Достаточное условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 35Q05

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ

A.B. Глушак, O.A. Покручин

Аннотация. Доказано достаточное условие разрешимости задачи Коши для абстрактно!^ уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Ключевые слова: абстрактная задача Коши, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, операторная функция Бееееля, достаточное условие разрешимости.

Пусть А — замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения О (А). Пр и к > 0 рассмотрим абстрактную задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона- Дарбу

Случай к = 0 подробно рассмотрен в [1], [2], [3]. В этих работах установлено, что задача (1), (2) при к = 0 равномерно корректна только тогда, когда оператор А является генератором операторной косинус-функции С(¿) или косинус-оператор-функции (КОФ). По поводу терминологии см. |4| и обзорные работы |?|, |5|, В этих же рабо-

А

геператором КОФ, которые формулируются в терминах оценки нормы резольвенты Я(Х) = (XI — А)-1 оператора А и ее производных.

Задача (1), (2) исследовалась ранее в работе |6|, в которой необходимое и достаточное условия разрешимости сформулированы в терминах оценки нормы резольвенты Я(Х) и ее весовых производных. В рассматриваемой работе получено достаточное условие на

А

степени резольвенты и ее, как и в случае КОФ, певесовых производных. Необходимое условие разрешимости получено ранее в |7|,

Работа первого автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 13-01-00378 А-2013

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, Белгород, Россия, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru, pokru4iri.oleg@yaridex.ru

k

и"it) + - и'it) = Au{t) , t > 0 u(0) = u0 , u'(0) = 0.

(1)

(2)

Обозначим через Сга(/,Е0) пространство п раз сильно непрерывно дифференцируемых при £ € I функций со значениями в Е0 С Е,

Определение 1. Решением уравнения (1) называется функция и(£), которая при £ > 0 дважды сильно непрерывно дифференцируема, при £ > 0 принимает значения, принадлежащие О (Л), то есть, и(£) € С2(Д+,Е) П С (Д+,О(Л)), и удовлетворяет уравнению (1).

Определение 2. Задача (1), (2) называется равномерно корректной, если существуют заданная на Е коммутирующая с Л операторная функция Ук (£) и числа М > 1, ш > 0 такие, что для любого и0 € О (А) функция Ук (£)и0 является ее единственным решением и при этом

||П(£)|| < Мехр(ш£) , (3)

НУ^Ы < Мехр(ш£) ||Ли0|| . (4)

Функцию Ук(£) назовем операторной функцией Бесселя (ОФБ) задачи (1), (2), а множество операторов, для которых задача (1), (2) равномерно корректна, обозначим через Ск, при этом С0 — множество генераторов операторной косинус-функции, а У0(£) =

С (£).

В определении 2 и в дальнейшем используется обозначение У(£)и0 = (Ук(¿)и0)'. В работе |7| доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если задача (1), (2) равномерно корректна и ЯеЛ > ш, то Л2 принадлежит резольвентному множеству р(Л) оператора Л, для дробной степени резольвенты справедливо представление

1 п те

Д1+А'/2(А2) = Г(А: + 1)Д Уо ** ехр(-А*)П(*) <Й (5)

и при этом выполняются оценки

(Ai?1+fc/2 (Л2))

dA

Теперь покажем, что неравенство (6) будет являться и достаточным условием равномерной корректности задачи (1), (2). В последующих леммах 1-7 мы будем предполагать, что оператор A является генератором аналитической С0-полугруппы T(t) (обозначим этот класс операторов через G) и выполнены оценки (6). Для ReA > ш положим Fk (A) = Г(к + 1)AR1+k/2(A2).

Лемма 1. Для для любого x G E справедливо равенство

lim //" 1 !■),.{ ii ).г = х . (7)

Г(к + 1) га^те

□ Пусть x G D(A) и Г = Г1 U Г2, оде Г1 (J Г2 — контур, состоящий из лучей A =

П

<т + рехр(—iip), 0<р<ооиА = <т + рехр(гр), 0 < р < оо, <т > о;о, — < <~р <

— + агсзт[Мо(А;)] Тогда справедливо равенство

= = ^ /г ^^т * * =

пк+2 /" 1 + Д

= Ъп]г (п2-^2^-Ц-Ж Ф =

пк+2 [ 1 1 [ пк+2

= ^п]г //■:/,2 ,,)'•*••-'•'' + 2™ уг =

1 г пк+2

При этом интеграл был вычислен с помощью замыкания в левую полуплоскость контура Г частью окружности радиуса Я, интеграл по которой стремится к нулю при Я — ж.

