Начальная задача для нагруженного сингулярного уравнения дробногопорядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 35Q05

НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО СИНГУЛЯРНОГО

УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

A.B. Глушак

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru

Аннотация. В банаховом пространстве рассмотрена задача Коши для нагруженненч) уравнения с дробными производными, имеющих) сингулярную особенность в коэффициенте. Доказано достаточное условие разрешимости этой задачи и найден явный вид разрешающих) оператора.

Ключевые слова: абстрактная задача Коши, нагруженное сингулярное уравнение, разрешающий оператор, однозначная разрешимость.

Пусть А — замкнутый оператор в банаховом пространстве E с плотной в E областью определения D(A). При k > 0, 0 < а < 1 рассмотрим абстрактное уравнение дробного порядка

BkMt) = ft CD«tu(t) + j " C^o>(0)) = Au(t) , t > 0 , (1)

где CD$ tu(t) — дробная производная Капуто

cD«tu(t) = -kr («(*) " «(0)) , °Dltu{0) = lim cß0>(i),

dt ' ' t^o

t

Iotau(t) = "F77~-7 [ T^^dr

0 't w Г(1 - a) J (t - T)a

o

- левосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля, Г(-) — гамма-функция.

Уравнение (1) содержит значение неизвестной функции и ее дробной производной в точке t = 0, поэтому, следуя [1], [2], будем называть его нагруженным уравнением. Важно отметить, что наличие в уравнении (1) заданной при t = 0 нагрузки позволяет установить разрешимость именно задачи Коши, а не весовой начальной задачи, как это свойственно для ряда сингулярных уравнений.

При а =1 уравнение (1) превращается в уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

u"(t) + j (u'(t) - и'(0)) = Au(t) , t > 0 , (2)

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 1301-00378 А-2013

с нагрузкой п'(0), для которого задача Коши

п(0) = и0 , и'(0) = и1, (3)

должна исследоваться особо с учетом результатов работ |3|, |4|,

При а = 0 уравнение (1) превращается в нагруженное уравнение первого порядка вида

к

и'{г) + - (и{г) - и (о)) = АиЦ), г > о, (4)

дня которого мы также исследуем разрешимость задачи Коши, по, естественно, уже с одним начальным условием.

Будем разыскивать решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

п(0) = по , с£0>(0) = щ , (5)

и вначале рассмотрим случай, когда к = 0 и1 = 0.

Условие 1. Если 11е Л > ш > 0и0 < а < 1, то Ла+1 принадлежит резольвентному множеству р(А) оператора А и для всех целых п > 0 резольвента Я(Л) = (Л/ — А)-1 удовлетворяет неравенствам

¿Лп у у ''

< М /г!

- (Ие Л - а;)'^1 ' 1 )

Теорема 1. Пусть к = 0, 0 < а < 1, п0 € О (А), и1 = 0 и оператор А удовлетворяет условию 1. Тоща задача (1), (5) однозначно разрешима.

□ После применения к уравнению (1) оператора дробного интегрирования /¡^ и дифференцирования получим следующую начальную задачу

г

= Т^ТТ / - 8)а~1Аи(8) ¿8 , г > 0 , (7)

Г (а) } о

п(0) = по. (8)

Задача (7), (8) представляет собой специальный случай задачи исследованной в |5|, В теореме 3 указанной работы |5| установлено, что условие 1 является необходимым

А

задачи (7), (8), а стало быть, и эквивалентной ей, при сделанных предположениях в доказываемой теореме, задаче (1), (5). Разрешающий оператор задачи (7), (8) обозначим через У0>а(£), при этом и(Ь) = У0)а(£)п0, Для У0>а(Ь) в [5] установлены представление и оценка

ш+гте

¥0,а(1)щ = I ХаЯ (А°+1) щ с1Х , щ е Б (А2) ,

ш-гте

,<тЬ

||Уо,а(*)||< Ме" , а > ш.

