CC BY
51
Е. Н. Огородников
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ-ГУРСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НАГРУЖЕННЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ И ЕЕ РАВНОСИЛЬНОСТЬ ЗАДАЧАМ С НЕ ЛОКА ЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Рассмотрена система п вырождающихся гиперболических в полуплоскости переменных х и у уравнений с кратными характеристиками. На примерах показано влияние спектра матричных коэффициентов при младших производных на корректность постановки задачи Коши — Гурса. В одном специальном случае для данной, но определенным образом нагруженной системы уравнений обосновано восстановление единственности решения этой задачи и указана связь с ее нелокальной постановкой, содержащей условие типа Бицадзе-Самарского.
Введение. Хорошо известно, что вырождение порядка вносит определенный аспект в теорию краевых задач для уравнений и систем дифференциальных уравнений смешанного типа, в том числе и в вопрос корректности постановки задачи Коши [1, 2]. Не менее известен факт неравноправия характеристик как носителей данных Дарбу для уравнений с вырождением типа [3-5]. Применительно к системам таких уравнений это обстоятельство приводит к появлению в некоторых специальных случаях особого эффекта, когда в задаче Коши-Гурса с данными на любой граничной характеристике области существования решения задачи Коши отсутствует единственность решения [6-8]. Этой же особенностью будет обладать и система уравнений
(и) ° у2т+1ихх - уиуу + утАих + Виу = 0, т > 0, (1)
имеющая вырождение порядка на линии у = 0, при определенном выборе матричных коэффициентов А и В, где А, В — постоянные числовые [п X п] -матрицы, а и(х, у) = (м1; и2;* ; ип )т — искомая вектор-функция.
Система уравнений объединяет довольно широкий класс модельных гиперболических при у > 0 уравнений с кратными характеристиками, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа у = 0, и которая в характеристических координатах редуцируется к системе уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД). Частные случаи системы уравнений (1) изучались в ряде работ и на некоторые из них мы укажем ниже.
Прежде следует отметить, что одним из эффективных методов решения краевых задач для уравнений гиперболического типа является метод Римана (Римана-Адамара). Обобщение этого метода на системы уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными с кратными характеристиками и достаточно гладкими функционально зависимыми матричными коэффициентами при младших производных приведено в работах А.В. Бицадзе [9, 10], при этом показано, что вопрос о существовании матрицы Римана сводится к нахождению решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которое всегда единственно. Таким образом, основная трудность в решении краевой задачи обычно заключается в необходимости построения матрицы Римана в явном виде. Класс уравнений, для которых это удается сделать, довольно узок и, если теперь говорить об уравнениях с сингулярными коэффициентами или о вырождающихся уравнениях, то, пожалуй, наиболее изученными являются те уравнения, которые в характеристических координатах приводятся к уравнению ЭПД.
В работах А. А. Андреева [11, 12] матрица Римана построена для системы уравнений ЭПД с коммутативными матричными параметрами и исследована задача Коши для этой системы. В работе [13] им же приведена матрица Римана-Адамара и решены задачи Коши-Гурса и Дарбу для систем ЭПД с равными матричными параметрами.
Система двух уравнений вида (1) при т = 0 , А = 0 была предметом исследований в работе [14], а случай т > 0, А = 0 подробно рассмотрен в [15]. В этих работах показано, что корректность постановки задачи Коши и структура ее решения существенно зависят от спектра матрицы В .
Очевидно, случай кратных собственных значений матричных коэффициентов любой системы уравнений представляет наибольший интерес. При реализации метода Римана для системы уравнений с использованием известных представлений о функциях с матричными аргументами [16] возникает необходимость обобщения ряда специальных функций (функций Бесселя, гипергеометрических функций и др.) на матричные значения их параметров, что приводит в
указанном выше случае к появлению новых специальных функций, ассоциируемых с данными. В этой связи следует отметить работы А. А. Андреева [17, 18].
При т = 1 , В = 0 система уравнений (1) представляет собой хорошо известную систему уравнений Бицадзе-Лыкова. В работе [19] для нее решена задача Коши, а в указанной выше работе [6] именно эта система уравнений использовалась как пример, в котором может возникнуть нарушение единственности решения задачи Коши-Гурса.
В последующих работах с участием автора настоящей работы в основном изучались различные нелокальные постановки краевых задач для системы уравнений (1). Например, в работах [20, 21] рассмотрены случаи В = 0, А ф 0 и А + В = Е при т = 1. При т > 0 система уравнений (1) была предметом исследований автора в [22] и, помимо названных уже статей [6, 7],— в работе [23], совместно с А.А. Андреевым, рассмотрен случай В ф 0, А = 0. И наконец, в работах [24, 25] система уравнений (1) рассматривалась при т > 0, А = (т — ()Р и В = (Е, где Р — инволютивная матрица второго порядка, отличная от ±Е, Е — единичная матрица, а ( е • , причем в последней из указанных работ выяснялся вопрос о восстановлении единственности решения задачи Коши-Гурса для определенным образом нагруженной системы уравнений.
Настоящая работа является обобщением результатов, полученных автором в работе [25].
Задачи Гурса, Коши и Коши-Гурса в некоторых специальных случаях. Множество
постоянных над полем действительных чисел • матриц порядка п принято обозначать Мп.
Пусть матрица О е Мп. Спектр матрицы О будем обозначать Л(О), а ее собственные значения — . Таким образом, Л(О) = (Я, }п=. Известно [16], что для любой матрицы О е Мп суще-
ствует невырожденное преобразование с матрицей Т, приводящее О в общем случае над полем комплексных чисел • к каноническому виду — нормальной Жордановой форме J(О) = Т 1ОТ. Канонический вид матрицы О простой структуры будем обозначать ОЯ, причем ОЯ = diag{Я1,Я2,* ,Яп}, где Я е Л(О), / = 1,п .
