CC BY
30
МАТЕМАТИКА
MS С 35Q05
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ
Аннотация. Исследованы условия разрешимости задачи Коши для абстрактно!^ уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с фред!'ольмовым оператором при производных.
Ключевые слова: абстрактная задача Коши, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, фред-гольмов оператор, каскадный метод.
Пусть A — линейный замкнутый оператор, действующий из банахова пространств Ei в банахово пространство E2, с плотной в Ei областью определения D(A).
Оператор A называется нётеровым, если его образ im A замкнут, ядро ker A конечномерно и дефектное пространство coker A конечномерно .Разность dim ker A—dim cok er A
A
дексом фредгольмовым.
При k > 0 рассмотрим задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с фред-
A
Для простоты изложения будем считать В ограниченным оператором. Отметим также, что уравнения, неразрешённые относительно старшей производной производной, принято называть уравнениями соболевского тина.
В случае существования ограниченного обратного А-1 задача Коши (1), (2) исследована в |1|, |2|, 131. В этих работах необходимое и достаточное условия разрешимости за-
А-1В
и ее производных.
А
при производных будут использованы результаты работы |4|, в которой рассмотрена задача Коши для уравнения первого порядка
ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ
A.B. Глушак
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, Белгород, e-mail: [email protected]
A (tku'(t))' = tkBu(t) , t > 0 u(0) = Uo , u'(0) = 0 .
(1) (2)
Au'(t) = Bu(t), u(0) = Uo
(3)
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 1301-00378 А-2013
с фредгольмовым оператором A при производной. Обзор других исследований, посвященных разрешимости задачи (3) может быть найден в |5|- |8|, По поводу линейных уравнений соболевского тина высокого порядка см. |9|,
Предложенный в работах |4|, |8| метод (каскадный метод) основан па последовательном расщеплении рассматриваемого уравнения па уравнения в подпространствах, одно из которых конечномерно. При этом в другом из подпространств получается уравнение, с обратимым оператором при старшей производной.
Обозначим через Cn(T, Eo) пространство n раз сильно непрерывно дифференцируемых при t G T функций со значеныями в E0 С E,
Определение 1. Решением уравнения (1) называется функция u(t) G C2(R+,Ei), для которой u'(t), u''(t) G D(A) при t > 0, и удовлетворяющая уравнению (1).
Для фредгольмова оператора A с dim ker A = dim coker A = mo существует разложение банаховых пространств Ei и E2 в прямые суммы (см. [10], с. 336):
Ei = ter A + coim A , E2 = im A + coker A . (4)
Для j = 1, 2 обозначим единичный oneратор в Ej через j проектор на ker A -через Po, P0 : E1 — ter A, проектор на coker A — через Qo, Qo : E2 — coker A, a сужение оператора A на coim A P| D(A) = M — через A, A : M — im A.
Поскольку оператор A отображает M та im A взаимно однозначно, то, согласно теореме Банаха, имеет ограниченный обратный оператор A-1 : im A — M, т.е. A-1 G L(im A, M).
В дальнейшем нам также понадобится оператор Ho = A-1 (I2 — Q0), Ho G L(E2, M).
Лемма 1 [4]. Пусть x G D(A), y G E2. Тогда уравнение Ax = y эквивалентно системе
Qoy = 0 , x = Hoy + Pox ,
где P0x — произвольный элемент подпространства ker A.
A
ограниченным оператором ÀB, оде A G C — малый по модулю параметр, и исследованию обратимости оператора A+ÀB, При этом существенную роль играют В-жордановы цепочки оператора A, в терминах которых описываются свойства оператора (A + ÀB)-1, Основное содержание настоящей статьи составляет применение результатов, получаемых в зависимости от условий существования оператора (A + ÀB)-1, к изучению вопросов существования, единственности и неединственности решения задачи Коши дня сингулярного дифференциального уравнения второго порядка с фредгольмовым оператором при производных.
