Необходимое условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ ^

А.В. Глушак, О.А. Покручин

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: GlushakObsu.edu.ru,

pokru4in.oleg@yandex.ru

Аннотация. Устанавливаются свойства решений задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и доказано необходимое условие ее разрешимости.

Ключевые слова: абстрактная задача Коши, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, операторная функция Бесселя, необходимое условие разрешимости.

Пусть А — замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения О (А). При к > 0 рассмотрим абстрактную задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

к

и" (1) + = , I > 0 , (1)

и(0) = и0 , и'(0) = 0 . (2)

Случай к = 0 подробно рассмотрен в [1]. В этой статье установленно, что задача (1), (2) при к = 0 равномерно корректна только тогда, когда оператор А является генератором операторной косинус-функции С(Ь) или косинус-оператор-функции (КОФ). По поводу терминологии см. [2] и обзорные работы [3], [4]. В этих же работах приводятся необходимые и достаточные условия того, что оператор А является генератором КОФ, которые формулируются в терминах оценки нормы резольвенты Я(\) = (XI — А)-1 оператора А и ее производных.

Задача (1), (2) исследовалась ранее в работе [5], в которой необходимое и достаточное условия разрешимости сформулированы в терминах оценки нормы резольвенты Я(\) и ее весовых производных. В настоящей работе получено необходимое условие на резольвенту оператора А, которое, в отличие от [5], формулируется в терминах дробной степени резольвенты и ее, как и в случае КОФ, невесовых производных.

Обозначим через Сп(1, Е0) пространство п раз сильно непрерывно дифференцируемых при £ Е I функций со значениями в Е0 С Е.

Определение 1. Решением уравнения (1) называется функция и(Ь), которая при £ > 0 дважды сильно непрерывно дифференцируема, при Ь > 0 принимает значения, принадлежащие О (А), то есть, и(Ь) Е С2(Я+, Е) П С (Я+, О (А)), и удовлетворяет уравнению (1).

1 Работа первого автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 10-01-00276.

Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если существуют заданная на Е коммутирующая с А операторная функция Ук (і) и числа М > 1, ш > 0, такие, что для любого и0 Є О (А) функция Ук (і)и0 является ее единственным решением и при этом

\\Ук(і)|| < Мехр(ші), (3)

ЦУК^иоЦ < Мехр(ші) ||Аио|| . (4)

Функцию Ук(і) назовем операторной функцией Бесселя (ОФБ) задачи (1), (2), а множество операторов, для которых задача (1), (2) равномерно корректна, обозначим через

Ок.

Приведем доказательства некоторых свойств решений задачи (1), (2), которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 1. Пусть задача (1), (2) равномерно корректна, А Є Ок, и и0 Є О (А). Тогда эта задача равномерно корректна и для т > к, то есть А Є От, при этом соответствующая ОФБ Ут(і) имеет вид

= В(к/2 + 1/2, ш/2 - к/2) Iі1- А,, (5)

где В (а, Ь) - бета-функция Эйлера.

□ Тот факт, что функция Ут(і)и0 удовлетворяет уравнению

т

и"Ц) + —и' {і) = Аи{і) (6)

и начальным условиям (2) мы докажем позже (см. формулу (26)).

Оценки

||Ут(і) \| < Мі ЄХр(шІ) ,

\\Ут(і)ио\\ < Мі ехр(ші) ||Аио|| , ио Є О(А)

для Ут(і), очевидно, вытекают из (3) и (4).

Доказательство единственности решения задачи (6), (2) будем вести от противного. Пусть иі(і) и и2(і) - два решения задачи (6), (2). Рассмотрим функцию двух переменных

т(і, в) = f (Ук(в) (иі(і) — и2(і))), где f Є Е* (Е* - сопряженное пространство), і, в ^ 0.

