Об одной задаче управления для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 13

MSC 35Q05

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ

А.Н. Бабаев, А.В. Глушак

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: BabaevQbsu.edu.ru. GlushakQbsu.edu.ru

Аннотация. Рассматривается задача управления для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, в которой следует определитв начальные условия весовой задачи Коши, обеспечивающие заданные значения решения и её производной в произволвной точке T > 0.

Ключевые слова: абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, задача управления.

Пусть A — замкнутый оператор в банаховом пространстве E с плотной в E областью определения D(A). При 0 < к < 1 рассмотрим весовую задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

к u''(t) + ju'(t) = Au(t), t > 0 , (1)

u(0) = u0 , lim tku1 (t) = u1. t^o (2)

В работах [1], [2] для уравнения (1) при значениях параметра к > 0 исследована разрешимость задачи Коши с условиями

u(0) = u0 , и'(0) = 0 (3)

и доказан критерий равномерной корректности этой задачи, который формулируется в терминах оценки нормы дробной степени резольвенты R(X) оператора A и ее производных. Множество операторов A, для которых равномерно корректна задача Коши (1), (3) обозначим через Gk, а соответствующий разрешающий оператор, который называется операторной функцией Бесселя, будем обозначать Yk (t).

Случай к = 0 подробно рассмотрен в классических работах [3], [4]. В них установлено, что задача (1), (3) при к = 0 равномерно корректна только тогда, когда оператор A является генератором косинус-оператор-функции C(t).

Пусть задан оператор A Е Gk и uo,ui Е D(A). Согласно работе [5], единственным решением задачи (1), (2) будет функция

u(t) = Yk(t)uo + (1 - к) 1t1 кY— (t)ui. (4)

Отметим также, что при к > 1 задача (1), (2) корректной не является.

Работа второго автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 13-01-00378 А-2013.

14 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

В настоящей работе рассмотрим задачу нахождения начальных условий uo и u 1 по заданным финальным значениям

u(T) = U2 , Щ(T) = из • (5)

Полученная задача (1), (5) и будет простейшей задачей управления для абстрактного уравнения ЭПД (1).

Подставляя определяемое равенством (4) решение в финальные условия (5), получим систему операторных уравнений

Fi(T)uo + F2(T)ui = u2 , (6)

F'(T)uo + F2(T)ui = u3 , где Fi(t) = Yk(t), F2(t) = (1 - к)-lt1 -kY— (t). (7)

Все операторы, входящие в систему (6), (7), являются ограниченными и коммутирующими друг с другом операторами. Поэтому систему (6), (7) можно решать так же, как и в скалярном случае. Важную роль при этом играет операторный определитель этой системы

w(t)= F {t) W (t) Fit) F2(t) ' Теорема 1. Пусть 0 < к < 1 и A Е Gk. Тогда операторный определитель W(t) удовлетворяет операторному уравнению

к W' (t) + jW (t) = 0 (8)

и начальному условию lim tk W (t) = I t^o (9)

и, следовательно, W(t) = t-kI. □ Пусть uo Е D(A). Тогда

W(t)uo = Fi(t)F2(t)uo - F[(t)F2(t)uo •

Вычисляя производную, получим

W(t)uo = F[(t)F2(t)uo + Fi(t)F2(t)uo - F['(t) Fi(t)uo - F[(t)F2(t)uo =

= Fi(t)F2(t)uo - F1'(t)F2(t)uo ,

и, поскольку Fl(t)uo и F2(t)uo удовлетворяют уравнению (1), после подстановки в левую часть (8), будем иметь

к k к

W(t)uo + tW(t)uo = Fi(t)F2(t)uo - F"(t)F2(t)uo + jFi(t)F2(t)uo - fF[(t)F2(t)uo =

= FI(t)(^F2(t) + tm)) u - (flit) + tw)) F2(t)uo =

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 15

= Fi(t)F2(t)Au0 - Fi(t)F2(t)Au0 = 0 .

