Приближение интегралов Римана Лиувилля алгебраическими полиномами на отрезке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ НА ОТРЕЗКЕ

А. А. Тюленева

Аспирантка кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, aatuleneva@km.ru

Прямая теорема приближения алгебраическими многочленами доказана для интегралов Римана-Лиувилля порядка г > 0. Как следствие, получены асимптотические равенства для е-энтропии образа класса типа Гельдера при действии оператора интегрирования Римана-Лиувилля порядка г > 0.

Ключевые слова: р-вариация, пространство Ьр, интеграл Римана-Лиувилля, наилучшее приближение, алгебраические многочлены, е-энтропия.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛЕММЫ

Пусть £ = {x0 = а < xj. <

< xn = b} — разбиение отрезка [а, b], А(£) = max (x^ — xi-1)

i<i<n

диаметр разбиения £, 1 < р < го. Определим р-вариационную сумму по разбиению и р-вариационный модуль непрерывности равенствами

i/p

(f)= Е f (xi) — f (xi-i)l

4i=i

wi-i/p(f,^)[a,bj = sup ^p(f), S G [0, b — а].

A(0<5

Если Vp(f, [а, b]) = wi-i/p(f, b — а) < го, то f G Vp[а, b], а если 1 < p < го и lim wi-i/p(f, S)[a,b] = 0, то

f G Cp[а, b]. Оба этих пространства являются банаховыми с нормой ||f ||Vp = max(||f , Vp(f, [а, b])). Подробнее об этих пространствах и теории приближений в них см. [1]. Далее, En(f)Vp, (En(f)х) означает наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами p степени не выше n — 1 (p G Pn-i) в метрике Cp[0,1] (X [0,1]). Под пространством X [а, b] будем понимать одно из

i ь \ i/p

следующих пространств: ^[а, b], 1 < p < го, с нормой ||f ||LP[а Ь] = ( /а |f (x)|p dx] , C[а, b] с нормой ||f= sup |f(x)| или Cp[а,b], 1 < p < го. Если [а,b] = [0,1], то |M|X[a,b] = |М|х и вместо

xG [a,b]

wi-i/p(f, S)[a,b] пишем просто wi-i/p(f, S). Стандартным образом модуль гладкости порядка k G N в X [а, b] определяется формулой

Wk (f, S)x [a,b] = sup ||Aj f (x)|x [a,b—kh]; Aftf (x) = V( — 1)'

0<h<5

i=0

f (x + ih).

При [а, Ь] = [0,1] пишем просто (/, 5)х, вместо X = или X = С пишем р или го.

Для функции ^ е X1 [а,Ь] интегралом Римана-Лиувилля порядка г > 0 называется функция

(ia^)(x) = r-i(rW (x — t)r—ip(t) dt, а < x < b

r —i,

где Г(г) обозначает гамма-функцию Эйлера. Существование этого интеграла следует из леммы 5. Подробнее о свойствах этого интеграла см. [2, гл. 1]. Будем писать также / е /Г а(^), если

/(х) = /ГЫ(ж) + Е Ц Ск(х - а)г-к, Ск е К. Для приближения функций / = /0(р) и / е оМ удобно использовать величины

Г

En , s (f )х = inf

n—i

[s]

f аiXi — J] b

„s—з

i=0

3 = i

1

: а', bj G RR > , s — r G N.

х

Для r> 0 и 0 < а < 1 через Wr Ha (M, N, [0,1]) обозначим множество

f G C[0,1] : f G /Г,oM, ||f |U < N, |MU < M, |p(x) — p(y)| < M|x — y|a, x, y G [0,1]}.

n

p

k

k

x

Будем писать ш е О, если ш(Ь) возрастает и непрерывна на [0,1], а также обладает свойствами ш(0) = 0, ш(Ь) > 0 при Ь > 0 и ш(2Ь) < Сш(Ь), Ь е [0,1/2]. Для функции ш е О положим ш-1(и) = su.plЬ е [0,1] : ш(Ь) < и}, и е [0,ш(1)]. Функция ш е О принадлежит классу Nг, г > 0, если для 1 > Ь > и > 0 верно неравенство Ь-гш(Ь) < Си-гш(и), соответственно ш е О принадлежит классу В, если /0 Ь-1 ш(Ь) ¿Ь < Сш(5), 5 е [0,1]. При г> 0, 1 < р < го и ш е О П N1-1/р рассмотрим класс

WгНГ-1/Р(М, N, [0,1]) = {/ е Ср[0,1] : / е /1,0М, II/IIV, < N,

|Мк < М, ш1-1/р(/,5) < ш(5), 5 е [0,1]}.

