CC BY
28
УДК 517.983
ФУНКЦИЯ КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ 10)
Т.А. Манаенкова
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, e-mail: [email protected]
Аннотация. Рассматривается задача о вычислении функции Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля. Приводятся условия ее корректной разрешимости.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с дробной производной, функция Коши.
Пусть A — линейный замкнутый оператор, плотно определенный в банаховом пространстве X с областью определения D(A) и непустым резольвентным множеством. При а > 0 и n = [а] + 1 рассмотрим следующую задачу типа Коши
Da0+u(t) = Au(t), t> 0 , (1)
lim D071u(t) = un—i, lim DO—u(t) = 0 , k = 2,...,n. (2)
dn
где Dn I u(t) = —— Un~au) (t) - левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля + dtn +
1 f*
порядка a > 0, /g+u(i) = / (t — s)'3~l u(s) els - левосторонний дробный интеграл
r (ß) J о
Римана-Лиувилля порядка ß > 0 (см. [1, c. 41], [2, c. 69]), un-1 £ D(A), Г(^) - гамма-функция.
Для задачи (1), (2) мы приведем условия ее корректной разрешимости. Разрешающий оператор этой задачи мы назовем функцией Коши. С ее помощью будет построено решение задачи типа Коши для неоднородного уравнения.
Определение 1. Решением задачи (1), (2) называется функция u(t) такая, что имеют место включения u(t) £ C(R+,D(A)), £ Ck(R+, X) для k = 0,1,..., /?.- 1,
in-au(t) £ Cn
(R+,X), Ii удовлетворяющая (1), (2).
Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если при любых un-1 £ D(A) существует единственное решение u(t; un-1) задачи (1), (2) и если un-1,m £ D(A), un-1,m — 0 при m — то влечет u(t; un-1,m) — 0 при m — то, равномерно по t на любом компактном интервале из (0, то).
10 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 14.A18.21.0357)
Применим к уравнению (1) оператор 10+. Учитывая равенство (см. [1, с. 50], [2, с.
74])
I0+D»+u(t) = u(t) - £ ^^ ta~k~l (3)
и граничные условия (2), можно утверждать, что задача (1), (2) равномерно корректна только тогда, когда следующее интегральное уравнение типа Вольтерра
ta—i 1 ft u(t) = —- Un-I + т^Т / (t-s) a-1 Au(s) ds , t > 0 , (4)
r(a) r(a) Jo
равномерно корректно в смысле Определения 3, которое мы приводим далее.
Определение 3. Интегральное уравнение (4) называется равномерно корректным, если для каждого un-1 Е D(A) существует единственное решение u(t; un-1) Е C (R+,D(A)) этого уравнения и если un-1kk Е D(A), un-1;k — 0 при k — ж влечет сходимость u(t; un-1,k) — 0 равномерно по t на любом компактном интервале из (0, ж).
Пусть B(X) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X. Определим разрешающий оператор задачи (1), (2).
Определение 4. Операторная функция Ka(t) Е B(X) называется разрешающим оператором для задачи (1), (2), если выполнены следующие условия:
(i) Ka(t) сильно непрерывна при t > 0 и D0-1 Ka(0) = I,
(ii) Ka(t) коммутирует с A, то есть, Ka(t)D(A) С D(A) и AKa(t)un-1 = Ka(t)Aun-1 для любого un-1 Е D(A) и t > 0,
(iii) Ka(t)un-1 является решением задачи (1), (2) для любого un-1 Е D(A) и t > 0.
Определение 5. Будем говорить, что оператор A принадлежит классу На(М,ш), если задача (1), (2) имеет разрешающий оператор Ka(t), удовлетворяющий неравенству
\\Ka(t)\\ ^ М(t)eMt, t> 0 , (5)
где ш Е R и функция М(t) Е L1(R+).
Пусть A Е Ha(M, ш) и Ka(t) - соответствующий разрешающий оператор. При Re А > ш определим преобразование Лапласа для разрешающего оператора
Ka(A)u,n-1 = e-xtKa(t)un-1 dt, un-1 Е X. Jo
Учитывая оценку (5), можно утверждать, что Ka(A) Е B(X). Используя свойства (ii) и (iii) Определения 4 и тождество [см. 2, с. 284] для преобразования Лапласа дробных производных
n
L[D0+u](A) = AaL[u](A) - £ Ak-1D0-ku(0), (6)
k=1
после преобразования Лапласа, из (1), (2) получим следующие соотношения: AaKa(A)un-1 - un-1 = AKa(A)un-1, un-1 Е X ;
ХаКа(Х)пп-1 - ип-1 = Ка(Х)Лпп-1, ип-1 е Б (Л).
