой на профиле разбивается на области /—1/7:

Область / КБ от передней критической точки К на выпуклой стороне профиля до точки отрыва 5 и область V КМ на всей вог-

3—„Ученые записки" № 2.

за

нутой стороне профиля с безотрывными турбулентными слоями, слабо взаимодействующими с внешним невязким течением.

Область II вязкого слоя SACP с постоянным давлением, с расположенным в ней струйным турбулентным слоем смешения SECP и примыкающей к профилю застойной зоной SAE.

Область III ARBFC присоединения потока в точке R с профилем скорости, учитывающим возвратное течение жидкости в области ARE. На линии ER скорость течения в слое равна нулю.

Через сечение АЕ жидкость из области ARE возвращается в застойную область SAE, через внутреннюю границу SE подсасывается в струйную область SECP и через сечение ED снова попадает в область ERBFC, образуя область SARDS рециркуляционного движения.

Область IV ВМ безотрывного пограничного слоя, располагаемого на профиле, если точка присоединения R находится далеко от точки М на выходной кромке.

Область VI выравнивания закромочных следов за решеткой.

Область I—V считаются достаточно тонкими, чтобы можно было считать давление постоянным поперек вязкого слоя.

2. Исходное внешнее безотрывное течение через решетку рассматривается как плоское стационарное течение невязкой несжимаемой жидкости [4].

Интегральное уравнение относительно скорости безотрывного обтекания на контуре профиля c*(s), где s — координата вдоль контура профиля MKN(рис. 2), имеет вид, аналогичный [4]. Из его решения определяется координата передней критической точки К.

Рис. 1

Проекции скорости безотрывного течения невязкой ЖИДКОСТИ на бесконечности за решеткой будут

_1_

Т

^2 л- * ---------С

1 X

(j:c*(a)da, с2у = с1

У’

и

где сх х — сх cos <хи clv = c1sina1, сь ос j — скорость, угол потока перед решеткой.

Область D0 безотрывного течения около профиля с границей контура L0 в области течения одного периода решетки с шагом t

Пп

L

*-> п

М Б R A S К Я

Рис. 2

плоскости г = х 4- ьу отображается на область О0 течения в верхней полуплоскости с границей Ьо на действительной оси т] — 0 плоскости С = Е + гт;(см. рис. 2). Комплексный потенциал течения в верхней полуплоскости образуется вихреисточником с интенсивностью 4- в точке С = г и вихреисточником — Г* + К} в комплексно-сопряженной точке С = — £.

Равенство приращений потенциала скорости на профиле от передней критической точки с координатой зк до текущей 5 и на действительной оси -г] = 0 верхней полуплоскости от критической ТОЧКИ до текущей точки ; определяет отображение 1 = 1(5) профиля на действительную ось верхней полуплоскости.

3, В областях I, IV, V рассматривается слабое взаимодействие безотрывного турбулентного пограничного слоя и внешнего невязкого течения. На внешней границе слоя значение скорости се (5)

определяется отрывным обтеканием профиля, недеформированного на участках К5, ВМ, КМ, и наклон толщины вытеснения о* (в) к контуру профиля не учитывается.

Интегральное соотношение для импульса в пограничном слое запишем в виде:

О)

Принимается степенной закон для профиля скорости в слое и степенной закон для трения на стенке, параметр Н считается постоянным

TJ# __ 0 '

Н =ПГ ’

= А Re**-1"",

?се

И** = Re** =

О

сРЪ**

ч=~г

н =

V

/я. •

2+р

Я (s) = const.

(2)

Здесь р — плотность; — трение на стенке; о*, 8** — толщины вытеснения, потери импульса; И — формпараметр слоя.

Уравнение (1) с законом трения (2) в областях I, V с граничным условием в точке К при 8 = 8к:се (5^) = 0, 8** ($к) == 0 имеет решение в квадратурах, аналогичное [4].

Возможность безотрывного обтекания турбулентного слоя в несжимаемой жидкости проверяется по критерию Прандтля — Бури [1]

1 <1с.

ds

8** Re**~1/m < Гкр.