Пусть К — компакт в метрическом пространстве (X, р). Множество и С X называется е-сетью для множества К в пространстве X, если для любой точки х е К найдется у е и такая, что р(х, у) < е. Соответственно множество V С К называется е-цепью для К, если для любых х, у е V, х = у, верно р(х, у) > е. Следуя работе А. Н. Колмогорова и В. М. Тихомирова [3], двоичный логарифм количества точек в минимальной е-сети для К в X будем называть е-энтропией К в X и обозначать через И£(К, X), а двоичный логарифм количества точек в максимальной е-цепи для К будем называть е-емкостью и обозначать С£(К). Можно показать, что при е > 0 имеют место неравенства (см. [3])

С2е(К) < И£(К,X) < Се(К). (1)

Лемма 1 (см. [1]). Пусть 1 < р < го и / е ^[а, Ь]. Тогда справедливо неравенство

ш(/ 5)^ [а,Ъ] < 2ш1 —1/р (Л 5)[а,Ъ].

Лемма 2 (см. [4]). Пусть есть пространство N-мерных векторов х = (х1,х2, ...,хх) с

п

нормой ||хУ¿1 = Е |х»|, а Кх есть множество из 2Н точек пространства с координатами 0

^ ¿=1

или 1. Если М(^ ё) — мощность максимальной ¿-цепи для Кх в метрике , то при ё = ^/к], к > 2, и N > ^(к) справедливо неравенство М(^ ¿) > С^, С > 1.

Рассмотрим теперь банахово пространство X[а, Ь] и Ф = {^¿}°=1 — последовательность таких элементов из X [а, Ь], что их линейные комбинации плотны в X [а, Ь] и любое конечное подмножество Ф линейно независимо. Пусть последовательность А = {5^}°=0 убывает к нулю, а (/)х = ^{||/ -Еп=1 акУх : ак е К}, п е (Еф(/)х = ||/||х). Тогда по определению А(А, Ф)х = {/ е X[а, Ь]; (/)х < 5п, п е }. В частности, множество А(А, Ф)х ограниченно в X[а,Ь], более того, оно компактно в X[а,Ь]. Следующая лемма доказана в [5] и является важным вкладом в теорию приближений.

з

Лемма 3. Пусть А = {5^}°=0 убывает к нулю. Тогда верно неравенство И£(А(А, Ф)х) < С Е N,

¿=1

где Ni = шт{к е : 5к < М-г} при г е М, М > 1 — любое фиксированное число, а ] определяется из неравенств М-(з'-1) < е < М—(з—2) при е < е0(М).

Следующая лемма установлена в [4, следствие 1] и позволяет без лишних вычислений применять оценку леммы 3.

Лемма 4. Пусть ш е О П В П Nа для некоторого а > 0 и 5п = ш(1/п), п е N. Тогда для N и

з

определенных согласно лемме 3, справедливо неравенство Е N < Сш-1 (е).

¿=1

Лемма 5 является аналогом известного неравенства для сверток 2п-периодических функций (см. [6, гл. 3]).

Лемма 5. Пусть а < Ь и ^(х) = /аЪу(х — Ь)^(Ь)ёЬ, где у(Ь) е X1 [а — Ь, Ь — а], х е [а, Ь], ^ е X[а, Ь]. Тогда

Н^Ух[а,Ъ] < С1 У^Уь1[а-6,6-а] У^Ух[а,Ъ],

причем С1 = 1 для X = и С, С = 31/р для X = Ср.

