Обобщенный оператор Векуа-Помпейю Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

DOI: 10.18413/2075-4639-2018-50-1-40-46

ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ВЕКУА-ПОМПЕЙЮ

THE VEKUA- POMPEIU GENERALIZED OPERATOR

О.В. Чернова O.V. Chernova

Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Belgorod State University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia

E-mail: chernova_olga@bsu.edu.ru

Аннотация

В статье рассматривается обобщенный интеграл Векуа-Помпейю в классе вектор-функций, удовлетворяющих условию Гельдера с некоторым весом. Доказано, что такой интеграл при некоторых условиях на плотность непрерывно дифференцируем и является решением обобщенной системы Коши-Римана. Сформулирована теорема о том, что при определенных условиях на показатель Гельдера соответствующий интегральный оператор ограничен в пространствах Гельдера с весом, обратим, и обратным к нему служит обобщенный оператор системы Коши-Римана.

Abstract

In the article we consider the generalized integral of the Vekua-Pompeiu integral for vector functions from Holder continuously differentiable class with a weight. It is proved that this integral under certain conditions on a density is continuously differentiable, and it is a solution of the generalized Cauchy-Riemann system. A theorem is declared that for some restrictions on a Holder power the corresponding integral operator is bounded in Holder spaces with a certain weight, it is invertible and its inverse is generalized operator Cauchy-Riemann system.

Ключевые слова: обобщенный интеграл Векуа-Помпейю, весовое пространство Гельдера, система Коши-Римана, компактное вложение.

Keywords: The Vekua-Pompeiu generalized integral, weighted Holder space, the Cauchy-Riemann system, compact embedding.

Функционально-теоретические методы и интегральные представления различных классов функций играют важную роль при исследовании многих краевых задач теории функции комплексного переменного (см., например, [1,2,3]). Настоящая работа связана со специальной системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, обобщающей систему Коши-Римана, для исследования которой широко используются упомянутые методы.

Пусть С-комплексная плоскость. Рассмотрим неоднородное уравнение Коши-Римана

ды

где использовано обычное обозначение

ды _ 1 dz ~ 2

ды ды

— + г— дх ду

Л

J

Хорошо известно [2, стр. 29], что если функция / непрерывно дифференцируема по х, у и удовлетворяет оценке

| Дг)|= 0(| г |5) , при 2 = х + 1у^ю (2)

с некоторым 5 < -1, то функция

= -¿г

п-'С 1-г

где здесь и ниже означает элемент площади, непрерывно дифференцируема и является решением уравнения (1). Отметим, что оценка (2) предполагается справедливой и для I — вектор-функций.

Интеграл в правой части этого равенства носит название Векуа—Помпейю. Удобно его снабдить дополнительным множителем полагая

2т гС г-г ,

тогда имеем равенство ЬТ/ = / по отношению к оператору

д . д д

Ь =--г— = —2г —.

ду дх дг

Пусть матрица JеCl х 1 постоянна и ее собственные значения лежат в верхней полуплоскости, 1т Я >0. С каждым комплексным числом г = х + ¿у е С свяжем I х I — матрицу

2] = х • 1 + у • ], х,у ЕЯ

собственными значениями которой служат числа х + Яу, где Я е ), а 1 — единичная матрица. Отметим важное матричное соотношение

— Г г= 1,

2га и и (3)

где, как и выше, 1 — единичная матрица.

Введем обобщенный интеграл Векуа—Помпейю по формуле

(Т]ПЮ = ~!с«:-2)71№, (4)

По отношению к оператору

Ь = - — , - (5)

ду дх

справедлив следующий результат.

Лемма 1. Пусть I — вектор-функция /(г) непрерывно дифференцируема по х, у и

удовлетворяет оценке (2) с некоторым 8 < -1. Тогда I — вектор-функция ф=1) / также непрерывно дифференцируема и является решением уравнения Ь]ф=/.

Доказательство. Пусть 2 меняется в некотором круге | г — г01< г. Если функция f обращается в нуль в этом круге, то равенство (4) можно дифференцировать под знаком интеграла и соотношение

(LJTJf)(г) = f (г) (6)

для | г — г01< г проверяется непосредственно. Поэтому не ограничивая общности можно считать, что функция f имеет компактный носитель. Тогда существует такое Я >0, что f (г + г) = 0 при | г |> Я и | г — г01< г . Поэтому равенство (4) для ф=Т] f можно переписать в форме

и его можно дифференцировать под знаком интеграла:

dx 2niJC J дху J 2 ' dy 2niJC J dyy J 2 ' w

Рассмотрим двумерный сингулярный интеграл

F(Z)=^rc t-2f(z + t)d2t (8)

понимаемый как предел при s ^ 0 интегралов по {1t1 > s} . Поскольку

^ J dlt = 0, (9)

где drt есть элемент длины дуги, необходимое условие существования таких интегралов выполнено. В справедливости равенства (9) проще всего убедится с помощью функции

(•2 л

х(^) = |о "(cos e+À sin е)2 de,

аналитической в верхней полуплоскости / т Я >0 [4].