Поэтому в силу плотности D(A) в E имеет место равенство (8). Справедливость же начального условия (9) очевидно следует из представления

W(t)uo = Fi(t)F2 (t)uo - Fi (t)F2(t)uo =

t kYk(t)Y2-k(t)uo + (1 - k) lt1 кYk(t)Y2,_к(t)uo - (1 - k) lt1 кY£(t)Y2-k(t)uo

и равенства (см. [2])

Y,(t)uo

t

k + 1

Yk+2Auo .

(10)

Из теоремы 1 следует, что оператор W(T) обратим и W-i(T) = Tк. Кроме того, при решении системы (6), (7) методом исключения неизвестных, используется равенство (10) и формула сдвига по параметру для ОФБ (см. [1])

Ym(t')uo

B(k/2 + 1/2,m/2 - k/2) Jo

(1 - s2)(m-k-2)/2skYk(ts)uo ds,

где m > k, B(a, b) — бета-функция Эйлера.

Теорема 2. Пусть 0 < k < 1, A £ Gk, u2 £ D(A), us £ E. Тогда задача (1), (5) имеет единственное решение, определяемое равенством (4), где

uo

( T2 ) T

V-(T> + W-k+3AY-(Т)) щ - —к Y2-k(Тu

T i+k

ui = TkYk(T)u3 - —rAY2+k(T)u2 .

(H)

(12)

1 + k

□ Действительно, также как и в скалярном случае, рассмотрим два вспомогательных символических операторных определителя

Ап

u2

(1 - k)-iTi-kY2-k(T)

u3 T-kY2-k(T) + (1 - k)-i(3 - k)-iT2-kAY-k(T)

= T-kY2-k(T)u2 + (1 - k)-i(3 - k)-iT2-kAY-k(T)u2 - (1 - k)-iTl-kY^-.k(T)u3 =

T

— k

((v2-k(T) + kt-^AY-(T)) “2 - T-P^k(T)*)

И

Ai

k2 - 4k + 3

Yk (T) u2

(1 + k)-iTAY2+k (T) u3

л—k I rrik-\

= Yk(T)щ -

T

1 + k

AY2+k (T)u2 =

/ T i+k \

= T-kl TkYk(T)us - Y+kAY2+k(T)u2j .

Умножая Ao и Ai на W i(T) = Tk, получим (11) и (12). ■

2

16 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

В частном случае, когда к = 0 и A Е G0 решение задачи управления имеет вид

u(t) = C(t)u0 + S(t)ul, где C(t) — косинус-оператор-функция,

t

S(t) = J C(s) ds, u0 = C(T)u2 — S(T)u3, ul = C(T)u3 — S(T)Au2.

0

Литература

1. Глушак А.В., Покручин О.А. Необходимое условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2012. - № 11(130); Вып. 27. - С.29-37.

2. Глушак А.В., Покручин О.А. Достаточное условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2014. - №19(190); Вып. 36. - С.17-26.

3. Fattorini Н.О. Ordinary differential equations in linear topological space, II // J. Different. Equat. - 1969. - 6. - P.50-70.

4. Sova M. Cosine operator functions // Rozpr. mat. - 1966. - № 49. - P.1-47.

5. Глушак А.В., Кононенко В.И., Шмулевич С.Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши // Известия ВУЗов. Математика. - 1986. - №6. - С.55-56.

ABOUT AN CONTROL PROBLEM OF ABSTRACT EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION

A.N. Babaev, A.V. Glushak

Belgorod State University,

Pobedy Str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: BabaevQbsu.edu.ru. GlushakQbsu.edu.ru

Abstract. The control problem of abstract Euler-Poisson-Darboux equation is under consideration. It consists of the foundation initial conditions of weight Cauchy problem which guarantee some given values of solution and its derivative in arbitrary point T > 0.

Key words: abstract Euler-Poisson-Darboux equation, control problem.