О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ 5)

А.В. Глушак, Т.А. Манаенкова

Белгородский государственный университет, 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, e-mail: GlushakObsu.edu.ru, Manaenkova@bsu.edu.ru

Аннотация. Установлен критерий равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с дробной производной, абстрактная задача типа Коши, критерий разрешимости.

Пусть A — линейный замкнутый оператор, плотно определенный в банаховом пространстве X с областью определения D(A) и непустым резольвентным множеством. При а > 0 и n = [а] + 1 рассмотрим следующую задачу типа Коши

D£+u(t) = Au(t), t> 0, (1)

lim Darnu(t) = u0, lim D?—u(t) = 0, k = 1,..., n - 1. (2)

dn

где D^+u{t) = -j^ (t) - левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля

1 /"*

порядка а > 0, /g+u(i) = / (t — s)'3~l u(s) ds - левосторонний дробный интеграл

г(в) J0

Римана-Лиувилля порядка ß > 0 (см. [1, с. 41], [2, с. 69]), D-+u(t) = I^+u(t) для 7 > 0, Г(-) — гамма-функция, u0 Е D(A).

Примеры решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля могут быть найдены в [2, 3].

Среди работ, посвященных изучению абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто порядка а, можно отметить работу [4], в которой изучается ослабленная задача Коши, работу [5], в которой приведен критерий равномерной корректности задачи Коши. Неоднородное дифференциальное уравнение порядка 1 + а (0 < а < 1) с дробной производной Капуто и позитивным оператором A было исследовано в [6] методом сумм Да Прато и Гривара. Работы [7], [8] содержат различные критерии равномерной корректности задачи типа Коши с дробной производной Римана-Лиувилля. В настоящей работе приводится критерий равномерной корректности задачи типа Коши отличный от приведенных в [7], [8].

5 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 14.A18.21.0357)

Определение 1. Решением задачи (1), 2) называется функция п(Ь) такая, что имеют место включения и(1) Е С(Ж+,0(А)), € Ск (Е+,Х) для к — 0,1,..., /?.— 1,

€ Сга(Е+,Х), п которая удовлетворяет условиям (1), (2).

Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если при любом п0 Е О (А), существует единственное решение п(Ь; п0) задачи (1), (2) и если п0,т Е О (А), п0,т — 0 влечет п(Р, п0,т) — 0 равномерно по í на любом компактном интервале из (0, то).

Применим к уравнению (1) оператор . Учитывая равенство (см. [1, с. 50], [2, с. 74])

W+u{,) = u(t) - £ Jjj^L (3)

k= 1 ( + )

и граничные условия (2), можно утверждать, что задача (1), (2) равномерно корректна только тогда, когда следующее интегральное уравнение типа Вольтерра

ta-n . 1 ft

u(t) = —-+ —- / (t-s) -1 Au(s) ds, t > 0, (4)

Г(а - n + 1) Г(а) J о

равномерно корректно в смысле определения 3, которое мы приводим далее.

Определение 3. Интегральное уравнение (4) называется равномерно корректным, если для каждого u0 Е D(A) существует единственное решение u(t; u0) Е C(R+, D(A)) этого уравнения и если u0m Е D(A), u0m ^ 0 влечет сходимость u(t; u0,m) ^ 0 равномерно по t на любом компактном интервале из (0, то).

Пусть B(X) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X. Определим разрешающий оператор задачи (1), (2).

Определение 4. Операторная функция Ta(t) Е B(X) называется разрешающим оператором для задачи (1), (2), если выполнены следующие условия:

(i) Ta(t) сильно непрерывна при t > 0 и D0-nTa(0) = I,

(ii) Ta(t) коммутирует с A, то есть, Ta(t)D(A) С D(A) и ATa(t)u0 = Ta(t)Au0 для любого u0 Е D(A) и t > 0,

(iii) Ta(t)u0 является решением задачи (1), (2) для любого u0 Е D(A) и t > 0.

Определение 5. Будем говорить, что оператор A принадлежит классу $a(M,u), если задача (1), (2) имеет разрешающий оператор Ta(t), удовлетворяющий неравенству

IITa(t) II ^ M(t)eut, t> 0, (5)

где ш Е R и функция M(t) Е L1(R+).

Пусть A Е Ga(M, ш) и Ta(t) - соответствующий разрешающий оператор. При Re А > ш определим преобразование Лапласа для разрешающего оператора

/><х

Ha(A) = L[Ta(t)](A) = e-xtTa(t) dt.

0

Учитывая оценку (5), можно утверждать, что Иа(А) £ Ъ(Х). Используя свойства (11) и (111) определения 4 и тождество [см. 2, с. 284] для преобразования Лапласа дробных производных

п

Ь[Щ+ и](А) = Аа£[и](А) — ^ Ак-1Б^-ки(0),

к= 1

после преобразования Лапласа из (1), (2), получим следующие соотношения:

АаИа(А)и0-Ап-1и0 = АИа(А)щ, щ £ X; АаИа(А)и0-Ап-1и0 = Иа(А)Ащ, щ £ Б (А).