Для x G D(A), y G E2 рассмотрим уравнение
(A + ÀB)x = y (5)
À
стеме
Qoy — ÀQoBx = 0 , (6)
x = H0y — AH0Bx + P0x . (7)
Если 0 < |A| < ||H0B||-i, то уравнение (7) принимает вид
x = (Ii + AH0B)-1(H0y + P0X) , (8)
где P0x — произвольный элемент подпространства ker A, Подставляя (8) в (6), получим
Q0B{h + \H0B)-lP0x = \{Qo~ \QoB{h + АЯ0Б)-1Я0) y. (9)
Введём обозначения
Q0B = S0 G L(Ei ,coker A), Я0В = T0 G L(Ei, M), S0P0 = Ai G L(ker A ,coker A),
Pqx = xi G ker A, j (Qo - XQ0B(Ii + XHQB)~lHQ) y = yx G coker A
A
и запишем уравнение (9) в виде
Aixi = AS0T0(1i + AT0)-1xi + yi. (10)
Таким образом, при 0 < |A| < ||T0||-i уравнение (5) эквивалентно системе (8), (10).
Ai xi
что влечёт за собой существование и ограниченность оператора (A + AB)-i при
0 < |A| < 11T01 i (1 + ||A-iS0|)-i . Ai Ai
гольмовым оператором, причем dim ker Ai = dim coker Ai = mi < m^ и mi = m0 только тогда, когда Ai = 0, Если же Ai = 0, то mi < m0 и тогда подпространства ker A, coker A разложимы в прямые суммы подпространств
ker A = ter Ai + coim Ai, coker A = im Ai + coker Ai.
Повторяя приведённые выше рассуждения, заменим уравнение (10) эквивалентной ему системой. После неоднократного применения леммы 1 устанавливается зависимость
A0 = A
Aj G L (ker Aj-i, coker Aj-i) j > 1.
Операторы Aj для j > 1 вычисляются по формулам Aj = Sj-iPj-i, где
Sj = QjSj-iTj-u Tj = Tj-i — HjSj-iTj-i, Hj = A4ji(Qj-i — Qj), (11) Aj — сужен не Aj на Mj — прямое дополнены e к ker Aj в ke r Pj — проектор н a ker Aj
Aj-i Qj Aj Aj-i mj = Aj = Aj
Теорема 1 [4]. Для того, чтобы оператор A + AB имел обратный при достаточно A
число р./ что оператор Ap обратим, и в этом случае
(—i)p-i
(А + АВ)~ = ———RvQp_iQp_2 ■ ■ ■ Q1Q0+
(-!)Р-2 гл гл ^ о тт оо^ о ^ ^^ (—1)Р-3
H — (RpQp-iQp-2 ' ' ' QiSoHo(l2 — BRiQo) + Rp_iQp_2 • • • QiQo) + др-2 '
где Rp = A-1, Rp-j = Hp-j + Tp_jRp_i+iQp_j для j = 1, 2, - 1.
Замечание 1 [4]. Если оператор (A + АВ)-1 существует при некотором Ао, то он существует и ограничен при всех А : 0 < |А| < |А0| из некоторой «проколотой» окрестности пуня.
Пусть при достаточно малых по модулю А оператор A + АВ обратим. Тогда введём в рассмотрение оператор АЛ = 11 — А(А + АВ)-1В, Ал G £(£1; £1), keг Ал = ter A.
Теорема 2 [4]. Число 0 для оператора A\ при достаточно малых по модулю А является нормальным собственным числом.
Утверждение теоремы 2 означает (см. |11|, с. 23), что алгебраическая кратность собственного числа 0 конечна, а пространство £1 разлагается в прямую сумму инвариантных относительно Aa подпространств
£1 = M + N. (12)
Разложение (12) не зависит от А, при этом N — n-мерное корневое подпространство оператора Aa, n = m0 + m1 + ■ ■ -mp-1, a M = {x G E1 : Sjx = 0, j = 0,1, ...,p — 1}, точнее, M = Mp, указывая на зависимость от p.
Сужение Aa оператора Aa на M имеет ограниченный обратный
A"1 = h + ATp , (13)
а операторы
P-1
Q П^ — Rp-j Sp-j-1), P = I1 — Q (14)
j=0
проектируют £1; соответственно, на M и N.
Как мы увидим из дальнейшего, свойства решения задачи Коши (1), (2) с фред-
A
A + АВ, Если этот оператор обратим при достаточно малых по модулю А, то тогда существует оператор Aa, для которого, согласно теореме 2, число 0 является нормальным собственным числом. При этом справедливо разложение (12), осуществляемое с помощью проекторов Q и P, вычисляемых по формулам (14). В свою очередь, n-мерное
N
N = N0 + N1 + ■ ■ ■ + Np-1, (15)
где N0 = ter Aa = ter A, Nj — линейная оболочка j-ых присоединённых элементов оператора Aa для j = 1, 2,...,p — 1. Представление (14) справедливо в силу конеч-
N
оператора Aa, Окончательно, E1 = M + N0 + N1 + ■ ■ ■ + Np-1, a любой элемент x G £1 представим в виде
x = xM + x0 + x1 + ■ ■ ■ + xp-1, (16)
где хШ € Ш , хз- € N для ] = 0,1, 2, ...,р — 1.