Она, очевидно, удовлетворяет уравнению

д2/ш к д'ш д2/ш к д'ш

1її + Т1ї= а^ + їЖ- ‘■г,>0 (7)

и условиям

Ш(0..)=*4М=0. (8)

Задача (7), (8) заменой іі = (і + в)2/4, в1 = (і — в)2/4 сводится (см. [6], §5, п. 3) к задаче, единственность которой в классе дважды непрерывно дифференцируемых при і, в > 0 функций установлена в [6] (§5, п. 2). Кроме того, требуемое нам утверждение о

единственности содержится также в теореме 6.1 работы [7], в которой рассматривается даже более общее уравнение нежели уравнение (7).

Из полученной в [6] явной формулы для решения указанной задачи следует w(t, s) =

0. В силу произвольности f Е E* при s = 0 получаем u1(t) = u2(t), и единственность решения установлена.

Таким образом, операторная функция Ym(t) удовлетворяет неравенствам вида (3), (4), а функция Ym(t)u0 является единственным решением задачи (6), (2), следовательно, задача (6), (2) равномерно корректна. ■

Пусть KV (z) - функция Макдональда или модифицированная функция Бесселя третьего рода порядка v, в дальнейшем всегда v = (к — 1)/2.

Теорема 2. Если задача (1), (2) равномерно корректна и ReA > ш, то A2 Е р(А) и для любого x Е E справедливо представление

2(1-k)/2 ГЖ

А«-*>/»Д(А*)* = г((-; + — J А'„(А()(“+1)/2П(()я dt. (9)

□ Заметим, что интеграл в правой части (9) можно рассматривать как K-преобразование (или преобразование Мейера) функции tk/2Yk(t)x, а сходимость этого интеграла вытекает из оценки (3) и асимптотического поведения функции KV (z) при z ^ 0 и z ^ то (см. [8], с. 217).

Правую часть равенства (9) умноженную на A(k-1')/2 обозначим через Q(A) и проверим, что (A2I — A)Q(A) = Q(A)(A2I — A) = I. Пусть ReA > ш и x Е D(A). Тогда

X2+V гж

(Л2/ - Л)<3(А)х = r(i/+1)2„ J K„(\t)t"+‘Yk(t)x dt -

XV ГЖ / d2 k d

Kv(\t)f+l ( —г + — — ) V/,dt. (10)

Г(у + 1)2и ]0 \ dt2 Ь ГЬ

Учитывая экспоненциальный рост ОФБ Ук{Ь), интегрированием по частям установим равенство

/ ¿2 к Г

^ V (

,0 КЛМ)е+1 (-^+-A)Mt)x dt=

-utvKJXt)+tv+1^-KJXt)] Yl(t)x dt dt J

tv+1 {A + \iu~ (1)) K^Y^x dt +

+ x linn {—vtvKv(At) + AtV+1K'V(At)} =

A2 I Kv(At)tV+1Yk(t)xdt + A-Vx lim (—vsVKv(s) + sV+1K'u(s)) . (11)

OO

Из (10) и (11) вытекает равенство

2—V

(А2/ - АМЛк = г(; + Ц Вт КЛГД.) - з"+1/С(з)) . (12)

Используя определение функции Ки (¿), предел в правой части равенства (12) вычисляется, и мы приходим к равенству

(Х21 — A)Q(X)x = х , х € О(А).

Поскольку в определении равномерной корректности задачи (1), (2) входит требование коммутирования операторов А и Ук (¿), то равенство Q(X)(X2I — А)х = х, х € О (А) доказывается аналогично.

Из оценки (3) вытекает ограниченность оператора Q(X) при И,еХ > ш. Таким образом, при х € О (А) имеем Q(X)x = (Х21 — А)—1х.