Нам осталось показать, что интеграл в последнем равенстве при п — ж стремится к нулю. Действительно,

Г пк+2 , . , г 1 Л а N1+к/2

Я([г)Ах ¿ц = / — 1 + ——-г Я([г)Ах (1¡л

]г ^(п2 — а)1+к/2 Уг а \ (п2 — а),

(1- {1 ■+ (1 ■+ ^/2) + + + У

' а у п2 — а (т + 1)! \п2 — а/ у

При т Е N вычислим интеграл

а"

1г (п2 — а)т+1

Я(а)Ах а,а = 2т Иш (,т Я(а))(т) Ах

"

= —У С" п2 Я3+1(п2)Ах.

3=0

Полученная сумма стремится к 0 при п — ж, поскольку операторная функция п2Я(п2) ограничен а, а Я(п2) стремится к нулю при п — ж. ■

Наша цель заключается в определении ОФБ Ук(£) как сильного предела некоторой последовательности. Предполагая, что А Е С и выполнены оценки (6), при к > 0 введем в рассмотрение последовательность линейных ограниченных при каждом £ > 0 операторов

( ^ пк+2т+2 \

П„« = е-' / + ЕНГщ^ ■

\ т=0 4 7 /

к=0

Из неравенства (6) следует, что ряд в (8) сходится равномерно по t в любом ограниченном интервале и, кроме того, для t > 0

||Yfc>ra(t)||< M1 , (9)

Действ итольдо,

lin m < e~nt (l + f "fc+2m+2 tm+1 • ^r(fc + m+l)\

11 k'n{t) 11 " l + m\ T(k + m + 2) (n - ш)к+™+1 I ~

( ™ „к+2т+2 л.т+1 \ / „2^ \

*(> +м Е („Д. **«р* ■

что и доказывает справедливость неравенства (9).

Аналогично доказывается и дифференцируемость Ук,п(в пространстве линейных ограниченных операторов.

Таким образом, к ¿кУк,п(Ь) можно применить преобразование Лапласа. Обозначим

г>те

Ffc>ra(A) = / e-xttkYk>n(t) dt, ReA > ^, (10)

J 0

при этом в силу дифференцируемости Yk,n(t) справедлива формула обращения

ра+гте

tkYk,a(t) = — extFk,n(\) d\, а>и1. (11)

Jа-гте

Лемма 2. Для любого x G D(A) существует сильный предел последовательности Yktn(t), и справедливо равенство

ра+гте

lim tkYk n(t)x =- / extFk(X)x d\, а > ил . (12)

п^те 2ni Ja-гте

□ Докажем вначале, что интеграл

ра+гте

/ extFk(A)x dA (13)

а- гте

имеет смысл для x G D(A). Действительно, используя формулу представления полугруппы через резольвенту, будем иметь

г а+гте г а+гте ( x 1 f A \

L. е*ЫХ)х dX=L.еЛ' Ы*+Wr vdX■

Да. icc. оцепим интеграл

Г а+гте / 1 Г A \

|А|

<

Со

учитывая очевидное неравенство т-г-г , ,, _

|Л2 — ^+к/2 |Л|1+к

Яе^ = ш1 > а, при этом |Л2 — > Ь > 0. Получим

справедливое для ЯеЛ = а,

Л

1г мл2 — ^)1+к/2

2М ||Ах

<

¿8

+

¿8

М\\Ах\

"¡Ар1" Ы(Ы + 1) ' Ль Ы(Ы + 1)

|Л|

к+1

¿8 2МПАх|| . / 1 .

11 11 1п ( 1 + — ) , а0 >шг ао

следовательно,

лст+гж

емТк (Л)х ¿Л

ао 8(8 + 1) |Л|к+1

еа1М 1п(1 + ао-1) ||Ах

<

¿т

п ]-ж (а2 + т2)1/2+к/2

Б(1/2,к/2)Мест4 1п(1 + а0-1) ||Ах||

пак

и рассматриваемый интеграл (13) существует.

