О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.А. Андреев, Е.Н. Огородников

О КОРРЕКТНОСТИ НАЧАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ПОРЯДКА И ИНВОЛЮТИВНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ

Рассмотрено модельное вырождающееся дифференциальное уравнение гиперболического типа с инволютивным отклонением по обеим переменным в младших производных. Указаны корректные по Адамару постановки задач типа классической и видоизмененной задач Коши, выявлены области влияния коэффициентов при младших производных этого уравнения на корректность указанных задач, обоснована непрерывная зависимость решений от параметра e при инволютивных членах в том смысле, что, устремляя e к нулю в этих решениях, мы приходим к известным классическим постановкам задач и их решениям для невозмущенного инволютивными слагаемыми уравнения.

Пусть Г - замкнутая или разомкнутая кривая, в комплексной плоскости или на плоскости действительных переменных х, у.

Г омеоморфизм

a2 (t) = a(a(t)) = t, t e Г (1)

носит название карлемановского сдвига (инволютивного отклонения) [1].

Обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых наряду с искомой функцией y(t), t e Г с R присутствует y(a(t)) получили название уравнений с отклоняющимся аргументом. Уравнение, содержащее сдвиг Карлемана, является некоторым модельным уравнением со

* * знакопеременным отклонением (при t < t уравнение с опережающим, а при t > t - с запаздывающим аргументом, где t - неподвижная точка отображения a(t)). Подробнее с историей вопроса, а также с библиографией можно ознакомиться в статье Андреева А. А. [2]. Здесь же отметим, что дифференциальные уравнения в частных производных, содержащих инволютив-ный сдвиг, изучены явно недостаточно. Среди первых работ по исследованию краевых задач с отклонениями в старших производных следует указать на работы Гуля И. М. [3] и Нерсесяна А. Б. [4], а также на работы [5-10].

Рассмотрим уравнение

y

дх2 ду2

{дх _ду \au+eu(a, b)= 0 (2)

и +

чдх2 ду\

с действительными параметрами а и е в области О = Н1 и Н2, где

Н1 = {(х, у) :0 < у < х < 1 - у}, Н2 = {(х, у) :0 <-у < х < 1 + у}, и = и(х, у) - искомая функция, а отображение

[а(а(х, у), /3(х, у )) = х,

)Ь(а(х, у ^ ь(х, у )) = у гомеоморфно переводит область О в себя [2].

В качестве конкретного примера рассмотрим инволюцию вида

[а = 1 - х,

Ь = - у.

(3)

(4)

Так как и(1 - х, - у) = -Си (1 - х, - у), и(1 - х, - у) = -Си (1 - х, - у), где под

сх сх су су

си си си(х, у)

— (1 - х, - у) и — (1 - х, - у) понимаются соответствующие частные производные ------------------ и

дх Су дх

си(х, у)

вычисленные в точке М (1 - х; - у), то уравнение (2) можно записать в виде

ду

y

Если рассмотреть уравнение (5) в точке M (1 _ х; _ у) и учесть, что

f д2 д2 ö Г du du ö f du du iz, 4

+al^x “дУ l_ el^x “дУ l(1 _ х _ y)=°. (5)

^дх дУ 0 \дх ду

V

дх2 дУ2

д

2

д 2u

д

2

д 2u

2u(1 -х,-у) =—2(1_х,_У); —2u(1_х,_У) =—2(1_х,_У), то, обозначая

дх дх дУ дУ

v(x, y) = u(l - х, - у),

\Т

для вектор - функции U(х, у) = (u; v) получим систему уравнении

у(ихх - Uyy)+лрх - Uy )=0

с кратными характеристиками и с симметрической матрицей Л =

a e

e a

спектр которой

Л (4) = {a + e, a _e}.

В характеристических координатах X = х _ у, h = х + у система (6) приводится к виду

(h_XUh + Aux = 0 (7)

и является системой Эйлера - Пуассона - Дарбу (ЭПД) частного (с одним нулевым матричным параметром) вида.