При k > 0, а > 0 введем в рассмотрение оператор

1

Рк,аиЦ) = cfc ,а J (1 - s«+1)fc/(a+1)-1 u(ts) ds , (9)

0

_ а + 1

Cfc'° ~ В(к/(et + 1), 1/(а + 1)) '

где B(-, •) — бета-функция, и который выражается через дробный интеграл Эрдейи-Кобера (см- [6]) с- 246) следующим образом

p*Mt) = r((fc+/!)/(Q'+1)) л +iMt) ■

к'а w Г (1/(а + 1)) 0+,а+1,-а/(а+1) v >

Постоянная ск,а подобрана так, чтобы

lim Pk,aU(t) = и(0). t^0

Теорема 2. Пусть k > 0, а > 0 и функция u(t) такова, что существует дробная производная вида D^ tu(t)) . Тогда справедливо равенство

(cDZAt))' + Cjfc

□ Применяя к (9) оператор Bk,a, после интегрирования по частям получим

Bk,a /'/.,„"•!/) = Pk,a (CD«tu(t)) + ^f СЩА°) • (10)

Bk,a /'/,... "i/i = Cfc,„ I (1 - f^-1 S«+1 cD»tsu(t) ds+ 0

1

+ k0^ j ^ _ sa+1y/{a+l)-l saCDatMt) dg = 0

1

Cfc,„ J( 1 - s'+lfW-1 S«H-1 CDaieU(t) + 0

1

Ck'a CDa /пч , ff-, a+l\fc/(or+l) d c

- t Do<tU(0) + <*.« J [1-8 ) d{ts) üQit

0

Cfc,„ у (1 - а«-*)*/^-1 (S«H-1 + 1 _ S«H-1) cDateU(i) . '±11 сЩМ0) 0

= Pk,a (CDaoXt))' + Cjf CDaoXV ■ ■

1

1

Непосредственным следствием теоремы 2 является разрешимость задачи (1), (5) для к > 0 и и1 = 0.

Теорема 3. Пусть к > 0, 0 < а < 1, ио Е О(А), и1 = 0 и оператор А удовлетворяет условию 1. Тогда функция и(£) = Рк,аУо,«(¿)ио является решением задачи (1), (5). В дальнейшем при 0 < а < 1 будем использовать обозначение Ук, = Рк,«Уо,«(¿). Замечание 1. Если 0 < а < 1 и А — ограниченный оператор, то

у т = Г ((А: + 1)/(а + 1)) ^ Г и + 1 /{а + 1)) ^ А>

Г (1 /(а + 1)) ¿Г ((а + Ш + 1) Г и + (к + 1 )/(а + 1)) " 1 ^

а=1

функцию Бесселя (см. |4|)

~ (Ш/2)23 1/2_к/2

ЗД) = Г(А:/2+1/2) ^ ^ + к/2'+ 1/2) = Г(А:/2+1/2) (^/2) Д./2_1/2

где 1ц(•) — модифицированная функция Бесселя, а при к = 0 — в функцию Миттаг-Леффлера Еа+1,1

Для построенной операторной функции Ук,а(Ъ) справедлива формула сдвига по первому параметру.

Теорема 4. Пусть т > к > 0, 0 < а < 1 и оператор А удовлетворяет условию 1. Тогда

У (+) - _01 + 1_ [ цк (1 _ я«+1\("г-А0/(«+1)-1 у (+„) г]ц

(12)

□ После ряда преобразований, используя интеграл 2.2.5.1 [7], получим [ тк (Г+1 - та+1)(т-к)/(а+1)-1 Ука(т) ¿т =

Jо

т

Ска Г та (1а+1 - та+1)(т-к)/(а+1)-1 [ (та+1 - С«+1)к/(а+1)-1 Уо>а(^) ^¿т =

К

',а I т (I - т ) I \т - £ ) 1о,а(

О

г

ск^!* У,«(£)/ та (Г+1 - т«+1)(т-к)/(«+1)-1 (та+1 - е«+1)к/(«+1)-1

4а+1

Ск,а I Л,г I (4-а+1 „\(т-к)/(а

ГТ / 1 а + 1 Уо

Уо,а(£) / (¿а+1 - п)(т-к)/(а+1)-1 (П - £«+1)к/(а+1)-1

= Ск,а В{{т - к)/{а + 1),к/(а + 1)) Г* +1 _ =

а + 1 Л

Г ((щ - к)/(а + 1)) Г ((к + 1)/(а + 1))

(а + 1)Г((ш+1)/(а + 1)) Ь

откуда и следует требуемое равенство (12). ■

Переходим к исследованию случая, когда к = 0 «0 = 0 а «1 = 0,

Теорема 5. Пусть к = 0, 0 < а < 1, «0 = 0, «1 € О(А) и оператор А удовлетворяет условию 1. Тогда задача (1), (5) однозначно разрешима.