Если х € Е, то в силу плотности О (А) в Е возьмем последовательность хп € О (А), такую, что хп ^ х при п ^ то. Тогда, по доказанному, при п ^ то будем иметь

(Х21 — А^(Х)(хп — х) ^ х — (Х21 — А^(Х),

и требуемое равенство Q(X)x = (Х21 — А)—1х для любого х € Е вытекает из замкнутости оператора А. ■

Теорема 3. Пусть задача (1), (2) равномерно корректна и пусть Ук (I) - ОФБ для этой задачи. Тогда оператор А является генератором С0-полугруппы Т(I) и для этой полугруппы справедливо представление

1 Г ж

ТЦ)х = 2АТ((А: + 1)/2)^+В/2 Л, ^ ехР(“52/(^))П(^)^ ^ , хеЕ. (13)

□ Проверим, что резольвента Я(^) оператора А удовлетворяет условиям теоремы Хилле-Иосида (см. [9], с. 68). Из равенства (9) следует, что при ^ > ш2

(_1)п—1 с]п—1 Д"^= (и-1)!ф-1Д^^ =

( 1)п—1п—и гж ¿п—1

= (,,-1)!^+!) х * =

( ^)'n—l2—v—'n+1 г<х / 1 а \ п—1

[ } " 1 '--г)

(п — 1)!Г(^ + 1) ]0 \ г ¿г

где л = Ь^Д1.

Учитывая известную формулу

1 а N

--)^К^)) = (-1)га-1^-га+1А^_га+1(л) г аг I

выведем оценку для Rn(^)x. Имеем \\Rn(li,A)x\\ = ^

2n+v-l(n - 1)!Г(и + 1)^n/2-k/A

tv+nKv_n+1(ty/Jji)Yk(t)x dt

<

M1Ы1

< ^ W---------------\—Jo—Г77 f+n~1/2 exp ((Ш - JJI)t) dt. (14)

- 2n+v-l(n_ 1)!Г(//+ l)//,”/2-A-/4 J0 VM J \ >

Вычислив полученный в (14) интеграл, придем к оценке

||Я"(„Ы < _________________-«1 №)Г(п + к/2) ||х||_____________

II vA; II - 2n+v-i(,n- 1)!Г(// + 1)(^ - o;)ra+fc/Vi/2-fc/4 ' 1 J

С учетом предельного соотношения

lim (nk/2B(n, k/2)) = Г(к/2)

n^<x>

из (15) выводим

.... M2(k) M(к) 9ш2 , ,

Следовательно, в силу теоремы Хилле-Иосиды, оператор A является генератором Co-полугруппы T(t).

Непосредственной проверкой, используя тот факт, что функция Yk(t)x удовлетворяет уравнению (1), можно убедиться в том, что правая часть равенства (13) является решением следующей задачи Коши

v'(t) = Av(t) , v(0) = x, x E D(A). (16)

Действительно,

1 f ™ ( s2 \

AT(t)x = —г—г-. , ., , л,sfcexp ( — — | AYk(s)x ds =

w 2кТ(к/2 + 1/2рк+1У2 J0 V 4V

^ sfcexp (——^ (yI'(s)x + — Yl(s)x) ds =

2kT(k/2 + l/2)i(fc+D/2 J0 ° 4tj ук^^ 1 s

1 ГЖ

(sk exp(—s2/At))' Ya'(s):r ds +

2kr(k/2 + 1/2)t(k+l)/2 J0

к f ^

——---------, . ., ,.. sfc_1 exp(—s2/4t)Yl(s)x ds

2kr(k/2 + 1/2)t(k+1)/2J0 ) k\ )

2^Y(k/2 I 1/2)t^n I sb+‘ exP (~s) ds

к + 1 Г k ( s2\ . J

s exp —— i'k\s)x ds+

2k+lr(k/2 + 1/2)t(k+3')/2J0 \ 4t

ЭО

0

+ 2^Г(А-/2 I 1/2)/^ [ 8‘+2еХР (“¥ ' Гк(з)х * = Г'(();Г ■

Проверим теперь, что Т(¿)х удовлетворяет условию Т(0)х = х. После замены переменных в правой части равенства (13) получим

1 Г ^

Т{0)Х = Г((А’/2 + 1/2) I Т‘/2"/2 * =

= Цк/2+ 1/2) I =

Отсюда, в силу теоремы единственности для решения задачи (16), и следует представление (13). I

Теорема 3 позволяет при нахождении критерия равномерной корректности задачи

(1), (2) ограничиться классом операторов, которые являются генераторами Со-полу-групп Т(¿). Обозначим этот класс операторов через С.