Лемма 1. Пусть А £ $а(Ы,ш), тогда оператор (Аа1 — А) обратим и Иа(А) = Ап-1Я(Аа, А), то есть, множество {Аа : Яв А > и} включено в р(А) и

/><х

Я(Аа,А)щ = А1-п е-мТа(г)щ (г, и0 £ X. (6)

ио

Теорема 1. Пусть а > 0, п = [а] + 1. Тогда А £ За(М,и) и оператор Б0-пТа(г) непрерывен при г > 0 в равномерной операторной топологии только тогда, когда А £

В(Х).

□ Пусть А £ За(М,и). При А > и. Тогда, учитывая представление оператора дробного интегрирования через оператор Лапласа [см. 1, с. 117]

/0>(Ь) = Ь-1[А-аЬ[<р](А)](1),

получим соотношение

I Г ^

\а~пВ{\а, А) - - = / е"Л4 (Б%-пТа(Ь) - I) (й, А 0 0+

откуда

А

"ОО

< / е-мп(г) (г, (7)

0

где п(г) = ||Б0+пТа(г) — 11| непрерывна при г > 0, п(0) = 0. Зафиксируем е > 0 и выберем 8 > 0 такое, что п(Ь) < е при г £ [0, 8]. Тогда

/ е-хьп(г) (г = е-хьп(г) (г + е-хьп(г) (г <

ио ио

<£ [ е~м с11 + [ е~м (—--Г [а- + Л с11 <

Уо Js \г(п — а) ]о )

- \ + Г(п-а) Г е(Ш~Х)' {1о ~ 8)П~а~1М(-М + 0 (1) ' Л ^ (8)

Рассмотрим оставшийся интеграл в правой части (8). После разбиения внутреннего интеграла на два по отрезкам [0, 6] и [6,1] и изменения порядка интегрирования получим

е(ш-х)ь ^^ (г - в)п-а-1м¿г =

Г(п - а) Л \7о

ûѩ рд РОС

/ /»Ж /»Ж пд пж

ч / м(8) / е{ш~х)\г- з)п-а-1(ИЯ8+ / М(з) / е{ш~х)\г - з)п-а~1(Ийз Г(п - а) \Л Л Jо Jд

1

1

< —-—-( Г МЫ) ^ е{ш~х)Чз+ [* М(з) Г е-{Х-ш)\г-5)п-а-1 (ИЛз

~ Т(п - а) VЛ (А - ш)п~а Л Л

= т-,-;- / М(з)(1з + --г- / М(з)(1з = о - , Л ->■ оо, (9)

(Л - ш)п~а Л (Л-о;)»-«Уо IV

с учетом того, что М(г) Е Ь1(К+).

Следовательно, из (7)-(9) для достаточно больших Л мы получим \Ла-п+1 К(Ла, А) —I\\ < 1. Поэтому Я(Ла, А) имеет ограниченный обратный оператор, то есть оператор Я-1(Ла, А) = Ла1 — А - ограничен и, таким образом, А Е В(Х).

Обратно, пусть А Е В(Х), согласно [1, с. 601] Та(г) = га-п Еа,а-п+1(га А), где Еав(■) — функция Миттаг-Леффлера, определяемая соотношением

ж ¿п

Покажем, что Та(г) удовлетворяет условиям определения 5 при М(г) = Кга-пв-£*, где К > 0 - некоторая постоянная, е > 0 произвольно. Очевидно,

\\ТаШ < 1а~П £ гг = Г^Е^-п+г (Р11 П . (Ю)

¿~0 Г (]а + а — п +1)

Пусть сначала а Е (0, 2). Тогда неравенство (10) означает, что Та(г) экспоненциально ограничена. Действительно, асимптотическое поведение функции Миттаг-Леффлера при 0 < а < 2 и 1г1 — то (см. [9, с. 134])

Е^) = ехр (.-"•) - ± + О • I аг§ < - , € (§,«) .

(11)

и непрерывность этой функции при г > 0 означает, что при ш > 0 существует постоянная К > 0 такая, что

Еаа-п+1(ш1а) < Квш1/а', г > 0, а Е (0, 2). (12)

Из (10), (12) получим оценку

||Та(г)|| < кга-пе\\А\\1/аь = М(г)е(^1/а+£>, е > 0. Если а £ [2, то), то зафиксируем к £ N такое, что к > а/2. Тогда

(13)

3=о и

3 г^а+а-п

а + а — п +1)

(1 /к)кз г(а/к)кз

3=о

Г((а/к)к^' + а — п + 1)

<

<

3=о

(1/к)3 г(а/к)3 Г((а/к^ + а- п + 1)

га—пЕа/к,а-п+1 (га/к ||А||1/к)

и, используя (12), опять получим оценку (13).

