УДК 517.983
О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ 5)
А.В. Глушак, Т.А. Манаенкова
Белгородский государственный университет, 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, e-mail: GlushakObsu.edu.ru, Manaenkova@bsu.edu.ru
Аннотация. Установлен критерий равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с дробной производной, абстрактная задача типа Коши, критерий разрешимости.
Пусть A — линейный замкнутый оператор, плотно определенный в банаховом пространстве X с областью определения D(A) и непустым резольвентным множеством. При а > 0 и n = [а] + 1 рассмотрим следующую задачу типа Коши
D£+u(t) = Au(t), t> 0, (1)
lim Darnu(t) = u0, lim D?—u(t) = 0, k = 1,..., n - 1. (2)
dn
где D^+u{t) = -j^ (t) - левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля
1 /"*
порядка а > 0, /g+u(i) = / (t — s)'3~l u(s) ds - левосторонний дробный интеграл
г(в) J0
Римана-Лиувилля порядка ß > 0 (см. [1, с. 41], [2, с. 69]), D-+u(t) = I^+u(t) для 7 > 0, Г(-) — гамма-функция, u0 Е D(A).
Примеры решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля могут быть найдены в [2, 3].
Среди работ, посвященных изучению абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто порядка а, можно отметить работу [4], в которой изучается ослабленная задача Коши, работу [5], в которой приведен критерий равномерной корректности задачи Коши. Неоднородное дифференциальное уравнение порядка 1 + а (0 < а < 1) с дробной производной Капуто и позитивным оператором A было исследовано в [6] методом сумм Да Прато и Гривара. Работы [7], [8] содержат различные критерии равномерной корректности задачи типа Коши с дробной производной Римана-Лиувилля. В настоящей работе приводится критерий равномерной корректности задачи типа Коши отличный от приведенных в [7], [8].
5 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 14.A18.21.0357)
Определение 1. Решением задачи (1), 2) называется функция п(Ь) такая, что имеют место включения и(1) Е С(Ж+,0(А)), € Ск (Е+,Х) для к — 0,1,..., /?.— 1,
€ Сга(Е+,Х), п которая удовлетворяет условиям (1), (2).
Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если при любом п0 Е О (А), существует единственное решение п(Ь; п0) задачи (1), (2) и если п0,т Е О (А), п0,т — 0 влечет п(Р, п0,т) — 0 равномерно по í на любом компактном интервале из (0, то).
Применим к уравнению (1) оператор . Учитывая равенство (см. [1, с. 50], [2, с. 74])
W+u{,) = u(t) - £ Jjj^L (3)
k= 1 ( + )
и граничные условия (2), можно утверждать, что задача (1), (2) равномерно корректна только тогда, когда следующее интегральное уравнение типа Вольтерра
ta-n . 1 ft
u(t) = —-+ —- / (t-s) -1 Au(s) ds, t > 0, (4)
Г(а - n + 1) Г(а) J о
равномерно корректно в смысле определения 3, которое мы приводим далее.
Определение 3. Интегральное уравнение (4) называется равномерно корректным, если для каждого u0 Е D(A) существует единственное решение u(t; u0) Е C(R+, D(A)) этого уравнения и если u0m Е D(A), u0m ^ 0 влечет сходимость u(t; u0,m) ^ 0 равномерно по t на любом компактном интервале из (0, то).
Пусть B(X) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X. Определим разрешающий оператор задачи (1), (2).
Определение 4. Операторная функция Ta(t) Е B(X) называется разрешающим оператором для задачи (1), (2), если выполнены следующие условия:
(i) Ta(t) сильно непрерывна при t > 0 и D0-nTa(0) = I,
(ii) Ta(t) коммутирует с A, то есть, Ta(t)D(A) С D(A) и ATa(t)u0 = Ta(t)Au0 для любого u0 Е D(A) и t > 0,
(iii) Ta(t)u0 является решением задачи (1), (2) для любого u0 Е D(A) и t > 0.
Определение 5. Будем говорить, что оператор A принадлежит классу $a(M,u), если задача (1), (2) имеет разрешающий оператор Ta(t), удовлетворяющий неравенству
IITa(t) II ^ M(t)eut, t> 0, (5)
где ш Е R и функция M(t) Е L1(R+).
Пусть A Е Ga(M, ш) и Ta(t) - соответствующий разрешающий оператор. При Re А > ш определим преобразование Лапласа для разрешающего оператора
/><х
Ha(A) = L[Ta(t)](A) = e-xtTa(t) dt.
0
Учитывая оценку (5), можно утверждать, что На(А) £ В(Х). Используя свойства (11) и (111) определения 4 и тождество [см. 2, с. 284] для преобразования Лапласа дробных производных
п
Ь[Б0+ и](А) = АаЬ[и](А) — ^ \к-1Б0-ки(0),
к= 1
после преобразования Лапласа из (1), (2), получим следующие соотношения:
\аНа(\)и0-Хп-1и0 = АИа(Х)и0, щ £ X; \аНа(\)и0-Хп-1и0 = Иа(\)Ащ, щ £ Б (А).