□ После применения к уравнению (1) оператора дробно го интегрирования и дифференцирования получим следующую начальную задачу

г

1 Г Ьа-1

"'(*) = / - зУ^Аи^) с1в + —и 1, I > 0 , (13)

Г(а) у Г(а)

о

и(0) = 0. (14)

Также как н задача (7), (8), задача (13), (14) представляет собой специальный сиу-чай задачи исследованной в |5| и однозначно разрешима. Разрешающий оператор задачи (13), (14) обозначим через Ь0>а(£), при этом «(¿) = Ь0>а(1)и1, установлено представление

г

= /(¿-5)а-%а(в) СЬ. Ш

Г(а) ] о

Непосредственным следствием теоремы 2 является разрешимость задачи (1), (5) для к > 0 и и0 = 0.

Теорема 6. Пусть к > 0, 0 < а < 1, и0 = 0, «1 € О(А) и оператор А удовлетворяет условию 1. Тогда функция «(¿) = РкаЬ0а(1)щ является решением задачи (1), (5).

В дальнейшем при 0 < а < 1 будем использовать обозначение Ьк>а({) = РкаЬо,«(£).

0 < а < 1 А

^ ГЦ + 1) +(а+1)з+аА>

= Г (к/(а + 1) + 1) г(( , п • (15)

~ог((а+ 1Ц+а+1) г(а+к/(а+1) + 1)

При а =1 ряд в правой части (15) выражается через функцию Струве

,=0 г Ц + 3/2) Г Ц + к/2 + 1)

Г(А:/2 + 1) /

дк/4+1/4 гк/2-1/2 Ьк/2-1/2 ^ '

где (•) — модифицированная функция Струве ( [8], с. 655), а при к = 0 — через функцию Миттаг-Леффлера Ьк (¿) = ¿аЕа+1, а+1(£а+1А),

Для операторной функции Ьк, справедлива формула сдвига по первому параметру, доказательство которой проводится также как и в теореме 4.

Теорема 7. Пусть т > к > 0, 0 < а < 1 и оператор А удовлетворяет условию 1. Тогда

ЬтМ = Ш-п/, ^^ 8к (1 - *)/(«+!)-! Ь

В((т — к)/(а + 1), к/(а + 1) + 1) ,/0

Построенные операторные функции Ук, а(£), , а(£) и теоремы 3 и 6 позволяют установить разрешимость задачи (1), (5).

Теорема 8. Пусть к > 0, 0 < а < 1, и0,и1 € Б (А) и оператор А удовлетворяет условию 1. Тогда функция и(£) = а(£)и0 + «(¿)м1 является решением задачи Коши

(1), (5).

Дня доказательства единственности решения задачи Коши (1), (5) сделаем дополнительное предположение. Будем считать, что с оператором А при некотором т > 0

равномерно корректна задача Коши дня уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

т

и"Ц) + —и'{г) = АиЦ) , I > 0 , (16)

и(0) = и0 , и'(0) = 0 . (17)

А

разрешимость этой задачи. Они сформулированы в терминах оценки нормы дробной

АА торыми задача (16), (17) равномерно корректна, обозначим через От, а разрешающий оператор этой задачи обозначим через Ут(1) и назовем операторной функцией Бесселя.

Теорема 9. Пусть к > 0, 0 < а < 1, пусть также при некотором т > 0 оператор А € От и Ут(£) — соответствующая операторная функция Бесселя. Тогда решение решение задачи Коши (1), (5) едипствешю.

□ Доказательство единственности решения задачи (1), (5) будем вести от противного. Если и и2(£) — два решения задачи (1), (5), то рассмотрим функцию двух переменных в) = f (Ут(з) (и1(Ь) — и2(£))), оде f € Е* (Е* — сопряженное пространство), > 0. Она, очевидно, удовлетворяет уравнению

„ , . д28) т д'ш(Ь, в) , .