Полагая * = ^ + И2, г = х1 + 1х2 и пользуясь формулой Грина, получим:

f t / f (z + t)dJ = f t / f (z + t)dJ =

j|t|>s J p,y K ' 2 J|t| >s J P,t K ' 2

и>е л *<\ >еЛ ык

с)

= !> (ЛV(* + -1 пк (*)Л/(* + г)^-

■VI >е 0* -Ч *1= е

Здесь п = п + П = —1 * | есть единичная внешняя нормаль к области | Н | > е . Очевидно,

-О(Л)=-л2, -О(Л)=-Лл-

Поэтому переходя в предыдущих равенствах к пределу при е ^ 0, в обозначениях (7) получим

= -р (г)-с/ (г), = -ур (г)-Сг/( г), (10)

ох оу

где коэффициенты ак еС1x1 определяются формулами

а, =-[ * }1Лл, с =-[ *

2га ^ Л 2га ^1=!Л 21

Поскольку = , = -, разность - Л= -. С учетом (3) отсюда

! .

С2 -Лс! =~ I Л=1,

2га •||Н|=!

что совместно с (10) завершает доказательство равенства (6) и леммы.

Распространим лемму 1 на функции, которые принадлежат классу Ср (К) на любом компакте К с С и имеют поведение (2) на бесконечности с фиксированным 8 £ К. С этой целью для неограниченного множества Е на плоскости обозначим С^ (Е, да) класс функций, удовлетворяющих на этом множестве условию Гельдера с показателем р, т.е. функций ф с конечной полунормой

ГтП 1 ф( г1)- ф( г 2)| [ф], = Бир-,

V г2 1 г1 -г 2 1

где верхняя грань берется по точкам г е Е.

фе СЦ, е СЦ.,. (11)

Нетрудно видеть, что эти функции удовлетворяют (2) с 5 = Ц. Исходя из произвольного 5, обозначим СЦ (Е, да) класс функций ф, для которых г) = (1+1 г |)Ц—5ф(z) е СЦ (Е, да) . Очевидно, функция ф имеет поведение (2) на бесконечности и относительно нормы

| ф |= 8ир|(1+1 г |)-5ф(z)|

геЕ

введенное пространство банахово.

Если множество Е является замкнутой областью О, то под С^ (О, да) понимается класс непрерывно дифференцируемых в О функций ф, для которых

ц 5фдфс/~ц дх' ду

Заметим, что семейство пространств СЦ монотонно убывают по ц и возрастают по 5 относительно вложения. Эти пространства подробно описаны в [3 стр 77, 83] (в несколько более общей ситуации нескольких особых точек). Отметим несколько их свойств.

Лемма 2. (а) Пусть 0 < 2г <Я и В = {| г |<Я}, К = {г <| г |<Я}, так что вместе с

кругом В последовательность колец {2' г, г е К}, ' = 0,1,..., покрывает всю плоскость. В этих обозначениях функция ф еСд(С, да) тогда и только тогда, когда она принадлежит классу СЦ (В) для любого Я и норма

| ф |=| ф ^8иР'^о| ф(2'г)|сЧк)

конечна. При этом данная норма эквивалентна норме пространства СЦ. (Ь) Пусть г <0 и частные производные

дф дф дх ду

принадлежат классу да). Тогда функция ф е С^(С, да) и справедлива оценка

|ф | < С(|ф(0)| + |ф1|ц | + |ф2 1ц ).

С5 С5-1 С5-1

Сформулируем теперь основной результат для операторов (4), (5). Предварительно заметим, что по определению (11) дифференциальный оператор ^ ограничен

СУ(С, да) — (С, да).

Теорема. При —1< 5 <0 интегральный оператор Т ограничен

С$_г(С, да) — С^Ц(С, да), обратим и обратным к нему служит ^.