Начало систематических исследований систем уравнений ЭПД методом Римана было положено в работах [11-13] одного из авторов данной статьи. Эффектность этого метода во многом обусловливалась тем, что был указан явный вид матрицы Римана для системы уравнений ЭПД с двумя матричными коммутативными параметрами [14]. Для системы уравнений (7) в работе [15], в частности, получены решения задачи Коши и видоизмененной задачи Коши, исходя из общего решения соответствующего скалярного уравнения [16]. В работе [17], используя идеи и методы [12-14], решение указанных задач в области 0 < X < h < 1 получено методом Римана. В работе [18] решение видоизмененной задачи Коши для системы уравнений (6) в области H j получено, исходя из решения задачи Г урса.

Рассмотрим теперь систему уравнений (6) в области W = H1 и H2, содержащую линию вырождения порядка у=0.

Известно, что вырождение порядка вносит определенный аспект в проблему корректности задачи Коши [19] в том смысле, что задача с обычным для задачи Коши начальным условием lim Uу (х, у) = v(х) может оказаться не разрешимой, в то время как задача с условием

у®+0 г

lim К(у)иу(х у) = v(х) , где К(у) - некоторая. специальным образом подобранная функцио-

у ®+0

нальная матрица, становится корректной.

В цитированных выше работах [15,17] для системы уравнений (7) в области 0 < X < h < 1 найдено решение задачи Коши с данными

U (X,X)= г (X), Xe [0,1]; (8)

(9)

lim {h -x)л (и^ - Ux) = KX), X є (0, l),

h-x®+0

где (^ — X)А - известная функциональная матрица [20], полностью определяемая спектром Л(А) матрицы А; Л(а) с (0,1).

Записывая матрицу Римана в виде [14]

П-Х

R(X,h;X0,h0 )= ^ h-X0

h-X0

h-X

h-X0

1 л -a e + h-X

h X 0

л -a e

a2 -a

E + ( -aE )ln -^-X h-X0

(10)

и используя методику, изложенную в работе [12], нетрудно получить решение задачи Коши для системы уравнений (7) в области 0 < Х< г) < 1 с начальным условием

lXm 0(X - h)Л (Uh - ux ) = v(x) x є (0,1)

h-X®-0

(11)

вместо условия (9).

Анализируя полученные решения, заключаем, что регулярное [20] в О = Н1 и Н 2 решение задачи Коши с данными

и(х,0) = т(х) = (т(х); т(1 - х))г, х е [0,1], (12)

Нт|2у|Аиу(х,у) = v(x) = (^(х);-^(1 -х))г, х е (0,1), (13)

у 1 У

1 X + у

и(х, у) = т(х + у) — (Е - А)-1 I" |х + у - 5 А v(s')йъ . (14)

2 ■*

х - у

Выделяя в формуле (14) первую компоненту вектора и(х,у), в случае

0 < а-е< а + е< 1 (15)

получим представление регулярного в области О решения уравнения (2):

( ) ( ) 1 Х +у ^(5)-^(1 -5) 1 Х +у ^(^) + ^(1 - 5) , (16)

и(х, у) = т(х + у)—^ I —^---------------- ---- —^ I —^--------------- ---- йъ. (16)

4(1 - а-8)}_у\х + у - 5|а+Е 4(1 - а-е) |х + у - 5|а-е

Начальные условия для уравнения (2) в силу формул (12) и (13) будут следующими:

и(х,0) = т(х), х є [0,1], (17)

1

ІІШ

у ®0 2

І2 у| а+е ду (и(х> у)+и(1 - х- у))+12 у| а-е дГ (и(х> у)- и(1 - х~ у))

ду ду

= Их). (18)

В силу той же формулы (13) одновременно с существованием предела в формуле (18) существует предел

1ІШ 1

у®0 2

І2 у|а+е ду(и(х, у)+и(1 - х- у))-12 у|а-е ду(и(х, у) - и (1 - х- у))

ду ду

= -п(1 - х), (19)

а тогда будут существовать их сумма и разность.

Таким образом, приходим к следующему результату.

Т е о р е м а 1. Пусть т(х)е С[0,1]п С2 (0,1), а т (х)е С2 (0,1)п ¿([0,1 ], (1 - х)1), / = 1,2. Тогда регулярное в области О решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (17)

и условиям

Нш|2у\а+Е — (и(х,у) + и(1 -х,-у)) = т (х), х е(0,1); (20)

у ду

Нш|2у|а е—(и(х,у)-и(1 -х,-у))= т2(х),хе(0,1), (21)

у ®0 ду

при 1= а + е, 1 = а - е 0 < 12 < 11 < 1, имеет вид

/ ч 1 х ++у т(я№ 1 х ++у /л2(я)^

у) = Т(х + у)-_--------. | а+е - ТТ]----+^ I I а-е . (22)

4(1 - а - е)х-у\х + у - я 4(1 - а + е)Д|х + у - я|а е

Корректность задачи с условиями (17), (20) и (21) для уравнения (2) является следствием корректности задачи Коши для системы уравнений (6).

