Решение задачи R-линейного сопряжения для слоисто-параллельной среды в классе кусочно-мероморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 154, кн. 3

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 517.53^532.546

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ М-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ СЛОИСТО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СРЕДЫ В КЛАССЕ КУСОЧНО-МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

А.Ю. Казарии,

Аннотация

В статье дано решение задачи К-линейного сопряжения для слоисто-параллельной (п + 1)-фазной среды в классе кусочно-мероморфных функций с заданными главными частями. Решение записано с помощью левого одностороннего интеграла Фурье с известным оригиналом. Помимо этого получены достаточные условия, при выполнении которых интеграл Фурье представим в виде абсолютно сходящегося ряда.

Ключевые слова: слоисто-параллельная среда, задача К-линейного сопряжения, гетерогенные структуры, теорема Милп-Томсопа, мероморфпые функции.

Введение

Хорошо известно, что комплексным потенциалом с единственным диполем на бесконечности в случае единичного кругового включения служит, с точностью до мультипликативной константы, функция Жуковского (теорема Милн-Томсона [1. с. 153]). а в прямолинейной слоистой среде потенциалом является кусочно-постоянная функция. В работе [2] последний результат был обобщен на случай произвольного мультиполя в бесконечно удаленной точке. В работе [3. с. 26] теорема Милн-Томсона была обобщена на случай, когда круговым включением возмущается заданный комплексный потенциал с конечным числом произвольно расположенных особых точек. Цель настоящей работы определение комплексного потенциала в слоисто-параллельной среде в классе кусочно-мероморфных функций с фиксированными главными частями. Перейдем к точной формулировке рассматриваемой задачи.

1. Постановка задачи

Рассмотрим среду, состоящую из двух полуплоскостей Я1 = {г : 1т г > Н1}, Яп+1 = {г : 1т 2 < Нп} и полос Як = {г : Нк-1 > 1т 2 > Нк}, к = 2,...,п, где п е N п > 2 и Нк е М, Н1 > Н2 > ••• > Нп > 0 (см. рис. 1).

Требуется построить плоскопараллельное стационарное силовое поле у(х, у) = = (их, иу) = у р(х, у), (х, у) е Яр, р = 1,..., п + 1, соответствующий комплексный потенциал которого имеет фиксированную главную часть ](г) с конечным множеством особых точек Т = Т\ и Т2 и • • • и Тп+ь Тр С Яр. Искомое поле является

потенциальным и соленоидальным в каждой изотропной фазе Яр всюду, за исклю-

Тр

А\уур(хх,у) = 0, rotVp(x, у) = 0.

На прямых 1р = дЯр П дЯр+!, разделяющих разнородные фазы Яр и Яр+1, предполагаются равными нормальные и касательные составляющие предельных

к Щ

¡3 Щ

1п

Рис. 1. (те — 1) полоса и две полуплоскости

значений векторов ур, Ур+1 и ррур, рр+1Ур+1 соответственно:

1ш[ур(4)] = 1ш[Ур+1(4)], Кв[ррУр(4)] = Кв[рр+1Ур+1(4)], (1)

где рр - коэффициент, постоянный в фазе вр, характеризующий физические свойства среды.

Отсюда, учитывая элементарные равенства 11ег = (г + г)/2, 1т2 = (г — г)/(2\), получим следующее эквивалентное краевое условие [4, с. 53]:

«р(^) = АрУр+1(г) - БрУр+1 (¿), t е 1р, р = 1,...,п - 1,

--^¿у

«„+1(^) = А„«„(¿) - Бпг>„(£), £ е 1п,

где функция «(г) комплексно сопряжена с у(г), «(г) = «р(г) = «рх(х, у) - шру (х, у), г е вр, р = 1, .. . ,п +1.

Ар Бр

Ар

(Рр + Рр+1)/2рр, Р =1, ...,п - 1, (Рп+1 + Рп)/2Рп+1, Р = п,

„ )(Рр - Рр+1)/2Рр. Р =1,...,п - 1

Бр =

„(Рп+1 - Рп)/2Рп+1, Р = п.

В дальнейшем будем обозначать

Др = Бр/Ар, р =1,...,п.

2. Решение задачи (2) в классе кусочно-мероморфных функций

Мы предполагаем, что заданная мероморфная функция ^(г) = /'(г) не имеет особых точек на линиях и исчезает та бесконечности. Значит, ^(г) - рациональная функция, прсдставимая в виде

„+1

^(г) = £ ВД,

к=1

где ,Рр (г) - сумма простых дробей с полюсам и в области Яр.