Доказательство. С помощью простой замены переменных получаем:

г-Ъ г-х — а

/ у(х — Ь)^(Ь)ёЬ = у(Ь)^(х — Ь)ёЬ.

./а J х —Ъ

Отсюда в случае X [а, Ь] = С [а, Ь] сразу имеем:

Н^С[а,Ъ] < У^УС[а,Ъ] [а — Ъ,Ъ—а]. (2)

В случае X = Хр или X = Ср рассмотрим функцию ^1(Ь), равную ^(Ь) на [а, Ь] и обращающуюся в нуль вне этого отрезка. Тогда

х—а Ъ—а

/ д(Ь)р(х — Ь) ¿Ь = / у(Ь)^1 (х — Ь) ¿Ь. (3)

х—Ъ а—Ъ

Так как х е [а, Ь], х — Ь пробегает отрезок [2а — Ь, 2Ь — а]. Применяя обобщенное неравенство Мин-ковского, имеем для X = Хр:

Г-Ъ—а ( [■ 2Ъ—а 1/р

[а,Ъ] < / Ь(Ь)| (т )|Р^Т > ёЬ <У ^ У [а,Ъ] У^УЬ1(а —Ъ,Ъ —а) •

а—Ъ а—2Ъ

В случае X = Ср из (3) следует (д = р/(р — 1))

|^(хг) — ^(хг_ 1)| =

Ъ— а

у(Ь)(^1 (хг — Ь) — (хг_1 — Ь))ёЬ

а—Ъ

<

л Ъ —а

< / 1^(Ь)|1/р+1/дЬ (хг — Ь) — ^1(хг—1 — Ь)|ёЬ <

а—Ъ

( ГЪ —а \ 1/Р

< У^Уь/1<[а —Ъ,Ъ—аЛ У—Ъ 1^(Ь)11^1 (^ — Ь) — ¥>1^— 1 — Ь) |Р ¿Ь I . Для любого разбиения С = {х^}П отрезка [а, Ь] с помощью суммирования получаем:

п

£ |^(хг) — ^(хг—1 )|р < |Ы|£Ча—Ъ,Ъ—а]V?, [а — 2Ь, 2Ь — а]). ¿=1

Очевидно, что за счет доопределения нулем р-вариация в р-й степени не могла измениться более чем на 2|М& < 2|М^р [а,Ъ], поэтому

, [а — 2Ь, 2Ь — а]) < 31/р|М|урКъ].

Объединяя полученное неравенство с (2), доказываем лемму для X = Ср. Лемма доказана.

Лемма 6 (см. [7]). Если ^(х — с, а, Ь) = (а(х — с) + Ь(|х — с|))|х — с|8, |с| < 1, 5 > —2, а, Ь е К, то справедливо неравенство

— 8 — 2

£п(^(х — с, а,Ь))Ь1(—1,1) < С(5, а, Ь)п

Пусть г е М, 1 < р < го. Через Wp [а, Ь] обозначим множество функций / таких, что /, /',..., /(г) абсолютно непрерывны на [а, Ь], причем /(г) е X? [а, Ь]. Через Wr мы обозначим пространство г раз непрерывно дифференцируемых функций на [а, Ь].

Лемма 7 (см. [8, гл. 6, § 2]). Пусть г е М, / е Хр[0,1], 1 < р < го, или / е С[0,1] (р = го). Тогда для любого Н е (0,1) существует функция (/) е Wгr[0,1] такая, что У/—(/)||р < С1 шг(/, Н)р и ||(0Л (/))(г) ||р< С2Н—гшг(/,Н)?.

Лемма 8. Пусть / е Ср[0,1], 1 < р < го. Тогда существует дЦ/) такая, что (д^,(/))' существует всюду и принадлежит Ср [0,1], причем

У/ — 0л(/)||ср < С1ш1—1/р(/,Н) и ||(дл(/))'||ср < С2Н—1 ш1—1/р(/,Н).