Теорема 3. Пусть оператор А + АВ обратим при достаточно малых по модулю А. Для того, чтобы задача (1), (2) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы П0 € Ш. В этом случае решение п(£) единственно, принадлежит Ш и имеет вид
«(*) = У*(*; Тр)и0 = Т(к/2 + 1/2) £ г\[72 + 1>/2°+л , (17)
где число р п оператор Тр определяются теоремой 1 и равенствами (11).
□ К обеим частям уравнения (1) применим оператор (А + АВ)-1 и в банаховом пространстве Е1 получим эквивалентное (1) уравнение
¿к
Ах (г*и'(г))' = -(/1 - Ах)и{1), I > О . (18)
А
Используя представление м(£) = мШ(£) + м0(£) + п1(^) + ■ ■ ■ + мр-1(£) (см. (16)) и замечая, что Ади0(£) = 0 Алпз-(¿) € от уравнения (18) перейдём к уравнениям,
соответственно, в подпространствах Ш, N0, ...,
. +к
Ах и= у (Д - Ах)ит{^), (19)
¿к
АЛ (¿Х(*))' = - (и0(*) - Лг/,^)) ,
tk
Ал (^Mp.iii))' = у (Wp_2(t) - AAMp_i(i)) , tk
0 = у Mp-i(i) •
Из последнего уравнения следует, что Up_i(t) — 0. Учитывая это равенство, из предыдущего получим up_2(t) — 0, Аналогично установим, что up_3(t) — • • • — u0(t) — 0. Таким образом, Pu(t) = 0 да я t > 0.
К обеим частям уравнения (19), рассматриваемого в подпространстве M, применим оператор A-1, Учитывая равенство (13), получим
j-k
(tku'm(t))' = - h)um(t) = Tpum(t) • (20)
Уравнение (20) представляет собою уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу с ограниченным оператором Tp, следовательно, задача Коши (20), (2) при любом U0 G M имеет (см. |1|, |3|) единственное решение, определяемое равенством (17), причём это решение не зависит от А. I
Рассмотрим теперь случай, когда оператор A + АВ не является обратимым ни при
А
Замечание 2 [4]. Если оператор А + АВ не является обратимым ни при каком достаточно малом по модулю А, то существует такое натуральное число д, что то > т1 > ... > тд = тд+1 > 0, В этом случае Ад+- = 0 а Pq+j = Р^ Qq+j = Qq, Tq+j = Тд, Sq+j = ^ для ^ > 1 и элементы из кег Aq имеют цепочки из В-присоединённых элементов бесконечной длины. М = (ж € Е1 : Sj• ж = 0, ] = 0,1, 2,...} и, в отличие от теоремы 3, М =
Теорема 4. Пусть оператор А+АВ не является обратимым ни при каком достаточно малом по модулю А. Задача (1), (2) имеет решение и(£) в том и только в том случае, если и0 € М. При этом решение и(£) € М н неединственно. Оно имеет вид
и(£) = П(£; Tq)ио+ г г
'Л^Тч) 1т*¥к(т;Тя)РМт)^-Щ^ I т¥2.к(т-,Тд)РМг)с1т, кф\, (21) оо «(£) = ЗД; Tq)ио+ г г
+ Tq) I Т У^Т; Tq)Р,и(т) ¿Т - ЗД; Tq) I Т ^(т; Tq)Pqи(т) ¿т, к =1, (22) оо где £кPqи(£) — произвольная непрерывная функция от £ от значениями в кет А1},
ЗД Тд) = 1}( 1 - г2)"1/* 1п(* - ¿г2) £ ¿г .
о j=0
□ Необходимость. Уравнение (1) в силу леммы 1 эквивалентно системе
Sоu(t) = 0 , (23)
(£кп/(£))/ = £к №«(£) + Рои(£)) , £ > 0 , (24)
где £кРои(£) — произвольная непрерывная функция от (качениями в кег А.