Вк,ат(Ь з) = ^ + 7 ^ ' 5 > 0 (18)

И УСЛОВИЯМ

Иш в) = Ит сО« и>(1, в) = Ит ^ = 0 . (19)

Подобно тому, как это было сделано в [9], истолкуем w(t,s) как обобщенную функцию умеренного роста и по переменной s применим преобразование Фурье-Бесселя

w(t, X) = / s2p+1 jp(Xs) w(t, s) ds , w(t, s) = Yp X2p+1 jp(Xs) w(t, X) dX , Jo Jo

1 - m 1 •П-Щр!!) 7M

P- 2 ' Г2(р+1) ' 3p[S)~ s'P p[S)l

где Jp0 — функция Бесселя.

Из (18), (19) для образа w(t, X) получим следующую задачу

Bk, aw(t,X) = -X2 w(t,X), t> 0 , (20)

lim w(t, X) = lim CDa tw(t, X) = 0 . (21)

t^o 4 y t^o 04 у 4 '

В силу замечаний 1 и 2 общее решение уравнения (20) имеет вид

= di(X) Г ((А: + 1)/(а + 1)) ^ r(j + l/(a + l)) ¿^(-А2)^ Ь ' Г (1/(et + 1)) ¿Г ((a + l)j + 1) Г (j + (к + 1)/(а + 1)) +

Г(j + 1) X2)j

+<Щ) Г<*/«, + D + D g r((a + 1)j0+a|1)rü+(t/(l + 1) + 1) .

и из начальных условий (21) следуют равенства d1(X) = d2(X) = 0. Следовательно, w(t, X) = w(t, s) = 0 для любо го s > 0. В силу произвольности фун кционала f G E* при s = 0 получим равенство u1(t) = u2(t), и единственность решения установлена. ■

Найдем далее решение нагруженного уравнения первого порядка (4), удовлетворяющее начальному условию

u(0) = u0 . (22)

Чтобы описать класс операторов A, для которого корректна задача (4), (22), напомним определение проинтегрированной полугруппы (ПП).

Определение. Пусть ß > 0. Однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов Tß (t), t > 0 называется ß раз ПП, если:

t+s t

1)r(ß)Tß(t)Tß(s)= / (t + s - r)ß-1Tß(r) dr -/ (t + s - r)ß-1Tß(r) dr, t,s > 0;

2) Tß(0) = 0;

3) для любого x G E функция Tß (t)x непрерывна по t > 0;

4) существуют постоянные M > 0, ш G R такие, что

||Tß(t)||< MeMt, t > 0 .

Генератор А ПП Tß (t) определяется следующим образом: D (A) — множество элементов x G E таких, что существует элемент y G E, удовлетворяющий равенству

t

Tß(t)x - = J Tß(s)y ds, t > 0 ; (23)

в этом случае полагают Ax = y.

Теорема 10. Пусть к > 0 A — генератор k раз ПП Tk(t), u0 Е D(A). Тогда функция u(t) = Yk,o(t)u0 = Г(к + 1) t-k Tk(t)u0 является единственным решением задачи (4), (22).

□ Из равенства (23) следует справедливость начального условия (22). Проверим, что функция u(t) удовлетворяет уравнению (4). Действительно,

u'(t.) + ^ (u(t) - и( 0)) = Г (k + 1) t~k U(t)uo - jiio =

= Т(к + 1) Гк (лтк(г)щ + Щ11^ - = Г(А: + 1) Гк ATk(t)u0 = Au(t) .

Доказательство единственности решения задачи (4), (22) будем вести от противного. Пусть ui(t) и u2(t) — два решения этой задачи, Рассмотрим функцию v(t) = ui(t)-u2(t). Она, очевидно, удовлетворяет задаче

v'(t) = Av(t), v(0) = 0 ,

которая имеет (см. [10]) единственное решение v(t) = 0 и, стало быть, u1(t) = u2(t). Ш Замечание 3. Если A — ограниченный оператор, то Yk,0(t) = Г(к + 1) E1;k+1(tA). Из теоремы 2 для операторной функции Yk,0(t) вытекает формула сдвига по параметру.