Рассмотрим систему уравнений
К (и) = * (2)
с оператором Ьт (и), определенным формулой (1) и вектором заданных функций * = * (х, у) = = (/1;Л;* ;/п)т в области О, ограниченной отрезком [0,1] линии у = 0 вырождения порядка оператора Ьт (и) и характеристиками Х = 0 и ц = 1, где
X = х---1—ут+1 и ц = х + -^ут+‘. (3)
,.т+1
т + Ґ ' т +1'
___ В+(т+1) Еп •
Представим для удобства вектор f в виде f(х,у) = у + т+) пЕ(х,у), где Еп — единичная матрица в Мп, а матричная степень независимой переменной у определяется известным образом на спектре матрицы В + (т +1)Еп [16]. В характеристических координатах (3) система уравнений (2) приводится к системе ЭПД
В- тЕп т+1
(ц - X) Ф(Х ,Ц), (4)
и +1 тЕп + А - В и -1 тЕп - А - В и = 1 Хц 2 (т + 1)(ц - X) Х 2 (т + 1)(ц - X) ц 4
где и(Х ,ц) = и (х(Х ,ц), у(Х ,ц)), Ф(Х ,ц) = Р (х(Х ,ц), у(Х ,ц)).
Введем две произвольные матрицы Q , О е Мп такие, что А = (т +1)Q, а В = тЕп — —(т +1)О . В новых обозначениях система уравнений (4) запишется следующим образом:
(ц — Х )и Хц + ^(О + Q)Ux — ±(О — Q)Uh =1К (О )(ц — Х)Е—О Ф(Х, Ц), (5)
где К (G) =
. При условии коммутативности матриц О и Q для этой системы уравне-
т +1
\ /
ний, используя методику работ [12, 14], нетрудно найти решение задачи Коши
и(Х,Х) = т(Х) = (т1;т2;...;Гп)т, Х е [0,1], (6)
г 1 “О
т + 1
Ш —(ц — Х) (Т — иХ) = У(Х) = (У,;у2;...;уп)т, Х е (0,1). (7)
ц—Х ®+0 2
Однако с учетом вида матричных коэффициентов при производных Ц и можно сразу
привести простой пример, для которого решение задачи Коши-Гурса с данными на любой из двух характеристике X = 0 или ц = 1 будет существовать при определенных условиях, но не единственным образом.
Пусть О иQ — две диагональные матрицы, такие что О = diag{a1,a2,...,an} = (а$у)^-=1, а
£ = Ш^{а1,а2,...,ак,-а^^..^-ап} = ^{(а8у-(а8у)n¡J=k+l}, где 8У — символ Кронекера,
а 0 < к < п . В этом случае система уравнений (5) расщепляется на две подсистемы независимых (несвязанных друг с другом) уравнений ЭПД с одним из параметров, равным нулю:
(л - X) +а Щ-=4 ка )(л -х )1-аф, (X Я), >=1.к,
дддц дд 4
где к(а, ) =
т +1
і = 1, п .
д и.
ди, 1
(8)
д» Л -а =4к(а)(л - д) -а'ф,(д.л). .=к+1п
дддл дл 4
Решение задачи Коши с условиями (6) и (7) для системы уравнений (8) можно найти, не прибегая к методу Римана, если вначале решить задачу Гурса с данными
и(0,л) = и0(л), и(Х ,1) = и,(Х), и0(1) = и,(0). (9)
Умножая уравнения системы (8) на (л - X)а -1, ее можно записать в виде
дл
д
дх
. ¡-.а ди,
(л - X) —і
дX.
. ¡..а ди,
(л - X )ц^-дл
= 4 к (а, )ф, (X ,л), і = 1, к;
(10)
= 4 к (а, )Ф, ^л), і = к +1, п.
Уравнения системы (10) легко интегрируются с учетом условий (9) и, если вектор-функции ио(ц), и1(Х) е С[0,1] п С'(0,1), а Л(О) с (0,1), то регулярное в области О решение задачи Гурса (9) в классе функций Ц(£ ,ц) е С (О) п С'(О) имеет вид
! 1 X 1 ___
и ,1(/)^/ — к (а)|-- |ф(?, s)ds, г = 1, к,
4 0 (Ц — 1) ц
и (X ,л) = и 0(л)+}
^1 - і ла
л - і
1 / \а 1 1 , X __________
и (X ,л) = и^) -1 и - 4 к (а )| (с - x )а } Ф(і, s)dt, і = к +1, п.
(11)
(* - X )а
Индексы в полученных равенствах (11) для компонент векторов Ц(£ ,ц), Ф(£ ,Ц) и а опущены.
Переподчиняя полученные решения (11) условиям (6) и (7), после некоторых вычислений найдем
и (X, л) = т (л) + 2 к (а) I (л - І )-а у(і) - 2 |ф (і,
X 2 і _
и (X, л) = т (X) + 2 к (а )| (5 - X )-а - 21 Ф(і, 5^і
сіі, і = 1, к,
(12)
Л, і = к +1, п,
где т, V, Ф — суть компоненты соответствующих векторов с индексом г, указанным справа в формулах (12), и а = а1.
Возвращаясь к системе уравнений (2) и независимым переменным х и у, можно утверждать, что решение задачи Коши
и(х,0) = т(х), хе [0,1], (13)
ІІШ у виу (х,у) = v(x,у), X є (0,1),
у®+0
(14)
в указанном выше частном относительно вида матриц А и В случае и Л(В) с (—1,0) может быть записано в виде суммы и( х, у) = и (1)( х, у) + и (2)( х, у) двух векторов
и(1) = (и®;м2');...м1к1);0;...;0)т и и(2) = (0;0;...0;и®;...;иП2))Т, компоненты которых определяются формулами (12), где X и Ц выражены через х и у по формулам (3).
def
Если ввести блочные матрицы Ek =
= diag{Ek ,0Ь
def
En—k =
= diag{0, En—k} и распространить выражения для м(1) и uJ(2) на все значения і = 1, n , то решение
u(x, y) = Eku(1) (x, y) + En—ku(2) (x, y) :
dt ,
(15)
ds .