Доказательство. Пусть / е С¿Ц и ф = Т/. Рассмотрим сингулярный оператор

(Б/)(= Г ($ — г)—2 ф(/

2т ^

который может быть записан и в форме (8). Согласно лемме 1 частные производные функции ф связаны с функцией ¥ = Б^/ соотношениями (7). Поэтому с учетом леммы 2(Ь)

утверждение теоремы об ограниченности оператора Т сводится к доказательству

ограниченности сингулярного оператора Б) в пространстве СЦч.

Покажем, что этот оператор ограничен в СЦ при — 2< 5 <0. В основе лежит

известная теорема Корна-Жиро [5]. Пусть 0 < г0 < г и В0 = {| г |< г0}, В = {| г |< г}. Тогда

по этой теореме для ф е СЦ (В) сингулярный интеграл

. ^ - z»-2' 2л/ JB

определяет функцию ф0 е Cц (B0) с соответствующей оценкой

|ф0| СЦ В) < С|ф| СЦ (В), (12)

где постоянная С >0 зависит только от г0 и г .

Применим этот факт к интегралу ф = Б^ ф с плотностью ф е С ¿(С, да). Разобьем его на сумму ф+ф, где ф0 определяется интегрированием по В. Очевидно, функция ф1 непрерывно дифференцируема в круге и для нее справедлива очевидная оценка

| ф: I < Сзир[| г |—51 ф(г) |],

С ( В0) |г|>г

где здесь и ниже С означает различные положительные постоянные, не зависящие от ф. В результате совместно с (12) приходим к оценке

| ф и,я С | ф ^г , .

СЦ (В0) СЦ (С,да)

Поэтому достаточно убедиться, что ф принадлежит классу СЦ (В0,, да) в области В0, = {| г |> г} с соответствующей оценкой норм.

В соответствии с определением пространства СЦ дело сводится к доказательству того, что для ф е СЦ (В0,, да) функция

г 11 |г

у(г) = I ^(1 — г)—2ф(0^, | г |> г, (13)

•>м>г01 г |г

принадлежит классу СЦ(В',да), где В' = {| г |> г}, с соответствующей оценкой

| V ив, С | ф (14)

С0( В,да) С0( В0 ,да)

С этой целью выберем положительные Я , Я по условию 2г < Я < Я и положим

К = {г |< Я}, К = {г |< Я}. На основании теорема Корна-Жиро аналогично предыдущему убеждаемся, что

М СЦ (К) < С[Вир|ф(/)| + |ф| СЦ К)]. (15)

V(2' z) = . (t - z)-2 Ф(2г t)d2t, z е K,

Согласно (15) для любого / = 1,2,... можем записать

z |5

Поэтому имеем аналогичную (15) оценку

| V(2'z) | < C[sup | ф(t) | + | ф(2^) | ],

C (K) t C (K0)

так что и

sup | y(2'z) ^C[sup | Ф(t) | + sup | Ф(2г>) ^^}],

В соответствии с леммой 2(a) отсюда следует оценка (15), завершающая доказательство ограниченности оператора S) .

Что касается второй части теоремы, то пусть феС1,^(С, о) и f = Ljф . Тогда в силу (6) имеем равенство

Ф = Tjf + Фо, (16)

где функция фоеС1,^(С,о) удовлетворяет уравнению LФо =0, т.е. является J -

аналитической на всей плоскости. Поскольку она исчезает на бесконечности, в действительности она тождественно равна нулю. Этот факт составляет аналог теоремы

Лиувилля для рассматриваемых вектор-функций и с помощью формулы Коши доказывается совершенно аналогично.

В самом деле, при | z |> r >0 в области 111> r можем к функции ф0 применить формулу Коши

Фо(z)= [ dtJ(t-z)J40(t)dt.

J|t|= r

При r ^ 0 интеграл здесь стремится к нулю, так что ф0 (z) = 0 для всех z .

Итак, (16) в действительности означает равенство ф = Tjf, где напомним f = Lj ф . Таким образом, вместе с (6) имеем аналогичное соотношение TjLj ф = ф, справедливое для любых ф е , -1 < 5 < 0, так что операторы T и L действительно взаимно обратны.

Интегральный оператор (4) можно ввести и для областей D на плоскости, ограниченных гладким контуром Г. Однако вопрос об его ограниченности в пространствах Cц и Cg требует определенной гладкости Г. Чтобы обойти этот вопрос, воспользуемся

оператором P продолжения функций ф е C(D) на всю плоскость. Этот оператор построим сначала локально для функций ф, обращающихся в нуль вне некоторой окрестности фиксированной граничной точки t0 = x0 + iy 0 еГ.