Мы хотим показать, что для х € О (А) имеет место равенство (12). Отметим вначале, что справедливо равенство

-РА-,«(А) — , I

п

к+2

Лп

(п + Л)к+1 (п + Л)к+2 К уп + Л

Действительно, из (10) и (8) выводим

(14)

Fk,n(Л) = е-ЛЧкУк>п(1) ¿1

о

еж / ж к+2т+2

е

-(Л+п)4 I ,к

1к I +£(— 1)

п

¿к+т+1^кт)(пП ¿1

т=0

т! Г(к + т + 2)

п

к+2т+2

Пк + 1) _

(п + Л)к+! ¿.V Г(к + т + 2) ]0

\

¿к+т+1е-(Л+п)4 ^т)(п)) =

Г(А: + 1) (п + Л)

к+1

+

п

(п + Л) +2 т! п + Л

4 ' т=0

у —

< \ т I

1 ( Лп

т=0 т

(/г + Л)к+2 ^Л т\ \н ■ Л ' ± к

— п) Р(Г\п)

I

п

(п + Л) к+1 к+2 ^ Лп

Г(А: + 1)

(п + Л)к+1 ' ' (/?. + Л)к+2 V" + А

что и доказывает (14).

При каждом Л : ЯеЛ = а > из установленного соотношения (14) вытекает равенство

Г(к + 1)

Ит Л) -п^ж \ (п + Л)к+1

I = (Л).

(15)

эо

т

0

Чтобы перейти к продолу под знаком интеграла в равенство (11) покажем, что справедливо неравенство

М\

РкАХ) - (п + А)*+1 1

<

|А|

к+1

к > 0

(16)

Дня доказательства (16) воспользуемся представлением (14) и вытекающей из неравенства для резольвенты генератора аналитической полугруппы оценкой ||Гк(А)|| <

1,.° - ИеЛ > ш0 > 0, к > 0. Имеем |А|к+1 '

-РА-,«(А) — , I

(п + А)

к+1

п

к+2

Ап

п + Л

п к+2 п + Л

< Мо

п + Л А п

к+1

<

М1

|А|

к+1

(п + А)к+2

что и доказывает (16).

Из (15), (16) следует, что при х Е О(А) можно перейти к пределу под знаком интеграла в равенстве

гк¥к,Мх - = ГеЛ' - ,Г(А: 1) х ' а > > 0'

2пг Л-г^ V (п + А)к+1 )

и мы приходим к равенству (12). ■

Как следует из неравенства (9), последовательность Ук,п(£) равномерно по п ограничена и по лемме 2 сильно сходится на плотном в Е множестве О (А). В силу теоремы Банаха-Штейнгауза уже для любого х € Е существует предел

Иш Ук,п(^)х = Ук(£)х.

(17)

При этом определяемая равенством (17) операторная функция Ук (¿) обладает следующими свойствами:

Ук (0) = I, (18)

||Ук (*)||< М1 Ш1 >ш> 0 . (19)

Стало быть, к операторной функции ЬкУк(¿) можно применить преобразование Лапласа и, учитывая (9), (14) и (19), из (10) получим

е-А4Г Ук СО (И = Гк (А), ЛеА > ^ .

(20)

Лемма 3. Равенство (12) справедливо для любого х Е Е, если интеграл в правой части (12) существует.

□ Действительно, если интеграл в правой части (12) существует, то положив хп =

пк+1 Гк(п)х Е -О(Д), в силу леммы 2 получим

Г(к + 1)

2пг 2пг Г(к + 1)

■!/).<•„ = —- / ' л/ /•/,•! Л )•/•„ (IX = „ / емГк(Х)х (IX . (21)

Учитывая лемму 1, после перехода к продолу в (21), получим требуемое утверждение. ■

Лемма 4. Равенство ЛУк(г)х = Ук(г)Лх справедливо для любого х € Б (Л).

□ Поскольку Бк (п) = Г(к + 1)иЯ1+к/2(и2), то, очевидно, Бк (п) € Б (Л) а ЛБк (п)х = Бк (п)Лх.