Лемма 1. Пусть А £ $а(М,и), тогда оператор (Аа1 — А) обратим и На(А) = Ап-1Я(Аа,А), то есть, множество {Аа : Яв А > и} включено в р(А) и
/><х
Я(Аа,А)щ = А1-п е-мТа(г)щ (г, щ £ X. (6)
ио
Теорема 1. Пусть а > 0, п = [а] + 1. Тогда А £ За(М,и) и оператор Б0-пТа(г) непрерывен при г > 0 в равномерной операторной топологии только тогда, когда А £ В(Х).
□ Пусть А £ $а(М,и). При А > и. Тогда, учитывая представление оператора дробного интегрирования через оператор Лапласа [см. 1, с. 117]
10+^(1) = Ь-1[А-ат(А)](1),
получим соотношение
I Г ^
Ха~пЯ(Ха, А) - - = / е"Л4 (£>£-"Та(г) - I) (Й, А Уо
откуда
Ха-пЯ(Ха1А) - ( А
"ОО
< / е-мп(г) (г, (7)
о
где п(г) = \\Щ+пТа(г) — 11| непрерывна при г > 0, п(0) = 0. Зафиксируем е > 0 и выберем 8 > 0 такое, что п(Ь) < е при г £ [0, 8]. Тогда
/ е-хьп(г) (г = е-хьп(г) (г + е-хьп(г) (г <
ио ио
<£ [ е~м с11 + [ е~м (—--Г [а- + Л с11 <
Уо Js \Г('п — а) ./о )
- \ + Г(п-а) Г е(Ш~Х)' {1о ~ 8)П~а~1М(-М + 0 (1) ' Л ^ (8)
Рассмотрим оставшийся интеграл в правой части (8). После разбиения внутреннего интеграла на два по отрезкам [0, 6] и [6,1] и изменения порядка интегрирования получим
>-Л)4 ^^ (г - в)п-а-1м¿г =
Г(п - а) \Уа
ûѩ рд РОС
/ лж лж пд пж
ч / м(8) / е{ш~х)\г- з)п-а-1(ИЯ8+ / М(з) / е{ш~х)\г - з)п-а~1(Ийз Г(п - а) \Л Js Jo Л
1
1
< —-—-( Г МЫ) ^ е{ш~х)Чз + [* М(з) Г е-{Х-ш)\г-5)п-а-1 (ИЛз
~ Г(/г - а) VЛ (А - ш)п~а Уо Л
р-(Л-ш)д гж (Л-ш)д гд / 1 \
= "77-Г- / М{з)йз + -т-г- / М{з)йз = о - , Л ->■ оо, (9)
(Л-а;)»"« Л (Л-а;)»-«Уо IV
с учетом того, что М(г) Е Ь1(К+).
Следовательно, из (7)-(9) для достаточно больших Л мы получим ||Ла-п+1Д(Ла, А) —I|| < 1. Поэтому Я(Ла,А) имеет ограниченный обратный оператор, то есть оператор Я-1(Ла, А) = Ла1 — А - ограничен и, таким образом, А Е В(Х).
Обратно, пусть А Е В(Х), согласно [1, с. 601] Та(г) = га-пЕаа-п+1(гаА), где Еав(■) — функция Миттаг-Леффлера, определяемая соотношением
ж ¿п
Покажем, что Та(г) удовлетворяет условиям определения 5 при М(г) = Кга-пв-£*, где К > 0 - некоторая постоянная, е > 0 произвольно. Очевидно,
\\ТаШ < 1а~П £ гг = Г^Е^-п+г (Р11 П . (Ю)
Г (]а + а — п +1)
Пусть сначала а Е (0, 2). Тогда неравенство (10) означает, что Та(г) экспоненциально ограничена. Действительно, асимптотическое поведение функции Миттаг-Леффлера при 0 < а < 2 и (см. [9, с. 134])
Е^) = ехр (.-"•) - ± + О • I аг§ < - - € (§,«) .
(11)
и непрерывность этой функции при г > 0 означает, что при ш > 0 существует постоянная К > 0 такая, что
Еаа-п+1(ш1а) < Квш1/а', г > 0, а Е (0, 2). (12)
Из (10), (12) получим оценку
над II < кг-е"А"1/в4 = м(г)в(^1/а+£>, е > 0.
Если а Е [2, то), то зафиксируем к Е N такое, что к > а/2. Тогда
(13)
надн<Еп7
3=0 и
3 £3а+а—п
а + а — п +1)
(1 /к)кз ^(а/к)к3
3=0
Г((а/к)к^' + а — п + 1)
<
<
3=0
(1/к)3 ^(а/к)3 Г((а/к^ + а- п + 1)
1а—ПЕа/к,а—п+1 {1а/к ||АН1/к)
и, используя (12), опять получим оценку (13).