При достаточно малом р >0 пересечение Г с кругом B0 = {| z -10 |< р} представляет собой гладкую дугу, которая является графиком некоторой функции f е C 1[a,b], т.е. либо графиком y = f (x), a < x < b, либо графиком x = f (y), a < y < b . Пусть для определенности имеет место первый случай, так что y0 = f (x0), и s >0 выбрано столь малым, что область D0, определяемая в декартовых координатах z = x + iy неравенствами | x - x0 |< s, | y - f (x) |< s, содержится в круге B0. Граница области D0 о D составлена из гладкой дуги Г, определяемой уравнением y = f (x), | x-x0 |<s, и соответствующей кусочно-гладкой дуги Г-, которая за исключением своих концов содержится в D.

Не ограничивая общности можно считать, что f продолжена до функции /еС1(К) с компактным носителем. Рассмотрим преобразование § + in = a(x + iy) плоскости на себя по формуле § = x, n = y-f (x) . Очевидно, оно обратимо и обратное преобразование Р = a 1 действует по аналогичной формуле x = y = ^ + f (§) . В окрестности да эти преобразования являются тождественными. Поскольку они непрерывно дифференцируемы, отсюда следует, что для некоторой постоянной M >1 и любых точек z ^ z2 выполнены неравенства

-1 < |a(zi) a(z2)| <M (17)

M z 2 | ' ( )

Пусть теперь функция ф принадлежит C ц (D о D0) и обращается в нуль в окрестности дуги Г- . Положим ^(Q = ф[Р(0], С е a(D о D0), и продолжим ее до функции vj~ сначала нулем на соответствующую полуплоскость, а затем на всю плоскость по правилу + in) = - in) . Тогда равенство

(P, ф)( z) = vv[a(z)]

определяет требуемый оператор продолжения, поскольку сужение функции = P0 ф на D о D совпадает с ф.

Легко видеть, sup- нормы функций у и vj~ совпадают, а их полунормы

|ф<>1) - ф(^) |

[ф] и = s upz.

-Z2 IZ1-Z2I

и

связаны соотношением < 2[у]. В силу (17) имеем аналогичные неравенства

[у] < М[ф] и [ф] < М[\~] . В результате приходим к оценке

|Р0фЦС) < 2M 2 | ф C'1 (DoDp). (18)

' — L~rJ' L~rJ' — LTJ'

|P0

Из (18) и построения видно также, что

(P09)(z) = 0, | z^|>M2р. (19)

В силу компактности контур Г можно покрыть конечным числом областей D ,-••, Dn того же типа, что и D . Пусть P - оператор продолжения, отвечающий D . Выберем разбиение единицы - семейство функций е C!(Dk ), 1 < к < n, и хе C!(D), таких, что Хк =0 в окрестности dDt, функция х = 0 в окрестности Г и сумма

ЕП=1Хк(z) + Х( z) = 1, z е Я

Тогда формула

рф = Е=Рк (Хк ф) + хф

определяет требуемый оператор продолжения, поскольку для z е D имеем равенства (рк X к 9)(z) = (Х к 9)(z) и, слеДовательно,

(рф)( z) = 21/Хк ф)( z) + (Хф )(z) = ф( z).

В заключение автор выражает признательность своему научному руководителю проф. А.П. Солдатову за ценные советы и рекомендации по написанию и оформлению статьи.

Список литературы References

1. Begehr H.G.W. 1994. Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong.-World Scientific.

2. Векуа И.Н. 1988. Обобщенные аналитические функции., 2-е изд., М.,Наука. Vekua I. N. 1988. Generalized analytic functions, 2nd ed., M., Nauka.

3. Солдатов А.П. 2017. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 63: 1-189.

Soldatov A.P. 2017. Singular integral operators and elliptic boundary value problems. Modern problems of mathematics. Fundamental directions, 63: 1-189.

4. Ващенко О.В., Солдатов А.П. 2006. Интегральное представление решений обобщенной системы Бельтрами. Научные ведомости, БелГУ, выпуск 2, № 1(21), серия «Информатика и прикладная математика»: 3-6.

Vaschenko O.V., Soldatov A.P. 2006. An integral representation of solutions of the generalized Beltrami system. Scientific bulletins, BelGU, Issue 2, №.1 (21), "Informatics and Applied Mathematics": 3-6.

Bers L., John A. and Schechter M. 1964. Partial Differential Equations. Intersience Publishers. New York London Sydney.