Следовательно, А £ За ^М, ||А||1/а^ и То(Ь) — соответствующий разрешающий оператор.

Так как Б+ (1^—1Еа^(А1а)) = 1^—1Еа,— (Ага) (р > 0, V £ К)

то

Бо-пТа(г) =

А3 3

3=0

Г(за + 1)

ЕаЛ(1аА).

(14)

Ряд в (14) сходится по норме при г > 0 и определяет ограниченный линейный оператор Щ+пТа(г). Оценка степенного ряда дает

|Б0а-пТа(г) — 11|

гза

= ГЦа + 1)

= га ||А|| Еа,а+1 (||А|| га).

Следовательно, ^Иш ||Б0+пТа(г) — 11| = 0, то есть оператор Б0+пТа(г) непрерывен в равномерной операторной топологии. В

Теорема 2. Пусть А £ $а(М, и) для некоторого а > 2 и

в-^м(г)(г <

к

1

а—п+1

V

, и> 0, п = [а] + 1, к1 > 0

(15)

Тогда А £ В(Х).

□ Если А £ 9а(М,и) при некотором а > 2, то в силу леммы 1 {Аа : И,е А > и} С р(А), что, в частности, означает следующее

Ло

:= (Л° : ИеЛ > и, |агёЛ| < - < С р(А).

а2

Следовательно, р(А) состоит из целой комплексной плоскости, за ислючением некоторого ограниченного множества, содержащего начало координат. Если р £ С достаточно велико, то р = Аа £ Ла^ш и из соотношений (5), (6) и (15) вытекает

ЦрЯ(р,А)Ц

А

а—п+11 — КеХ1

е—н*еиТа(1)(И

<|А|

а—п+1

е—КеМвш*М (г)(г

<

со

о

ОС1

ОС1

о

о

К 1|Л|°-'г+1 ^ К 1|Л|°-'г+1 Кг

(|Л| сое--ш)

а

< —-^1+т < 7-^-гт^+т ^ о , . 17г ' К1 > 1Л1

(КеЛ - \ \\ г-пя - - „Л СОв -

а

а

Из этого соотношения следует, что ||Я(Аа,А)|| = 0(1/|А|а). Теперь утверждение теоремы следует из приводимой ниже леммы 2 (см. [10], лемма 5.2). В

Например, в качестве функции М(г), удовлетворяющей неравенству (15), можно рассмотреть функцию М(г) = Мога—пе—£г, е > 0, п = [а] + 1. Действительно,

"ОО поо поо

е—игМ (г)(г = Мое—и1е—£Ча—п(И = Мо е—("+£)Ча—п(1г =

о о о

М0Т(а — п + 1) К\

(и + е)а—п+1 _ уа—п+1

Лемма 2. Если а (А) ограниченное подмножество из С и ||Я(р, А)|| = 0(1/|р|) при |р| ^ то, то А £ В(Х).

Далее рассмотрим задачу (1), (2) при 0 < а < 1 и найдем условия ее разрешимости. В этом случае интегральное уравнение (4) и соотношение (6) примут вид

и (г)

га—1 ио

+

(г — в) а—1 Аи(э) (в, г> 0,

Г(а) Г(а) Уо

(16)

Я(Аа,А)ио = е—Х1Та(г)ио а, ио £ X, А > и. о

После дифференцирования равенства (17) получим

(п г-ж

— (Я(А°, А)щ) = (-1)" / ее~Х1ТаЦ)щ (Й, щ € X, \> ш, п = 0,1,... (Ап о

что вместе с (5) дает следующую оценку

(17)

(18)

Е

п=о

(А — и)п

п!

(пЯ(Аа,А)

пх х (\ \п гп

<[ / г"* ЦГ«(*) И <

п=о

о

п!

< еь(х—ш)е—хьеш1М(г) (г = М(г) (г = к2, А>и, М(г) £ Ь1(Ж+). (19) оо

Приведем далее формулировку теоремы 1.4 из [11], которая будет использована при установлении разрешимости задачи (1), (2) для случая а £ (0,1).

Теорема 3. Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в X областью определения Б (А), ио £ Б (А) и пусть а(г) £ Ь1ос(Ж+) удовлетворяет неравенству

е—|а(г)| (г< то.

г

1

СО

СО

ОС1

о

Тогда операторное уравнение

т(г)и0 = а(г)и0 + / а(г - э)АТ(э)п0 ¿8, г > 0 о

имеет решение Т(г), удовлетворяющее неравенству

\\т(г)\\ ^ м(г)ешг, г > 0,

(20)

(21)

с некоторой функцией М (г) Е Ь1(К+), только тогда, когда выполняются условия:

1) Ь[а](Л) = 0 и 1/Ь[а](Л) Е р(А) для каждого Л > ш,

2) при Л> ш существует (I - Ь[а](Л)А)-1 и функция <^(Л) = Ь[а](Л)(1 - Ь[а](Л)А)-1 удовлетворяет оценке

Ж (Л - ш)п |^(п)(Л)|| , л

Е---(22)

п=0 '

с постоянной К0 > 0.