Устремляя е к нулю в выражении (22) и обозначая сумму п(х) = ¡1\ (х)+ т2 (х),которая в

а ди

силу формул (20) и (21) равна Нш|2 у| —, получаем хорошо известное решение задачи Коши

у®0 ду

для уравнения (2) без инволютивных членов:

х+у у(я)ёя 2(1 - а) х-у |х + у - Я'

С другой стороны, система уравнений (6) при е =0 расщепляется на два одинаковых скалярных уравнения, каждое из которых имеет решение вида (23). Наконец, устремляя а к нулю в формуле (23), получаем классическую формулу решения задачи Коши для волнового уравнения [21] - формулу Даламбера.

Во всех случаях возможность предельного перехода под знаками интегралов гарантируется мажорантной теоремой Лебега [22].

Если а=е , то матрица системы уравнений (6) А = а^ ^ = аЁ, причем € = Ё идемпо-

тентная матрица. Спектр Л(а) = {2а; 0}, а решение задачи Коши с данными (12) и (13) и в этом случае имеет вид (14).

Выделяя первую компоненту вектора V (х, у) в формуле (14) для функции и = и(х, у), получаем решение в виде 34

/ ч / ч 1 х+у

1(х, у ) = т (х + у)- —— I 5 . (23)

í \ ^ 1 7 -5Ь 17г М Л М

м(х, у) = т(х + у)- 4(1 2 ) Г & - - Г [) + н( - 5)5 . (24)

4(1 - 2Я) х-у X + у - 5 4 X - у

Из структуры полученного решения заключаем, что в условиях теоремы 1 регулярное в области О решение задачи типа Коши для уравнения (2) с данными (17), (20) и (21) при а=е

может быть найдено по формуле (22) при е ® а, если только а е | 0,

2

Все приведенные выше утверждения и построения остаются в силе, если при условии а > 0 вели -чина е < 0 и справедливы неравенства 0 < а + е < а - е < 1. Таким образом, к теореме 1 можно сделать следующее дополнение.

Замечание к теореме 1. Теорема 1 остается в силе, если спектр вспомогательной матрицы А содержится в интервале [0,1) или, что тоже самое, параметры уравнения (2) удовлетворяют условию 0 < а + е, а - е < 1.

На рисунке параметрическая область корректности задачи типа Коши для уравнения (2) имеет двойную штриховку.

Если же а < 0 или при а > 0, е > а > 0, то, как показано в работах [15, 17], задача Коши для системы уравнений (7), а следовательно, и (8) становится некорректной. Однако в этих случаях будет корректна видоизмененная задача Коши с условием

и(х,0) = т(х) = (т(х); т(і - х))г, х є [0,1], совпадающим с (12), и условием

Ит0 212-ИА (их- иу)=г(х)=(х);- 1/(1 - х)Т, х є (0,1).

у®0 2

Её решение при Л(А) с (- да; 1) имеет вид

х + у

и(х, у) = т(х, у)- ||х + у - А у(.у)^5 .

(25)

(26)

(27)

Выделяя первую компоненту вектора и(х, у), получим решение видоизменённой задачи Коши для уравнения (2):

,(х. у)=т (х+у)-17 н^-нМ * -1х7 *.

4 ’ ^ ; 4 7 2 Л I | а+е 2 Л I |а-е

и(х, у ) = т(х + у)— I ——----------5--- а,5 — I ——-------5----- .

2 I I а+е 0^1 I ‘

■х-у |х + у - 5 2 х-у |х + у - 5

Начальные условия для уравнения (2) в силу формул (25) и (26) будут следующими:

и(х,0) = т(х), х е [0,1];

д д

Ііт1

у®0 4

+ 2 у

2 у

дх ду

а-еі д д

(п(х,у) + и(1 - х, - у))-

(ы(х,у)- и(1 - х, - у))

= у(х), х є (0,1).