(3)

Для расчета параметра слоя Г (s) используется распределение величин с* (s) и 8) (s) при безотрывном обтекании при Н\= 1,285= = const и не учитывается резкое возрастание Н до величины 2—3,5 вблизи точки отрыва [1]. Поэтому при определении начального значения координаты точки отрыва S0 принимается пониженное по абсолютной величине по сравнению с экспериментальным значение Гкр = — (0,015—0,02) при т = 4.

4. В качестве внешнего отрывного невязкого течения рассматривается обтекание тела с учетом толщины вытеснения с малой

толщиной о* и малым углом у (s) = < с#, с между скоростью сп; (s) безотрывного обтекания на контуре профиля и скоростью с (s) отрывного обтекания на граничной линии тока, в качестве которой рассматривается тело с учетом толщины вытеснения (рис. 2). Скорость с (s) и угол у (s) вычисляются на контуре профиля, отображенного на действительную ось С— I.

Скорость отрывного течения с (С) на верхней полуплоскости -*)>• 0 (см. рис. 2) находится из решения смешанной задачи для отыскания аналитической функции

/(y = ln|c(C)/c,(Q|-WT (Q, для которой на границе полуплоскости С = Е задается мнимая

/(і)-

часть на интерва лах (Ель Ел), (Ь, Е/у) и действительная часть на интервале (Ед, Ех) в виде

гт (|) = 0, Еж<Е<Ев,

*Г (5). Ев<Е<Ел,

1п |св/с. (1)|, Ел<Е<Е5,

*Т(Е)=0, Е*<Е<Е^.

Предполагается, что на интервалах (Ель Ел), (Ь, Ел?) функция 7 (Е) ограничена | 7 (Е)| < С | Е \~^, у- > 0, а функция /(Е) имеет конечный предел, равный нулю при Е->+оо.

Единственное решение смешанной задачи для функции /(Е) на действительной оси С=Е дается формулой Келдыша—Седова [5]:

-[-оо

1 /(*)£(*)*(«> *>

*<«. 0=7^.

В области II определяется угол наклона -[и (Е), в областях /, III, /I/, V определяется скорость отрывного невязкого обтекания с (Е).

Проекции скорости внешнего отрывного течения невязкой жидкости в сечении 2—2 (см. рис. 2) имеют вид [4]:

'2х -

-■ СХх — 4~ $ С (a) da, С2у = ~ Cly, [X = 1

8М + 5Л?

где р. — коэффициент расхода в решетке.

5. В области SACP рассматривается изобарическое течение с постоянной скоростью внешнего невязкого отрывного течения на внешней границе PC струйного слоя

р (s) = ps — const, се (s) — cs = const.

В области II SECP используется модель струйного турбулентного пограничного слоя, развивающегося от точки О. Трение на дуге SAB считается пренебрежимо малым, пренебрегается количеством движения на границе АЕ. Из застойной области по внутренней границе SE жидкость с постоянной скоростью сп подсасывается в струйную область SECP.

Изменение толщины 8п = пс—Ле плоской изобарической струи определяется из уравнения [6, 7]:

rfOjr

• Ь = const,

сія

где Ь — константа турбулентности, с граничным условием в точке

5, определяемым течением на участке КЯ безотрывного турбулентного пограничного слоя:

М*5) = 815, №) = 8Гг (4)

Толщина струйного слоя вдоль контура 5Л изменяется следующим образом:

8ц(5) = &(5 —55 + $0); (5)

здесь 50 = Ь18/Ь — длина эквивалентной струи, развивающейся от точки 0, учитывающая начальную толщину слоя 815.

В струйном слое области II и слое присоединения области III принимается однопараметрический профиль скорости с параметром т. и с функцией /(т)) аналогично струйным течениям в затопленной струе [7]

у-=1 т= °е ~ , /=

ье се

/(7|) = 1 — З-/]2 + 2т)3.

В струйном слое принимается отрывный профиль скорости

п — пЕ

71„ ==-----, тп\\ = 1, с„, = 0;

'Н ПС—ПЕ ’ " ’ ш ’

относительные толщины слоя равняются

Ни = 1/2, Яп = 9/70, Яп = 35/9.