В рассматриваемом нами случае а Е (0,1) уравнение (16) - частный случай уравне-

ния (20), если а(г) =

г

а— 1

1

Г (а)' При ЭТОМ € 11ос(ш+)> ^Н(А) = ^ И

Г» л-а-1

-шг 1

Г{а)

¿г

1

<.

ш

Составим соответствующую уравнению (16) функцию Q(Л)

1

(Ла1 - А)-1 = Я(Ла, А).

При этом неравенство (22) примет вид

(Л - ш)п |^(п)(Л)|| ~ (Л - ш)п

ж

Е

п=0

п!

ж

Е

п=0

п!

¿пЯ(Ла, А)

¿Лп

< К0

Следовательно, при 0 < а < 1 к уравнению (16) применима теорема 3, которую мы можем переформулировать следующим образом.

Теорема 4. Пусть 0 < а < 1. В этом случае А Е $а(М,ш) только тогда, когда (ша, то) С д(А) и

Е

п=0

(Л - ш)п

п!

¿пЯ(Ла, А)

< К0

Л > ш , К0 > 0 .

(23)

Следующий результат - непосредственное следствие предыдущей теоремы.

Теорема 5. Пусть 0 < а < 1. Для того чтобы оператор А Е $а(М,ш), необходимо и достаточно, чтобы (ша, то) С д(А) и существовала сильно непрерывная операторная

г

0

функция Т(Ь), удовлетворяющая неравенству \\Т(Ь)\\ ^ М(Ь)еш*, Ь> 0, М(Ь) Е ^(Е^ такая, что

— \Ьг

Я(Аа,А)щ = е- Т(Ь)щ (И, щ Е X, (24)

ио

и в этом случае Та(Ь) = Т(Ь).

□ Пусть существует функция Т(Ь) с упомянутыми выше свойствами. После дифференцирования под знаком интеграла в (24) получим (18), а из свойств функции Т(Ь) -соотношение (23). Применяя теорему 4, получим А Е $а(М,ш). Пусть Та(Ь) - соответствующий разрешающий оператор. Тогда (24) выполняется для обоих операторов Та(Ь) и Т(Ь) и, как следует из единственности преобразования Лапласа, Та(Ь) = Т(Ь).

Обратное утверждение. Пусть А Е $а(М,ш), тогда в силу определений 3 и 4 существует разрешающий оператор Та(Ь) такой, что имеет место оценка (5) и, кроме того, Та(Ь) удовлетворяет (1), (2), а следовательно, действуя преобразованием Лапласа на (1) и учитывая (2), получим соотношение (24). В

Теорема 6. Если А является генератором сильно непрерывной С0-полугруппы, то А Е За(М,ш1/а) для каждого а Е (0,1) с некоторой функцией М(Ь) Е ^(Е^.

□ Пусть А генератор непрерывной С0-полугруппы, тогда по теореме Хилле-Иосиды найдутся постоянные ш Е Е, С = С(ш) > 1 такие, что К(А,А) существует для любого А > ш и

||Я"(А,А)|| < С Х> ш, а Е N0. (25)

(А — ш)п

Индукцией по п получим следующее представление

(Ап

п+1

Я(Аа,А) = (—1)пА-п-а^ Ь1п+1(АаК(Аа,А))к, п Е N0, а > 0 , (26)

к=1

где

Ь1,1 =1, ь1,п = 0, п = 2, 3,..., (27)

Ч)П = (п — 2 — (к — 1)а)Ък>п-1 + а(к — 1)Ъ(^-1п-1, 1 <к < п, п = 2, 3,..., (28)

ьк,п = 0, к > п, п =1, 2,.... (29)

Действительно, при п = 1 находим

(

—ШХ", А) = -а\а~1П2{\а, А). (30)

(А

С другой стороны, по формулам (27)-(29) получаем ЪЦ^ = 0, Ъ2,2 = —аЩ^+аЪ11 = а, подставляя которые в (26), получим (30).

Предположим теперь, что (26)-(29) верны при п = т, то есть, имеет место равенство

(т т+1

( „ / > ™ / -\т \ —т—а\ Л гп ( \ а ^ ( \ а л\\к

Я(Аа, А) = (—1)тА-т-а^ Ъ1т+1(АаЯ(Аа, А))

(А

к=1

(

п

дифференцируя которое, будем иметь

с1т+1 ¿\т+1

т+1

Я(Аа,А) = (—1)т (—т — а + ка)Ъа^т+1А—т—1—а+каКк (Аа,А)+

к=1 т+1

—

1)т+^ каЪ'0т+1А—т—а+ка—1Як+1(Аа, А).