Продифференцировав (23) по £ и подставив вместо (¿км'(£)) выражение (24), полу-
А1Рои(£) = -SоTоu(í). (25)
Согласно лемме 1 уравнение (25) эквивалентно системе
S1u(t) = 0 , (26)
Рои(£) = Р^) - ЯlSоTоn(í). (27)
Подставляя (27) в (24), получим
(£кп/(£))/ = £к (ЗД*) + Рп(£)) , (28)
чим
где tkpu(t) — произвольная непрерывная функция от значениями в ker Ai. Продолжая рассуждения, на q-ом шаге получим уравнение
AqPq-i«(t) = -Sq-lTq-iU(t) .
с необратимым оператором Aq, Следовательно,
(tku'(t))' = tk (Tqu(t) + Pqu(t)) , (29)
где tk Pq u(t) — произвольная непрерывная функция от зн ачениями в ker Aq,
Заметим, что на каждом из первых q шагов происходит уточнение произвольной функции tk Pj «(^поскольку ker Aj Ç ter Aj-:i, a затем, в силу рав енства Pq+j = Pj для j > 1, произвольная функция tkPq+ju(t) всё время принадлежит ker Aq.
Таким образом, в уравнении (29) слагаемое tkPqu(t) произвольно, a oneратор Tq ограничен. Следовательно (см. [12]), решение u(t) вычисляется по формулам (21), (22). Из соотношений (23), (26) выводим равенства Sj u(t) = 0 для люб ого j > 0. Стало быть, Uo G Ми необходимость утверждения в теореме 4 доказана.
Достаточность. Пусть Uo G Ми k = 2n — 1, n G N. Рассмотрим определяемую равенством (21) функцию u(t), Очевидно, u(0) = Uo, Покажем, что эта функция u(t) является решением уравнения (1) или также, как и при доказательство необходимости, является решением системы (23), (24). Дифференцируя (21), получим
(tk «' (t))' = tk (Tq U(t) + Pq «(t)) = tk (ToU(t) + (Tq — To)u(t) + Pq «(t)) =
= tk (Tou(t) + Poui(t)) , (30)
где функция Pou1(t) принадлежит ker A.
Осталось проверить выполнение тождества (23). По индукции (см. |4|) доказывается
()
Sj (tku'(t))' = tkSj+iu(t) , j = 0,1,..., q — 1. (31)
Применим далее оператор Sq к определяемой равенством (21) функции u(t). Для k = 2n — 1, n G N получим
~ (t/2)2j SqTj Uo
t
Ktl~k f^ (¿/2)2j f - (r/2) SqTq+3 Pqu(r)
2cos(ttA:/2) ^ j! Г(3/2 - fc/2 + j) J T ^ il T{k/2 + 1/2 + г) T
j—° o i—o
n ^ (t/2)2j } ^ (T/2)2i SqT*+j PqU(T)
_ y- / y- y/-; dr
2cos(ttA:/2) ^ ./! Г(А:/2 + 1/2 ■ j) J ^ г! Г(3/2 - fc/2 + г)
= W^^sSfe +
^ ^ (ФУ23 f к у (г/2)2- Ад+1+г+Мг)
21, ;! ГЛЧ/9 - fr/9 4- -Л / Т -Я V(k/'J 4-1/9 4- -Л
2 cos(nk/2) j! Г(3/2 - k/2 + j) 0 i! Г(к/2 + 1/2 + i)
г
л_у т* /-гу(г/2)2-л+1+г+/и(г) _
2со8(7гА:/2)^^!Г(А:/2 +1/2 + ^)7 ¿! Г(3/2 - к/2 + г) '
Из (32) и (31) вытекает равенство
5,-1 (гк и' (г))' = 0. (зз)
Интегрируя равенство (33), и учитывая условие 5,-1и(0) = 5,-1Цо = 0, последовательно получим
5,-1и' (г) = 0 , 5,-1и(г) = 0 .
Продолжая рассуждения аналогичным образом, придём к тождеству 50и(г) = 0 при г € [0, оо) и доказательство достаточности для случая к = 2п — 1, п € N завершено.