Линия тока 50 разделяет область БОСР внешнего течения от области циркуляционного движения. Расход жидкости, под-

сасываемый на участке БЕ, равен расходу жидкости, вытекающей на участке ЕВ. Из уравнений неразрывности для контура НОБОС и сохранения количества движения для контура НОБЛС получаем

\

?Спги («л - = РСе 5П А Я**. (7)

Уравнение сильного взаимодействия связывает наклон границы тела с учетом толщины вытеснения пп = пЕ + % с наклоном граничной линии тока внешнего невязкого отрывного течения. Уравнение сильного взаимодействия с граничным условием в точке 5 имеет вид

^1 = Ц[ (5)> 5 = п\\ == °1 5-

6. В области III АИВЕС присоединения потока используется модель турбулентного пограничного слоя без трения на стенке [2]. На контуре профиля при п = 0 используется диссипативное уравнение движения [7]:

° = °т ^ = <->’ = ~&Г = й! ~дп ' \т ' ^

На внешней границе слой сращивается с невязким безвихревым течением.

Интегральное соотношение для импульса в области III имеет

вид

А!^1 + (2 + йш)^ = 0. (9)

В слое присоединения толщиной 8Ш = гас — пА, "»]ш = (га — /гл)/8ш принимается однопараметрический профиль скорости (6) с параметром т. При гагш>-1 вдоль АЕ существует возвратное течение, при тщ — 1 поток присоединяется в точке Р. Относительные толщины ело»

г,* , , т , \ т (, 26 \ гг 26 \-1

Ящ(т) = у, Яш(/га) =-2~ ^1—з^тгау , Яш =<^1 — т) .

С использованием простейшей формулы касательного напряжения в турбулентных струях [1, 2] для диссипативного члена в правой части уравнения (8) получим

dz

дп

рт? с\

(—•/.а),

где (—ха)>0 можно считать эмпирической константой турбулентности в слое присоединения.

В области III уравнение сильного взаимодействия для тела вытеснения «ш = 8*ц и граничное условие в точке А имеют вид

Д.ч

ds

— Tin (S) при S = SA’ 8ш(5л) = 8л • (10)

Система уравнений (8), (9) преобразуется к виду

d\nH dm (П , d\nc? i

dm ds ' 1 ; ds o** ’

/1 \ dm . /ri , d\nce m2 , 4 №

(l—m)-df + mV — m) —dr~ %a)H"■

(И)

7. Координата точки отрыва 5 в начальном приближении находится из условия (3) и уточняется в малой окрестности точки S0.

В заранее неизвестном сечении выполняются условия равенства толщин на границе областей

8;.ы-8шw. 8Г(«л)=8п<^) (12)

и сохранения массы жидкости внутри области SDR; расход жидкости, вытекающей из области II на участке ED (7), равен расходу на участке АЕ аналогично [4]:

PceAiAHu =PceAbmAG(mA, ijв). (13)

В сечении sB выполняется условие 8** (sB) = 8** (sB). Длины области / |ss — 5Я| и области II |5Л—ss| являются неизвестными параметрами задачи. Длина области III задается числом пх расчетных точек на профиле.

В сечении ss выдерживается условие непрерывности тела с учетом толщины вытеснения

81Ы = /гпЫ = 8л- / Тц (°) da. (14)

SA

Замыкающими условиями для задачи в целом служат уравнения проекций количества движения для контура abef на оси х, у (см. рис. 2), аналогичные [4].

Итак, общая система уравнений задачи отрывного обтеканияг решетки включает:

неизвестные функции в области III

т\\\ (s)> Тш(5)> се III (s)> 8ni(s)

и для их определения уравнения (10), (11), формула Келдыша — Седова для с1П (Н);

неизвестные параметры

[ 5S Sk\’ |S/T SS I > CS> °Д> mA' Ta ’ %

и для их определения условия склейки (3), (12) — (14) и уравнения количества движения для контура abef.

Составляется вектор независимых переменных и функционал системы, определяющийся суммой нормированных невязок уравнений взаимодействия (11) в пх расчетных точках интервала (sA, sB'j и условий склейки.

Вектор решения, минимизирующий функционал системы, находится поисковым методом вращающихся координат, разработанным В. И. Купцовым.