Теорема 11. Пусть m > к > 0 и оператор A — генератор к раз ПП. Тогда

= в(шЛ,к +1) /1 (1 - n-«(fs) Л • (24)

Отметим, что формула (24) примыкает к равенству (12) при a = 0. Если задача (16), (17) равномерно корректна, т.е., A Е Gm и Ym(t) — ОФБ для этой задачи, то, как доказано в [3], оператор A является генератором С0-полугруппы T(t), при этом задача

v'(t) = Av(t), v(0) = vo G D(A),

равномерно корректна, v(t) = T (t)v0 и для полугруппы T (t) справедливо представление

сю

m = 2.r(m/2+11/2)t.,w, /exp (4) ym(.) . (25)

0

Сформулируем утверждение, позволяющее выразить операторную функцию Yk,0(t) через операторную функцию Бесселя Ym(t). При этом будет использована Ф(-, •; •) -вырожденная гинергеометрическая функция Трикоми (см. |8|, с. 365.)

Теорема 12. Пусть к > 0 при некотором m > 0 оператор A Е Gm и Ym(t) -соответствующая операторная функция Бесселя. Тогда справедливо представление

сю

Yk о (t) =-, Г(А:+/1)Ч-ТоТлТо [ sm exp Ф ( k, -) Ym(s) ds . (26)

, u 2тГ(т/2 + 1/2) P/2+1/2 j V 4V V 2 4tj 1

0

□ Используя представление (25), после элементарных преобразований получим

Yko o(t)

Г(А: + 1) 1 !'■■ Г (к)

(t - т)k-1T(т) dr = k I (1 - Ç)k-1T(te) dÇ

k-1

k

2m Г(т/2 + 1/2) tm/2+1/2

k

o

c

(1 - É)fc-1rm/2_1/2 yVexp ym(s) dsde

2m Г(т/2 + 1/2) tm/2+1/2

sm Ym(s) / (1 - e)k-1e-m/2-1/2

k

o

c

o

c

2m r(m/2 + 1/2) tm/2+1/2

exp ( -— ] dfds

sm Ym(s)j(V - 1)k-1nm/2-1/2-k exp

2

s2n

1F

èqds

r(fc + 1) f m 2m Г(т/2 + 1/2) i»V2+i/2 J s exp ^ 4i

Ф k

m +1 s2

2 ' 4£

Ym(s) ds

при этом был использован интеграл 2.3.6.6 из [7]. ■

Отметим в заключение, что формула (26) является аналогом равенства (25) дня

k=0

Литература

1. Дженалиев М.Л. К теории .линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / Алматы: Ин-т теор. и прикл. матем., 1995.

2. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применение / М.: Наука, 2012.

3. Глушак A.B., Покручин O.A. Необходимое условие разрешимости задачи Коши для аб-страктнох'о уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /7 Научные ведомости БелГУ Сер. Математика. Физика. 2012. №11(130). Вып. 27. С.29-37.

4. Глушак A.B., Покручин O.A. Достаточное условие разрешимости задачи Коши для аб-страктнох'о уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /7 Научные ведомости БелГУ Сер. Математика. Физика. 2014. №19(190). Вып. 36. С.17-26.

5. Da Prato G., Iannelli M. Linear integro-differential equations in banaeh spaces / Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1980. 62. P.207-219.

6. Самко С.Г., Килбас A.A., Марпчев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.

7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марнчев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции / М.: Наука, 1981.

8. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марнчев О.И. Интегралы u ряды. Дополнительные главы / М.: Наука, 1986.

9. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бееееля // Мат. сб. 1955. 36,№2. С.299-310.

10. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и C-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // УМН. 1994. 49, вып. 6(300). С.111-150.

t

1

1

2

INITIAL VALUE PROBLEM FOR LOADED SINGULAR EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER

A.V. Glushak

Belgorod State University, Studericheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru

Abstract. The Cauchy problem for loaded equation with fractional derivatives in Banaelrs space is under consideration. The coefficient at term of fractional derivative has a singular feature. It is proved the sufficient condition for the solvability of the problem. The explicit form of the solution operator is found.

Key words: abstract Cauchy problem, loaded singular equation, solution operator, unique solvability.