Следовательно, А Е За ^М, ||А||1/а^ и Та(Ь) — соответствующий разрешающий оператор.
Так как (^—1Еа^(А1а)) = (АЬа) (р > 0, V Е К)
то
Оао—пТа(1) =
А3 3
3=0
Г(за + 1)
ЕаЛ(1аА).
(14)
Ряд в (14) сходится по норме при Ь > 0 и определяет ограниченный линейный оператор В0—пТа(1). Оценка степенного ряда дает
\Б{0—пТа(1) — 11|
3
= ГЦа + 1)
= 1а НАН Еа,а+1 (||А|| П .
Следовательно, ^Игп ||Д0+пТа(£) — 11| = 0, то есть оператор Д0+пТа(Ь) непрерывен в равномерной операторной топологии. В
Теорема 2. Пусть А Е 5а(М, ш) для некоторого а > 2 и
в—^м(г)сИ <
к
1
а—п+1
V
, и> 0, п = [а] + 1, к1 > 0
(15)
Тогда А Е В(Х).
□ Если А Е За(М, ш) при некотором а > 2, то в силу леммы 1 (Ла : И,е Л > ш} С р(А), что, в частности, означает следующее
Лл
:= (Ла : 11еА > а;, |агёЛ| < - < С р(А).
а2
Следовательно, р(А) состоит из целой комплексной плоскости, за ислючением некоторого ограниченного множества, содержащего начало координат. Если р Е С достаточно велико, то р = Ла Е Ла>ш и из соотношений (5), (6) и (15) вытекает
ЦрЯ(р,А)Ц
Л
а—п+1 / —ЯеЛ4
е—н-еиТа(1)(И
<|Л|
а—п+1
в—КеМвш1м (г)сН
<
СО
0
ОС1
ОС1
0
0
( I AI со s--ш )
V а /
< —-^1+т < 7-^-гт^+т Q га+17г ' К1 > 1Л1
(ReA - \ AI г-пя - - <Л cosa~n+1 -
а
а
Из этого соотношения следует, что ||R(Aa,A)|| = O(1/|A|a). Теперь утверждение теоремы следует из приводимой ниже леммы 2 (см. [10], лемма 5.2). В
Например, в качестве функции M(t), удовлетворяющей неравенству (15), можно рассмотреть функцию M (t) = M0ta-n e-£t, £ > 0, n = [а] + 1. Действительно,
"OO поо поо
e-vtM (t)dt = Mç,e-vte-£tta-ndt = Mo e-(v+£)tta-ndt =
Ю J 0 J 0
M0T(a — n + 1) K\
(v + £)a-n+1 — ya-n+1
Лемма 2. Если &(А) ограниченное подмножество из С и А)|| = 0(1/|^|) при
Н ^ ж, то А е В(Х).
Далее рассмотрим задачу (1), (2) при 0 < а < 1 и найдем условия ее разрешимости. В этом случае интегральное уравнение (4) и соотношение (6) примут вид
u(t)
ta-1 u0
+
(t - s) a-1 Au(s) ds, t> 0,
Г(а) Г(а) ./o
(16)
R(Aa,A)u0 = e- Ta(t)u0 dt, u0 G X, A > ш. Jo
После дифференцирования равенства (17) получим
dn rœ
— (R(\a, А)щ) = (-1)" / tne~xtTa(t)uo dt, щ G X, A > w, n = 0,1,... dAn o
что вместе с (5) дает следующую оценку
(17)
(18)
Е
n=0
(A - ш)
n!
dnR(Aa, A)
dAn
œ / \ \n rn
<f E( „7 e--\\Tamdt<
n=o
o
n!
< еь(х-ш)е-хьешьы(Ь) СЬ = М(Ь) СЬ = К2, \>ш, М(Ь) е Ь1(Ж+). (19) ио ио
Приведем далее формулировку теоремы 1.4 из [11], которая будет использована при установлении разрешимости задачи (1), (2) для случая а е (0,1).
Теорема 3. Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в X областью определения О (А), и0 е О (А) и пусть а(Ь) е Ь1ос(Ж+) удовлетворяет неравенству
e |a(t)| dt < œ.
t
1
СО
ОС1
оо
o
Тогда операторное уравнение
Т(¿)м0 = а(Ь)и0 + / а(Ь — э)ЛТ(в)п0 <8, Ь > 0 ./о
имеет решение Т(Ь), удовлетворяющее неравенству
||Т(ь)|| ^ м(ь)ешЬ, ь> о,
(20)
(21)
с некоторой функцией М (¿) Е Ь1(К+), только тогда, когда выполняются условия:
1) Ь[а](А) = 0 и 1/Ь[а](А) Е р(Л) для каждого А > ш,
2) при А > ш существует (I — Ь[а](А)Л)-1 и функция Q(А) = Ь[а](А)(/ — Ь[а](А)Л)-1 удовлетворяет оценке
~ (А — ш)п |^(п)(А)|| , л
Е---(22)
п=0 '
с постоянной К0 > 0.