В работе [10] показано, что если А Е С, то при И,еА > ш для а > 0 существует дробная степень резольвенты Я(А), которая имеет вид

1 Г ^

Яа(Х)х = ехр(—\1)Т(1)х сЫ , хеЕ. (17)

г(а) Л

Установим далее необходимое условие равномерной корректности задачи (1), (2).

Теорема 4. Если задача (1), (2) равномерно корректна и ЯеА > ш, то А2 принадлежит резольвентному множеству р(А) оператора А, для дробной степени резольвенты справедливо представление

Дм'/2(Л2)= г №/2+вдА./2 + 1/2)Л/ <‘'ехр(-Л*)ПМ* (18)

и при этом выполняются оценки

-]П

І^И1+А'/2(А2))

< ______________А 2 к М Г(А: + п + 1)_______________________ 9

- Г(А:/2 + 1) Г(Л:/2 + 1/2) (ИеЛ - и;)^1 ’ ’

□ Если задача (1), (2) равномерно корректна и И,еА > ш, то в теореме 2 установлено, что А2 принадлежит резольвентному множеству р(А) оператора А.

Воспользовавшись равенствами (17) и (13), запишем представление

1 Г ^

іг1+‘/2(А2) = Т(ЩТТ) I **ехр (-**)т Л =

1 1-1/2 ' \2.\ І I к „2

і 1/2 ехр(—А2і) ^! вк ехр(—в2/4і)Ук(в)^в^ ¿і

2к Г(к/2 + 1)Г(к/2 + 1/2) ^ \Л

вк ехр(-Ав)Ук(в) ¿в. (20)

0г 2_А- г°°

Г(к/2 + 1)Г(к/2 + 1/2)А,/ о

Учитывая оценку (3), из (20) получим

¿п

а (ЛЯ1+А'/2(Л2))

¿А

/тг 2~к Г°°

- Г (Ат/2 + 1)Г(Ат/2 + 1/2) і ») ИП(8)И * <

- Г(А-/2 ТЩф + 1/2) і ^ ЄХР(-КЄЛ 5 + ШЗ)СЫ =

_ Мфх 2~к Т(к + п + 1)

“ Г(А:/2 + 1)Г(А:/2 + 1/2)(КеЛ - ’

что и устанавливает справедливость неравенств (19). I

В заключение рассмотрим задачу отыскания решения неоднородного уравнения

«/ ч т ,, . с . . . . . с , ,

и (¿) Н---и (¿) + -ти(і) = Аи(і) + —г/о , і > 0 , (21)

і і2 і2

удовлетворяющего условиям (2), где А Є С/г, т > к, с < . Отметим, что при с = 0

уравнение (21) превращается в уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Будем искать решение п(і) задачи (21), (2) в виде

п(і) = Г(1 - в2)(т-к-2)/2вkQ(в)Уk(ів)uоdв о

аналогичном (5), с подлежащей определению функцией Q(в).

Вычислив П(і), П'(і) и Ап(і), после элементарных преобразований будем иметь

Г1

и"Ц) + — — Аи,(і) = (1 — 52)^т_А-_2^25А-+2(5(5)УА!/(^)г/:0 (¿5 +

і і2 о

т ґ г1

+ т (к [ (1 - з2){т-к-)/2зк-^(з)У^з)щ (1з+ кі \ Jо

+і ^ (1 - в2)(т-к)/2вкQ(в)У'(ів)по ¿в + ^ (1 - в2)(т-к)/2вкQl(в)Ук(ів)по -

о

- [\і - 82){т-к-2)/28к^{8)¥”{іф,0 (І8-- [\і ~ 82){т-к-2)/28к-^{8)¥^8)и0 (їв =

ио і и о

= —'*—Г Л1 - 82){т-к)/28к<2(8)АУк(І8)щ(І8 - у [\і - 82){т-к-2)/28к+1д(8)¥І(І8}и^8 +

