Научная статья на тему 'О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля'

О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
132
60
Поделиться
Ключевые слова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ / АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА ТИПА КОШИ / КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Глушак А. В., Манаенкова Т. А.

Установлен критерий равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Глушак А. В., Манаенкова Т. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля»

УДК 517.983

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ 5)

А.В. Глушак, Т.А. Манаенкова

Белгородский государственный университет, 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, e-mail: GlushakObsu.edu.ru, Manaenkova@bsu.edu.ru

Аннотация. Установлен критерий равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с дробной производной, абстрактная задача типа Коши, критерий разрешимости.

Пусть A — линейный замкнутый оператор, плотно определенный в банаховом пространстве X с областью определения D(A) и непустым резольвентным множеством. При а > 0 и n = [а] + 1 рассмотрим следующую задачу типа Коши

D£+u(t) = Au(t), t> 0, (1)

lim Darnu(t) = u0, lim D?—u(t) = 0, k = 1,..., n - 1. (2)

dn

где D^+u{t) = -j^ (t) - левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля

1 /"*

порядка а > 0, /g+u(i) = / (t — s)'3~l u(s) ds - левосторонний дробный интеграл

г(в) J0

Римана-Лиувилля порядка ß > 0 (см. [1, с. 41], [2, с. 69]), D-+u(t) = I^+u(t) для 7 > 0, Г(-) — гамма-функция, u0 Е D(A).

Примеры решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля могут быть найдены в [2, 3].

Среди работ, посвященных изучению абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто порядка а, можно отметить работу [4], в которой изучается ослабленная задача Коши, работу [5], в которой приведен критерий равномерной корректности задачи Коши. Неоднородное дифференциальное уравнение порядка 1 + а (0 < а < 1) с дробной производной Капуто и позитивным оператором A было исследовано в [6] методом сумм Да Прато и Гривара. Работы [7], [8] содержат различные критерии равномерной корректности задачи типа Коши с дробной производной Римана-Лиувилля. В настоящей работе приводится критерий равномерной корректности задачи типа Коши отличный от приведенных в [7], [8].

5 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 14.A18.21.0357)

Определение 1. Решением задачи (1), 2) называется функция п(Ь) такая, что имеют место включения и(1) Е С(Ж+,0(А)), € Ск (Е+,Х) для к — 0,1,..., /?.— 1,

€ Сга(Е+,Х), п которая удовлетворяет условиям (1), (2).

Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если при любом п0 Е О (А), существует единственное решение п(Ь; п0) задачи (1), (2) и если п0,т Е О (А), п0,т — 0 влечет п(Р, п0,т) — 0 равномерно по í на любом компактном интервале из (0, то).

Применим к уравнению (1) оператор . Учитывая равенство (см. [1, с. 50], [2, с. 74])

W+u{,) = u(t) - £ Jjj^L (3)

k= 1 ( + )

и граничные условия (2), можно утверждать, что задача (1), (2) равномерно корректна только тогда, когда следующее интегральное уравнение типа Вольтерра

ta-n . 1 ft

u(t) = —-+ —- / (t-s) -1 Au(s) ds, t > 0, (4)

Г(а - n + 1) Г(а) J о

равномерно корректно в смысле определения 3, которое мы приводим далее.

Определение 3. Интегральное уравнение (4) называется равномерно корректным, если для каждого u0 Е D(A) существует единственное решение u(t; u0) Е C(R+, D(A)) этого уравнения и если u0m Е D(A), u0m ^ 0 влечет сходимость u(t; u0,m) ^ 0 равномерно по t на любом компактном интервале из (0, то).

Пусть B(X) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X. Определим разрешающий оператор задачи (1), (2).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Определение 4. Операторная функция Ta(t) Е B(X) называется разрешающим оператором для задачи (1), (2), если выполнены следующие условия:

(i) Ta(t) сильно непрерывна при t > 0 и D0-nTa(0) = I,

(ii) Ta(t) коммутирует с A, то есть, Ta(t)D(A) С D(A) и ATa(t)u0 = Ta(t)Au0 для любого u0 Е D(A) и t > 0,

(iii) Ta(t)u0 является решением задачи (1), (2) для любого u0 Е D(A) и t > 0.

Определение 5. Будем говорить, что оператор A принадлежит классу $a(M,u), если задача (1), (2) имеет разрешающий оператор Ta(t), удовлетворяющий неравенству

IITa(t) II ^ M(t)eut, t> 0, (5)

где ш Е R и функция M(t) Е L1(R+).

Пусть A Е Ga(M, ш) и Ta(t) - соответствующий разрешающий оператор. При Re А > ш определим преобразование Лапласа для разрешающего оператора

/><х

Ha(A) = L[Ta(t)](A) = e-xtTa(t) dt.