В рассматриваемом нами случае а Е (0,1) уравнение (16) - частный случай уравне-
ния (20), если а(Ь) =
а— 1
1
Г (а)' При ЭТОМ € 11ос(ш+)> ь[а)(х) = и
гте +а—1
-шЬ Ь
Г(а)
1
< то.
ш
Составим соответствующую уравнению (16) функцию Q(А)
1
(Аа1 — Л)-1 = Д(Аа,Л).
При этом неравенство (22) примет вид
(А — ш)п ||Q(n)(Л)M ^ (А — ш)п
те
Е-
п=о
п'
те
Е
п=о
п'
«пК( Аа,Л)
<Ап
< Ко
Следовательно, при 0 < а < 1 к уравнению (16) применима теорема 3, которую мы можем переформулировать следующим образом.
Теорема 4. Пусть 0 < а < 1. В этом случае Л Е 3а(М, ш) только тогда, когда (ша, то) с е(Л) и
Е
п=о
(А — ш)п
п!
<пЯ(Аа,Л)
< Ко
А > ш , К0 > 0 .
(23)
Следующий результат - непосредственное следствие предыдущей теоремы.
Теорема 5. Пусть 0 < а < 1. Для того чтобы оператор Л Е 3а(М,ш), необходимо и достаточно, чтобы (ша, то) С £?(Л) и существовала сильно непрерывная операторная
о
функция Т(г), удовлетворяющая неравенству ||Т(г)|| ^ М(г)еш*, г> 0, М(г) € Ь1(Е+) такая, что
«те
^-ЛЬг
Я(Аа,А)щ = е-ЛТ(г)щ Иг, щ € X, (24)
ио
и в этом случае Та(г) = Т(г).
□ Пусть существует функция Т(г) с упомянутыми выше свойствами. После дифференцирования под знаком интеграла в (24) получим (18), а из свойств функции Т(г) -соотношение (23). Применяя теорему 4, получим А € За(М, ш). Пусть Та(г) - соответствующий разрешающий оператор. Тогда (24) выполняется для обоих операторов Та(г) и Т(г) и, как следует из единственности преобразования Лапласа, Та(г) = Т(г).
Обратное утверждение. Пусть А € За(М, ш), тогда в силу определений 3 и 4 существует разрешающий оператор Та(г) такой, что имеет место оценка (5) и, кроме того, Та(г) удовлетворяет (1), (2), а следовательно, действуя преобразованием Лапласа на (1) и учитывая (2), получим соотношение (24). В
Теорема 6. Если А является генератором сильно непрерывной С0-полугруппы, то А € За(М, ш1/а) для каждого а € (0,1) с некоторой функцией М(г) € Ь1(Е+).
□ Пусть А генератор непрерывной С0-полугруппы, тогда по теореме Хилле-Иосиды найдутся постоянные ш € К, С = С(ш) > 1 такие, что К(А,А) существует для любого А > ш и
||Я"(А,А)|| < С Х> ш, а Е N0. (25)
(А — ш)п
Индукцией по п получим следующее представление
п+1
Я(Аа,А) = (—1)пА-п-а^ Ь1п+1(АаК(Аа,А))к, п € N0, а > 0 , (26)
к=1
где
Ь?д = 1, Ь1п = 0, п = 2, 3,... , (27)
Ьа,п = (п — 2 — (к — 1)а)Ьа,п-1 + а(к — 1)Ь^-1>п-1, 1 <к < п, п = 2, 3,... , (28)
Ьк,п = 0, к>п, п = 1, 2,.... (29)
Действительно, при п =1 находим
И
—т\а, А) = -а\а~1П2{\а, А). (30)
аА
С другой стороны, по формулам (27)-(29) получаем Ь± 2 = 0, Ь2,2 = — аЬ2д+аЬ1,1 = а, подставляя которые в (26), получим (30).
Предположим теперь, что (26)-(29) верны при п = т, то есть, имеет место равенство
ат т+1
а „ / > ™ • N / ^ \т\ —т—а \ Л гп / \а т~>/ \а л\\к
Я(Аа, А) = (—1)тА-т-а ^ Ьа>т+1(АаД(Аа, А))к
аА
к=1
а
п
дифференцируя которое, будем иметь
с1т+1 ¿\т+1
т+1
Я(Аа,А) = (—1)т^2 (—т — а + ка)Ь(^т+1А-т-1-а+ка Як (Аа,А)+
к=1 т+1
—
1)т+^ каЬ'а т+1А-т-а+ка-1Як+1(Аа, А).