По индукции для т = 1, 2,... имеем (п) € Б (Л) и ЛБ^ (п)х = Б(т\п)Лх. Следовательно, из (8) следует, что Ук>п(£)х € Б (Л) и ЛУк,п(г)х = Ук>п(г)Лх, и, в силу замкнутости оператора Л, получаем требуемое утверждение. ■

Лемма 5. Для определяемой равенствами (17), (8) операторной функции Ук (г) справедливо соотношение

Г* зк-1Ук(з) ¿8(11 = Г(А\+1)Да'/2(А2) , ИеА > ^

А

к е ио 1о

□

вания Лапласа, а также соотношение (20) позволяют записать равенства

рте г-Ь к Г^ к ¡"^

к / е"Л4 / 1 > А (^) = - / е-хНк-1УкЦ) сИ=- Бк^) сЬ = ./о Jо А }о А JX

= - Г(<л+ 1} Г zR1+k^2(z2) <1; = - Г(*л+ Ц Г Я1+к/2(0 с1( =

С)

те

X2

Г(А\+1)Дд-/2(Л2), ИоЛ >

Л

Лемма 6. Пусть х € Б (Л), тогда для определяемой равенствами (17), (8) операторной функции Ук (г) справедливо соотношение

г>те

/ е-хЧкУк(г)Лхйг = А2Бк(А)х - Т(к + 1)АЯк/2(А2)х, ЕеА > . о

□

рте

/ е-хЧкЛУк(г)х ¿г = Бк(А)Лх = Т(к + 1)АЯ1+к/2(А2)Лх = о

= -Т(к + 1) (АЯк/2(А2)Я(А2)(-А21 + А21 - Л) х = А2Бк(А)х - Т(к + 1)АЯк/2(А2)х. ■

Следующая лемма 7 является непосредственным следствием лемм 3, 5 и 6. Лемма 7. Пусть х € Б (Л), тогда для определяемой равенствами (17), (8) операторной функции Ук (г) справедливо соотношение

рЬ рт рЬ

/ / 8кУк(в)Лх ¿8 ¿т = гкУк(г)х - к 8 к-1Ук(э)х ¿8. (22)

о о о

□ Действительно, в силу леммы 6 справедливо равенство

-1- Г e~xttkAYk(t)x dt + ' S/' ' ' V 2íX2).r = Fk(X)x, ReA > A2 Jo A

из которого, учитывая леммы 3 и 5, выводим требуемое соотношение (22). ■

С помощью доказанных лемм 1-7 установим достаточное условие равномерной корректности задачи (1), (2). Напомним, что требования, обеспечивающие равномерную корректность, приведены в определении 2.

Теорема 2. Пусть A G G п выполнены оценки (6). Тогда задача (1), (2) равномерно корректна и при этом ОФБ Yk (í) определяется равенствами (17), (8), в частности, на

A

V,•:/)»„ = ' : !/ Г+г°° eAíAi?1+fc/2(A>0 d\ , Uo G D(A), a > ш . (23)

□

ная функция Yk (í), удовлетворяет всем требованиям определения 2. Из установленного в лемме 7 равенства (22) выводим равенства

í skYfc(s)Auo ds = íkYfc/(í)uo , (24)

o

íkYk(t)Auo = fcík-1Yfc/(í)uo + íkYfc//(í)uo ,

следовательно, Yk(í)uo удовлетворяет уравнению (1). Равенство (18) обеспечивает выполнение начального условия (2). Единственность же построенного решения задачи (1),

(2) фактически доказана в теореме 1 [7], если положить w(í, s) = f (Yk(s) (u1(í) — u2(í))). Операторная функция Yk(í) коммутирует с оператором A (лемма 4). Ее оценка вида

(3) установлена в (19), а оценка вида (4) вытекает из (24) и (19).

Таким образом, операторная функция Yk(t) является ОФБ для задачи (1), (2), а задача (1), (2) равномерно корректна. Завершая доказательство теоремы, укажем, что равенство (23) установлено в лемме 2. ■

Доказанные теоремы 1 и 2 объединяются в следующий критерий.

A

нератором аналитической C'^полугруппы. Для того чтобы задача (1), (2) была равномерно корректной, необходимо и достаточно, чтобы при некоторых постоянных M > 1, ш > 0 число A2 с ReA > ш принадлежало резольвентному множеству оператора A и

A

^ (а2))

Установим далее еще некоторые свойства ОФБ Yk(í),

Лемма 8. Пусть u0 £ D(Л), тогда для операторной функции Yk(t) справедливо соотношение

Y¿(t^ = -^-jYk+2(t)Auo, (26)

□ Пусть u0 £ D(A2), тогда, учитывая (24), непосредственной проверкой убеждаемся в том, что функция h(t) = —Yl(t)uo является решением уравнения

h"(t) + ^-р h'{t) = Ah{t), t > 0 , (27)

и удовлетворяет начальным условиям

\imJ-Yl{t)u0 = -^—Au0, ]im(hmu0) =0, щ £ D(A). (28)

t—0 t k + 1 t—0 y t J

Действительно,

1 k + 1 ít

h'(t) = -Yk(t)Au0 - J skYk(s)Au0 ds , (29)

h"(t) = ]Yl(t)Auo ~ '^ir^),At).\a„ - {l'' ' ' 21 J* skYk(s)Auo ds , (30)

и из (29), (30) выводим (27).