0

Учитывая оценку (5), можно утверждать, что На(А) £ В(Х). Используя свойства (11) и (111) определения 4 и тождество [см. 2, с. 284] для преобразования Лапласа дробных производных

п

Ь[Б0+ и](А) = АаЬ[и](А) — ^ \к-1Б0-ки(0),

к= 1

после преобразования Лапласа из (1), (2), получим следующие соотношения:

\аНа(\)и0-Хп-1и0 = АИа(Х)и0, щ £ X; \аНа(\)и0-Хп-1и0 = Иа(\)Ащ, щ £ Б (А).

Лемма 1. Пусть А £ $а(М,и), тогда оператор (Аа1 — А) обратим и На(А) = Ап-1Я(Аа,А), то есть, множество {Аа : Яв А > и} включено в р(А) и

/><х

Я(Аа,А)щ = А1-п е-мТа(г)щ (г, щ £ X. (6)

ио

Теорема 1. Пусть а > 0, п = [а] + 1. Тогда А £ За(М,и) и оператор Б0-пТа(г) непрерывен при г > 0 в равномерной операторной топологии только тогда, когда А £ В(Х).

□ Пусть А £ $а(М,и). При А > и. Тогда, учитывая представление оператора дробного интегрирования через оператор Лапласа [см. 1, с. 117]

10+^(1) = Ь-1[А-ат(А)](1),

получим соотношение

I Г ^

Ха~пЯ(Ха, А) - - = / е"Л4 (£>£-"Та(г) - I) (Й, А Уо

откуда

Ха-пЯ(Ха1А) - ( А

"ОО

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< / е-мп(г) (г, (7)

о

где п(г) = \\Щ+пТа(г) — 11| непрерывна при г > 0, п(0) = 0. Зафиксируем е > 0 и выберем 8 > 0 такое, что п(Ь) < е при г £ [0, 8]. Тогда

/ е-хьп(г) (г = е-хьп(г) (г + е-хьп(г) (г <

ио ио

<£ [ е~м с11 + [ е~м (—--Г [а- + Л с11 <

Уо Js \Г('п — а) ./о )

- \ + Г(п-а) Г е(Ш~Х)' {1о ~ 8)П~а~1М(-М + 0 (1) ' Л ^ (8)

Рассмотрим оставшийся интеграл в правой части (8). После разбиения внутреннего интеграла на два по отрезкам [0, 6] и [6,1] и изменения порядка интегрирования получим

>-Л)4 ^^ (г - в)п-а-1м¿г =

Г(п - а) \Уа

ûѩ рд РОС

/ лж лж пд пж

ч / м(8) / е{ш~х)\г- з)п-а-1(ИЯ8+ / М(з) / е{ш~х)\г - з)п-а~1(Ийз Г(п - а) \Л Js Jo Л

1

1

< —-—-( Г МЫ) ^ е{ш~х)Чз + [* М(з) Г е-{Х-ш)\г-5)п-а-1 (ИЛз

~ Г(/г - а) VЛ (А - ш)п~а Уо Л

р-(Л-ш)д гж (Л-ш)д гд / 1 \

= "77-Г- / М{з)йз + -т-г- / М{з)йз = о - , Л ->■ оо, (9)

(Л-а;)»"« Л (Л-а;)»-«Уо IV

с учетом того, что М(г) Е Ь1(К+).

Следовательно, из (7)-(9) для достаточно больших Л мы получим ||Ла-п+1Д(Ла, А) —I|| < 1. Поэтому Я(Ла,А) имеет ограниченный обратный оператор, то есть оператор Я-1(Ла, А) = Ла1 — А - ограничен и, таким образом, А Е В(Х).

Обратно, пусть А Е В(Х), согласно [1, с. 601] Та(г) = га-пЕаа-п+1(гаА), где Еав(■) — функция Миттаг-Леффлера, определяемая соотношением

ж ¿п

Покажем, что Та(г) удовлетворяет условиям определения 5 при М(г) = Кга-пв-£*, где К > 0 - некоторая постоянная, е > 0 произвольно. Очевидно,

\\ТаШ < 1а~П £ гг = Г^Е^-п+г (Р11 П . (Ю)

Г (]а + а — п +1)

Пусть сначала а Е (0, 2). Тогда неравенство (10) означает, что Та(г) экспоненциально ограничена. Действительно, асимптотическое поведение функции Миттаг-Леффлера при 0 < а < 2 и (см. [9, с. 134])

Е^) = ехр (.-"•) - ± + О • I аг§ < - - € (§,«) .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(11)

и непрерывность этой функции при г > 0 означает, что при ш > 0 существует постоянная К > 0 такая, что

Еаа-п+1(ш1а) < Квш1/а', г > 0, а Е (0, 2). (12)

Из (10), (12) получим оценку

над II < кг-е"А"1/в4 = м(г)в(^1/а+£>, е > 0.