к=1
Из формул (26)-(29) получаем следующее представление
(31)
с1т+1
с1\т+1
т+2
Я(Аа,А) = (—1)т+1^2 Ьакт+2А-т-1-а+каЯк(Аа,А)
к=1
т+2
(—1)т+1 Е {(т — ка + а)Ьакт+1 + а(к — ЭД^тц) А-т-1-а+каЯк(Аа, А).
к=1
Заметим, что в первой сумме последнее слагаемое за счет коэффициента Ьт+2 т+1 = 0 обращается в ноль, а во второй суммирование начинается с к = 2, и, заменяя к — 1 на к, мы окончательно получим (31). Что и означает справедливость формул (26)-(29). При а £ (0,1), к, п £ Н, Ькп > 0. Тогда из (26) - (29) имеем при А > и1/а
(п
(А
Я(Аа, А)
п+1
Ь'к,п+1Ака-п-а\\Як(Аа,А)|| <
к=1
п+1
<
к,п+1
Ака- п- а (п
(-1 )пС-
к=1
(Аа — и)к
1
(Ап \Аа- и
(Отметим, что равенство в (32) является частным случаем (26) при А = и.) Далее, мы используем соотношение
Гж Аа-в
/ е~хН^-1Еа 13Ша) ¿1 = --
1о а>Р\ > Аа — и
, А > и1/а, и > 0
Дифференцирование под знаком интеграла в (33) при в = а дает
(32)
(33)
(—1)п
(п
1
(Ап Аа и
1п+а-1е-иЕа,а(и1а)(1 .
Учитывая асимптотическое поведение (11) функции Миттаг-Леффлера, получим следующее неравенство
ж
£
з=о
(А — ио)п
П!
(п
(А
■Я(Аа, А)
ж
<
з=о
(А — ио)
п!
1п+а-1е-х'Еа,а(и1а) (1
о
о
= Г-1е-ме{\-Ш0)гЕаа(шГ) ^ < с _1а-1е-Ш0г(шГ)(1-а)/а =
ио ' /о
= Сх ехр (-ш0 + и1/аг) ¿г < К0, ш0 > ш1/а. о
Таким образом, по теореме 4, А Е $а(Ы,ш1/а). Ш
Чтобы получить представление разрешающего оператора Та(г) через резольвенту от А, мы используем формулу обращения Поста-Уиддера, которая определяется следующей леммой (см. [12, с. 241]).
Лемма 3. Пусть п(г) непрерывная на X функция, определенная при г > 0 такая, что п(г) = 0(е11) при г — то для некоторого 7 и пусть Ь[п](Х) - преобразование Лапласа функции п(г). Тогда
V ' ra-S-oo n\ \tJ V dXn /Vi/
и сходимость равномерная на любом компакте из (0, то).
Лемма 3, совместно с (26) - (29), которые выполняются при любом 0 < a < 1, дает следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть 0 < a < 1, А - генератор сильно непрерывной С0-полугруппы, тогда соответствующий ему разрешающий оператор задачи (1), (2) имеет вид
1 / t \a-1 n+1 / / t \a \-k
Г««>"» = Ä, Ы (s) g V - {n) A) U<> • (34)
где Ц n константы, определенные формулами (27)-(29). Сходимость равномерна по t на любом компактном интервале из (0, то) для каждого фиксированного u0 G X.
Теорема 8. Пусть 0 < a < 1. Если Ta(t) -разрешающий оператор задачи (1), (2),
то
A TV 1 1\ 1- Io+aTa(t)u0 - u0
Ащ = Г а + 1 lim ----35
ta
для тех u0 G X, для которых этот предел существует.
□ Для каждой функции v(t) G С(М+;Х) мы имеем
lim v(t) = lim —-———^ 0+ ^ . (36)
w ta
Выберем v(t) = I1-aDa+Ta(t) и, используя (1) и (2), в левой части (36) получим
lim ll-aDa+Ta(t) = lim ll-aATa(t)u0 = Ащ . (37)
OO
В правой части (36), применяя полугрупповое свойство операторов дробного инте-гродифференцирования (см. [1] формула (2.21) с. 42) и учитывая формулы (3) и (2.44) из [1], получим
= Ит =
= Г (а + 1) 1„п = г(а + 1} Цт
Равенства (37) и (38)доказывают формулу (35). ■ Отметим, что в работе [7] Бажлекова Э. исследовала задачу
сОа+и(Ь) = Аи(Ь), Ь> 0,
и(0) = и0, и(к)(0) = 0, к = 1, 2,..., п - 1, ( П-1 Ьк и(к)(0)\
где сО$+и(1) = I и(1) — ^^ ——-— I — дробная производная Капуто порядка а >
V к=о Г(к + 1)/
0, п = [а] + 1.
Разрешающий оператор 8а(Ь) этой задачи связан с резольвентой оператора А соотношением (см. [7], формула (2.6)) £[$а(Ь)](А) = Ха-1Я(Ха,А). Поскольку 0 < а < 1, то учитывая (6), получим
Ь[11-аТа(1)](А) = Аа-1Ь[Та(Ь)](А) = Аа-1Я(Аа,А) = Ь[Ба(Ь)](А).