задачи Коши (ІЗ), (14) можно записать в виде
k
где u(1) ( x, y) = т (h ) +1K (G)} (h —1)—G v(t) — 4 J Ф(t, s)ds
x L 11 _
а u(s) ( x, y) = т(Х ) +1K (G)} (s — X )—G v(s) —1} Ф(^ s)dt
і x і x
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (і) с правой частью вида f(x,y) = yB+(m+1)EnF(x,y), F(x, y) є C(W), матрицы A и B таковы, что A = (m + 1)Q, B = mEn — (m +1)G, где G = (аДytJ=1, Q = diag{«,)k,j=p —«.ytJ=t+1} , аі є (0,1). Тогда единственное в классе функций u(x, y) є C (W) n C 2(W) решение задачи Коши (ІЗ), (14) при т^) є C[0,1] n C 2(0,1) и v(x)є C2(0,1) n L([0,1],xG,(1 — x)G ) представляется формулой (15).
Теперь обратимся к задаче Коши-Гурса. Задание искомой вектор-функций на характеристиках в характеристических координатах в виде u (X ,h ) X=0 = u (0,h ) и u (X ,h )\h=1 = u (X ,1) равносильно задания искомого вектора u( x, y) в точках
0o( x) =
ґ 1 Ö / 1 Ö
x . œ m + 1 Ö m+1 и 01( x) = 1 + x ; m +1 ,л m+1
і; x (1 — x)
і і ’ і
V V V V J /
пересечения характеристик системы уравнений (І), выходящих из произвольной точки x є [0,1], с характеристиками X = 0 и h = 1 соответственно.
Пусть
u[0o(x)] = Ф(x), x є [0,1], (Іб)
u[01(x)] = y(x), x є [0,1], (17)
где 9(x), y(x) — n -мерные векторы заданных функций.
Легко увидеть, что если решение задачи Коши-Гурса с данными (14) и (1б) существует, то оно не единственно.
Действительно, имея цель найти это решение в форме решения задачи Коши, вычислим
значение вектора u(x, y) по формуле (15) в точке 0О(x) ( u[0o(x)] = Eku(1)[0o(x)] +
+En—k u®^ x)]) и подчиним его условию (Іб):
( x) +1K (G)} ( x — t )—G v(t ) —1} Ф^, s)ds
+En—k í т
(0) +1K (G)} s-G v(s) — і} Ф(t, s)dt
ds > = 9(x).
0 |_ 0
Равенство (18) равносильно двум системам равенств в покомпонентной записи
т(x) +—k«)}(x — t) а V(t) ——}ф(^ s)ds
1 x 1 s
т (0) + - k (а)} s-« V (t) — }ф(^ s) dt
dt = j(x), і = 1, k,
ds = j (x), і = k +1, n,
(18)
(19)
(і0)
где, как и в (12), т, V , Ф — компоненты одноименных векторов с индексом і, указанным справа от формулы и а = аі.
Из формул (19) и (20) хорошо видно, что, во-первых, данные Гурса (16) накладывают ограничения лишь на к первых компонент подлежащего исключению из уравнения (18) вектора т(х):
А, і = 1, к;
т (х) = р (х) — к (а) | (х -г)-а V (г) — | Ф(г, s')ds'
2 0 _ 2 г _
во-вторых, для разрешимости задачи (14), (16) необходимо соблюдения равенства
1 х 1 5 ____________________
—к (а )| 5 ~а V (5) — |ф (г, s)dг ds = р (х) - р (0), I = к +1, п ,
2 0 _ 2 0 _
и при этом решение задачи с условиями (14) и (16) не единственно, так как соответствующая
однородная задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений вида
1
(21)
(22)
и (х, у) = а
х--
т +1
у
- а(0), і = к +1, п ,
(23)
где а (х) — произвольные функции из класса С[0,1] п С2 (0,1).
Дифференцируя равенство (22) по х, получим п — к равенств, связывающих компоненты вектора v(х) с номерами і = к +1,п с производными соответствующих компонент вектора
Ф( х):
1 х ____________________
V(х) = 2к_1(а)хар '(х) +—|ф(і, х)&, і = к +1, п .
(24)
Введем вектор-функцию ^(х), компоненты которой с номерами к +1,...,п совпадают с V(х), вычисленной по формуле (24):
1х
^(х) = 2К— (О)хаф'(х) + — |Ф(і, х)А.
(25)
Заменим v(5) на ^(5) в выражении для и(2)(х,у) в формуле (15) и выпишем структуру многообразия решений задачи Коши-Гурса с условиями (14), (16). Оно может быть найдено по формуле (15), где на этот раз вектор
и(1) (х, у) = ф(Ц) — 2 К (О) | (ц — і)-а V« — 1} ф(і, 5)^
А
2 : 2
0 _ ^
вычислен с учетом формулы (21), а вектор
ц Г 1 х "
и(2) (х, у) = ш(Х) — а (0) + | (5 — X)—а 5аф '(5) + — К (О) | Ф(і, 5)^
ё5
(26)
(27)
— с учетом (23) и (25). Выражения X и Ц через х и у находятся по формуле (3).
Полученный результат можно сформулировать в следующей теореме.
Теорема 2 (О многообразии решений задачи Коши-Гурса). Пусть выполнены условия теоремы 1 относительно вида матриц А, В, Q , О, спектра Л(О) и вектора f (х, у). Пусть векторы v(х) е С2(0,1) п Ь ([0,1], хО) и ф(х) е С[0,1] п С3(0,1), причем их произвол ограничен условиями (24). Тогда множество регулярных в О решений задачи с условиями (14) и (16) для системы уравнений (2) в классе функций С (О) п С 2(О) определяется формулами (15), (26) и (27) с произвольной вектор-функцией ш(х) е С[0,1] п С2 (0,1).