к=1

Из формул (26)-(29) получаем следующее представление

(31)

с1т+1 с1\т+1

т+2

Я(Аа,А) = (—1)т+^ Ъ1т+2А—т—1—а+каЯк(Аа, А)

к=1

т+2

(—1)т+^ ((т — ка + а)Ъ0,т+1 + а(к — 1)Ъ0— ^ А—т—1—а+каЯк(Аа, А).

к=1

Заметим, что в первой сумме последнее слагаемое за счет коэффициента Ът+2 т+1 = 0 обращается в ноль, а во второй суммирование начинается с к = 2, и, заменяя к — 1 на к, мы окончательно получим (31). Что и означает справедливость формул (26)-(29). При а £ (0,1), к,п £ Н, Ъап > 0. Тогда из (26) - (29) имеем при А > и1/а

(п

(А

■Я(Аа,А)

п+1

< ЕЪ(°,п+1Ака—п—аЦЯк(Аа,А)|| <

к=1

п+1

<

с^ь:

к,п+1

Ака— п— а (п

(-1 )пС-

к=1

(Аа — и)к

1

(Ап Аа и

(Отметим, что равенство в (32) является частным случаем (26) при А = и.) Далее, мы используем соотношение

/ е~хН^-1Еа 13Ша) ¿1 = --

1о °Р\ ) Ао — и

, А > и1/а, и > 0

Дифференцирование под знаком интеграла в (33) при в = а дает

(32)

(33)

(—1)п

(п

1

(Ап \ Аа - и

гп+а—1е—хгЕа,а(ига)(г.

Учитывая асимптотическое поведение (11) функции Миттаг-Леффлера, получим следующее неравенство

X

£

3=о

(А — ио)п

п!

(п

(А

■Я(Аа, А)

X

<

3=о

(А — ио)

п!

гп+а—1е—хгЕа,а(ига) (г

о

о

= Ьа-1е-Ме(Х-Ш0)'Еа!а(шЬа) (Ь < С Ьа-1е-Ш0'(шЬа)(1-а)/а ехр {ш1/аЬ)(Ь = оо

= С^ ехр (—ш0 + ш1/аЬ) (Ь < К0, ш0 > ш1/а. о

Таким образом, по теореме 4, А Е $а(М,ш1/а). В

Чтобы получить представление разрешающего оператора Та(Ь) через резольвенту от А, мы используем формулу обращения Поста-Уиддера, которая определяется следующей леммой (см. [12, с. 241]).

Лемма 3. Пусть и(Ь) непрерывная на X функция, определенная при Ь > 0 такая, что и(Ь) = 0(еуЬ) при Ь ^ то для некоторого 7 и пусть Ь[и](А) - преобразование Лапласа функции и(Ь). Тогда

V ' ra-S-oo n\ \tJ V dXn /Vi/

и сходимость равномерная на любом компакте из (0, то).

Лемма 3, совместно с (26) - (29), которые выполняются при любом 0 < a < 1, дает следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть 0 < a < 1, А - генератор сильно непрерывной С0-полугруппы, тогда соответствующий ему разрешающий оператор задачи (1), (2) имеет вид

1 / t \a-1 n+1 / / t \a \-k

Г««>"» = Ä, Ы (s) gV - (n) A) "« ' (34)

где bakn константы, определенные формулами (27)-(29). Сходимость равномерна по t на любом компактном интервале из (0, то) для каждого фиксированного u0 Е X.

Теорема 8. Пусть 0 < a < 1. Если Ta(t) -разрешающий оператор задачи (1), (2),

то

A TV 1 1\ 1- Io+aTa(t)u0 - u0

Ащ = Г а + 1 lim ----35

t^0+ ta

для тех u0 Е X, для которых этот предел существует. □ Для каждой функции v(t) Е С(М+;Х) мы имеем

lim v(t) = lim —-———^ 0+ ^ . (36)

t^o+ у ' t^o+ ta

Выберем v(t) = Iq-"Da+Ta(t) и, используя (1) и (2), в левой части (36) получим

lim Il0-aDa+Ta(t) = lim Il0-aATa(t)uo = Ащ . (37)

oo

В правой части (36), применяя полугрупповое свойство операторов дробного инте-гродифференцирования (см. [1] формула (2.21) с. 42) и учитывая формулы (3) и (2.44) из [1], получим

= Ит =

= Г (а + 1) 1„п = Цт . - (38)

Равенства (37) и (38)доказывают формулу (35). ■ Отметим, что в работе [7] Бажлекова Э. исследовала задачу

сБ0+и(г) = Аи(г), г> 0,

и(0) = ио, и(к) (0) = 0, к = 1, 2,...,п — 1,

( п—1 гк и(к) (0) \

где сО$+и(1) = I и(1) — ^^ ——-— I — дробная производная Капуто порядка а >

V к=о Г(к + 1)/

0, п = [а] + 1.