т - к ./о і і о

+ ^ [ (1 - 82ут-к)/28кС}І(8)¥{,(І8Уи0 СІ8=~ [ (1 - 82){т-к)/28кОІ(8)¥І,(І8}и0 СІ8 =

т - к о і о

1 Г1 d

Ііт 8^(8) - — —((1 - 82Ут-к}/28к<Э'(8)) ¥к(І8)иО (ІЗ . (22)

і2 «^о і.о ¿в 4 '

Подберем функцию Q(s) так, чтобы

((1 - S2Ym-k)/2SkQ\s)) = С (1 - s2)("*-fc-2)/2 skQ_ (23)

Легко убедиться, что уравнению (21) удовлетворяет функция

Q(s) = ß 2Fl (p, q; (m — k)/2; 1 - s2) ,

где 2Fi - гипергеометрическая функция Гаусса, p, q - действительные корни уравнения

2 1 — m c (m — 1)2

# H--------# H— = U, так как с < -----------, p - постоянная.

2 4 “4

Выберем постоянную ß так, чтобы функция u(t) удовлетворяла начальным условиям

(2). Используя интеграл 2.21.1.6 в [11] получим

R =______________2Г(р+ 1)Г(д+ 1)_

1 Г(А:/1 + 1/2)Г(?в/2 — к/2)' { J

Вычислим теперь предел, входящий в равенство (22). С учетом формул 7.2.1.10, 7.2.1.7, 7.2.1.2 из [11] и (24), будем иметь

lim skQ'(s) = —2ß lim sk+i2Fi (p,q; (m — k)/2; 1 — s2) =

s^ü s^ü v '

= —4ß—^—r limsfc+12F1/ (p+l,q+l-, (m — k)/2 + 1; 1 — s2) = m — k s ^ü v '

ßc

lim2Fi (m/2 — k/2 — p,m/2 — k/2 — q; (m — k)/2 + 1; 1 — s2) = -c.

т — к «^о

Итак, из (22) - (24) окончательно получим

«« = г{^+{у2)г((П1-\)/2) [ 1-*2)П(«.5)и.„ * .

(25)

Отметим ряд частных случаев формулы (25). Если р = (т — к)/2, q = (к — 1)/2, то (25) примет вид

п(Ь) = 2р (1 — в2)р-1вУк(ts)п0 ds .

о

При с = 0 функция Q(s) = 1 и (25) превращается в

= В(к/2 + 1/2, т/2 — к/2) ~ * • (26)

Литература

1. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological space, II // J. Different. Equat. - 1969. - 6. - P.50-70.

2. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Киев: Выща школа, 1989.

3. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. ВИНИТИ. - 1990. - 28. - C.87-202.

4. Васильев В.В., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве II. Теория косинус оператор-функций // http://www.srcc.msu.su

5. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // ДАН. - 1997. - 352;5. - С.587-589.

6. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. -1951. - 1;2(42). - С.102-143.

7. Bragg L.R. Fundamental solutions and properties of solutions of the initial value radial Euler-Poisson-Darboux // J. Math. Mech. - 1969. - 18. - P.607-616.

8. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций / М.: Наука, 1974.

9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / М.: Наука, 1967.

10. Fattorini H.O. A note on fractional derivatives of semigroups and cosine functions // Pacific J. Math. - 1983. - 109;2. - P.335-347.

11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы / М.: Наука, 1986.

NECESSARY CONDITION OF SOLVABILITY OF THE CAUCHY PROBLEM FOR ABSTRACT EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION

A.V. Glushak, О.А. Pokruchin

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru,

pokru4in.oleg@yandex.ru

Abstract. Some properties of Cauchy’s problem solutions of the Euler-Poisson-Darboux equation and also necessary condition of its solvability are proved.

Key words: abstract Cauchy problem, Euler-Poisson-Darboux’s equation, operational Bessel function, solvability necessary condition.