Аналогично рассматривается и случай к = 2п — 1, п € N ■
Далее при к > 0 рассмотрим задачу Коши для уравнения, отличающегося от уравнения (1) расположением оператора Л, а именно:
(гкЛ^'(г))' = гк£^(г), г> 0, (34)
г>(0) = ио , V '(0) = 0 . (35)
Определение 2. Решением уравнения (34) называется функция v(t) G C 1(iî+,Ei), для которой v'(t) G D(A) при t > 0 Av '(t) G C 1(Д+, E1), и удовлетворяющая уравнению (34).
Теорема 5. Пусть оператор A + ÀB обратим при достаточно малых по модулю Л. Для того, чтобы задача (34j, (35J имела решение, необходимо и достаточно, чтобы U0 G Ш. В этом случае решение v(t) единственно, принадлежит Ш и имеет вид
гс (t/2)2j U
»(*) - Tp)Uo = T(k/2 + 1/2) £ r^ + 1P/2°+j) , (36)
где число p и оператор Tp определяются теоремой 1 и равенствами (11).
□ Уравнение (34) проинтегрируем и к обеим частям полученного уравнения применим оператор (A + ÀB)-1, В банаховом пространстве E1 будем иметь эквивалентную (34), (35) задачу нахождения решения уравнение
t
Axv'ii) = rk(h ~ AMr) dr, t > 0 , (37)
0
удовлетворяющего условию у(0) = Ц0, при этом условие V(0) = 0 автоматически выполнено.
Используя представление = + у0(£) + + ■ ■ ■ + г>р-1(Ь) (см. (16)) и
замечая, что Аду0(Ь) = 0 Ал^- (Ь) € от уравнения (37) перейдём к уравнениям,
соответственно, в подпространствах М, ...,
г
АмШ = / - Ал)г-5Л(т) с1т , (38)
0
г
Аху'гИ) = / ^Ыт) - ЛАгл(т)) с1т , 0
г
Ахи'р^Ц) = ¿Утк(ур-2(т) - Алг'Р-1(г)) ¿г, 0
г
о = ¿71 гЧ-1(г) ¿¿Т. 0
Из последнего уравнения следует, что г>р-1(£) = 0. Учитывая это равенство, из предыдущего получим = 0 Аналогично установим, что ур_3(Ь) = ■ ■ ■ = у0(£) = 0.
Таким образом, = 0 для Ь > 0.
К обеим частям уравнения (38), рассматриваемого в подпространстве М, применим оператор А-1, Учитывая равенство (13), получим
г
= ^ I г%1'ш(т) с1т. (39)
0
Уравнение (39) — это уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу с ограниченным оператором Тр, следовательно, задача Коши (34), (35) при любом Ц0 € М имеет единственное решение, определяемое равенством (36), причём это решение не зависит от Л. I
Из теорем 3 и 5 следует, что если оператор А + ЛВ обратим при достаточно малых Л
и(Ь) =
Аналогично теореме 4 устанавливается следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть оператор А+ЛВ не является обратимым ни при каком достаточно малом по модулю Л. Задача (34), (35) имеет решение в том и только в том случае, когда Ц0 € М. При этом решение € М и неединственно. Оно имеет вид
^) = Ук(Ь; Т,)Цо+
г г
* - У-к (¿5 Тч) [ \ л Ук Тч)
+ " ТТ / тк У*(т; Т^ф) ¿т - / г У2_*(т; Т^ф) ¿т , ¿/1,
1 - к } , ! - к
0 0
и(*) = (¿; Тч)ио+
ч) г
(¿; Тч)у тУ1 (т; Тч)Р,г;(т) йт - У (*; Тч)у т ^(т; Тч)Р,и(т) йт, к =1 ,
00
где *кРч— произвольная непрерывная функция от I со значениями в кет Ач. Наконец, при к > 0 рассмотрим ещё одну задачу Коши
(*к(А^(*))')' = ¿к, * > 0 , (40)
м(0) = и0 , Иш (А™(*))' = 0 . (41)
Определение 3. Решением уравнения (40) называется функция и>(*) € С(Р+, Р(А)), для которой Аи>(*) € С 1(Р+, Е1) П С2(Р+, Р1), я удовлетворяющая уравнению (40).