Кусочно-мероморфное решение «(г) задачи (2) с заданной главной частью ^(г) можно представить в следующей форме:

«(г) = «р(г) = ^Р(г) + Ур(г), г € Яр, р =1, ...,п + 1, (3)

где Ур(г) - неизвестно функция, голоморфная в Яр и исчезающая на бесконечности.

Используя представление (3), перепишем краевые условия (2) в виде системы:

+ У1(£) = ¿^(г) + У2(4)] - (4) + У2(*)], t € /1,

+ У2(4) = а2[^Э(4) + Уз(*)] - В2[^з(4) + Уз (4)], 4 € /2,

_ _ ••• (4)

Рп-Ф) + К-П*) = + упщ - + У„(*)], * е /„_!,

/„+1(4) + У„+1(4) = А„[^„(4) + У„(4)] - В„[К(;) + У„(*)], 4 € /„.

Обозначим через Я+ и Я— соответственно верхнюю и нижнюю полуплоскости, ограниченные прямой , к = 1, ...,п. Функции Ур(г), р = 2, ...,п представим в виде суммы исчезающих па бесконечности слагаемых:

Ур(г)= Ур+(г) + Ур-(г), (5)

где У+(г) и У-(г) - функции, голоморфные в областях Я+ и Яр—1 соответственно. Рассмотрим совокупность функций

Ф

-У1(г) + ^[ВД + У2+ (г)] - ^У-^), г € Я+

1=

Ф

-У2+(г) + А2[^з(г) + У+(г)] - ^УТЫ, г € Я+,

2=

+ - А2У3-(г) + В2т»2) + ; € Я2~,

(6)

Ф„

Ф„

Г-У+-1 (г)+А„_1[^„(г) + У+(г )]-В„-1У„-(г„-1), г € Я+_1,

-1-

где г к = ~2 + 21/?^ точка, симметричная с точкой г относительно прямой ■

Функции Ф^ , к = 1,..., п, голоморфны в полуплоскостях Я± , а в силу условий (4) они непрерывны на линиях сопряжения этих полуплоскостей . Следовательно, функции Ф^ голоморфны во всей комплексной плоскости и, очевидно,

исчезают на бесконечности (У± (то) = 0, Рк (то) = 0). По теореме Лиувилля все они тождественно равны нулю. Учитывая сказанное, с помощью (6) составим систему для нахождения искомых функций:

VI(г) = ¿1[ВД + У +2(г)] - В1У-2(^1),

У+М = А2тг) + - В2У3~(г2),

г е 5+,

У2-(г) = А2У3-(г) - ВД - + У+Ы],

= Ак[Рк+1(г) + У++1(г)] - ВкУ^к), = Аку-к+1(г) - Рф) - Вк[Рк+1(»к) + к+1(»к)],

У+-1(г) = А„-1[Р„(г) + У+ (г)] - В„_1У„-(г„_1),

г е Я--,

г е Я+, г е ,

г е 5+,

г е ,

е 5+-1,

(7)

У„--1(г) = А„-1У-„(г)-Рп-1(г)-В„-1[Р„(г„-1) + У+„(г„-1)], г е Я-^,

Обозначим через Р} оператор, определенный по формуле

-Д|У (гл), т = 21, Зт = п, Р|У (г) = ^У (гj), т = 21, ¿„

г е Я+,

г е 5-.

(8)

ДУ (гД т = 21 + 1,

где , - упорядоченный мультпнндекс размерности т: , = {31,32,..., Зт}> 0 <31 < < 32 < • • • < Зт < п,

Дj = П Дл,

к=1

г^^ - образ точки г при ее последовательных симметриях относительно прямых 3.

132 1 ■ ■ ■ 1 13т

' 1гг + 21£(-1)г3, т = 2к,

г=1

т

-+21^(-1)г+1/гл, т = 2к+1.

1=1

Ниже, наряду с обозначениями р, г^ Дj, будут использоваться следующие:

3 ¿2 ...Зт ! гЛ 32 ■■■Зт'- Д31 32 ---Зт '

Рассмотрим случай, когда все особенности /(г) сосредоточены в области 5к, к < п, то есть Р(г) = Рк(г), а Р®(г) = 0, г = 1, ...,п + 1, г = к. Последовательно исключим из системы (7) функции У+(г), У-^г), У+-1(г),..м У2-(г), У2+(г), начиная с предпоследнего уравнения. Имеем

У„--1(г) = Ап-1У„-(г) - В„-1Д„У„-(г„-1 „).