Аналогичным образом можно рассмотреть задачу с условиями (14) и (17). Нетрудно выписать многообразие ее решений, которое тоже будет зависеть от произвольной вектор-функции из класса гладкости искомого решения.
В случае произвольных матриц простой структуры могут быть использованы все вышеуказанные построения и конструкции. Однако требование коммутативности матриц является существенным.
0
0
Действительно, пусть А = (т +1)0, В = тЕп - (т + 1)О, причем Оя = («Д.,. )п.=1, а,- е Л (О), бя = ^ {(«Д.)к ^ -(а,Д.^=к+1} и существует такое невырожденное преобразование с
[п X п] -матрицей Т , что Т 1ОТ = Оя, а Т 1<2Т = . Тогда все сказанное выше относительно
системы уравнений (5), решения задачи Коши для нее и неединственности решения задачи Ко-ши-Гурса остается в силе применительно к определенным линейным комбинациям компонент вектора и, а именно, у(х,у) = Т_1и(х, у). Решение задачи Коши для искомого вектора и(х,у) должно иметь вид и(х,у) = Ту(х,у) = Т(Еку(1)(х,у) + Еп-ку(2)(х,у)) = ТЕкТ-1 ^Ту(1)(х,у)] +
+ ТЕп-кТ-1 [Ту(2) (х, у)] = ТЕкТ_1и(1) (х, у) + ТЕп-кТ-1и(2) (х, у). Если ввести матрицу
ґт? п Л 1
= diag {Ек, -Еп_к}, то нетрудно заметить, что Ек = Еп + !к), а
Ек 0
0 -Еп-к
Еп-к = '2'(Еп — 1к). Матрица 1к, очевидно, инволютивна. Но, тогда существует инволютивная матрица Р є Мп, связанная с выбранным преобразованием Т , такая, что ТїкТ-1 = Р, а Т ХРТ = 1к — ее канонический вид. Значит, ТЕкТ- = ~(Еп + Р), ТЕп-кТ- = ■~(Еп - Р) и решение задачи Коши определяется равенством
и(х, у) = 2 (Еп + Р)и(1) (х, у) + 2 (Еп - Р)и(2) (х, у), (28)
где и(1)( х, у), и(2)( х, у) фактически определены формулами (15).
Корректность задачи Коши-Гурса для системы нагруженных уравнений с оператором Ьт(и). Рассмотрим теперь вместо системы уравнений (2) в той же характеристической области О систему уравнений следующего вида:
Ьт (и) + еув+Е и(Х ,0) = 0, (29)
Эу
где оператор Ьт (и) определен в формуле (1), е > 0 — произвольное действительное число, а
и(Х ,0) — значения искомого вектора, вычисленные при любых х, у є О в точках
1
х-------ут+1;0
т +1
отрезка [0,1] линии у = 0.
Вновь введем для удобства две (пока произвольные) матрицы Q, О є Мп, связанные с матрицами А и В соотношениями: А = (т +1)Q, В = тЕп - (т + 1)О . Так как вектору и(Х ,0) в
е еч Э Э ЭХ Э Эц
характеристических координатах соответствует вектор 11(£ ,Х), — =------— +-------=
Эу ЭХ Эу Эц Эу
т
Г л л Л -ч г , і П—г
т+1
= у
то Эуи(Х,0) = -утих(Х,Х) = -
Эу
А-А
Эц ЭХ
(29) запишется следующим образом:
+ ^иХ -1
т +1. еч —- Х)
и(Х, Х), а система уравнений
(ц - Х )ий +- (О+Q)Ux -- (О - Q)Uh =т к(О)(ц - х )Еп-О иХ (Х ,Х), (30)
где к (О) =
в прежних обозначениях.
т +1
\ /
Пусть далее матрицы 0 = РО, где Р — произвольная инволютивная матрица из Мп, отличная от тривиальных случаев ±Еп. Система уравнений (30) будет иметь вид
(П -X)^ + \(Еп + Р)Ои, -2(Еп -Р)Ои„ = 4к(О)(п -X)Еп-аи,(X,Х), (31)
и характер ее дальнейшего изучения существенно зависит от коммутативности или некоммута-тивности матриц Р и О . В качестве еще одного примера потребуем несколько большего, чем просто коммутативность матриц Р и О .
Пусть матрица О — есть значение некоторой аналитической функции ОО(г), определенной на Л(Р): О = О(Р). Известно [16], что тогда матрицы Р и О будут заведомо коммутативны, матрица О будет матрицей простой структуры со спектром Л(О) = {а}к=1 и {Ь}”=*+1, где
а = О(1), а Ь = О(-1). Более того, как нетрудно показать, в этом случае О = а Ь Р + а~~ Еп.
При указанных предположениях о природе матрицы О система уравнений (31) приобретает следующий вид:
(h - X )U,h + f E + P)U, - 2(En - P)Uh = 4 * G)(h - X)E-GUs (X, X) •
(32)
Для нее нетрудно найти решение задачи Коши с условиями (6) и (7), если а, Ь е (0,1). Отметим лишь, что для задачи Коши правая часть системы уравнений (32) — известный в силу (6) вектор. Тем самым для исходной системы уравнений решение задачи Коши с условиями (13) и (14) будет представлено вновь формулой (28), где
u(1) (х, у) = т (h) + — k (а)
eт(X)(h - X)1-а + j
u(2)( х, у) = T(X )
+ — 4
2v(t) - e(1 - а)T(t)
(h -1)“
2 v(s) - e t(s)
dt
4 k (b )J
(s - X)b
ds,
(33)
(34)
k (s) =
от +1
а X и h определены в (3).
Покажем, что решение задачи Коши-Гурса для системы уравнений (32) с начальными данными (14) и условием (16) на характеристике X = 0 существует и единственно.