Если а Е [2, то), то зафиксируем к Е N такое, что к > а/2. Тогда

(13)

надн<Еп7

3=0 и

3 £3а+а—п

а + а — п +1)

(1 /к)кз ^(а/к)к3

3=0

Г((а/к)к^' + а — п + 1)

<

<

3=0

(1/к)3 ^(а/к)3 Г((а/к^ + а- п + 1)

1а—ПЕа/к,а—п+1 {1а/к ||АН1/к)

и, используя (12), опять получим оценку (13).

Следовательно, А Е За ^М, ||А||1/а^ и Та(Ь) — соответствующий разрешающий оператор.

Так как (^—1Еа^(А1а)) = (АЬа) (р > 0, V Е К)

то

Оао—пТа(1) =

А3 3

3=0

Г(за + 1)

ЕаЛ(1аА).

(14)

Ряд в (14) сходится по норме при Ь > 0 и определяет ограниченный линейный оператор В0—пТа(1). Оценка степенного ряда дает

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\Б{0—пТа(1) — 11|

3

= ГЦа + 1)

= 1а НАН Еа,а+1 (||А|| П .

Следовательно, ^Игп ||Д0+пТа(£) — 11| = 0, то есть оператор Д0+пТа(Ь) непрерывен в равномерной операторной топологии. В

Теорема 2. Пусть А Е 5а(М, ш) для некоторого а > 2 и

в—^м(г)сИ <

к

1

а—п+1

V

, и> 0, п = [а] + 1, к1 > 0

(15)

Тогда А Е В(Х).

□ Если А Е За(М, ш) при некотором а > 2, то в силу леммы 1 (Ла : И,е Л > ш} С р(А), что, в частности, означает следующее

Лл

:= (Ла : 11еА > а;, |агёЛ| < - < С р(А).

а2

Следовательно, р(А) состоит из целой комплексной плоскости, за ислючением некоторого ограниченного множества, содержащего начало координат. Если р Е С достаточно велико, то р = Ла Е Ла>ш и из соотношений (5), (6) и (15) вытекает

ЦрЯ(р,А)Ц

Л

а—п+1 / —ЯеЛ4

е—н-еиТа(1)(И

<|Л|

а—п+1

в—КеМвш1м (г)сН

<

СО

0

ОС1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ОС1

0

0

( I AI со s--ш )

V а /

< —-^1+т < 7-^-гт^+т Q га+17г ' К1 > 1Л1

(ReA - \ AI г-пя - - <Л cosa~n+1 -

а

а

Из этого соотношения следует, что ||R(Aa,A)|| = O(1/|A|a). Теперь утверждение теоремы следует из приводимой ниже леммы 2 (см. [10], лемма 5.2). В

Например, в качестве функции M(t), удовлетворяющей неравенству (15), можно рассмотреть функцию M (t) = M0ta-n e-£t, £ > 0, n = [а] + 1. Действительно,

"OO поо поо

e-vtM (t)dt = Mç,e-vte-£tta-ndt = Mo e-(v+£)tta-ndt =

Ю J 0 J 0

M0T(a — n + 1) K\

(v + £)a-n+1 — ya-n+1

Лемма 2. Если &(А) ограниченное подмножество из С и А)|| = 0(1/|^|) при

Н ^ ж, то А е В(Х).

Далее рассмотрим задачу (1), (2) при 0 < а < 1 и найдем условия ее разрешимости. В этом случае интегральное уравнение (4) и соотношение (6) примут вид

u(t)

ta-1 u0

+

(t - s) a-1 Au(s) ds, t> 0,

Г(а) Г(а) ./o

(16)

R(Aa,A)u0 = e- Ta(t)u0 dt, u0 G X, A > ш. Jo

После дифференцирования равенства (17) получим

dn rœ

— (R(\a, А)щ) = (-1)" / tne~xtTa(t)uo dt, щ G X, A > w, n = 0,1,... dAn o

что вместе с (5) дает следующую оценку

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(17)

(18)

Е

n=0

(A - ш)

n!

dnR(Aa, A)

dAn

œ / \ \n rn

<f E( „7 e--\\Tamdt<

n=o

o

n!

< еь(х-ш)е-хьешьы(Ь) СЬ = М(Ь) СЬ = К2, \>ш, М(Ь) е Ь1(Ж+). (19) ио ио

Приведем далее формулировку теоремы 1.4 из [11], которая будет использована при установлении разрешимости задачи (1), (2) для случая а е (0,1).

Теорема 3. Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в X областью определения О (А), и0 е О (А) и пусть а(Ь) е Ь1ос(Ж+) удовлетворяет неравенству

e |a(t)| dt < œ.

t

1

СО

ОС1

оо

o

Тогда операторное уравнение

Т(¿)м0 = а(Ь)и0 + / а(Ь — э)ЛТ(в)п0 <8, Ь > 0 ./о

имеет решение Т(Ь), удовлетворяющее неравенству

||Т(ь)|| ^ м(ь)ешЬ, ь> о,

(20)

(21)

с некоторой функцией М (¿) Е Ь1(К+), только тогда, когда выполняются условия:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1) Ь[а](А) = 0 и 1/Ь[а](А) Е р(Л) для каждого А > ш,

2) при А > ш существует (I — Ь[а](А)Л)-1 и функция Q(А) = Ь[а](А)(/ — Ь[а](А)Л)-1 удовлетворяет оценке

~ (А — ш)п |^(п)(А)|| , л

Е---(22)

п=0 '

с постоянной К0 > 0.