У+-1 (г) = Ап-1ДпУ-п (г п) - Вп-1У„-(гп-1).

Далее

Уп-2(г) = Ап-2Ап-1Уп (г) - Ап-2В1 -1ДпУ„ (гп-1 п)- Вп-2 Ап-1ДпУ- (гп-2 п) + Вп-2Вп-1У- (гп-2 п-1

),

У+—2(г) = Ап-2Аи-1АиУп (гп) - Лп-2Вп-1Уп (ги-\)-

- Вп-2Л п—1Уп (гп— 2 )+ Вп— 2Вп — 1^пУп (гп— 2 п— 1 п ) .

В итоге для Ук+1(г), Ук+1(г) получим представления

п—1

У-+ 1(г)= П Лг(У—(г) - Т,РУ——(г)) ,

г=к+1 j 1£{к+ 1,...,п}

&1т($) = 2в 1<в<[(п — к)/2]

п—1

Ук+1 (г)= П Л 52ЪУп—(г),

г=к+1 Ье{к+1,...,п} <Ит^)=2в—1 1<8<[(п — к+1)/2]

где [г] - целая часть числа г.

Исключая функции У— (г) и У+(г) из (2к - 1)-го и 2к-го уравнений системы (7). получим:

Ук—1(г) = Лк—1ЛкУ— к+1 (г) - Л— Рк(г) - Лк—ВУ +к+1(гк)-

— — Вк-^АкУ^^гк-^) + Вк-1ВкУк+1(^к-1 к),

У+—1(г) = Лк—1Рк(г)+ Лк—1ЛкУ++1(г) - Лк—1ВкУк+1(гк)-

- В к—1Л кУ — к+1(г к—1) + В к—1Гк (г к—1) + В к—1ВкУ+ к+1(г к—1 к)-На следующем шаге найдем

Ук—2(г) = Л к—2Л к—1Л кУ — к+1(г) - Л к—2Л к—1Вк (г)-

— Ак-2Ак-\ВкУ+— Ак-2Вк-\Рк{2к-1) — Ак-2Вк-\АкУк+1{2к-1)+

+ Ак-2Вк-1ВкУк+1(гк-1 к)--Вк-2Ак-\Рк{гк-2) — Вк-2Ак-\АкУк+1(гк-2) +

+ В к—2Л к—1В кУ к+1(г к—2 к) + В к—2 В к—1Л кУ к+1(г к—2 к—1)-

- Вк — 2Вк—1Рк (гк — 2 к — 1) - Вк — 2Вк — 1ВкУ+к+1(гк — 2 к — 1 к),

У к—2 (г) = Л к—2Л к— ^к (г) + Л к—2Л к—1Л кУ++1(г)-

- Л к—2Л к—1В кУк+1(гк) - Л к—2 В к—1Л кУ к+1(гк—1) + Л к—2Вк—1Вк (г к—1)+

+ Ак-2Вк-\ВкУ+ к+\(^к-1 к) ~ Вк-2Ак-\АкУ к+1(^к-2) + Вк-2Ак-1Рк(гк-2)~

- Л к—1В кУ + к+1(г к—2 к) + В к—2 Вк—1Гк (г к—2 к—1) + В к—2В к—1Л кУк+1 (г к—2 к—1)-

- Вк—2 Вк — 1ВкУк+1(гк — 2 к — 1 к)-

Продолжая последовательно процесс исключения, дойдем до второго уравнения системы (7) и получим функциональное уравнение относительно У—(г)

У—(г) = РУп— (г) + ВД, (9)

где Р Р'зк1 ^к _ мультииндексы четных размерностей,

к=1

ад= Е

Ч>^е{1,...,к-1} А,

атО)<к ,=к

В общем случае, когда

п+1

^(*) = £ ВД,

к=1

получим функциональное уравнение (9), где для Г0(г) справедливо представление:

вд = Е Е +

к= 1 Ч>^е{1,...,к-1} П А, j¡e{l,•••,n},j•2s =п

1<я<[п/2]

+ Е №(*) + А-1 Е

j¡e{l,•••,n-l} j¡e{l,•••,n-l}

diш(j) = 2s-1 а1ш()) = 28-1

1<я<[п/2] 1<я<[п/2]

В функциональном уравнении (9) все функции голоморфны в полуплоскости 1. Осуществив замену г на г + Шп-1, получим уравнение, где все функции голоморфны ниже действительной оси, поэтому их можно представить в виде левого одностороннего интеграла Фурье [5, с. 24] с оригиналом

Уп + иЬг-1) = J 1>п (*)

Запишем представление для искомой функции

о

К» = / м*)^-"1-1* л. (10)

-Ж

Р

о

РУ-(^) = --±= I у-те^-^-^Л..