Воспользуемся решением задачи Коши (28), где векторы и(1)(х,у) и и(2)(х,у), представленные формулами (33) и (34), содержат неизвестную вектор-функцию т(х) = и(х,0). Вычислим значение вектора и(х, у) в точке 0„(х):
и[00 (х)] = 4(Еп + Р)и(1) [0о(х)] + 4(Еп — Р)и(2) [00 (х)],
где
u(1) [0О(х)] = т(х) + Є4k(а)т(0)х‘-а + 2k(а)Г(1 - а)D-?^ v(x) - 4k(а)Г(2 - а)D-?^т(х),
,(2)
[0о( х)] = т (0)
e х р 1+- k (b)-— 4 1 - b
+ 2k(b)Do-^х_bv(х) - 4k(b)Ах1 х-bт(х):
(35)
(36)
(37)
D-S (s > 0) — интеграл дробного порядка Римана-Лиувилля [26], Г(z) — гамма-функция Эйлера [27].
Подчиним выражение (35) для вектора u [0О( х)] условию (16) и, исключая из полученного равенства вектор т(х), найдем решение поставленной задачи в явном виде. Для этого воспользуемся оператором с матрицей En + IkP и некоторыми свойствами инволютивных и идемпо-тентных матриц.
Выше мы определили матрицу Ik = diag{Ek, -En-k} как канонический вид произвольной, отличной от ±En, инволютивной матрицы P . Действительно, ее спектр L(P) характеризуется
двумя собственными значениями: Яі = 1 (і = 1,к) кратности к (0 < к < п) и Я, = — 1 (і = к +1,п) кратности п — к, причем их алгебраические и геометрические кратности совпадают. Соответственно, упорядочивая собственные векторы гі (і = 1,п) матрицы Р, всегда можно построить невырожденное преобразование Т так, что Т ХРТ = 1к. Хорошо известно [16], что минимальный многочлен инволютивной матрицы у (Я) = Я2 — 1. Это сразу следует из ее определения: Р2 — Еп = 0. Кроме того, из равенства Еп — Р2 = (Еп — Р)(Еп + Р) = 0 следует, что матрица Еп + Р является присоединенной матрицей для ЯЕ — Р при Я = 1 и любой ее ненулевой стол-
бец определяет соответствующий собственный вектор матрицы P. Так как dim (ker(En + P) ) = n - k, то rank (En + P ) = n - dim (ker(En + P) ) = k , и можно считать, что первые к столбцов матрицы En + P определяют собственные векторы г, для i = 1, к , отвечающие собственным значениям Я = 1, а первые к строк — собственные векторы ei (i = 1, к) транспонированной матрицы PT .
Аналогично, из равенства (En + P)(En - P) = ( (-1)En - P) (En - P) = 0 следует, что матрица En - P является присоединенной матрицей для lEn - P при Я = -1. Так как dim (ker(En - P) ) = k, то rank(En - P) = n - dim (ker(En - P) ) = n - k , и можно считать, что последние n - k столбцов матрицы En - P определяют собственные векторы г, для i = k +1, n , отвечающие собственным значениям Я = -1, а последние n - k строк — собственные векторы e,., i = k +1,n транспонированной матрицы PT , отвечающие тем же собственным значениям.
Заметим, что матрицы 2^(En + P) и -^(En -P), фигурирующие выше в формулах (31), (28)
1 2 1 1 21
и (35), идемпотентны, а именно, I(En + P) =E,+P), 2(En- P) = ^En - P)
особенностью инволютивных матриц является возможность предъявить преобразующую матрицу Т или Т-1 в терминах самой матрицы Р и ее канонического вида /к. Например, матрица Т-1 может быть найдена из равенства Т 1Р = 1кТ-1. В качестве Т-1 можно взять, например, матрицу Еп + 1кР . Действительно, с одной стороны, Т 1Р = (Еп + /кР)Р = Р + !кР2 = Р + 1к. Но и 1кТ-1 = 1к (Еп + 1кР) = 1к +11Р = 1к + Р . Также можно показать, что в качестве матрицы Т может выступать матрица Еп + Р1к, однако Еп + Р/к Ф (Еп + /кР)-1. Это связано с тем, что матрица преобразования Т определяется неоднозначно. Легко проверить, что, если матрица Т обеспечивает преобразование Т ХРТ = 1к, то в этом же качестве могут выступить матрицы Q = РТ,
д = р1т , д=Т1к, д=т/;1.
Нам понадобится лишь одно свойство оператора Еп + /кР, которое сформулируем в виде леммы.
Лемма 1. Пусть f = (/1;/2;...;/п)т — произвольный вектор, матрица РеМп и Р2 = Е (Р Ф ±Е). Пусть (е, }П=1 — базис собственных векторов матрицы Рт . Тогда
_ (Еп + /кР$ = /;/2;...;/еп), (38)
где /‘ = feJ. (/ = 1,п) — скалярное произведение указанных векторов.
Доказательство. Справедливость равенства следует из возможности представления
f = ~(Еп + Р)Х + "2 (Еп - P)f , очевидного, вообще говоря, для любой матрицы Р е Мп и любого
вектора f . Однако в условиях леммы мы получим
(Еп + /кР^ = 2(Еп + /кР)(Еп + Р^ + 1-(Еп + /кР)(Еп -Р^ = \(Еп + /кРЕп + ЕпР + /кР2* +
+^2(Е2 + /кРЕп - ЕпР - /кР 2)f = 2 [([ + /к) + (/кР + Р)] + ] [(Ея - /к) + (/кР - Р)]Г =
= 2(Еп + /к)(Еп + P)f + 2(Еп -/к)(Еп -Р)Х = Ек(Еп + РХ + Еп-к(Еп -Р^ =
= (/1е;//;...;/;;0;...;0)т + (0;...;0;Л^;...;/'п )т = (/хе;/2*;...;Гп )т, что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть произвольный вектор и представлен в виде суммы
2(Еп + Р)V + 2(Еп -P)w, где V = (у1;у2;...;уп)т; w = (ш1;ш2;...;шп)т — некоторые заданные
или подлежащие определению векторы. Тогда
(E + IP)
2(En + P)v + 2(E -P)w
/ e e e e e \ T
= (v1;v2;...;vi;wi+1;...;wn) .