Доказательство. Пусть ^(/)(х) = Н—1 /хх+^ /* (Ь) ¿Ь, где /* (Ь) равна /(Ь) на [0,1] и /*(Ь) = /(1) при Ь > 1. Аналогично [9, добавление 2] показывается, что для упомянутых выше пространств X

У/ — дь(/)||х < ш1(/*, Н)х[0,1+л], ||(дь(/))'||х < Н—1ш1 (/*,Н), Н е (0,1). (4)

Но по лемме 1 имеем: ш1(/*, Н)Ср[0)1+^] < 2ш1—1/р(/*, Н)[0,1+^]. С другой стороны, для любого разбиения = {х^}°=0 отрезка [0,1 + Н] диаметра не больше Н пусть хз-—1 < 1 < хз-. Тогда для разбиения С = {хг}3=0 и {1} имеем равенство: ж|1 (/) = (/), т. е.

ш1 —1/р(/*, Н)[0,1+^] = ш1 —1/р(/ Н). Подставляя полученные оценки в (4), доказываем лемму 8.

2. ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ РИМАНА- ЛИУВИЛЛЯ

Следующая теорема для случая X = Хр, 1 < р < ж, доказана Ф. Г. Насибовым [10]. Теорема 1. Пусть г > 0, /(х) = (/0р)(х) и р е X[0,1]. Тогда Еп(/)х < С2(г)||р||х/п0. Доказательство. Нетрудно проверить, что /(х) представима в виде

/(х)=/ А.-1 (х - £)р(^/Г(г), (5)

Jо

где = (|^Г-1 + ф|0_2)/2. Для этого достаточно разбить интеграл справа в (5) на два:

от 0 до х и от х до 1. По определению второй равен нулю, первый же совпадает с интегралом Римана - Лиувилля. Согласно лемме 6 существует многочлен рп-1 е Рп-1 такой, что ||£г_1 (х) - р„_1 (х)У^1 (-1,1) < С1 п_0. Полагая К_1 (/,х) = Г-1(г) р(фп_1(х - £) ^ (тогда Уп-1 (/) е Рп-1), имеем благодаря лемме 5

||/(х) - Уп_1(/,х)|х < С21|р|х [ |рп_1 (х) - ^г_1 (х)|^х < Сз||р||х/п0.

Г(г) J_1

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть г > 0, к е М, /(х) е (р)(х), р(£) е Хр[0,1], 1 < р < ж, или р(^) е С[0,1] (р = ж). Тогда справедливо неравенство

Е„,к+Г(/)х < С^к (р, 1/п)р/п0.

Доказательство. Рассмотрим функцию (р) из леммы при к = 1/п. Тогда

к_1 (р)(0)х

( )( ) 0_ <0(р)(0)х5 + ( (к) ( ))( )

5л,о(р)(х) = —^-+ 7о (<0(^))(х)-

¿=о ^!

Поскольку /д(да) = д0+а, где да(х) = Г 1 (а + 1)ха, то согласно теореме 2.5 в [2, гл. 1] имеем

(,м(р))(х) = £ + 7»Г+0^(^))(х)-

5=0 )!

В силу определения Еп,0 и теоремы 1 получаем:

Еп,г+о(/)р = Е„,г+о(/д(р))р < Е„,г+о(/д(р - 5ь,,о(р)))р + Е„,г+о(/д(#й,о(р)))р <

< ЗД(р - 5^,0(р)))р + (/д+0(5[00(р)))р < < С1 (п_0||р - (р)||р + П_0_0к_0^о(р, к)р) < С2п_0^о(р, 1/п).

Теорема доказана.

Замечание 1. Для X = Хр, 1 < р< ж, г> 0 и к = 2 аналог теоремы 2 доказан Ф. Г. Насибовым [10] на отрезке [а, Ь] С (0,1).

Теперь получим аналог теоремы 2 для функций ограниченной р-вариации на отрезке. Теорема 3. Пусть г > 0, 1 < р < ж, р(£) е Ср[0,1], /(х) е /0,о(р). Тогда верно неравенство

Еп,о+1 (/)ср < С^1_1/р(р, 1/п)/п0, п е N.