Из существования производной у функции Аи>(*) не следует, вообще говоря, диф-ференцируемость поэтому решение уравнения (40) представим в виде
Ц*) = (/1 - Р)М*) + . (42)
При этом Аи>(*) = А(/1 - Р0)и>(*;), и го дифференцируемости функции Аи>(*) следует дифференцируемость функции (/1 - Р0)^(*), поскольку сужение оператора А на М,
которое мы обозначили через А, обратимо. Стало быть, уравнение (40) можно записать ()
(*кА ((/1 - Р,М*))')' = *кР(Р - Р,М*) + *кРР0^(*), * > 0 ,
или, учитывая второе из условий (41), в виде
г
А ((Л - РоМЬ))' = (гкР(Р - РоМт) + ткВР01и(т)) Ат , * > 0 . (43)
0
В силу леммы 1 уравнение (43) эквивалентно системе
^0Р(/1 - Р)М*) + д0РР)РМ*) = 0, * > 0,
г
й 1 г
-(11-Р0)ь){г) = ^ / тк(Н0В(11-Р0)Ш{т) + Н0ВР0Ш{т)) йт,
0
которую перепишем в виде
50 (/1 - Р>И*) + А^Ц*) = 0 , (44)
г
^ (Р - Р0) юЦ) 1 I г' (Р0(Р - Р0)т(т) + Т0Р0т(т)) с1т . (45)
0
Выразим элемент Р0и>(Ь) с помощью (44) через (р — Р0)и из уравнения (45) найдём (р — Р0)и>(Ь), Так как А1 — фредгольмов оператор, то соотношение (44) эквивалентно системе
^(р — Ро) ЦЬ) = 0, (46)
Ро^(Ь) = — Я^Р — Ро)^(Ь) + РЦЬ). (47)
Подставив выражение для Р0и>(Ь) из (47) в уравнение (45), получим
г
-|(Р - Р0)юЦ) = ^ I тк\Ъо(Р ~ Я^оХР - Р0)т(т) +Т0Р1т(т)) с1т. (48)
о
Соотношения (44), (45) эквивалентны соотношениям (46), (47), (48). Если из (47) выразить Р0эд(Ь) и подставить в (42), то вместо (42) для получим новое представление
ЦЬ) = (/1 — РоМ*) — Я1^о(/ — Ро)^(Ь) + Р1^(Ь) = (/1 — Я^оХР — РоМ*) + . (49)
Продифференцируем соотношение (46) и подставим в полученное равенство выра-жепие (48)) дня ^(Р ~~ Ро)^'(^)- Получим тождество
г
^ I т'С^Бо(Ро(Р - Я150)(Р - Ро)ги(г) + РоРЦт)) с1т = 0 , о
из которого выводим
^адр — РоМ*) — ^адЯ^р — Р>м*) + ^адр^) = 0,
А2РЦЬ) + ЗД — Я^оХ/ — Ро)ш(Ь) = 0 . (50)
Оператор А2 фредгольмов, поэтому (50) эквивалентно системе
^ЗД — я^оХР — Ро)^(ь) = 0, (51)
РЦЬ) = — Я2ЗД — Я1^о)(/1 — Ро)ад(Ь) + РгЦЬ) , (52)
где Р2и>(Ь) € кег А2.
Подставим формулу (52) в уравнения (48) и (49), тогда вместо них получим, соответственно , уравнения
г
^(Р - Р0)юЦ) = ^ I гА'(Р0(Р - Я2^)( Р - Я150)(р - Ро)ги(г) +Т0Р2гу(г)) с1т ,
о
Ц*) = (Р - Я2^1)(/1 - Я15с)(/1 - Рс)Ш(*) + .
Продолжая аналогичные действия дальше, придем к следующему результату. Лемма 2. При д € N уравнение (40) эквивалентно системе
= 0,
фиЗД - РоМ*) = 0 , ^ЗД - Я1^о)(/1 - РоМ*) = 0 ,
^ 5,-1^,-1(/1 - Ро)^(*) = о, г
^(Р - Р0М*) = ^ I тк (РоРд(Р - РоМт) + Т0Рдт(т)) с1т , (53)
о
Ц*) = Рд(/1 - РоМ*) + РдЦ*) , (54)
з
где Рз = Д(/1 - Яз+1-г5з-г), Ро = /.
г=1
Свойства решения рассматриваемой задачи Коши (40), (41) также зависят от обратимости при достаточно малых по модулю А оператора А + АР.