В рассматриваемом нами случае а Е (0,1) уравнение (16) - частный случай уравне-

ния (20), если а(Ь) =

а— 1

1

Г (а)' При ЭТОМ € 11ос(ш+)> ь[а)(х) = и

гте +а—1

-шЬ Ь

Г(а)

1

< то.

ш

Составим соответствующую уравнению (16) функцию Q(А)

1

(Аа1 — Л)-1 = Д(Аа,Л).

При этом неравенство (22) примет вид

(А — ш)п ||Q(n)(Л)M ^ (А — ш)п

те

Е-

п=о

п'

те

Е

п=о

п'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

«пК( Аа,Л)

<Ап

< Ко

Следовательно, при 0 < а < 1 к уравнению (16) применима теорема 3, которую мы можем переформулировать следующим образом.

Теорема 4. Пусть 0 < а < 1. В этом случае Л Е 3а(М, ш) только тогда, когда (ша, то) с е(Л) и

Е

п=о

(А — ш)п

п!

<пЯ(Аа,Л)

< Ко

А > ш , К0 > 0 .

(23)

Следующий результат - непосредственное следствие предыдущей теоремы.

Теорема 5. Пусть 0 < а < 1. Для того чтобы оператор Л Е 3а(М,ш), необходимо и достаточно, чтобы (ша, то) С £?(Л) и существовала сильно непрерывная операторная

о

функция Т(г), удовлетворяющая неравенству ||Т(г)|| ^ М(г)еш*, г> 0, М(г) € Ь1(Е+) такая, что

«те

^-ЛЬг

Я(Аа,А)щ = е-ЛТ(г)щ Иг, щ € X, (24)

ио

и в этом случае Та(г) = Т(г).

□ Пусть существует функция Т(г) с упомянутыми выше свойствами. После дифференцирования под знаком интеграла в (24) получим (18), а из свойств функции Т(г) -соотношение (23). Применяя теорему 4, получим А € За(М, ш). Пусть Та(г) - соответствующий разрешающий оператор. Тогда (24) выполняется для обоих операторов Та(г) и Т(г) и, как следует из единственности преобразования Лапласа, Та(г) = Т(г).

Обратное утверждение. Пусть А € За(М, ш), тогда в силу определений 3 и 4 существует разрешающий оператор Та(г) такой, что имеет место оценка (5) и, кроме того, Та(г) удовлетворяет (1), (2), а следовательно, действуя преобразованием Лапласа на (1) и учитывая (2), получим соотношение (24). В

Теорема 6. Если А является генератором сильно непрерывной С0-полугруппы, то А € За(М, ш1/а) для каждого а € (0,1) с некоторой функцией М(г) € Ь1(Е+).

□ Пусть А генератор непрерывной С0-полугруппы, тогда по теореме Хилле-Иосиды найдутся постоянные ш € К, С = С(ш) > 1 такие, что К(А,А) существует для любого А > ш и

||Я"(А,А)|| < С Х> ш, а Е N0. (25)

(А — ш)п

Индукцией по п получим следующее представление

п+1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Я(Аа,А) = (—1)пА-п-а^ Ь1п+1(АаК(Аа,А))к, п € N0, а > 0 , (26)

к=1

где

Ь?д = 1, Ь1п = 0, п = 2, 3,... , (27)

Ьа,п = (п — 2 — (к — 1)а)Ьа,п-1 + а(к — 1)Ь^-1>п-1, 1 <к < п, п = 2, 3,... , (28)

Ьк,п = 0, к>п, п = 1, 2,.... (29)

Действительно, при п =1 находим

И

—т\а, А) = -а\а~1П2{\а, А). (30)

аА

С другой стороны, по формулам (27)-(29) получаем Ь± 2 = 0, Ь2,2 = — аЬ2д+аЬ1,1 = а, подставляя которые в (26), получим (30).

Предположим теперь, что (26)-(29) верны при п = т, то есть, имеет место равенство

ат т+1

а „ / > ™ • N / ^ \т\ —т—а \ Л гп / \а т~>/ \а л\\к

Я(Аа, А) = (—1)тА-т-а ^ Ьа>т+1(АаД(Аа, А))к

аА

к=1

а

п

дифференцируя которое, будем иметь

с1т+1 ¿\т+1

т+1

Я(Аа,А) = (—1)т^2 (—т — а + ка)Ь(^т+1А-т-1-а+ка Як (Аа,А)+

к=1 т+1

1)т+^ каЬ'а т+1А-т-а+ка-1Як+1(Аа, А).