-Ж

Пусть

о

-Ж

гДе /о (г) = /о(г)е-Л"п-14, /о (г) _ оригинал известной рациональной функции ^о(г).

С помощью полученных представлений перепишем функциональное уравнение (9) в виде

о о о

J ¿г - I ^(¿)Ре^-Ш—1)4 ¿г = I/(¿)е^-Л—1)4

-Ж -Ж -Ж

Найдя из этого равенства оригинал Vп (£) и подставив его в представление (10) для V— (г), получим

Г (И)

Здесь под е-124(Рв124) подразумевается сумма

2п-1-1

еп124(Ре1г4) = Дь е"( -2). к=1

Отметим, что при выполнении условия

|е-1^(ре^)1 < 1, ¿< о, (12)

функцию (1 -е-124(Ре124))-1 можно разложить в абсолютно сходящийся ряд по степеням е-124(Рв124) и получить решение (11) в замкнутой форме в виде сходящегося ряда:

^-(*) = £ РкВД.

к=0

Однако в общем случае получить необходимые и достаточные условия, обеспечивающие выполнение условия (12). не представляется возможным.

Рассмотрим некоторые частные случаи. В случае одной полосы (п = 2) система (7) примет вид:

Уф) = А^ф) + V+2(z)} - BiV-2(si), z G S'+ V~2(z) = A^iF^z) + В![ЖЫ + z G S'f,

V+2(z) = A^(F3(z) + B2[F2(z2) + V-2(z2)]), z G S+,

(13)

^(z) = A2 [F (z) + V—2 (z)] - B2V+2(Z2), z G S—.

Функциональное уравнение (9) в этом случае выглядит наиболее просто:

V—(z) = P12V—(z) + Fo(z), (14) где _

Fo(z) = + AiíR^) + A12F2(z + 2i(h2 - Ьл)) + MMfil. Ai a2

Ясно, что функция F0(z) голоморфна в области S—.

На основании (11) с помощью левого одностороннего интеграла Фурье получим искомое представление:

o

у-,..) 1 í (Ш

—ж

Примеры оригиналов f0(t) от простейших рациональных функций хорошо известны [5, с. 26 27]. Например, если

ВД = , Q{z)-, Im a¿ > 0,

Íl(z - aj)kj

j=i

I

/<>(*) = £ Яз (Ф-^ 3=1

где Яз (Ь) - многочлены степеней — 1.

Для оригинала /0(Ь), не уменьшая общности, достаточно рассмотреть случай единственной особой точки I = 1, тогда

iaí

Так как |Д12| < 1 и разность Н1 — Н2 положительна, то |Д12в24(Л-1 -л"2)| < 1 для Ь < 0. Таким образом, величина (1 — Д12е24(Л-1-Л-2))-1 есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Д12е24(Л-1-Л-2). Представление (15) примет вид

у-{г) = _ ( ¿Г Лк12 I =

к=0

{{г-а) -2Аа(/?4 - 1г2))к^

^ (_1)к1 + 1 Д к V_—__ (ю)

к=0

В общем случае произвольного оригинала /о(я) решением будет ряд

УТ(*) = £ Р^ВД. (17)

к=0

К решению (17) можно прийти другим способом, а именно: применяя к обоим частям равенства (14) оператор Р12, получим Р12У2-(я) = Р22У—(я) + Р12Р0(я). Заменим в уравнении (14) слагаемое Р12У—(я) на найденное выражение:

УТ(*) = Р122УТ(я)+ Р12ВД + ВД. (18)

Р122

тогда

У—М = РЗ2У— (я) + Р^ВД + Р12ВД + ВД.

Продолжая этот процесс, на ]-м шаге получим

У—(я) = Р^У—М + £ Р12ВД.

к=0

Устремляя к бесконечности, в силу ограниченности функции У—(я) и того, что |Д1213 ^ 0, приходим к решению (17).