8. В качестве примера на БЭСМ-6 было рассчитано течение в рабочей решетке турбины (см. рис. 2) при нулевом угле атаки. На профиле было расположено п = 97 расчетных точек, параметры степенной зависимости (3) для трения равны А = 0,0128; /га = 4; И= 1,285; число Re, = 0,77-106.

Величина параметра отрыва в диапазоне Гкр = —(0,015-^-0,02) не влияет на определение координаты точки отрыва. При увеличении коэффициента утолщения струйного слоя в диапазоне Ь — = 0,1 -н0,2 распределение w(s) практически не изменяется, незначительно возрастают 8* и коэффициент потерь Ссо- При увеличении константы турбулентной вязкости (—т) = 0,02 -г-0,04 распределение w (s)изменяется незначительно, однако значительно возрастают значения о**(s) в отрывной области и Соо- Константы турбулентности Ь = 0,1 и (—ад) = 0,03 обеспечивают удовлетворительное соответствие с экспериментом и согласуются с принятыми значениями при отрывном течении за уступом [2]. Безразмерные величины невязок в уравнениях взаимодействия (11) достигают в расчетах значений 0,001—0,1.

При безотрывном обтекании (кривая 1 на рис. 3 и 4) на выпуклой стороне профиля на входной кромке имеется незначительный пик скорости, при s = 0,4 (s = s/ss, ss — длина контура профиля) отношение ■ге>,шах/®2 = 1>55, далее на участке выходной кромки течение диффузорное и толщина потери импульса 8* возрастает наиболее значительно. Расчетный коэффициент профильных потерь при нулевой толщине выходной кромки Соо* = 0,018, что значительно меньше экспериментального значения Соо = 0,0485. Из сопоставления этих величин следует, что безотрывное обтекание не реализуется.

При отрывном обтекании (кривая 2 на рис. 3 и 4) поток отрывается в точке S с координатой s5 = 0,072 на участке выходной кромки и не присоединяется к профилю. Точка В совпадает с точкой М; области IV турбулентного слоя на профиле нет. Параметры отрывной области

I — sa\I i = 0>079, j ss — sM [ / = 0,161,

8*a/7 = 0,061.

Отрывная область на участке выходной кромки оказывает влияние на обтекание всего профиля. В отрывном обтекании скорость w{s)<^w!k{s), и уменьшается сила воздействия потока на

профиль. Толщина потери импульса 8** значительно увеличивается в отрывной области, в точке М на выходной кромке (8m/0-m=2,74. Расчетное значение Соо = 0,055 удовлетворительно согласуется с экспериментальным.

В расчетах обтекания корневого сечения рабочих лопаток турбины с толстыми профилями (Стах//= 0,3; £// = 0,7) вследствие пережатия межлопаточного канала поток отрывается на выходном участке выпуклой стороны и присоединяется у выходной кромки.

.

\ // /С \ V) j

f

МА S U-U-.

Рис. 3

Рис. 4

Расчетное значение при отрыве Ссо = 0,071 (при отсутствии отрыва Соо„ = 0,021) согласуется с экспериментальным Соо = 0,059.

В расчетах обтекания периферийного сечения рабочих лопаток с тонкими профилями (сшах// = 0,094; £//=1,05) на выходном участке выпуклой стороны получено отрывное течение без присоединения к контуру. Расчетное увеличение потерь в случае отрыва ДС=0,029 удовлетворительно согласуемся с экспериментальным значением ДГ = 0,026.

Автор признателен Г. Ю. Степанову за полезные замечания при обсуждении работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чжен П. Отрывные течения, т. 1 -—3, М., ,Мир“, 1972— 1973.

2. Г о г и ш Л. В., Н е й л а н д В. Я., Степанов Г. Ю. Теория двумерных отрывных течений. В сб. „Гидромеханика", т. 8, М.. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР, 1975.

3. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., „Наука”, 1978.

4. П о д в и д з Г. Л., Степанов Г. Ю. Расчет двумерного обтекания решетки вязкой несжимаемой жидкостью с отрывом на входной кромке. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1978, № 3.

5. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М., „Наука", 1973.

6. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. М., Физ-матгиз, 1960.

7. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй. М., .Машиностроение", 1969.

Рукопись поступила 29\VI 1979 г.