(39)
Вернемся к равенству (35) и применим к левой и правой его частям оператор Еп + /кР . С учетом леммы 1 и следствия из нее приходим к системе уравнений
te (х) - Г(2 - а) D-^te (x) = je (x) - 1e (0)xl a - ^ G(1 - a)D-X (x), i = 1, k,
2 k (b )D(-1 x-bve (x) - ek4b) D0-X x- bte (x) = je (x) -te (0) 1 + ek4b) 1-b
(40)
i = k +1, n.
Так как т(0) = ф(0) по непрерывности, то обозначая Х(х) = ф(х) - ^к(а)ф(0)х' а --1 к(а)Г(1 - а)Ц-х(1~а) v(x) и дифференцируя по х второе уравнение в (40), получим
te (x) -ЯD0; )te (x) = fe (x), Я = 4 k(а)Г(2 - a), i = 1, k,
2 k(b) x~bve (x) - 4 k(b) x~bte (x) = (e (x)) - -4 k(b) je (0) x~b, i = k +1, n.
(41)
Первая группа уравнений в (41) является уравнениями Абеля второго рода. Их решения имеют вид [28]:
1 (x) = fe (x) +1J (x - t)-a e¡-_a [1 (x -1)1-a ] fe (t)dt, i = 1, k.
(42)
где для функция типа Миттаг-Леффлера Ea^ (z) =
. ----- (а, Ь > 0) [29] принято обо-
Г(а к + Ь)
значение е^ (2), хорошо согласующиеся с обозначением новых функций
eb’S =
a ,m
k=0 Г(а k + b )G(d - m k)
типа Райта, введенных А.В. Псху в работе [30]. Обычную функ-
цию Миттаг-Леффлера Еа (г) = Еа 1 (2) = е1а (2) будем обозначать еа (г).
Используем обозначения интегрального оператора с функцией типа Миттаг-Леффлера в ядре [7]
-b,а f = J(x -1)b-1 eb [я(x -1)a] f (t)dt, x
> a,
(43)
где Я, а, b e * ; Rea, Re b > 0. Определенный на множестве функций f (x) e L(a,b), b e (a; +¥), этот оператор является одним из обобщений оператора дробного интегрирования Римана-Лиувилля в силу очевидного при любом a равенства
E-Jf f = D-b f . (44)
Вопрос обратимости операторов типа (43) с обобщенной функцией Миттаг-Лефлера в ядре рассматривается в работе T.R. Prabhakar [31].
Выражая из второй группы уравнений в (41) te (x) для i = k +1, n и учитывая (42) для i = 1, k, получим
te (x) = fe (x) + Я E-Я0 ),1-a fe (x), i = ü,
4xb / 2 ______
te (x)=je (0) - —k(b) (e(x)) + -ve (x), i=k+1,n, что эквивалентно следующему уравнению относительно t(x) :
(En + IkP)T( x) =
...;[f (x) + Я E-dr),1-a f (x)] • e,.;...;
Ф(0) —4x^ (ф1 (x))/ + - v (x) e k (b y 1 e
e ,■;...
j = k +1, n ; i = 1, k, откуда по лемме 1
0
k
z
x
a
т(х) = 1-(Еп + Р)[Г(X) + ЯЕ-™1-аі(Х)] + 2(£и -Р)
4хь / 2
Ф(0)-------т-^ (Ф( х)) + - V (х)
е к (—) е
(45)
Окончательный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3. Пусть т , е > 0 0 < а, Р < 1 — произвольные действительные числа, Р е Мп
— инволютивная, отличная от ±Еп матрица. Пусть в системе уравнений (29) матрицы
А = аЕп + ЬР и В = (т - Ь)Еп - аР , где а = 2(т + 1)(а - ¡), Ь = 2(т + 1)(а + ¡). Тогда единственное в области О решение этой системы с начальными данными (14) при v(х) е С[0,1] п С2(0,1) и условиями на характеристике (16) с ф(х) е С1 [0,1] п С3(0,1) существует
в классе функций С(О)пС(Ои(0,1))пС2(О) и определяется формулой решения задачи Коши (28), (33), (34), где вектор т( х) = и( х,0) задан формулой (45).
Для доказательства теоремы, следует заметить, что решение задачи Коши (28), (33), (34) удовлетворяет системе (29) и задача поставлена корректно [14]. Следовательно, осталось показать, что значение вектор-функции и(х, у) на характеристике X = 0 действительно совпадает с заданным вектором ф(х), если в решении задачи Коши использован вектор т(х), вычисленный по формуле (45). Это делается непосредственной подстановкой выражения (45) для т(х) в формулы (36), (37), а результатов вычислений — в (35). В процессе вычислений возникают композиции оператора (43) с оператором дробного интегрирования Римана-Лиувилля. Некоторые необходимые для вычислений тождества приведены в следующих лемах.
Лемма 2 (Полугрупповое свойство). Пусть /(х)е Ь(а,Ь); а > 0; к , а, Ре • : Яеа , Яе Р >0. Тогда
П-а е~ ¡а / = е~ ¡а в~а / = Е-(а; р )а /, (46)
ах ах ах ;Я ах ах ;Я ^ ^ /
Доказательство. С учетом определения дробного интеграла Римана-Лиувилля [26] и определения (43) запишем композицию
я„аЕхЬа/ = -1- ] (х - г)а-1 А] (г - 8)р-14 [Я(г - 8)а ] /(8)Ж.