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 2, используя функцию дЦр) из леммы 8, находим, что

^(р)(х)= 5^(р)(0) + / Ыр))'(*) ^ = ^(р)(0) + /о1 (^(р))(х), ¿о

откуда

/0 Мр))(х) = х0 5л(р)(0)/Г(г + 1) + /0+1(5^ (р))(х) также по теореме 2.5 из [2, гл. 1]. В итоге при к = 1/п получаем по теореме 1

Еп,0+1 (/)Ср = Еп,0+1(/0 (р))Ср < Еп,0+1(/0 (р - 5^(р)))Ср + Еп,0+1(/0 (5^(р)))Ср <

< ВД(р - у^)))ср + ВД+1((у*МУЖ <

< С1(п-Г - ул(^)||ср + п_г_1 Л,)) < С2П-Г^1_1/р(р, 1/п).

Теорема доказана.

Применим теорему 2 к оценке е-энтропии некоторых компактов дифференцируемых в смысле Римана - Лиувилля функций. Напомним, что А(е) х В(е) означает, что С1А(е) < В(е) < С2А(е) при всех е > 0, где 0 < С1 < С2.

Теорема 4. Пусть г> 0, 0 < а < 1, 1 < д < го (при д = го вместо 1] рассматриваем С [0,1]).

Тогда имеет место порядковое равенство:

Не(ШгНа(М,Х, [0,1]),Х[0,1]) х (1/е)1/(г+а).

Доказательство. Отметим сразу, что если /(х) е ШгНа(М,Х, [0,1]), то

[г] [г]

/(х) = (1Г- р(0)))(х) + 1Г(р(0)) + ^ Скхг_к = (и- р(0)))(х) + ^Скхг_к,

к=1 к=0

где ^ е £ф(а), т. е. |^(х)-^(у)| < М|х-у|а, х, у е [0,1]. Пусть Ф = {хк_г}к=0 и{хп. По теореме 2 при к = 1 получаем:

Еп,г+1 (/= Еф+[г]+1(/< С1 п_г_а < С1 (г + 1)г+а(п + [г] + 1)_г_а,

т.е. / е А(Д, Ф)с, где = С2 п г а. Ясно, что ^(5) = принадлежит В П Хг+а. Поэтому по леммам 3 и 4 имеем: Не(ШгНа(М,Х, [0,1]),С[0,1])) < Сзе_1/(г+а).

Для оценки снизу введем функции, использовавшиеся в [3] для доказательства в случае г е N. Пусть

р(у) = {а(1 + У)Г+а(1 - У)Г+а' 1у1< 1'

^ ^ \0, |у| > 1.

Для ^(у) при |у| < 1 нетрудно вывести формулу (у) = арк (у)(1 - у2 )г+а_к, где к е N, к < г+а, — многочлен к-й степени. Отсюда, пользуясь тем, что многочлен принадлежит классу £ф(1), а (1 ± у)в — классу Ыр(Р), легко вывести, что ^([г+а]) е £ф({г + а}) при г + а не целом (здесь [х] обозначает целую часть х, а {х} - дробную часть х), а при целом г + а верно, что ^(г+а_1) е £ф(1). Другими словами, в обозначениях книги [2] ^ е Нг+а. Следуя [3], расположим в [0,1] точки вида хт = (1 + 2т)т, т = 0,..., 5 = [1/2т], т = (е/а)1/(г+а). Рассмотрим теперь набор С из 28 функций у вида

у(х) = £7ктГ+Х(х - хк)/т), 7к = ±1. (6)

к=0

Очевидно, что все производные у е С, вплоть до [г + а]-й, обращаются в нуль в нуле и сами у е С принадлежат классу Н0+а[0,1]. Он определяется как {/ е Нг+а[0,1] : /(0) = 0,..., /([г+а])(0) = 0} при г + а не целом и как {/ е Нг+а[0,1] : /(0) = 0,..., /([г+а]_1) (0) = 0} при г + а целом. Поэтому по теореме 3.2 из [2, гл. 1] /<П_ГУ е Нп+а для у е С, п = [г] + 1. В самом деле, либо п + а — не целое, либо, в противном случае, п и а — целые, и можно применять теорему 3.2. Тогда по определению производные порядка г от у е С принадлежат £ф(а), т.е. эти функции при достаточно малом а принадлежат На(М,Х, [0,1]) (см. [2, гл. 1, теорема 2.3]).