Следовательно, если 0 < а < 1 и существует разрешающий оператор для задачи (1), (2), то существует разрешающий оператор Ба(Ь) и при этом справедливо равенство !о-аТа(Ь) = Ба(Ь). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Далее, рассмотрим аналитические разрешающие операторы задачи (1), (2). Пусть Е(ш,9) - открытый сектор с вершиной ш е К и углом 29 в комплексной области, симметричный относительно действительной положительной оси, то есть
Е(ш,9) = {А е С : |в^(А - ш)| <9} ,
и пусть = Е(0,9).
Определение 6. Разрешающий оператор Та(Ь) задачи (1), (2) называется аналитическим, если Та(Ь) допускает аналитическое продолжение в сектор при некотором
Теорема 9. Пусть а е (0,1) и Аа е р(А) для каждого А е Е(90 + п/2, ш0). Если для любых ш > ш0, 9 <90 существует постоянная С = С(9,ш) такая, что
Аб ~(0 + тг/2,и;), (39)
|А - ш|
то линейный замкнутый плотно определенный оператор Л является генератором аналитического разрешающего оператора Та(Ь), удовлетворяющего неравенству
||Та(Ь)|| ^ М(|фе(ш+£)Ке Ь Е (40)
с некоторой функцией М(в) = Мд,ш(в), принадлежащей Ь1(М+).
□ Пусть Ь Е 2д для всех 9 < 90 и пусть 5 Е (9, 90), ш > ш0, д > 0. Положим
Т(г) = — [ еХ1П(\а,А)с1\, (41)
г
if
где контур Г = Г1 U Г2 U Г3, Г = {и + re-i(n/2+5), q < r< то}, Г2 = (и + Qe М < п/2 + 5}, Гз = {и + rei(n/2+5), q < r < то}. Направление на контуре определяется движением из нижней полуплоскости в верхнюю. Пусть д = — и а = sin($ — в).
rl
Тогда из (41), учитывая (39), получим оценку
HTW||<|/re-)|A|-^. (42)
Интегралы по контурам Г1 и Г3 равны. Поэтому рассмотрим только один из них, а именно, по контуру Г3. Так как t G Sg, то есть t = |t|e-ig, и угол наклона переменной Л на этом контуре фиксирован, то получаем следующие соотношения:
Л = ш + rei{7T/2+s\ Re(At) = ujRe t + r \t\ cos + 5 - = ujRe t - a r \t\,
|Л| < |r — u| < r + u, |Л — u| = r , ds = dr.
Поэтому
Г eRe(Xt)^l-ads ^ Г + Г e~as +
Jr з |Л — u| Je r Л s
f i™ ds Г™ ds\
< М0ешКе "Щ"-1 П e~as+ Mi))1"0 J e~a -j J . (43)
Учитывая, что t G Sg, то есть |t| = Re t cos 0, а также сходимость интегралов в (43), получим
[ eRe{Xt)\\\l-a dS , < М(Н\)е{ш+£)Ве \ (44)
Jr з |Л — и|
Теперь рассмотрим интеграл по контуру Г2 = (и + Qeif, |м| < п/2 + 5}, на котором Л = и + Qeif, Re^t) = uRe t + q111 cos м,
|A| < ш + g, |A — a;| = g, ds = g dtp, g = —¡- .
| t|
После элементарных преобразований будем иметь
[ е^^М1-0-^— < 2 Г ешКе + д)1~а dp <
М \Л- ш\ ./о
< 2ешКе * (ш + ^ есов1р (Ьр < М(Щ)е{ш+£)Ке (45)
Из (42)-(45) следует
||Т(Ь)|| < М(Щ)вшоКе шо >ш.
Эта оценка показывает, что интеграл в (41) абсолютно сходится при Ь £ Тд, поэтому Т(¿) является аналитическим в этой области и выполняется оценка (40).
Далее зафиксируем Л такое, что И,е Л > ш и возьмем д < И,е Л. Тогда для преобразования Лапласа функции Т(¿), определенной формулой (41), имеем
«те
„-л t
е -T(t)dt=^-. [ R(ßa, А) [ e-{X-'l)tdtdß = [ dß ; | arg^| > 0.
10 2ni JГ J0 2ni JГиze^ ß - А
(46)
В (46) мы использовали теорему Фубини и учли, что интеграл по контуру re1^, | argф\ >
л ~ « -л. R(ßa,A)
и от аналитической убывающей функции --— стремится к нулю при г оо, а
ß — X
следовательно, интегралы по контурам Г и Г U re1^, \ argф\ > в совпадают.
Далее, используя теорему Коши, переходим от интеграла по контуру ГUre%^ к интегралу по контуру Cp = {ß : |X—ß| = p} С q(A). Откуда, после применения интегральной формулы Коши, окончательно получим
«оо
e~xtT(t)dt = — [ ^ dfi = R(\a, А), Ср = {fi : |Л - ß\ = р\ С д(А).