Теорема 7. Пусть оператор А + АР обратим при достаточно малых по модулю
А
начальный элемент Ро удовлетворял условиям
ЗД = 0, фз5з-1Рз-1(/1 - Ро)Ро = 0 , з = 1, 2, ...,р - 1. (55)
При выполнении этих условий и>(*) единственно, обладает свойствами
ЯоЦ*) = 0 , фз5з-1Р,-1(/1 - Ро)ш(*) = 0, * > 0, з = 1, 2, ...,р - 1 (56)
и имеет вид и>(*) = Тр)ио, где число р и оператор Тр определяются теоремой 1 и равенствами (11).
□ В силу теоремы 1 существует р € N такое, что Ар обратим. Тогда в уравнении (53) д = р и отсутствует слагаемое ТоР(Ар)и>(*), Уравнение (53) представляет собою уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу с ограниченным оператором ТоРр, следовательно,
(/1 - РоМ*) = П(*; ТоРр)(/1 - Ро)^(0). (57)
Из (54) при д = р и начальных условий (41) выводим
Рр(Р - РоМ0) = Ро . (58)
Воспользовавшись легко проверяемыми свойствами
Ррто = Тр, ррУТоРр) = Тр)Рр,
которые следуют из определения Fp, Tp и Yk(t; Tp), из (54), (57), (58) получим
w(t) = FpYk(t; ToFp)(h - Po)w(0) = Yk(t; Tp)U0 .
Справедливость равенств (56) вытекает из леммы 2. ■
Заметим, что условия (55) накладываются па составляющую начального элемента, поэтому менее жёсткие, чем условие принадлежности подпространству M, налагаемому в теоремах 3 и 5. При выполнении более жёстких ограничений решения u(t), v(t), w(t) совпадают.
Используя лемму 2, аналогично доказывается и следующая теорема.
Теорема 8. Пусть оператор A+AB не является обратимым ни при каком достаточно малом по модулю А. Задача (40), (41) имеет решение w(t) в том и только в том случае, когда выполнены равенства (55) для j е N При этом решение w(t) обладает свойствами (56) для j б N я неединственно. Оно имеет вид
w(t) = Yk(t; Tq)Uo+ t t
j TkYk{T-Tq)TQPqw{r)dT-^-^^ JrY2.k(r;Tq)T0Pqw(r)dr,
oo w(t) = Yi(t; Tq)Uo+ t t
+ Zi(t; Tq) J T Yi(t; Tq)ToPqw(T) dT - Yi(t; Tq) J T Zx(r; Tq)%Pqw(t) dr, k =1 ,
oo
где число q определено в замечании 2, tkPqw(t) — произвольная непрерывная функция от t со значениями в кет Aq и такая, что Pqw(0) = PqU0.
Литература
1. Глушак A.B. Операторная функция Бееееля /7 ДАН. 1997. 352, № 5. С.587-589.
2. Глушак A.B., Покручин O.A. Необходимое условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /7 Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2012. №11(130). Вып. 27. С.29-37.
3. Глушак A.B., Покручин O.A. Достаточное условие разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /7 Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2014. Вып. 35.
4. Зубова С.П., Чернышев К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмо-вым оператором при производной /7 Дифференц. уравнения и их применение. Вып. 14. Вильнюс: Институт физики и математики АН Литовской ССР, 1976. С.21-39.
5. Sviridvuk С.A., Fcdorov V.E. Linear Sobolcv Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.
6. Федоров В. E. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /7 Алгебра и анализ. 2000. 12, Вып.З. С.173-200.
7. Федоров В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах /7 Мат. сб. 2004. 195, №8. С.131-160.
8. Зубова С.П. Метод каскадной декомпозиции решения задач для пеевдорегулярных уравнений / Дне. докт. физ.-мат. наук. Белгород. 2013.
9. Замыш.ляева А.А. Линейные уравнения еоболевекшх) типа выеокслх) порядка / Челябинск: ЮУрГУ, 2012.
10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.: Наука, 1969.
11. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию .линейных нееамоеопряженных операторов / М.: Наука, 1965.
12. Глушак А.В., Кононенко В.И., Шмулевич С.Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши /7 Известия ВУЗов, сер. математика. 1986. №6. С.55-56.
EULER-POISSON-DARBOUX's EQUATIONS WITH FREDHOLM's OPERATOR AT THE DERIVATIVE
A.V. Glushak
Belgorod State University, Studericheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. It is investigated the solvability of an abstract Euler-Poisson-Darboux equation with the Fredholm operator at the derivatives of equation coefficients.
Key words: abstract Cauehy problem, equation of Euler-Poisson-Darboux, Fredholm's operator, cascade method.