Лемма. Пусть Л е На(М, ш), тогда оператор (Аа1 — Л) обратим и Ка(Х) = Я(Аа, Л), то есть множество |Аа : Кв X > ш} включено в р(Л) и
«те
R(Xa,A)un-1 =1 e-xtKa(i)un-i dt, un-i G X. (7)
Доказательство приводимых далее теорем 1-6 аналогично доказательству соответствующих теорем из [3] и мы его опускаем.
Теорема 1. Пусть а > 0, тогда Л е На(М,ш) и оператор Б^-1 Ка(1) непрерывен в равномерной операторной топологии только тогда, когда Л е В (X).
Теорема 2. Пусть Л е На(М, ш) для некоторого а > 2 и
/ е~иЧ1(Г)М < —, и > 0, С1 > 0. (8)
/о
Vй
Тогда Л е В(Х).
Теорема 3. Пусть 0 < а < 2. В этом случае Л е На(М,ш) только тогда, когда (ша, ж) С д(Л) и
g (Л - ш)т
П!
n=0
dnR(Xa, A)
dXn
< C2, X>u, C2 > 0 . (9)
Теорема 4. Пусть 0 < а < 2. Тогда A G lKa(M,u) только тогда, когда (ша, оо) С q(A) и существует сильно непрерывная операторная функция K(t), удовлетворящая неравенству ||K(t)\\ ^ М(t)eut, t > 0, М(t) G L1(R+) такая, что
R(Xa,A)un-1 =\ e-xtK(t)un-1 dt, un-1 G X. (10)
J о
В этом случае Ka(t) = K(t).
Теорема 5. Если A является генератором сильно непрерывной С0-полугруппы, то
A е Ha
(M,u>1/a) для каждого а G (0,1) с некоторой функцией М(t) G L1(R+). Теорема 6. Пусть а > 0. Если Ka(t) -разрешающий оператор (1), (2), то
Aun-г = Г(а + 1) lim ^oV^K-i ~ «n-i (n)
1 у J t^o+ ta
для тех un-1 G X, для которых этот предел существует.
Рассмотрим теперь неоднородную задачу при а > 0 и нулевых начальных условиях
Da+u(t) = Au(t) + f (t), t> 0 , (12)
о
lim Da-ku(t) = 0 , k = 1, 2,...,n. (13)
Теорема 7. Пусть A £ %а(М,ш), функция M(t) такая, что для t £ [0,1]
f (t - r)n-a-1 M(r) dr < C2, 0
а функция f (t) £ C ((0, то) , X) абсолютно интегрируема в нуле, принимает значения в D(A), Af (t) £ C ((0, то) ,X) и также абсолютно интегрируема в нуле. Тогда функция
u(t)= Ka(t - s)f (s) ds, (14)
0
является решением задачи (12), (13). □
При t > 0 имеем
1 dn Г* Гт
Da0+u (t) = —-/ (t - тГ0"1 dr / Ka(r- 0 f (0 dC =
n Г (n - a) dtn Jo Jo
1 dn f* f*
Г (n - a) dtn J0 J?
(t - r)n-a-1Ka (r - i) f (i) drdi =
1 dn Г* ft—
(t - i - x)n-a-1Ka(x)f (i) dxdi.
Г (п — а) dtn ]0 ]0
Поскольку под знаком интеграла по £ находится непрерывная по t — £ функция, то
1 dn-1 Г
Оа0+чЦ) = г {п _ а) ^ Иш / (* - е - х)п-а~1Ка {X) / (0 ¿с +
1 dn-1 f* d
0
5FT j0ftj Мf К) «te=
0
= lirn. Da^1Ka(s)f(t) + 1 dn-2 i'*-?