Далее, из системы (13) с помощью (17) последовательно определяются У+(г), У.(я), Уз(я). Подставив найденные функции в представление (3), получим искомое решение:

гф) = ВД + А^М - В^Р^РоШ +

к=0

А ( г_ 00 _

+ Р3(;) + В2 РзЫ + ^Р^Ы

к=0

к=о А2 к=о

СЮ

гф) = ВД - + (^2 - В2А2) Г^(-) +

к=о

Рассмотрим случай двух полос (п = 3). Запишем систему (7) для данного слу-

чая:

У1(*) =

V-2(г)

А^г^ V +2(г)] - В1У-2Ы, = А^^ф) + В^Щ^ + У+фГ)}),

У+ф) = А2[Рф) + У+(г)} - В2У3-(г2),

У2-(г) = А2У3-(г) - ВД - +

г е

г е ,

г е г е >

(19)

У+з(г) = А^ф) + В3[Рф3) + У-з(^з)]),

Уф) = Афф) + - В3У+^3),

г

е

г £ 53

Уравнение (9) примет вид

К-(г) = (Р13 + Р12 + Р2з)^!-(г) + ВД,

(20)

где

А1А2 А2

Д 1^4(^1) Ао-

+ А23Гф23) + А 13^13) + , + фРф2). (21)

А3А3

Решение (11) выглядит следующим образом:

о /

/о(г)е^ ¿г

1 - Д13е2*(Ь1-Ьз) + Д12е24(Ь1-Ь2) - Д23б24(Ь2-Ьз) •

(22)

Если |Д13е24(Л-1 ^з) - Д12е24(Л-1 ^2) + Д23е24(Л-2 ^з)| < 1, то решение получаем в виде абсолютно сходящегося ряда

К-(г) = Е Рк ВД

(23)

к=о

где Р = Р13 + Р12 + Р23 •

Рассмотрим случай полос равной ширины, тогда Н1 - Н2 = Н2 - Н3 = Н и (22) можно упростить:

о

/о(г)еы ¿г

1 - Д13в4^ + (Д12 - Д23)ет'

(24)

Знаменатель подынтегрального выражения в (24) есть квадратный полином относительно е2^, его корнями являются

г1,2

Д12 - Д23 ± у/(Д12 - Д23)2+4Д

13

2Д

13

X.

Покажем, что оба эти корня по модулю не меньше единицы, что обеспечит выполнение условия (12). Действительно, если дискриминант отрицательный, то ¿1 = , а по формулам Виета = |1/Д13| > 1- В случае положительного дискриминанта рассмотрим функции

± _ ху - уг ± Vх {ху - у г)2 + 4 хх

1 2хг

где x = Д1, у = Д2, г = Д3.С помощью процедуры NMinimize в пакете МаАетайса получаем, что в кубе |х| < 1, |у| < 1, |г| < 1 справедлива оценка |/±(х,у,г)| > 1.

Подынтегральное выражение в (24) представим в виде суммы и разобьем интеграл на два:

АГз / 1 } т^Л 1 [ \

3 (и-П)^ 1*1 У (1-^7*1) *2 ] (1-е^/и) I • (Л,) \ —^ /

Так как |^ 11 и не меньше единицы и Н > 0, а 4 < 0, (1 — е2^/^)-1, (1 — — е2^/^)-1 - суммы геометрических прогрессий. В силу абсолютной сходимости

этих прогрессий меняем порядок суммирования и интегрирования:

2 и ^ '

В случае единственной особой точки первого порядка у -Р(-г) в точке г = а оригинал имеет вид /о(*) = . В этом случае получим решение

Д—1 ~

(¿1 — 42) \\¿2+ ¿2+1/ (г — а) — 21кн; '

Далее, из системы (19) последовательно находятся У3+ (г), V— (г), У2+ (г), У1 (г), подставляя их в представление (3), получим искомое решение.

3. Примеры

1. Рассмотрим случай одной полосы. Пусть /(г) = — 1/(г — 2.51), Н1 =4, Н2 = 1, функция ^о(г) имеет вид:

(г — 5.51)2 (г — 8.51)2 '

Примеры полей для диполя в точке 2.51 представлены на рис. 2.