Итак, мы имеем 28 таких функций у и любые две из них имеют разные знаки хотя бы в одной точке хк, и в этой точке разность между ними по модулю равна 2атг+а = 2е > е. Таким образом, множество С является е-цепью для ШгНа(М,Х, [0,1]) в пространстве С[0,1], в нем 28 элементов и в > С1е_1/(г+а) (см. определения в и т выше). В силу неравенства (1) получаем оценку е-энтропии ШгНа(М, Х, [0,1]) снизу при д = го.

Применим теперь те же самые функции (6) для построения се-цепи в пространстве X1 [0,1]. Тем самым оценка снизу будет установлена для всех д е [1, го). Заметим, что если в точке хк знаки функций у1 и у2 вида (6) различны, то

Г1 рХк+Т р 1

/ |у1 (х) - у2(х)| ¿х > 2 |у1 (х)| ¿х = 2аттг+М (1 - у2)г+а ¿у = С2ет.

0 о Хк _т — 1

Чтобы /0 |51 - 521 ¿х было больше се при некоторой постоянной с > 0, достаточно, чтобы число таких точек х0, где знаки 51 и д2 различны, было не менее [в/к], к > 2. Согласно же лемме 2, при достаточно больших в, можно выбрать не менее С8, С > 1, наборов из в плюсов и минусов так, что для любых двух наборов число различных знаков в одинаковых разрядах не менее [в/к]. Таким образом, существует не менее С8 функций вида (6) так, что для любых двух функций 51 и д2 из этого подмножества - д2> се. Мы построили се/2-цепь для На(М, N [0,1]) в Х1[0,1] и, как и выше, получаем отсюда нижнюю оценку для е-энтропии.

Замечание 2. Как отмечено при доказательстве, при г е N и q = ж асимптотическое равенство теоремы 4 установлено А. Н. Колмогоровым и В. М. Тихомировым в [3]. Для г е N и 1 < q< ж утверждение теоремы 4 доказано в [11].

Теорема 5. Пусть г е М, ш е N 1_1/р. Тогда верно порядковое равенство (1 < р < ж)

H(WrH-1/p(M, N, [0,1]), Cp[0,1])

1

UJ

-1

00'

(7)

где ш(5) = шДО0. При г > 0, г е М, верна соответствующая оценка сверху из (7).

Доказательство. Оценка снизу в (7) доказывается аналогично доказательству теоремы 1 из [4]. Оценка сверху устанавливается с помощью теоремы 3 аналогично доказательству соответствующей части теоремы 4.

Библиографический список

1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987. 688 с.

3. Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М. е-энтропия и е-емкость множества в функциональном пространстве // УМН. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 3-86.

4. Волосивец С. С. Асимптотические характеристики одного компакта гладких функций в пространстве функций ограниченной р-вариации // Мат. заметки. 1995. Т. 57, вып. 2. С. 214-227.

5. Lorentz G. G. Metric entropy and approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 72, № 6. P. 903-927.

6. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1985. 264 с.

7 Ибрагимов И. И. О наилучшем приближении в среднем функции, s-я производная которой имеет ограниченную вариацию на отрезке [-1,1] // Докл. АН СССР. 1953. Т. 90, № 1. С. 13-15.

8. DeVore R., Lorentz G.G. Constructive approximation. Berlin; Heidelberg : Springer, 1993. 449 p.

9. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. М. : Наука, 1987. 424 с.

10. Насибов Ф. Г. О порядке наилучших приближений функций, имеющих дробную производную в смысле Римана - Лиувилля // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1962. № 3. С. 51-57.

11. Clements G. F. Entropies of several sets of real valued functions // Pacific J. Math. 1963. Vol. 13, № 4. P. 10851095.