+ Т{п-а)^ Й Jo Х)П~а~1К° {X) f dX +
t
1 dn-2 Г d2 Г
^ / Wo (t -4 -x) K"(x); (£) <fa 0
= f (t)+ lirn D0-2Ka(s)f (t) +
1 dn-2 d2 f*-i
' W2J0 (t-s-xT-a-lKQ(x) f (?) dx =
Г (n - a) dtn-2 J0 dt2
t
= f (t)+ /Ча+К« (t - С) f (С) dC = f (t)+ Гкв (t - С) Af (0 dC = f (t) + Au (t) .
Jo Jo
Следовательно, функция u(t) удовлетворяет уравнению (12).
Проверим далее, что функция u(t) удовлетворяет нулевым начальным условиям (13). Рассмотрим сначала DO-nu(t). Имеем
lim Da0~nu (t) = lim (t) = 1 lim Г (i - rf"0"1 dr Г Ka (r - £) / (£) d£ .
t^+o ^ t^+o ^ Г (n — a) t^+o Jo jo
Поскольку для Ка (t) справедлива оценка (5), то для t Е [0,1]
f (t — Т)n~a~1 dr Г Ка (r — С) f (С) dC
oo
< i\t — rГ0-1 dr f M(r — С) ||f (C)ll dC
oo
rt r t-S rt
= / llf (C)ll d£/ (t — С — n)n-a-1 M(n) dn < CJ ||f (C)|| dC.
o o o
Следовательно lim DO—nu (t) = 0. t^+o 0+
Далее, рассмотрим образ Da-ra+ku(t) при k = 1
^sr*1« (t) = r{ 1 Г (t - r)-0-1 dr Г ка (r - о f (o dt =
Г (n — a) dt Jo Jo
1 ft-?
lim / (i - £ - af"0"1^ (a) / (£) da +
Г (n — a) S^t
o
1 С* d Г—
+тг(-г / / (О ^ / (* - е - (а) с?а =
Г (п - а) Л) dt J0
= 11гпп б^К (5) / (е) + /Ч"-^« (t - е) / (е)
Переходя к пределу при t ^ +0 и учитывая условия (2), получим
Иш БОТп+1и (t) = 0. 0+
Продолжая далее аналогичные рассуждения для любого к < п на основе того, что *Игп0 Б0—п+(к-1)и (t) = 0, дойдем до случая к = п — 1
D^u (t) = —-r^j / (t - ту—1 dr / Ka(r- 0 f (0 d£
+ Г (n — a) dtn 1 Jo Jo
k=2
1 dr-1 rt
y ) dt:'
lim Do-kКа (s) f (C)+ / Do-1Ka (t — С) f (C) dC.
о
Переходя к пределу при t — +0 и учитывая условия (2), получим
lim D^u (t) = 0 .
t^+o 0+
Следовательно, функция u(t), заданная формулой (14), удовлетворяет нулевым начальным условиям (13). I
Пример. Заметим, что:
1) при 0 < а < 1, Ka(t) = Ta(t), где Ta(t) - разрешающий оператор рассмотренной в [3] задачи
D0+u(t) = Au(t), t> 0 ,
lim D0T1u(t) = u0 ; t^o+ 0+
2) если а = 1, то K1(t) - Co-полугруппа и A - ее генератор;
3) если а = 2, то K2(t) - синус оператор-функция и A - генератор соответствующей косинус оператор-функция;
4) если оператор A ограничен и а > 2, то Ka(t) = ta-1 Ea,a(taA).
В заключение заметим, что неоднородное дифференциальное уравнение порядка 1 + а (0 < а < 1) с регуляризованной дробной производной и позитивным оператором A было исследовано в [4] методом сумм Да Прато и Гривара.
Литература
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations / Math. Studies / Elsevier, 2006.
3. Глушак А.В., Манаенкова Т.А. О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля. Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2012. - №17(136). - Вып.28. - С.28-45.
4. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. Regularity properties of solutions of fractional evolution equation. Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998) // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 215 / New York: Dekker, 2001. - P.235-246.
CAUCHY's FUNCTION FOR ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE
Т.А. Manaenkova
Belgorod State University, Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: ManaenkovaObsu.edu.ru
Abstract. The problem of calculation of Cauchy's function for abstract differential equation with fractional Riemann-Liouville derivative is under consideration. Conditions of its well-posed solvability are found.
Key words: differential equation with fractional derivative, Cauchy's function.
