CC BY
77
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №8_
МАТЕМАТИКА
УДК 917.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов
ДРОБНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ ПАМЯТЬ
Центр инновационного развития науки и новых технологий АН Республики Таджикистан
В работе рассматриваются дробные эволюционные уравнения с учётом динамической памяти. Основным результатом исследования является доказательство разрешимости и корректности задачи Коши для линейных уравнений.
Ключевые слова: дробные эволюционные уравнения - функции Миттаг-Леффлера - дробная производная Капуто.
Хорошо известно (см., например, [1]), что многие стохастические и детерминированные системы и модели не обладают памятью. Например, марковские случайные процессы, в частности диффузионные процессы, «не помнят» своего прошлого. Состояние диффузионного процесса описывается распределением его координат р(х, I) в момент наблюдения и условное распределение
р(х, ^х0, ¿0) процесса в будущем при 1 > 10 при фиксированном в настоящее время 10 состоянии х0
не зависит от его поведения в прошлом, то есть
р(х,1/х0,10; х,К; х2,Ч,•••) = Р(х, 1 /х0,10), ¿2 <^ <10 < t.
Аналогично поведение динамической гамильтоновой системы, уравнения движения которой имеют вид
др дУ '
при 1 > 10 полностью определяется её состоянием {^(10), р(10)} в момент 10 и не зависит от предыстории, от того, как двигалась система до начального момента времени 10.
Процессы и модели «без памяти» являются приближением по отношению к реальным процессам. В некоторых случаях они работают вполне удовлетворительно. Однако не во всех случаях.
В.Вольтерра [2] ввёл в математику термин «эредитарность» - свойство процесса или системы сохранять память о своём прошлом. Последействия в физике, явления усталости металлов, магнитный и электрический гистерезисы, запаздывания волн могут быть примерами эредитарных процессов.
Адрес для корреспонденции: Илолов Мамадшо Илолович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 33, Центр инновационного развития науки и новых технологий АН РТ. E-mail: ilolovm@gmail.com
Настоящая работа посвящена абстрактным эредитарным дифференциальным уравнениям или дробным эволюционным уравнениям, учитывающим динамическую память.
Первые два пункта содержат сведения об интегралах и производных дробного порядка и специальных функциях Миттаг-Леффлера и Райта. В третьем пункте изложены основные результаты о разрешимости и корректности задачи Коши для линейных дробных эволюционных уравнений в банаховом пространстве.
1. Пусть с > 0, т = |~с~| - наименьшее целое число, большее или равное с . Следуя [3], введём функцию д^ (г) для ( > 0
9р(!) =
1 г(-1, г > 0
Г(() (1)
0 , г < о
где Г(() - гамма-функция. Легко заметить, что д0(г) = 0, поскольку Г 1(0) = 0 . Функция д имеет полугрупповое свойство
да* дР= дс+Р, (2)
где знак * означает свёртку функций на Л+, то есть
(да* дР){г) = | дЛг - *) дР (*) ж •
1с
0
Легко заметить, что функция д^ (г) удовлетворяет функциональному уравнению
др(тг) = т(-1др(г). (3)
Уравнение (3) подсказывает, что изменение масштаба г ^ г' = т + г не изменяет вида степенной функции, а приводит лишь к умножению её на постоянную т(-1. Это аналогично тому, как преобразование сдвига г ^ г' = т + г не изменяет вида экспоненты, а лишь умножает её на ет .
Дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка с имеет вид
зС/(г) = (да* /) (г), / е ь\я+). (4)
Возьмём /(г) = /(г) . Тогда из (2) и из ассоциативности операции свёртки следует, что дробное интегрирование допускает полугрупповое свойство
ЗсЗ(= Зс+(, с,(> 0 (5)
Дробная производная Римана-Лиувилля порядка с определена для всех функций
/ е Ь\I), д— / еГтД(I), I с (6)
и задаётся равенством
О/(г) = от (дт-с * /)(г) = отзт-с/(г), (7)
ёт
где От =-для т е N.
г агт
Как и в случае дифференцирования и интегрирования целого порядка, Ос является левой обратной к ЗС, однако в общем случае не является правой обратной. Более точно, имеет место следующее утверждение. Лемма 1. ([3]) Пусть с > 0 и т = |с | • Тогда для любой / е 1}(I)
ОСЗС= /. (8)
Если, кроме того, выполнено (6), то
т-1 От\
зсос/(г) = /(г)-£(.Ят-а*/)( \0)да+к+2-т(г). (9)
к=0
В частном случае дт_а * / е Ж0тД(I) имеем
зсос/ = /.