^ * а а
Меняя порядок интегрирования и выполняя замену переменных г = 8 + (х - 8) г во внутреннем интеграле, получим
—!— |/|(X - г)а-1 (Ґ - 5)—-1 е— [я(г - 5)а ] Ж =
^ * а 5
-ЦI (X - 5)-* - -/ 1(1 -, )■ -1, --1
Г(а) а 0 к=0 Г(а к + —)
-|к
1
Г(а) а Г( а к + р) 0
где была использована возможность почленного интегрирования ряда.
Учитывая интегральное представление бета-функции, а также равенство
В(р,д) = Г(р)Г(д)/Г(р + д) [27], находим, что
к
д-а^/=| (* - 5)а+—-1 /(*)іГ[(Я(к 5) ]— *=
а к=0 Г(а к + а + —)
д:
= | (X - 5)а+—-1 еа+— [Я (X - 5 )а ]/№ = Е-Я— ),а /.
а
К такому же результату придем, вычисляя композицию операторов Е~£-х Д-Т/, что и доказывает лемму.
Следствие. Имеет место тождество
Д-а ЕТ*£ Д2 / = ЕОО:—+у)а / (47)
при а > 0; Я, а, — , у є • : Яеа , Яе — , Яе у > 0, для любой функции / (X) є Да, Ь).
Доказательство, с учетом коммутативности операторов D-Я и Ешь’° и полугруппового свойства интегралов дробного порядка D—a и D— [26], очевидно.
Лемма 3. Пусть f (x) е L(a, b); s > 0, l, a e • : Re a > 0. Тогда
7 X
DXf f = - Je0 [l(x - t)s ] f (t)dt. (48)
a
Доказательство. Воспользуемся определением дробной производной Римана-Лиувилля
[26]: Dj =
Kdxj
DaX’1 aj при а є (n -1, n), n є • . Согласно лемме 2 имеем DaaxE X ,s / =
D
-(n-а) 77-a,s z’ _
/ =
' dy
Kdxj
E-nf
ax,Я
/ =
d_
dx
j (x-t )n-1 є; [я (x-t )s ] / (t )dt.
Далее используем возможность дифференцирования под знаком интеграла и применим свойство [28]:
KdZJ
[ z m- 1eSi (Zs) ]
= z m-m-1„ m-m (-7s
em-m (zs) (1 < m < m)
(49)
при m = n и m = n -1. Тогда
( d ö j(x-t)n-1 є;[Я(x-t)s]/(t)dt = dX j(dx {(x-t)n-1 є; [Я(x-tr]}/(t)dt:
dx
d- j es [Я (x -1 )s ] / (t )dt = ^E-^a /.
dxJ L J dx
a
Замечание. Хорошо известна другая, отличная от использованной выше, форма представления решения уравнения Абеля второго рода [26]:
j(x) - AD-j(x) = f (x), x > a, а > 0, (50)
полученная (при a = 0) в работе E. Hille, J.D. Tamarkin [32]:
d
j (x) = dX j є а [Я ( x - t )a ] / (t )dt.
СX ц
В монографии М.М. Джбршяна [28] решение интегрального уравнения (50) для /(х)є Да,Ь). а > 0 и 1 — произвольного комплексного параметра указано в виде
j (x) = / (x) + Я j (x -1 )a-1 єаа [я (x -1 )a ] / (t )dt.
(51)
Тогда, если р(х) — решение уравнения (50), то, обозначая интегральный оператор в (51) по формуле (43) и сравнивая (51) с (49), получим тождество
ОхаР = ЕЯ? /. (52)
Применим к левой и правой части (52) оператор £>“ и воспользуемся свойством &хР~£Р = Р(х), справедливым для любой функции р(х) е Да,Ь). Тогда по лемме 3
j (x)=DaEaf /=d j єа [я (x -1 )а ] / (t )dt=T-e-z* /.
(53)
Возвращаясь к теореме 3, заметим, что корректность рассмотренной задачи Коши-Гурса для системы нагруженных дифференциальных уравнений (29) в конечном итоге становится естественным следствием корректности задачи Коши, а так как ее решение найдено в явном виде, то принадлежность искомого вектора и(х, у) указанному в теореме классу функций проверяется непосредственно.
Рассмотрим вновь равенство (45) с учетом замечания к лемме 3. Для вектора т( х) получено представление
1
d
1
т(х) = -(En + P)—E0-Xiaf + -(En -P) 2 dx 2
4 xp d 2
Ф(0)- ~ГТЖ dx Ф( x) + - v (x)
e k (p) dx e
где f (x) = ф( x) - 4 k (а)ф(0) Xі a- pD0 x(1 a) v (x), p = 1 k (а)Г(1 - а).
a
Подставим вектор f (х) в первое слагаемое (54) и вычислим
Щ Е-1,1-а х1~а — Щ
dx 0 х
Обозначим временно 1 — а — о, выполним замену переменной интегрирования х — / — /1 и воспользуемся тождеством [28]
— — |/1—“е—а [Я(х — Г)1-*] Щ/.
Тогда
— ] (7 — /)“—1 ет (ЯГ° )/т—1А — 7т+“—1ет+“ (Я) (т* > 0).
Г(а) 0
Щ ] (х — /1)° е^о Щ — Г(1 + о) Щ [х1+ое°+° (Ях°)] — Г(2 — а) Щ [х"“еЦ (Я1)].
(55)
Щх
Щх1
Применяя теперь для вычисления производной тождество (49), окончательно найдем
Щ Щх
Упростим выражение, применяя лемму 2.
-Е—/-“х1—“ — Г(2 — а)х1-е2—*“(Ях1-).
_____Е_1Д_“ П
0 х;Я 0 х
Щх
(1—“)
У( х) — ^-Е—Я ■ Щх
М х) — ЩП—Пх+я“ ,1—“ у( х) — Е(
Щх
— /7—(1—“)’1—“ 0
У( х).