2. Рассмотрим случай двух полос. Пусть /(г) = 21п(г — 51), Н1 = 6, Н2 = 3.5, Нз = 2, тогда ^(г) = 0, ^(г) = 2/(г — 51), ^з(г) = 0, ^(г) = 0. Используя (21) найдем:

е, , , _ 2 2А1

А2(;-51) + А2(;-71)'

Оригиналом для ^о(г) служит функция

А2

5 -1

3--

Рис. 2. Диполь интенсивности Г = 2п: слева для р 1 =1, р2 = 0.2, р3 = 5 и справа для Р1 = 1, р2 = 20, рз = 0.5

- 6 - 4 - 2 0

6 - 6 - 4 - 2 0 2 4

6

Рис. 3. Источник интенсивности Г = 4п: слева для р1 = 1, р2 = 20, р3 = 50, р4 = 0.5 и справа для р1 = 1, р2 = 20, рз = 0.5, р4 = 50

На основании (22) запишем решение

21 0 (вн(г—51) + А1вн(г—п)) <И

Уз—(г) =

Л12 У 1 - А1А3в8* + А1А2в5* - А2А3в3*'

Примеры полей для источника в точке 51 представлены на рис. 3.

3. Пусть / (г) = (2 + 21)\п(г + 2 - 71) - (1 -1) 1п(г - 2 -Ьл = 6, Н2 =4, Н3 =2, тогда Г1(г) = (2 - 21)/(г + 2 - 71), ¥2(г ) = 0, Г3(г)=0, Г4(г) = (-1 + 1)/(г - 2 -1). Соотношение (21) имеет вид

ад- 2"21 А1(1 + 1)

Л1Л2(г + 2 - 71) Л3(г - 2 - 111) Л3(г - 2 - 71)'

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6

Рис. 4. Вихреисточник мощности Г = 4п интенсивности ^ = —4п и вихресток мощности Г = — 2п интенсивности ^ = — 2п: слева для = 1, р2 =20, р3 = 0.5, р4 = 5 и справа для р1 = 1, р2 = 0.2, рз = 5, р4 = 0, 5

На основании (24) найдем

2 — 21 °Г еИ{г-2+П) л

3 и ~ " А^ж ' 1-А1зе84 + (А12-А2з)е44 +

1+1 Г Д1еК(а-2-Ш) + д2еЦ(Д-2-71) ^

+ А^Ж У 1-Д13е84 + (Д12-Д23)е« ' Вычислим интеграл в выражении (26) для данного оригинала. д-1 / 1 1 \ /

= (ь - и)^ £ ~ ¡Р У (^^2(^-2 + 71-4^)"

Д1(1 - 1) Д2(1 -1)

А3(г - 4к1 + 2 + 111) А3(г - 4к1 + 2 + 71) ^

Примеры полей для вихреисточника в точке - 2 + 71 и вихрестока в точке 2 +1 представлены на рис. 4.

Заключение

В работе получено решение задачи о возмущении заданного комплексного потенциала в бесконечной плоской среде с произвольным числом разнородных параллельных полос. Для случаев одной и двух полос с помощью пакета МаШешаИса построены линии тока и эквипотенциали соответствующих возмущенных полей. К сожалению, для большего числа полос построение возмущенных полей затруднено, так как кратности рядов, входящих в полученное решение, с увеличением числа полос быстро растут и возможности современных ЭВМ не могут обеспечить получение требуемого результата в разумное время.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 12-01-97015-р_поволжьо_а).

Summary

A. Yu. Kazarin. Solution of a R-Linear Conjugation Problem for a Parallel-Layered Medium in the Class of Piecewise Meromorpliic Functions.

The problem of R-linear conjugation for parallel-layered (n + 1)-phase media is solved in the class of piecewise meromorphic functions with given principal parts. The solution is written as a left-sided Fourier integral with a known original. In addition, some sufficient conditions under which the Fourier integral can be represented as an absolutely convergent series are obtained.

R

structures, Milne-Thomson theorem, piecewise meromorphic functions.

Литература

1. Мили-Томсои JI.M. Теоретическая гидродинамика. M.: Мир. 1964. 655 с.

2. Обносов Ю.В., Егорова М.А. Задача R-лилейного сопряжения для софокуспого параболического кольца // Учеп. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2009. Т. 151, кп. 3. С. 170 178.

3. Обносов Ю.В. Краевые задачи теории гетерогенных сред. Многофазные среды, разделенные кривыми второго порядка. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 2009. 205 с.

4. Емсц Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наукова думка, 1987. 254 с.

5. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

Поступила в редакцию 18.04.12

Казарин Анатолий Юрьевич аспирант кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета. E-mail: alkidkazQmail.ru