(28)

(29)

(30)

дх ду

В силу формулы (26) одновременно с существованием предела в формуле (30) существует предел

Ііт1

у®0 4

2 у

дд

(и(х, у) + и(1 - х, - у))-

дх ду

д - д дх ду,

Тогда приходим к следующей постановке задачи типа видоизмененной задачи Коши:

- 2у|'

(и(х, у)-и(1 - х, - у))

(31)

= -у(1 - s), х є (0,1).

Т е о р е м а 2. Пусть т(х)е С[0,1]п С2 (0,1), а щ (х)е С2 (0,1) п ¿([0,1 ], (1 - х)1), / = 1,2.. Тогда регулярное в области О решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (29) и условиям

Нт1!2у|а-дуу)+и(1 - х - у))=т(х^ х е(0,1); (32)

у ®0 2 ^ дх ду 0

11т12у|а-е (д^—у)- и(1 - x, - у)) = т(х), х е(0,1); (33)

у®0 2 ^дх ду 0

при 1 = а + е, 1 = а - е и 1,12 е (- ¥,1) имеет вид

и(х, у) = т(х + у)-2 Г ^ а+е ^- 2 { а-е * . (34)

2 х-у|х + у - 5 2 х-у|х + у - 5

На рисунке параметрическая область корректности задачи типа видоизмененной задачи Коши для уравнения (2) представляет собой неограниченный сектор |е| < 1 - а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandl. des internat. Mathem. Kongr. I. (1932). Zurich. 138-151.

2. Андреев А.А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановским сдвигом // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тр. второго междунар. сем. Самара, 1998. С. 5-18.

3. Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами // Успехи мат. наук. 10:2 (64), 1955. С. 153-156.

4. Нерсесян А.Б. О задаче Коши для уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Мат. второй Всесоюз. межвуз. конф. по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. С. 116-117.

5. Андреев А. А. О корректности начальных задач для некоторых уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СОАН СССР. 1986. С. 10-14.

6. Андреев А.А., Шиндин И.П. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Аналитические методы в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Куйбышев: Куйбыш. гос. ун-т, 1987. С. 3-6.

7. Андреев А.А., Шиндин И.П. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения с инволюцией частного вида // Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев: Куйбыш. гос. пед. ин-т, 1988. С. 51-53.

8. Андреев А.А., Сеницкий А.Ю. О задаче Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу частного вида с отклоняющимся аргументом // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1987. С. 51-53.

9. Андреев А.А., Линьков А.В. О корректных задачах для одного модельного уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1997. С. 3-11.

10. Линьков А.В. Обоснование Метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением // Вестн. Самар. гос. ун-та. 1999. С. 60-66.

11. Андреев А.А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа. Дифференциальные уравнения // Тр. пединститутов РСФСР. Вып. 16., 1980. С. 3-5.

12. Андреев А.А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа: Дис. канд. физ.- мат. наук. Куйбышев, 1981. 100с.

13. Андреев А.А. Задача Коши для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками // Тр. пятой науч.-техн. конф. факультета математических знаний. №1556-82. Деп. с. 111-129.

14. Андреев А.А. О некоторых приложениях ассоциированных гиперболических функций // Дифференциальные уравнения (математическая физика): Тез. докл. участников Куйбышвского област. межвуз. науч. совещания-семинара. Куйбышев, 1984. С. 8-9.

15. Андреев А.А., Сеницкий А.Ю. О системе уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (I) // Краевые задачи и структура решений дифференциальных уравнений. Куйбышев, 1986. С. 38-41.

16. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. докт. физ.-мат. наук. Казань: КГУ, 1969.

17. Сеницкий А.Ю. О системе уравнений Эйлера- Пуассона-Дарбу (II) // Краевые задачи для уравнений математической физики. Куйбышев, 1990. С. 61-64.

18. Огородников Е.Н., Сеницкий А.Ю. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающейся системы гиперболического типа // Тр. седьмой межвуз. конф. Самара: Самар. техн. ун-т, 1997. С. 60-65.

19. Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа. // Некоторые проблемы математики и механики. М.-Л.: Наука, 1970. С. 112-119.

20. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

21. БицадзеА.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 352 с.

22. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.