к=1

Из формул (26)-(29) получаем следующее представление

(31)

с1т+1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с1\т+1

т+2

Я(Аа,А) = (—1)т+1^2 Ьакт+2А-т-1-а+каЯк(Аа,А)

к=1

т+2

(—1)т+1 Е {(т — ка + а)Ьакт+1 + а(к — ЭД^тц) А-т-1-а+каЯк(Аа, А).

к=1

Заметим, что в первой сумме последнее слагаемое за счет коэффициента Ьт+2 т+1 = 0 обращается в ноль, а во второй суммирование начинается с к = 2, и, заменяя к — 1 на к, мы окончательно получим (31). Что и означает справедливость формул (26)-(29). При а £ (0,1), к, п £ Н, Ькп > 0. Тогда из (26) - (29) имеем при А > и1/а

(п

Я(Аа, А)

п+1

Ь'к,п+1Ака-п-а\\Як(Аа,А)|| <

к=1

п+1

<

к,п+1

Ака- п- а (п

(-1 )пС-

к=1

(Аа — и)к

1

(Ап \Аа- и

(Отметим, что равенство в (32) является частным случаем (26) при А = и.) Далее, мы используем соотношение

Гж Аа-в

/ е~хН^-1Еа 13Ша) ¿1 = --

1о а>Р\ > Аа — и

, А > и1/а, и > 0

Дифференцирование под знаком интеграла в (33) при в = а дает

(32)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(33)

(—1)п

(п

1

(Ап Аа и

1п+а-1е-иЕа,а(и1а)(1 .

Учитывая асимптотическое поведение (11) функции Миттаг-Леффлера, получим следующее неравенство

ж

£

з=о

(А — ио)п

П!

(п

■Я(Аа, А)

ж

<

з=о

(А — ио)

п!

1п+а-1е-х'Еа,а(и1а) (1

о

о

= Г-1е-ме{\-Ш0)гЕаа(шГ) ^ < с _1а-1е-Ш0г(шГ)(1-а)/а =

ио ' /о

= Сх ехр (-ш0 + и1/аг) ¿г < К0, ш0 > ш1/а. о

Таким образом, по теореме 4, А Е $а(Ы,ш1/а). Ш

Чтобы получить представление разрешающего оператора Та(г) через резольвенту от А, мы используем формулу обращения Поста-Уиддера, которая определяется следующей леммой (см. [12, с. 241]).

Лемма 3. Пусть п(г) непрерывная на X функция, определенная при г > 0 такая, что п(г) = 0(е11) при г — то для некоторого 7 и пусть Ь[п](Х) - преобразование Лапласа функции п(г). Тогда

V ' ra-S-oo n\ \tJ V dXn /Vi/

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и сходимость равномерная на любом компакте из (0, то).

Лемма 3, совместно с (26) - (29), которые выполняются при любом 0 < a < 1, дает следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть 0 < a < 1, А - генератор сильно непрерывной С0-полугруппы, тогда соответствующий ему разрешающий оператор задачи (1), (2) имеет вид

1 / t \a-1 n+1 / / t \a \-k

Г««>"» = Ä, Ы (s) g V - {n) A) U<> • (34)

где Ц n константы, определенные формулами (27)-(29). Сходимость равномерна по t на любом компактном интервале из (0, то) для каждого фиксированного u0 G X.

Теорема 8. Пусть 0 < a < 1. Если Ta(t) -разрешающий оператор задачи (1), (2),

то

A TV 1 1\ 1- Io+aTa(t)u0 - u0

Ащ = Г а + 1 lim ----35

ta

для тех u0 G X, для которых этот предел существует.

□ Для каждой функции v(t) G С(М+;Х) мы имеем

lim v(t) = lim —-———^ 0+ ^ . (36)

w ta

Выберем v(t) = I1-aDa+Ta(t) и, используя (1) и (2), в левой части (36) получим

lim ll-aDa+Ta(t) = lim ll-aATa(t)u0 = Ащ . (37)

OO

В правой части (36), применяя полугрупповое свойство операторов дробного инте-гродифференцирования (см. [1] формула (2.21) с. 42) и учитывая формулы (3) и (2.44) из [1], получим

= Ит =

= Г (а + 1) 1„п = г(а + 1} Цт

Равенства (37) и (38)доказывают формулу (35). ■ Отметим, что в работе [7] Бажлекова Э. исследовала задачу

сОа+и(Ь) = Аи(Ь), Ь> 0,

и(0) = и0, и(к)(0) = 0, к = 1, 2,..., п - 1, ( П-1 Ьк и(к)(0)\

где сО$+и(1) = I и(1) — ^^ ——-— I — дробная производная Капуто порядка а >

V к=о Г(к + 1)/

0, п = [а] + 1.

Разрешающий оператор 8а(Ь) этой задачи связан с резольвентой оператора А соотношением (см. [7], формула (2.6)) £[$а(Ь)](А) = Ха-1Я(Ха,А). Поскольку 0 < а < 1, то учитывая (6), получим

Ь[11-аТа(1)](А) = Аа-1Ь[Та(Ь)](А) = Аа-1Я(Аа,А) = Ь[Ба(Ь)](А).