Разрешающий оператор Ба(г) этой задачи связан с резольвентой оператора А соотношением (см. [7], формула (2.6)) £[$а(г)](А) = Аа—1Я(Аа,А). Поскольку 0 < а < 1, то учитывая (6), получим

ь[11—аТа(г)](А) = ао—1ь[Та(г)](А) = Аа—1Я(Аа,А) = ь[ва(г)](А).

Следовательно, если 0 < а < 1 и существует разрешающий оператор для задачи (1), (2), то существует разрешающий оператор $а(г) и при этом справедливо равенство 1о—аТа(г) = Ба(г). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Далее, рассмотрим аналитические разрешающие операторы задачи (1), (2). Пусть £(и,9) - открытый сектор с вершиной и £ К и углом 29 в комплексной области, симметричный относительно действительной положительной оси, то есть

Е(и,9) = {А £ С : |ащ(А — и)| <9} ,

и пусть = £(0,9).

Определение 6. Разрешающий оператор Та(г) задачи (1), (2) называется аналитическим, если Та(г) допускает аналитическое продолжение в сектор £в0 при некотором

Теорема 9. Пусть а £ (0,1) и Аа £ р(А) для каждого А £ £(9о + п/2, ио). Если для любых и > ио, 9 <9о существует постоянная С = С(9,и) такая, что

Аб ~(0 + тг/2,и;), (39)

| А — и|

то линейный замкнутый плотно определенный оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t), удовлетворяющего неравенству

||Te(t)|| ^ М(|t|)e(w+e)Re t Е ~в0 (40)

с некоторой функцией M(s) = Мд>ш (s), принадлежащей L1(R+).

□ Пусть t Е E для всех 9 < 90 и пусть 6 Е (9,90), ш > q > 0. Положим

Tit) = — [ extR(Xa1A)dX1 (41)

2т J г

if

где контур Г = Г1 U Г2 U Г3, Гх = {ш + re-i(n/2+s), д < r< о}, Г2 = {ш + ge

< п/2 + 6], Гз = {ш + rei(n/2+s), д < r < оо]. Направление на контуре определяется движением из нижней полуплоскости в верхнюю. Пусть д = — и а = sin($ — 9).

rl

Тогда из (41), учитывая (39), получим оценку

l|TW||<|/re-)|A|-^. (42)

Интегралы по контурам Гх и Г3 равны. Поэтому рассмотрим только один из них, а именно, по контуру Г3. Так как t Е S, то есть t = 111e , и угол наклона переменной Л на этом контуре фиксирован, то получаем следующие соотношения:

Л = ш + rei{7r/2+s\ Re(At) = ujRe t + г \t\ cos + 5 - = ujRe t - a r \t\,

|Л| < |r — ш| < r + ш, |Л — ш| = r , ds = dr .

Поэтому

Г eRe(Xt)^l-ads ^ Г + Г e~as +

Jr з |Л — ш| Je r Ji s

f i™ ds Г™ ds\

< М0ешКе "Щ"-1 П e~as+ (иЩ)1-" J e~a -j J . (43)

Учитывая, что t Е S, то есть |t| = Re t cos 9, а также сходимость интегралов в (43), получим

[ eRe{Xt)\\\l-a dS , < М(Н\)е{ш+£)Ве \ (44)

Jr з ^ — ш|

Теперь рассмотрим интеграл по контуру Г2 = {ш + ge%lf, < п/2 + 6], на котором Л = ш + ge%v, Re(Лt) = шRe t + g|t| cos

|A| < ш + g, |A — a;| = g, ds = g dtp, g = —¡- .

| t|

После элементарных преобразований будем иметь

[ е^^М1-0-^— < 2 Г ешКе + д)1~а dp <

М \Л - и\ 3о

< 2ешКе * (ш + ^ есов1р (Ьр < М(Щ)е{ш+£)Ке (45)

Из (42)-(45) следует

\\Т(Ь)\\ < М(\1\)вШ0Ке ио >и.

Эта оценка показывает, что интеграл в (41) абсолютно сходится при Ь £ , поэтому Т(Ь) является аналитическим в этой области и выполняется оценка (40).

Далее зафиксируем Л такое, что И,е X > и и возьмем д < И,е Л. Тогда для преобразования Лапласа функции Т(Ь), определенной формулой (41), имеем

«те

xt

е -T(t)dt=^-. [ R(ßa, А) [ e-{X-'l)tdtdß = [ dfjL^ |arg^,|>0

10 JГ Jo Jruze^ ß - X

(46)

В (46) мы использовали теорему Фубини и учли, что интеграл по контуру твг^, \ argф\ > л ~ « ^ R(ßa,A)

и от аналитической убывающей функции --— стремится к нулю при г —> оо, а

ß — X

следовательно, интегралы по контурам Г и Г U твг^, \ argф\ > 9 совпадают.