Approximation of the Riemann - Liouville Integrals by Algebraic Polynomials on the Segment

A. A. Tyleneva

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, aatuleneva@km.ru

The direct approximation theorem by algebraic polynomials is proved for Riemann - Liouville integrals of order r > 0. As a corollary, we obtain asymptotic equalities for e-entropy of the image of a Holder type class under Riemann - Liouville integration operator.

Keywords: p-variation metric, Lp space, Riemann-Liouville integral, best approximation, algebraic polynomials, e-entropy.

References

1. Terekhin A. P. Approximation of bounded p-variation functions. Izvestiya vuzov. Matematika, 1965, no. 2, pp. 171-187 (in Russian).

2. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications,

New York, Gordon and Breach Science, 1993. 1006 p.

3. Kolmogorov A. N., Tikhomirov V. M. e-entropy and e-capacity of a set in the functional space. Uspehi mat. nauk, 1959, vol. 14, iss. 2, pp. 3-86 (in Russian).

4. Volosivets S. S. Asymptotic properties of one compact

set of smooth functions in the space of functions of bounded p-variation. Math. Notes, 1995, vol. 57, iss. 2, pp. 148-157.

5. Lorentz G. G. Metric entropy and approximation. Bull. Amer. Math. Soc., 1966, vol. 72, no. 6, pp. 903-927.

6. Edwards R. Fourier Series: A modern introduction. Vol. 1. New York, Springer, 1982, 234 p.

7. Ibragimov I. I. On best approximation of a function whose s-th derivative has bounded variation on segment [-1,1]. Doklady Akad. Nauk SSSR, 1953, vol. 90, no. 1. pp. 13-15 (in Russian).

УДК 517.97

8. DeVore R., Lorentz G. G. Constructive approximation. Berlin, Heidelberg, Springer, 1993, 449 p.

9. Korneichuk N. P. Exact Constants in Approximation Theory, 2009, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2009, 468 p.

10. Nasibov F. G. On the order of best approximations of functions havong fractional derivative in Riemann -Liouville sense. Izv. AN Azerb. SSR. Ser. fiz.-mat. nauk, 1962, no. 3, pp. 51-57 (in Russian).

11. Clements G. F. Entropies of several sets of real valued functions. Pacific J. Math., 1963, vol. 13, no. 4, pp. 10851095.

ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОДУ

А. В. Фоминых

Аспирант кафедры математической теории моделирования систем управления, Санкт-Петербургский государственный университет, alexfomster@mail.ru

В статье рассматривается задача Коши для нелинейной системы ОДУ. Эта задача сводится к вариационной задаче минимизации некоторого функционала на всём пространстве. Для данного функционала выписываются необходимые условия минимума. На основании этих условий описываются метод наискорейшего спуска и метод сопряжённых направлений для рассматриваемой задачи. Приводятся численные примеры реализации этих методов. Дополнительно исследуется задача Коши с системой, не разрешённой относительно производных.

Ключевые слова: вариация, задача Коши, квадратичный функционал, градиент Гато, метод наискорейшего спуска, метод сопряжённых направлений.

ВВЕДЕНИЕ

Существует много методов решения задачи Коши, например, метод последовательных приближений Пикара, метод ломаных Эйлера, серия методов Рунге-Кутты. В работе [1] задача Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к вариационной задаче минимизации некоторого строго выпуклого функционала на всём пространстве. В данной статье этот подход распространяется на нелинейную систему ОДУ. Для поиска стационарных точек функционала используются метод наискорейшего спуска и метод сопряжённых направлений, которые относятся к прямым методам вариационного исчисления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим систему

х = /(х,г), г е [0,т], (1)

с заданным начальным условием

х(0) = х . (2)

Здесь Т — некоторый фиксированный момент времени, х(г) — искомая вектор-функция фазовых координат, х е СП[0, Т], где СП[0,Т] — пространство п-мерных вектор-функций, непрерывно дифференцируемых на [0, Т], /(х, г) — заданная вещественная п-мерная вектор-функция, х 0 — заданный вектор. Требуется найти такое решение системы (1), которое удовлетворяет начальному условию (2). Будем считать, что для (1), (2) выполнены условия теоремы Пикара. Тогда решение задачи Коши (1), (2) существует и единственно.