ю 2ni JCo ß - А
Таким образом, мы доказали, что выполняются условия теоремы 5 и, следовательно, A Е Ga(M,u), а соответствующий разрешающий оператор Ta(t) равен T(t). ■
Непосредственно из теоремы 9 получим утверждение.
Следствие 1. Пусть а Е (0,1). Тогда оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t) при t Е , если p(A) D ^а(ж/2+в0) и для каждого 0 < 00 выполняется оценка
||Д(А,Л)||<щ, AGSe(jr/2^). (47)
Следствие 2. Если q(A) D {Л : Re\ > 0} и для некоторой постоянной C выполняется
fíe Л > 0, (48)
то для любого а £ (0,1) оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t) при t G Sg, где 9 = min < (--1 ) 77' 77
a ) 2 2
(1 \ n fn\ П
□ Зафиксируем a G (0,1) и 9q =--1 I ~r • Тогда a I — + 90 ) < — и, таким
\a J 2 \2 J 2
(n \ n
— + 9o J < ß < — , получаем
C C C
II Д(A, A) II < —- = —-< —--, A G Sa(3r/2+e),
ReA IXI cos p |A| cosß
где p = arg A, и, следовательно, выполняется (47).
Пример 1. При 0 < a < 1 рассмотрим задачу типа Коши с линейным ограниченным оператором A
u(t) = Au(t), t> 0 , lim D071u(t) = u0 .
Ее решением является функция u(t) = T(t)u0 = ta-1 Ea,a(ta A)u0. Покажем, что резольвента ограниченного оператора A удовлетворяет оценке (39). Действительно,
\\R(Xa,A)\\ = \\(XaI - A)
-il
^ /4х n
n=0 v
<
1 / C|X|
1—a
Пример 2. При a G (0,1), в G [0,п) рассмотрим задачу
je
D0+u(x, t) = -вгвux(x, t), 0 < x < 1, t> 0 D0-1u(x, 0) = f (x), u(0,t) = 0 .
Положим X = Lp(0,1), Ад = —егв— и D(Ag) состоит из всех измеримых на (0,1)
dx
функций f (x) таких, что f (0) = 0. Оператор A0 генерирует сжимающую С0-полугруппу и
||Д(А,Л)|| <, Re А > 0 . (49)
Re А
Тогда, используя следствие 2, получим, что A0 является генератором аналитического
разрешающего оператора Ta{t) при t G Söo, где 90 = min < (--1 ) —, —
l\a ) 2 2
При 9 G (0,п) из (49) имеем
||Я(А,Л)|| = ||Я(А,Л4о)|| = \\R(e^X,A0)\\ < |A|oos| , А G Еж/2_в
где р = arg Л. Следовательно, Sn/2-Q С p(A0) и
Откуда заключаем, что Aq является генератором аналитического разрешающего опе-
— , . fn/2 — в п п! п
ратора при t G где гр = nun <---—, — > , если \в\ < (1 — а)— .
[а 2 2 J 2
В дальнейших исследованиях нами будет использована неотрицательная функция (см. [13, с. 357])
с I - / exp (tz — tzv) dz, t^O,
frAt) = { 2m Ja_loo iy J (50)
0, t < 0
>
где а > 0, т > 0, 0 < V < 1, и ветвь функции выбрана так, что Яе г" > 0 при Яе г > 0. Эта ветвь является однозначной функцией на комплексной г-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Сходимость интеграла (50) обеспечивается множителем ехр (-тги).
Заметим также, что функция /т,и (¿) при г > 0 может быть выражена через функцию Райта (см. [1, с. 54])
frAt) = Г1Ф (-и, 0; -Tt-V) , Ф(а, Ъ; z) = £
k=0
к! Г(ак + b) '
или через более общую функцию типа Райта (см. [3, гл. 1])
k
frAt) = Г'е;; (-гГ") , e£?ß(z) = £ r{ak + ^r{s_ßk) . « > max{0; /3} , z e C.
k=0 (51)
Теорема 10. Пусть 0 < а < в < 1, 7 = а/в, и > 0. Если А Е 3е(М,и) и при этом М(Ь) = Сг13-1 (С > 0), то А Е 3а(М1,и1) с функцией М1(г) = С1га-1 Е Ь1(Я+) и и1 > и1/7. В этом случае имеет место следующее представление
Та (г)и0 = ¡та
(г)Тв (т)ио (1т, (52)
0
где функция /Т)7 (г) определяется равенством (50). Доказательство теоремы приводится в [14].
Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 10. Тогда разрешающий оператор Та (г) задачи (1), (2) обладает следующими свойствами:
1) Та (г) допускает аналитическое продолжение в сектор 2т;п{0(7);П},
2) если и = 0,то ||Та(г)|| < С|г|а-1, где г Е ЕтЧем.пЬг, С = С(1,е),
3) если ш> 0,то \\Та(1)\\ < С\1\а_1е& Пе где Ь е ~т1пЖ7), п/2}_£, 8 = 8(Ъе), С = С(8,7,е). □ Пусть
\\Тв(*)\\< М(г)ешЬ, 1> 0 (53)
и 2 = 2т!П{0(7);П}. Функция под знаком интеграла в (52) является аналитической при Ь е 2 и 1/(1 — 7) > 1 для 0 < 'у < 1- Следовательно, интеграл в (52) абсолютно и равномерно сходится на компактных подмножествах сектора 2. Отсюда следует, что функция Та(Ь), заданная формулой (52), является аналитической функцией в 2, что доказывает 1).
Обозначим через Сп положительные константы, не зависящие от ¿. Пусть Ь е 2т1П{0(7);П}_£ Тогда (52) и (53) совместно дают оценку
\\Т*т< \1г,7 (Ь)\\\Тв (Т )\\ ¿т < \!тг/ (Ь)\М (т )вшт ¿т <
и0
< С2 /т>7(\Ь\) тв_Чт + С2 /т>7(\Ь\) вшт ¿т . 00
Учитывая равенства (см. [3, формулы (2.2.3), (2.2.31)])
|Г3"\ Г
0
Г(»13)
и(\Ь\) ¿т = \1\"_1 Е^ (ш\1\*),
получаем
Г(в)
\\Tait) || < 1Г"1 + С^Г1 Еъ1(и Ю .
(54)
При ш = 0 из (54) получим оценку
11^)11 <Сз(Щ г-ч^г1) <ед
а—1
(а)
которая и доказывает 2).
При ш > 0 из (54) с учетом (12) следует
\\ТаШ< С,\1\а_1еШо1'1 < С4\1\а_1в что и доказывает свойство 3). I
Следствие 3. Пусть функция М(Ь) такая, что
а—1 6 Яе 4
ш0 > ш
1/7
Г»^ 1
е'^МЦ) ей < —
у> 0.
(55)
Если А е За(М, 0) для некоторого а е (0,1), то А е За(М, 0) при любом а е (0,1).
□ Если А е 9а(М, 0) для некоторого а е (0,1) , то по теореме 4 (0, то) С д(А). Таким образом, учитывая представление (17) и условие (55), получим оценку
г* те 1
- - 1
||Я(А°,А)|| < / е~мМЦ) <И < — , А>0
эо
0
0
из которой, в силу теоремы Хилле-Иосиды, следует, что оператор А является генератором сильно непрерывной С0-полугруппы. Тогда, по теореме 6, А е За(М, 0) для любого а е (0,1). ■.
Следствие 4. Пусть а е (0,1) и А е 5а(М, 0) с мажорантой М(Ь) такой, что
е M(t) < — , К > 0
/о
v a
Тогда Та(Ь) является аналитическим разрешающим оператором.
□ В силу леммы 1, имеют место включение {Аа : И,е А > ш} С р(А) и представление
(6)
то
R(\a,A)uo = e-xtTa(t) dt. о
Поскольку
\\R(\a,A)\\<
/ e-xtTa(t) dt о
< / e~Re мМ(Г) dt < —— , A > 0 'Jo " Re A" '
то по следствию 2 Ta(t) является аналитическим разрешающим оператором.
Литература
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equation / Math. Studies / Elsevier, 2006.
3. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2005.
4. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. - 1989. - 25;8. - C.1359-1368.
5. Bajlekova E. Fractional evolution equations in banach spaces / Ph. D. Thesis / Eindhoven: Eindhoven University of Technology, 2001.
6. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. Regularity properties of solutions of fractional evolution equation. Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998)/ Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - 215 / New York: Dekker, 2001. - P.235-246.
7. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными // ДАН СССР. - 1992. - 326;4. - С.597-600.
8. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. физ., матем. - 2001. -№2. - С.74-77.
9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.: Наука, 1966.
10. Goldstein J. Semigroups and second order differential equations // J. Functional Analysis. -1969. - 4. - P.50-70.
11. Pruss J. Evolutionary integral equations and applications / Basel, 1993.
12. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы / М.: Изд-во иностраной литературы, 1962.
13. Иосида К. Функциональный анализ / М.: Мир, 1967.
14. Авад Х.К., Глушак А.В. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля // Дифференц. уравнения. - 2010. -46;6. - С.859-873.
ABOUT SOLVABILITY OF CAUCHY-TYPE PROBLEM FOR ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE A.V. Glushak, T.A. Manaenkova
Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru, Manaenkova@bsu.edu.ru
Abstract. The criterion of well-posed solvability of Cauchy-type problem for abstract differential equations with fractional Riemann-Liouville derivative is found.
Key words: differential equation with fractional derivative, abstract Cauchy-type problem, criterion of solvability.