(56)
(57)
С учетом (56) и (57) явная зависимость вектора т(х) от заданных условиями задачи вектор-функций ф(х) и \( х) имеет вид:
т( х) — 2(еи + Р)
^-Е—Т Ф( х) — Яф(0) х1—“ е2——„“ (Я х1-) — рЕ{ Щх
4 хр Щ 2
ф(0)—— -~т ф( х) + - V (х)
е к (р) Щх е
-(1—“ ),1—“
V (х)
+2( Е„-Р)
(58)
Если теперь подставить в формулу (58) вместо ф(х) вектор-функцию u[0(х)], то полученное таким образом равенство
\(Е,+Р)
u [0( х)]
Щх
—1( Еп—Р)
где
u [0( х)]
е к (Р) Щх
h( х) — \(Еп + Р) ^ 0 х1-“ е2——„“ (Ях1-“) + рЕ—х1-“):1—“ V (х) ] — 2( Еп — Р)
—h(х):
Uo +- V (х)
+ ^х, 0) ■
^2 0 1^^ 0 X ^ ^ ^2
^ — ф(0) — u(0,0), можно рассматривать, как некоторое нелокальное условие типа Бицадзе-Самарского, которое вместе с начальными данными (14) формирует нелокальную краевую задачу для системы нагруженных уравнений (29), эквивалентную в смысле разрешимости рассмотренной выше локальной задаче Коши-Гурса, причем ее решение заведомо существует, единственно и определяется формулой решения задачи Коши (28), (33), (34).
В этой связи отметим работу А.М. Нахушева [33], в которой впервые рассмотрен вопрос об эквивалентности локальных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений нелокальным краевым задачам для классических уравнений.
Аналогичным образом можно показать, что для системы уравнений (29) задача Коши-Гурса в области О поставлена корректно и в том случае, когда носителем данных является другая характеристика.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа // Некоторые проблемы математики и механики. М.-Л.: Наука, 1970. С. 112-119.
2. Бицадзе А.В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 47-52.
3. Нахушев АМ. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений// ДАН СССР. 1970. Т. 195, № 4. С. 776-779.
4. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений// Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 1. С. 103-108.
5. Нахушев А. М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса// Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 9. С. 1643-1649.
6. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности задач Дарбу и Коши-Гурса для одной вырождающейся гиперболической системы// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 1998. С. 3-7.
7. Огородников Е.Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с инволю-тивной матрицей// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды десятой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2000. С. 119-126.
8. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Некоторые локальные и нелокальные аналоги задачи Коши-Гурса для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей// Вестник СамГТУ. Серия: физ.-мат. науки. 2002. Вып. 16. С. 19-35.
9. БицадзеА.В. Уравнения смешанного типа // Итоги науки 2. М.: АН СССР. 1959.
10. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных М.: Наука, 1981. 448 с.
11. Андреев А.А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа // Дифференц. уравнения. Сб. трудов матем. кафедр пединст-ов РСФСР. Вып. 16. Рязань: РГПИ, 1980. С. 3-5.
12. Андреев А.А. О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1981. С. 13-16.
13. Андреев А.А. Задачи Коши-Гурса и Дарбу для систем уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) // Дифференц. уравнения с частными производными. Межвуз. сб. научн. трудов. Куйбышев: КГПИ, 1983. С. 53-57.
14. Андреев А.А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1981. 100 с.
15. Андреев А.А. Задача Коши для некоторых вырождающихся гиперболических систем второго и четвертого порядка // Дифференц. и интегральные уравнения. Межвуз. сб. научн. трудов. Куйбышев: КГПИ, 1987. С. 46-57.
16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 567 с.
17. Андреев А.А., Килбас А.А. О некоторых ассоциированных гиперболических функциях // Изв. высш. учеб. заведений. Матеем. 1984, № 12. С. 3-12.
18. Андреев А.А. О некоторых приложениях ассоциированных гипергеометрических функций // Дифференц. уравнения (матем. физика): Тезисы докл. участников Куйбышевского област. межвуз. научн. совещания-семинара. Куйбышев: КГПИ, 1984. С. 8-9.
19. Андреев А.А., Сеницкий А.Ю. О задаче Коши для системы вырождающихся уравнений типа Лыкова // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. С. 105-107.
20. Огородников Е.Н. О корректности некоторых нелокальных краевых задач для системы уравнений Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Матем. моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвуз. конференции. Самара: СамГТУ, 1999. С. 97-102.
21. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Некоторые краевые задачи с условием типа Бицадзе-Самарского для системы уравнений с оператором Бицадзе-Лыкова // Матем. моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвуз. конференции. Самара: СамГТУ, 1999. С. 3-11.
22. Огородников Е.Н. Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Самара, 2000. 148 с.
23. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Краевая задача со смещением для системы уравнений с вырождением порядка в некоторых специальных случаях // Матем. моделирование и краевые задачи. Труды одиннадцатой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2001. С 3-10.
24. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности нелокальных аналогов задачи Коши-Гурса для системы уравнений с вырождением порядка в одном специальном случае // Труды математ. центра им. Лобачевского. Т. 11. Проблемы современной математики: Материалы научн. конференции. Казан. матем. общество. Казань: Унипрес, 2001. С. 10-14.
25. Огородников Е.Н. Корректность задач Коши-Гурса и их связь с нелокальными краевыми задачами для одной модельной системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений с инволютивной матрицей // Матем моделирование и краевые задачи. Труды двенадцатой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2002. С. 132-139.
26. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
27. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
28. Джбршян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
29. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967. 299 с.
30. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгейской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, № 1. С. 45-53.
31. Prabhakar T.R. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel // Yokohama Math. I. 1971. Vol. 19. P. 7-15.
32. Hille E., Tamarkin I.D. On the theory of linear integral equations // Ann. Math. 1930. Vol. 31. P. 479-528.
33. Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями// Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 92-101.
Поступила 22.03.2004 г.