Первое из равенств (28) очевидно, в силу (24). А второе вытекает из (29), поскольку

h'( 0) = Jim ^ (V-'ní/I.U, - (k + 1) £ skYk(s)Au0 ds^j = lim = 0 .

На основании теоремы о единственности решения задачи Коши дня уравнения Эйлера-

uo £

d(a2).

Если u0 £ D(A), то, применяя доказанное утверждение к элементу w0 = R(¡2)u0, ¡ > ш, мы установим справедливость равенства (26) уже для u0 £ D(A). Отметим также, что из (26) вытекает и равенство

lim Уд" (í) tío = -г^—гАщ , uo е D (А). ■ t—k + 1

Теорема 4. Пусть задача (1), (2) равномерно корректна и Yk (t) является соответствующей ОФБ. Тогда имеет место равенство

Yk(t)Yk(s) = TtYk(s) ,

где оператор обобщённого сдвига T¡, соответствующий уравнению (1), определяется равенством (см. |9|)

T¡H(s) = [ Н (v- ' /2 — ^ .

□ Введем в рассмотрение функцию двух переменных w(t,s) = f (Yk(t)Yk(s)u0), где f G E* (E* — сопряженное пространство), t, s > О. Она, очевидно, удовлетворяет уравнению

d2w к д w d2w к dw ^ ^

дt2 t дt дs2 s дs

и условиям

w(0,s) = f(Yk(s)uo) , =

Полученная задача в классе дважды непрерывно дифференцируемых при t, s > О функций рассматривалась в |9| (§5, н.2). Из установленной в |9| явной формулы дня решения указанной задачи получаем w(t,s) = T¡f (Yk(s)u0) = f (T£Yk(s)u0), откуда, в силу произвольности f G E* и вытекает требуемое равенство. Ш

Литература

1. Fattorini H.О. Ordinary differential equations in linear topological space, II /7 .J. Different. Equat. 1969. 6. P.50-70.

2. Sova M. Cosine operator functions /7 Rozpr. mat. 1966. № 49. P.l-47.

3. Da Prato G., Giusti E. Una earatterizzazione dei generatori di funzioni coseno astratte // Boll. Union. Mat. Ital. 1967. №22. P.357-362.

4. Го-лдстейн Дж. Полугруппы .линейных операторов и их приложения / Киев: Выща шко-

асильев ¿.Ё', IvpcfiH С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения /7 Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1990. Т.28. С.87-202.

5. Васильев В.В., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве II. Теория косинус оператор-функций /7

http://\v\v\v.sгccлnsu.su/шvc/cnglish/about/homc_pagcs/piskaгcv/obz2гu.pdf

6. Глушак A.B. Операторная функция Бесселя // Доклады РАН. 1997. 352, №5. С.587-589.

7. Глушак A.B., Покручин O.A. Необходимое условие разрешимости задачи Коши для аб-страктнох'о уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /7 Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2012. №11(130). Вып. 27. С.29-37. "

8. Da Prato G., Iannelli M. Linear integro-differential eciuations in banach spaces // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova / 1980. 62. P.207-219.

9. Левитан Б.M. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. 1951. 1, Вып.2(42). С. 102 143.

SUFFICIENT CONDITION OF THE CAUCHY PROBLEM SOLVABILITY OF ABSTRACT EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION A.V. Glushak, O.A. Pokruchin

Belgorod State University, Studericheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: Glushak@bsu.edu.ru, pokru4iri.oleg@yaridex.ru

Abstract. The sufficient condition of the Cauchv problem solvability of abstract Euler-Poisson-Darboux equation is proved.

Key words: abstract Cauchv problem, Euler-Poisson-Darboux's equation, operator Bessel function, sufficient condition of solvability.