Далее, используя теорему Коши, переходим от интеграла по контуру ГUтвг^ к интегралу по контуру Cp = {ß : \X—ß\ = p} С q(A). Откуда, после применения интегральной формулы Коши, окончательно получим

«оо

e~xtT(t)dt = — [ dß = R(Xa, А), Ср = {ß : |А - ß\ = р\ С д(А).

ю Jc0 ß - X

Таким образом, мы доказали, что выполняются условия теоремы 5 и, следовательно, A Е T(M,w), а соответствующий разрешающий оператор Ta(t) равен T(t). ■

Непосредственно из теоремы 9 получим утверждение.

Следствие 1. Пусть а Е (0,1). Тогда оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t) при t Е , если p(A) D ^а(ж/2+в0) и для каждого в < в0 выполняется оценка

||Д(А,Л)||<щ, Ае~„(./2+(?). (47)

Следствие 2. Если q(A) D {X : ReX > 0} и для некоторой постоянной C выполняется

fíe А > 0, (48)

то для любого a G (0,1) оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t) при t G Sg, где 9 = min <(--1 ) 77' 77

а /22

I 1 \ П (П \ п

□ Зафиксируем a G (0,1) и 90 =--1 — . Тогда a ( — + 90 ) < — и, таким

\а у 2 \2 / 2

(п \ п

— + 9oJ < ß < — , получаем

C C C

II Д(А, А) II < —- = —-< —--, A G Sa(3r/2+e),

ReA |А|cosp |A|cosß

где p = arg А, и, следовательно, выполняется (47).

Пример 1. При 0 < а < 1 рассмотрим задачу типа Коши с линейным ограниченным оператором A

u(t) = Au(t), t> 0 , lim D071u(t) = u0 .

Ее решением является функция u(t) = T(t)u0 = ta-1 Ea,a(taA)u0. Покажем, что резольвента ограниченного оператора A удовлетворяет оценке (39). Действительно,

||R(Aa,A)|| = \\(XaI - A)

-il

^ / A 4 n

n=0 v

<

1 ^ C | A |

1—a

Пример 2. При a G (0,1), 9 G [0,п) рассмотрим задачу

je

D0+u(x, t) = -егвux(x, t), 0 < x < 1, t> 0 D0-1u(x, 0) = f (x), u(0, t) = 0 .

Положим X = Lp(0,1), Ag = —e%e— и D(Ag) состоит из всех измеримых на (0,1)

dx

функций f (x) таких, что f (0) = 0. Оператор A0 генерирует сжимающую С0-полугруппу и

||Д(А,Л)|| <, Re А > 0 . (49)

Re А

Тогда, используя следствие 2, получим, что A0 является генератором аналитического

разрешающего оператора Ta{t) при t G Söo, где 90 = min < (--1 ) —, —

1\а / 2 2

При 9 G (0,п) из (49) имеем

||Я(А,Л)|| = ||Я(А,Л40)|| = \\R(e-^X,A0)\\ < |A|oos| , А G Еж/2_в

где р = arg Л. Следовательно, С p(A0) и

Откуда заключаем, что Aq является генератором аналитического разрешающего опе-

— , . [п/2 — в п п! п

ратора при t Е где гр = nun <----, — > , если \в\ < (1 — а)— .

[а 2 2) 2

В дальнейших исследованиях нами будет использована неотрицательная функция (см. [13, с. 357])

с I - / exp (tz — tzv) dz, t^O,

frAt) = { 2m Ja_loo 1У J (50)

0, t < 0

>

где а > 0, т > 0, 0 < V < 1, и ветвь функции выбрана так, что И,е г" > 0 при И,е г > 0. Эта ветвь является однозначной функцией на комплексной г-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Сходимость интеграла (50) обеспечивается множителем ехр (-тги).

Заметим также, что функция ¡т>и (г) при г > 0 может быть выражена через функцию Райта (см. [1, с. 54])

UAt) = Г V (-», 0; -Tt~v) , ф(а, Ъ; z) = £

k=0

к! Г(ак + b) '

или через более общую функцию типа Райта (см. [3, гл. 1])

k

frAt) = Г'е;; (-гГ") , e£?ß(z) = £ r(afc + Af)r{s-ßk) ' Q' > ПШх{0; ß} ' * Z G ^

k=0 (51)

Теорема 10. Пусть 0 < а < в < 1,1 = а/в, ш > 0. Если А Е 3е(М,ш) и при этом М(г) = Сгв-1 (С > 0), то А Е 3а(М1,ш1) с функцией М1(Ь) = С1га-1 Е Ь1(Я+) и ш1 > ш1/1. В этом случае имеет место следующее представление

/><х

Та(Ь)и0 = ¡т,1 (г)Тв (т)ио дт, (52)

где функция ¡т>1 (г) определяется равенством (50). Доказательство теоремы приводится в [14].

Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 10. Тогда разрешающий оператор Та(г) задачи (1), (2) обладает следующими свойствами:

1) Та(Ь) допускает аналитическое продолжение в сектор 2т;п{0(7))П},

2) если ш = 0,то \\Та(1)\\ < С\1\а-1, где г Е ЕтпЩ^м-е, С = С(1,е),

3) если ш> 0,то ||Та(*)|| < С\1\а-1е& Пе где Ь € ^{вы п/2}-е, 5 = 5(Ъе), С = С (5,у,е).

□ Пусть

||Тв(¿)||< М(1)вш*, 1> 0 (53)

и 2 = 2т1П{в(7),п}. Функция под знаком интеграла в (52) является аналитической при Ь € 2 и 1/(1 — 7) > 1 для 0 < ^ < 1- Следовательно, интеграл в (52) абсолютно и равномерно сходится на компактных подмножествах сектора 2. Отсюда следует, что функция Та(Ь), заданная формулой (52), является аналитической функцией в 2, что доказывает 1).

Обозначим через Сп положительные константы, не зависящие от ¿. Пусть Ь € 2т1П{в(7);П}-£ Тогда (52) и (53) совместно дают оценку

||Та(*)||< / (¿)|||Тв(т)|| ¿т < \!тг/(Ь)\М(т)вшт¿Г <

¿0 и0

< С2 ¡тг/(\Ь\) тв-1йт + С2 ¡тг/(\Ь\) ешт ¿т . 00

Учитывая равенства (см. [3, формулы (2.2.3), (2.2.31)])

иЛ\А) г^-1 с1т = Г

0

ГИ)

¡т,„(\Ь\) ешт ¿т = Щ"-1 Е^ (шЩ*),

получаем

Г(в)

\\Tait) II < 1Г"1 + С2\1['~1 Д7,>т .

(54)

При ш = 0 из (54) получим оценку

а—1

(а)

которая и доказывает 2).

При ш > 0 из (54) с учетом (12) следует

||Та(Ь)||< С^Г'в^1 < С4ща-1в что и доказывает свойство 3). I

Следствие 3. Пусть функция М(¿) такая, что

а—1 6 Яе Ь

ш0 > ш

1/1

1

е'^МЦ) (Ы< —

у> 0.

(55)

Если А € За(М, 0) для некоторого а € (0,1), то А € За(М, 0) при любом а € (0,1).

□ Если А € 9а(М, 0) для некоторого а € (0,1) , то по теореме 4 (0, то) С д(А). Таким образом, учитывая представление (17) и условие (55), получим оценку

г* те 1

||Я(А°,А)|| < / е~мМЦ) <И < — , А > 0

зо

0

0

из которой, в силу теоремы Хилле-Иосиды, следует, что оператор А является генератором сильно непрерывной Со-полугруппы. Тогда, по теореме 6, А Е 3а(М, 0) для любого а Е (0,1). ■.

Следствие 4. Пусть а Е (0,1) и А Е 3а(М, 0) с мажорантой М(г) такой, что

«ж к

е M(t) < — , К > 0

ю

v a

Тогда Та(г) является аналитическим разрешающим оператором.

□ В силу леммы 1, имеют место включение {Ла : И,е Л > ш} С р(А) и представление

(6)

/><х

R(\a,A)uo = e-xtTa(t) dt. о

Поскольку

\\R(\a,A)\\<

/ e-XtTa(t) dt о

K

< / e~Re мМ(Г) dt < —— , A > 0 'Jo " Re A" '

то по следствию 2 Ta(t) является аналитическим разрешающим оператором.

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.

2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equation / Math. Studies / Elsevier, 2006.

3. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2005.

4. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. - 1989. - 25;8. - C.1359-1368.

5. Bajlekova E. Fractional evolution equations in banach spaces / Ph. D. Thesis / Eindhoven: Eindhoven University of Technology, 2001.

6. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. Regularity properties of solutions of fractional evolution equation. Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998)/ Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - 215 / New York: Dekker, 2001. - P.235-246.

7. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными // ДАН СССР. - 1992. - 326;4. - С.597-600.

8. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. физ., матем. - 2001. -№2. - С.74-77.

9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.: Наука, 1966.

10. Goldstein J. Semigroups and second order differential equations // J. Functional Analysis. -1969. - 4. - P.50-70.

11. Pruss J. Evolutionary integral equations and applications / Basel, 1993.

12. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы / М.: Изд-во иностраной литературы, 1962.

13. Иосида К. Функциональный анализ / М.: Мир, 1967.

14. Авад Х.К., Глушак А.В. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля // Дифференц. уравнения. - 2010. -46;6. - С.859-873.

ABOUT SOLVABILITY OF CAUCHY-TYPE PROBLEM FOR ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE A.V. Glushak, T.A. Manaenkova

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: GlushakObsu.edu.ru, ManaenkovaObsu.edu.ru

Abstract. The criterion of well-posed solvability of Cauchy-type problem for abstract differential equations with fractional Riemann-Liouville derivative is found.

Key words: differential equation with fractional derivative, abstract Cauchy-type problem, criterion of solvability.