Далее, в частности, если се (0,1) , и если д1а * / е I), то (9) приобретает вид
зсос/(г) = /(г) - (я.с * /)(0)да(г).
Если / еЖтД(I) (откуда следует (6)), то Ос/ может быть представлена в виде
т-1
ос/ = X / {к)(0)дк-а+1(г) + згсвт/(г). (10)
к=0
Это следует из представления элементов Ж1"'1 (I) и определения Ос. Во многих случаях удобнее использовать второй член в правой части (10) в качестве определения дробной производной порядка с . Такое определение дано Капуто [4]. Таким образом дробная производная Капуто порядка с > 0 определяется с помощью формулы
ас/(г) = зт-сот/(г) (11)
Отметим простые свойства дробной производной для с, (, г > 0
ЗСдР = д^с дР = дР-с, ( > 0 дс = (12)
Мы отметим также, что = дх_ , а< 1, хотя = 0 для всех а> 0 . Если напротив
/ е I), то мы имеем только (6) и / е Ст \(I). В этом случае сможем использовать следующее эквивалентное представление, которое следует из (10), (11) и (12)
</(1) = Б" \ /(1) - ^/(*\0)дк+1(1) I. (13)
I *=0 ]
Производная Капуто также является левой обратной для , но не правой обратной в общем
случае
m-1
dJf = f, J^f (t) = f (t) - X f(*\®)9k+i(t). (14)
k=0
В частности, если а е (0,1), дх_а * / ^ Ж ' (I) и / е С(I), то
(1) = / (1) - / (0).
Из свойств преобразования Лапласа и в силу того, что да(Я) = Я~а, следует что
т-\
Б/ = я" / (А) - X (дт-а * /)(* )(0)!т-1-* (15)
k=0
m- 1
<f (Л) = Aaf (Л) - X f(" )(0)l"-1-i. (16)
k=0
2. В соответствие с [4] специальная функция Миттаг-Леффлера задаётся в виде
z" 1 г иа-рел
z) = Zrr = —J^r-d/, a,P> 0, z e C, (17)
и "=0 Г(а" + p) 2ж1лс / - z
где C - контур интегрирования с началом и концом в -да, который обходит диск |// < |z| против часовой стрелки.
Для краткости положим Е (z) = Е i(z). Функция Еа (z) является простым обобщением экспоненциальной функции Е1 (z) = ez и функции косинуса
Е(z) = cos2 h(z), E2(-z2) = cos(z). Подобно дифференциальному соотношению
d / ®t\ at
-(e ) = oe
d
функция Миттаг-Леффлера удовлетворяет дробному дифференциальному уравнению
и
ас Ес (юг2) = юЕа (югс ). (18)
Для преобразования Лапласа функции Миттаг-Леффлера имеет место следующий интеграл
да 2 с-(
Iе-Я1г(-1Еа р(югс)аг = ~2-, ^еЛ>ю1,с , ю> 0. (19)
0 , 2 с-ю
Если 0 < с < 2, ( > 0, то
Еа р{2) = ехр(г1/а) + еа Дг), |аг§г| <
а 2
(20)
( 1 ^
= £«,/>(»> \агё2\<\1--а^, (21)
где
N-1 -П
^ Г(У? - ап) Рассмотрим также функции Райта вида
да /_\п 1
(*) = X ,-т/ \-Г = ^ехр(ц-гц7)ёц 0 < 7 < 1,
' П=0п!Г(-уп +1 -7) 2ю I 4 7
(22)
где Г - контур интегрирования с началом и концом в -да и один раз обходит начало координат против часовой стрелки.
Между функциями Миттаг-Леффлера и Райта имеет место соотношение
СО
ЕУ{1) = {ФДО^А 7 е С, 0 < / < 1. (23)
о
3. Пусть с > 0, с"| = 2. В банаховом пространстве X рассмотрим задачу Коши вида
а>(г) = Аи(г) + /(г), г > 0 (24)
и(0) = и1, и'(0) = и2, (25)
где и = и(г) - искомая функция переменной г со значениями в X, / = /(г) - заданная функция, ёс - дробная производная Капуто в смысле (11), А - линейный замкнутый оператор с плотной в X
областью определения, то есть О(А) = X, и1, и2 е X.