Следовательно, если 0 < а < 1 и существует разрешающий оператор для задачи (1), (2), то существует разрешающий оператор Ба(Ь) и при этом справедливо равенство !о-аТа(Ь) = Ба(Ь). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Далее, рассмотрим аналитические разрешающие операторы задачи (1), (2). Пусть Е(ш,9) - открытый сектор с вершиной ш е К и углом 29 в комплексной области, симметричный относительно действительной положительной оси, то есть

Е(ш,9) = {А е С : |в^(А - ш)| <9} ,

и пусть = Е(0,9).

Определение 6. Разрешающий оператор Та(Ь) задачи (1), (2) называется аналитическим, если Та(Ь) допускает аналитическое продолжение в сектор при некотором

Теорема 9. Пусть а е (0,1) и Аа е р(А) для каждого А е Е(90 + п/2, ш0). Если для любых ш > ш0, 9 <90 существует постоянная С = С(9,ш) такая, что

Аб ~(0 + тг/2,и;), (39)

|А - ш|

то линейный замкнутый плотно определенный оператор Л является генератором аналитического разрешающего оператора Та(Ь), удовлетворяющего неравенству

||Та(Ь)|| ^ М(|фе(ш+£)Ке Ь Е (40)

с некоторой функцией М(в) = Мд,ш(в), принадлежащей Ь1(М+).

□ Пусть Ь Е 2д для всех 9 < 90 и пусть 5 Е (9, 90), ш > ш0, д > 0. Положим

Т(г) = — [ еХ1П(\а,А)с1\, (41)

г

if

где контур Г = Г1 U Г2 U Г3, Г = {и + re-i(n/2+5), q < r< то}, Г2 = (и + Qe М < п/2 + 5}, Гз = {и + rei(n/2+5), q < r < то}. Направление на контуре определяется движением из нижней полуплоскости в верхнюю. Пусть д = — и а = sin($ — в).

rl

Тогда из (41), учитывая (39), получим оценку

HTW||<|/re-)|A|-^. (42)

Интегралы по контурам Г1 и Г3 равны. Поэтому рассмотрим только один из них, а именно, по контуру Г3. Так как t G Sg, то есть t = |t|e-ig, и угол наклона переменной Л на этом контуре фиксирован, то получаем следующие соотношения:

Л = ш + rei{7T/2+s\ Re(At) = ujRe t + r \t\ cos + 5 - = ujRe t - a r \t\,

|Л| < |r — u| < r + u, |Л — u| = r , ds = dr.

Поэтому

Г eRe(Xt)^l-ads ^ Г + Г e~as +

Jr з |Л — u| Je r Л s

f i™ ds Г™ ds\

< М0ешКе "Щ"-1 П e~as+ Mi))1"0 J e~a -j J . (43)

Учитывая, что t G Sg, то есть |t| = Re t cos 0, а также сходимость интегралов в (43), получим

[ eRe{Xt)\\\l-a dS , < М(Н\)е{ш+£)Ве \ (44)

Jr з |Л — и|

Теперь рассмотрим интеграл по контуру Г2 = (и + Qeif, |м| < п/2 + 5}, на котором Л = и + Qeif, Re^t) = uRe t + q111 cos м,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|A| < ш + g, |A — a;| = g, ds = g dtp, g = —¡- .

| t|

После элементарных преобразований будем иметь

[ е^^М1-0-^— < 2 Г ешКе + д)1~а dp <

М \Л- ш\ ./о

< 2ешКе * (ш + ^ есов1р (Ьр < М(Щ)е{ш+£)Ке (45)

Из (42)-(45) следует

||Т(Ь)|| < М(Щ)вшоКе шо >ш.

Эта оценка показывает, что интеграл в (41) абсолютно сходится при Ь £ Тд, поэтому Т(¿) является аналитическим в этой области и выполняется оценка (40).

Далее зафиксируем Л такое, что И,е Л > ш и возьмем д < И,е Л. Тогда для преобразования Лапласа функции Т(¿), определенной формулой (41), имеем

«те

„-л t

е -T(t)dt=^-. [ R(ßa, А) [ e-{X-'l)tdtdß = [ dß ; | arg^| > 0.

10 2ni JГ J0 2ni JГиze^ ß - А

(46)

В (46) мы использовали теорему Фубини и учли, что интеграл по контуру re1^, | argф\ >

л ~ « -л. R(ßa,A)

и от аналитической убывающей функции --— стремится к нулю при г оо, а

ß — X

следовательно, интегралы по контурам Г и Г U re1^, \ argф\ > в совпадают.