Наряду с задачей (24)-(25) рассмотрим однородную задачу
а> = Аи(г), г > 0 (26)
и(0) = и1, и'(0) = и2. (27)
Определение 1. Сильным решением задачи (26)-(27) называется функция
u I
е С (Я+, И (А)) П С1 (Я+, X), д^* (и - и1 дх - и2д2) е С2 (Я+, X),
удовлетворяющая задаче (26)-(27).
Определение 2. Задача (26)-(27) называется равномерно корректной, если существуют заданные на X и коммутирующие с A оператор-функции С^(1), ^(1) и числа M > 0, йе К такие, что
для любых и, и2 е Б(А) функция С^ (1 )и* + (1)и2 является её единственным решением и при этом
тах{С(1 )|,| ^(1) }<Мехр(й), 1 е Я.
Условие 1. Оператор А такой, что при некотором Р, удовлетворяющего неравенству
0<а<Р<2,
задача (26)-(27) равномерно корректна.
Отметим, что при Р = 1 для равномерной корректности задачи (26)-(27) требуется, чтобы А
был генератором С0 -полугруппы, а при Р = 2 - генератором операторной косинус-функции С2 (1)
(см.напр.[6]).
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть а < Р < 2 и выполнено условие 1. Тогда задача (26)-(27) равномерно корректна и её разрешающий оператор имеет вид
ад
С&У + S2(t)u2 = | /г,у(0 [ С"(г)и1 + Sа(r)u2 ] йт,
0
где функция / „(1) = 1" 1Ф(-V, 0; — т~у), Ф - функция Райта, у = а / Р.
Теорема 2. Пусть А - замкнутый линейный оператор, Б(А) = X. Пусть, далее
Х/ = {/(1) е С1(Я, X) : А/(х) е С(Я, X)}.
Предположим, что задача (26)-(27) равномерно корректна. Тогда, если выполняется условие
и1 е Б(А), и2 е Б(А), /(1) е X/,
то функция
I
и(1) = С"(1 У £"(1 — з)/(^
является сильным решением (24)-(25).
4. В работе [8] рассматриваются элементы дробно-дифференциального исчисления для функций со значениями в банаховом пространстве и устанавливаются первые утверждения для соответствующих классов уравнений.
0
Поступило 08.03.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы. - Успехи физических наук, 2003, т.173, №8, с.847-876.
2. Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М., 1982, 304 с.
3. Bazhlekova E. The abstract Caushy problem for the fractional evolution equation. Fractional alculus and Applied Analysis. 1, №3, 1998, p.255-270.
4. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.М. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.
5. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик, 2005.
6. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными. - ДАН СССР, 1992, т.326, №4, с.597-600.
7. Авад Х.К., Глушак А.В. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля. - Дифференциальные уравнения, 2010, т.46, №6, с.859-873.
8. Илолов М. Об эволюционных уравнениях дробного порядка. Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений. - Материалы Международной конференции, посвя-щённой 85-летию академика АН РТ Михайлова Л.Г. - Душанбе, 2013, с.62-64.
М.Илолов
МУОДИЛА^ОИ КАСРИИ ЭВОЛЮТСИОНЙ ВА ^ОФИЗАИ ДИНАМИКИ
Маркази рушди инноватсионии илм ва технологиями нави Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола муодилах,ои касрии эволютсионй бо назардошти хофизаи динамикй омухта
шудаанд. Натичаи асосии тадкикот ба исбот расидани хдлшавандавй ва сах,ех, будани масъалаи
Коши барои муодилах,ои хаттй мах,суб меёбад.
Калима^ои калиди: муодилаи эволютсионии касри - функсияи Миттаг-Леффлер - уосилаи касрии
Капуто.
M.Ilolov
FRACTIONAL EVOLUTION EQUATIONS AND DYNAMICS MEMORY
In this paper the fractional evolution equations with dynamics memory we studied. The proof of
solvability and wellposedness of Cauchy problem for linear equations is a main result of investigations.
Key words: fractional evolution equations - Mittag-Leffler function - fractional derivatives of Caputo.