Далее, используя теорему Коши, переходим от интеграла по контуру ГUre%^ к интегралу по контуру Cp = {ß : |X—ß| = p} С q(A). Откуда, после применения интегральной формулы Коши, окончательно получим

«оо

e~xtT(t)dt = — [ ^ dfi = R(\a, А), Ср = {fi : |Л - ß\ = р\ С д(А).

ю 2ni JCo ß - А

Таким образом, мы доказали, что выполняются условия теоремы 5 и, следовательно, A Е Ga(M,u), а соответствующий разрешающий оператор Ta(t) равен T(t). ■

Непосредственно из теоремы 9 получим утверждение.

Следствие 1. Пусть а Е (0,1). Тогда оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t) при t Е , если p(A) D ^а(ж/2+в0) и для каждого 0 < 00 выполняется оценка

||Д(А,Л)||<щ, AGSe(jr/2^). (47)

Следствие 2. Если q(A) D {Л : Re\ > 0} и для некоторой постоянной C выполняется

fíe Л > 0, (48)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

то для любого а £ (0,1) оператор A является генератором аналитического разрешающего оператора Ta(t) при t G Sg, где 9 = min < (--1 ) 77' 77

a ) 2 2

(1 \ n fn\ П

□ Зафиксируем a G (0,1) и 9q =--1 I ~r • Тогда a I — + 90 ) < — и, таким

\a J 2 \2 J 2

(n \ n

— + 9o J < ß < — , получаем

C C C

II Д(A, A) II < —- = —-< —--, A G Sa(3r/2+e),

ReA IXI cos p |A| cosß

где p = arg A, и, следовательно, выполняется (47).

Пример 1. При 0 < a < 1 рассмотрим задачу типа Коши с линейным ограниченным оператором A

u(t) = Au(t), t> 0 , lim D071u(t) = u0 .

Ее решением является функция u(t) = T(t)u0 = ta-1 Ea,a(ta A)u0. Покажем, что резольвента ограниченного оператора A удовлетворяет оценке (39). Действительно,

\\R(Xa,A)\\ = \\(XaI - A)

-il

^ /4х n

n=0 v

<

1 / C|X|

1—a

Пример 2. При a G (0,1), в G [0,п) рассмотрим задачу

je

D0+u(x, t) = -вгвux(x, t), 0 < x < 1, t> 0 D0-1u(x, 0) = f (x), u(0,t) = 0 .

Положим X = Lp(0,1), Ад = —егв— и D(Ag) состоит из всех измеримых на (0,1)

dx

функций f (x) таких, что f (0) = 0. Оператор A0 генерирует сжимающую С0-полугруппу и

||Д(А,Л)|| <, Re А > 0 . (49)

Re А

Тогда, используя следствие 2, получим, что A0 является генератором аналитического

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

разрешающего оператора Ta{t) при t G Söo, где 90 = min < (--1 ) —, —

l\a ) 2 2

При 9 G (0,п) из (49) имеем

||Я(А,Л)|| = ||Я(А,Л4о)|| = \\R(e^X,A0)\\ < |A|oos| , А G Еж/2_в

где р = arg Л. Следовательно, Sn/2-Q С p(A0) и

Откуда заключаем, что Aq является генератором аналитического разрешающего опе-

— , . fn/2 — в п п! п

ратора при t G где гр = nun <---—, — > , если \в\ < (1 — а)— .

[а 2 2 J 2

В дальнейших исследованиях нами будет использована неотрицательная функция (см. [13, с. 357])

с I - / exp (tz — tzv) dz, t^O,

frAt) = { 2m Ja_loo iy J (50)

0, t < 0

>

где а > 0, т > 0, 0 < V < 1, и ветвь функции выбрана так, что Яе г" > 0 при Яе г > 0. Эта ветвь является однозначной функцией на комплексной г-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Сходимость интеграла (50) обеспечивается множителем ехр (-тги).

Заметим также, что функция /т,и (¿) при г > 0 может быть выражена через функцию Райта (см. [1, с. 54])

frAt) = Г1Ф (-и, 0; -Tt-V) , Ф(а, Ъ; z) = £

k=0

к! Г(ак + b) '

или через более общую функцию типа Райта (см. [3, гл. 1])

k

frAt) = Г'е;; (-гГ") , e£?ß(z) = £ r{ak + ^r{s_ßk) . « > max{0; /3} , z e C.

k=0 (51)

Теорема 10. Пусть 0 < а < в < 1, 7 = а/в, и > 0. Если А Е 3е(М,и) и при этом М(Ь) = Сг13-1 (С > 0), то А Е 3а(М1,и1) с функцией М1(г) = С1га-1 Е Ь1(Я+) и и1 > и1/7. В этом случае имеет место следующее представление

Та (г)и0 = ¡та

(г)Тв (т)ио (1т, (52)

0

где функция /Т)7 (г) определяется равенством (50). Доказательство теоремы приводится в [14].

Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 10. Тогда разрешающий оператор Та (г) задачи (1), (2) обладает следующими свойствами:

1) Та (г) допускает аналитическое продолжение в сектор 2т;п{0(7);П},

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2) если и = 0,то ||Та(г)|| < С|г|а-1, где г Е ЕтЧем.пЬг, С = С(1,е),

3) если ш> 0,то \\Та(1)\\ < С\1\а_1е& Пе где Ь е ~т1пЖ7), п/2}_£, 8 = 8(Ъе), С = С(8,7,е). □ Пусть

\\Тв(*)\\< М(г)ешЬ, 1> 0 (53)

и 2 = 2т!П{0(7);П}. Функция под знаком интеграла в (52) является аналитической при Ь е 2 и 1/(1 — 7) > 1 для 0 < 'у < 1- Следовательно, интеграл в (52) абсолютно и равномерно сходится на компактных подмножествах сектора 2. Отсюда следует, что функция Та(Ь), заданная формулой (52), является аналитической функцией в 2, что доказывает 1).

Обозначим через Сп положительные константы, не зависящие от ¿. Пусть Ь е 2т1П{0(7);П}_£ Тогда (52) и (53) совместно дают оценку

\\Т*т< \1г,7 (Ь)\\\Тв (Т )\\ ¿т < \!тг/ (Ь)\М (т )вшт ¿т <

и0

< С2 /т>7(\Ь\) тв_Чт + С2 /т>7(\Ь\) вшт ¿т . 00

Учитывая равенства (см. [3, формулы (2.2.3), (2.2.31)])

|Г3"\ Г

0

Г(»13)

и(\Ь\) ¿т = \1\"_1 Е^ (ш\1\*),

получаем

Г(в)

\\Tait) || < 1Г"1 + С^Г1 Еъ1(и Ю .

(54)

При ш = 0 из (54) получим оценку

11^)11 <Сз(Щ г-ч^г1) <ед

а—1

(а)

которая и доказывает 2).

При ш > 0 из (54) с учетом (12) следует

\\ТаШ< С,\1\а_1еШо1'1 < С4\1\а_1в что и доказывает свойство 3). I

Следствие 3. Пусть функция М(Ь) такая, что

а—1 6 Яе 4

ш0 > ш

1/7

Г»^ 1

е'^МЦ) ей < —

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у> 0.

(55)

Если А е За(М, 0) для некоторого а е (0,1), то А е За(М, 0) при любом а е (0,1).

□ Если А е 9а(М, 0) для некоторого а е (0,1) , то по теореме 4 (0, то) С д(А). Таким образом, учитывая представление (17) и условие (55), получим оценку

г* те 1

- - 1

||Я(А°,А)|| < / е~мМЦ) <И < — , А>0

эо

0

0

из которой, в силу теоремы Хилле-Иосиды, следует, что оператор А является генератором сильно непрерывной С0-полугруппы. Тогда, по теореме 6, А е За(М, 0) для любого а е (0,1). ■.

Следствие 4. Пусть а е (0,1) и А е 5а(М, 0) с мажорантой М(Ь) такой, что

е M(t) < — , К > 0

v a

Тогда Та(Ь) является аналитическим разрешающим оператором.

□ В силу леммы 1, имеют место включение {Аа : И,е А > ш} С р(А) и представление

(6)

то

R(\a,A)uo = e-xtTa(t) dt. о

Поскольку

\\R(\a,A)\\<

/ e-xtTa(t) dt о

< / e~Re мМ(Г) dt < —— , A > 0 'Jo " Re A" '

то по следствию 2 Ta(t) является аналитическим разрешающим оператором.

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.

2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equation / Math. Studies / Elsevier, 2006.

3. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2005.

4. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. - 1989. - 25;8. - C.1359-1368.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Bajlekova E. Fractional evolution equations in banach spaces / Ph. D. Thesis / Eindhoven: Eindhoven University of Technology, 2001.

6. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. Regularity properties of solutions of fractional evolution equation. Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998)/ Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - 215 / New York: Dekker, 2001. - P.235-246.

7. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными // ДАН СССР. - 1992. - 326;4. - С.597-600.

8. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. физ., матем. - 2001. -№2. - С.74-77.

9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.: Наука, 1966.

10. Goldstein J. Semigroups and second order differential equations // J. Functional Analysis. -1969. - 4. - P.50-70.

11. Pruss J. Evolutionary integral equations and applications / Basel, 1993.

12. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы / М.: Изд-во иностраной литературы, 1962.

13. Иосида К. Функциональный анализ / М.: Мир, 1967.

14. Авад Х.К., Глушак А.В. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля // Дифференц. уравнения. - 2010. -46;6. - С.859-873.

ABOUT SOLVABILITY OF CAUCHY-TYPE PROBLEM FOR ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE A.V. Glushak, T.A. Manaenkova

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru, Manaenkova@bsu.edu.ru

Abstract. The criterion of well-posed solvability of Cauchy-type problem for abstract differential equations with fractional Riemann-Liouville derivative is found.

Key words: differential equation with fractional derivative, abstract Cauchy-type problem, criterion of solvability.