Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.А. Андреев, И. Н. Саушкин

ОБ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ ОДНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНВОЛЮТИВНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ

Рассмотрено уравнение с оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя параллельными линиями вырождения, возмущенное старшей производной искомой функции с инволюцией по одной из переменных. Такие уравнения не поддаются известной классификации, а постановка краевых задач для них имеет определенную специфику. Для этого уравнения поставлен аналог задачи Трикоми во всей плоскости. Решение задачи найдено в явном виде.

Введение. Дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением — это уравнения, в которых искомая функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов. Класс таких уравнений с формальной точки зрения совпадает с классом дифференциально-функциональных уравнений.

Под инволютивным отклонением будем понимать действительную функцию действительного переменного ?, и для каждого t удовлетворяющую соотношению /(/(?)) = /2 (?) = t. Можно привести некоторые примеры инволютивных отклонений с одной неподвижной точкой: f (?) = С -1, / (?) = с — t3 . Если {является неподвижной точкой отображения /(?), то есть /(? ) = t , то для /(?) будет выполняться неравенство: (/(?) — t)(? — t )<0. Инволютивное отклонение с одной неподвижной точкой можно представить в виде: /(?) = t — т(?). Отклонение т(? ), в силу неравенства, на вещественной оси меняет свой знак, то есть дифференциальное уравнение, содержащее инволютивное отклонение, является некоторым модельным уравнением со знакопеременным отклонением аргумента (при ? < ? уравнение с опережающим аргументом, а при ? > ? — с запаздывающим).

Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением, встречаются еще в работе Ч. Баббеджа [1]. К дифференциальным уравнениям, содержащим простейшее инволютивное отклонение — отражение с — ?, сводились, как правило, некоторые геометрические задачи [2]. Например, при с = 0 это задача Бернулли и Эйлера о взаимных траекториях [3].

Файт [4] описал свойства решений уравнения с отражением а(?) = с — ?:

У (и)(? ) — Р(?) У(а(?)) = 0.

Они обладают следующим свойством: если р(?) > I > 0, то при нечетных п все решения осци-лируют (колеблются), а при четных п могут быть и неосцилирующими. В случае же а(?) = ?, как известно, ситуация противоположная.

Классическое уравнение с простейшим инволютивным отклонением [5]

У'(?) = ау(?) + Ъу(с — ?), ? е (0, с) интересно тем, что правая (у(с) = 0) и левая (у(0) = 0) задачи Коши неравноправны в смысле единственности решения. Например, при а = Ъ = с = 1 левая задача Коши имеет бесчисленное множество решений вида у = к?, к е Я, тогда как правая задача Коши имеет только единственное тривиальное решение.

Среди работ по дифференциальным уравнениям в частных производных с инволютивным отклонением следует отметить работы [6-13]. Подробный обзор содержится в работах [10, 11]. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом были предметом исследования А.Н. Зарубина [14, 15] и его учеников [16].

В данной работе для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно искомой функции и(х, у), содержащего помимо производной ихх (х, у) слагаемое еи(—х, у) с инволюцией по первой переменной х, рассмотрена задача, являющаяся аналогом известной задачи Трикоми. Рассмотренная задача не является краевой по своей сути, однако в предельном случае при е ® 0 исходное уравнение переходит в уравнение типа Лав-рентьева-Бицадзе с двумя линиями вырождения, а задача — в краевую задачу Трикоми в бесконечной области, рассмотренную В .В. Азовским и В. А. Носовым [17].

Вспомогательные задачи. Пусть Lgu(x, у) ° uxx (x, у) + /иуу (x, у) sgn (ул - у2),

НЛ = {(х у): -л|х 1< у < 0}, НЛ = {(х у):л< у < л|х | +р}, ° = {(х у)-, у <-;|х |},

дЛ = {(х У)-у > л|х 1 +л}, В0 = {(х у): -¥< х <+¥,0 < у < л}, В; = Н-и НЛи Бо,

В = {(х, у) - -¥ < X < +¥, -¥< у < +¥} .

Задача Дирихле. Найти функцию и(х,у) є С(Во) п С2(В0), исчезающую на бесконечности, обладающую частными производными первого порядка, непрерывными вплоть до у = 0, у = л , за исключением, быть может, точек (0,0), (0, л) , удовлетворяющую в В0 уравнению

ихх(х У) + иуу(х У) = 0 (1)

и условиям

и (х,0) =т1( х), (2)

и( х,л) = т2( х), (3)

х є (-¥, 0) и (0, +¥) .

Теорема 1. Если функции тк (х) є С (-да, +да) п С (1г){(-да,0) и (0, +да)} исчезают при

' ' / \ ' / \

| х|®+да вместе с тк(х), причем при х ®-¥ тк(х) = о(еЛх) и при х ®+¥ тк(х) = о(е~пх),

Лк > 0, ук > 0, к = 1,2, то задача Дирихле для уравнения (1) с условиями (2), (3) корректна по

Адамару, и ее решение имеет следующий вид [18]-

и (х, у) = ЇПУу?---------------------. (4)

2л к=1 -¥ сЬ(^- х) + (-1) cos у

Задача Дарбу 1. Найти функцию и (х, у) є С(Н1) п С2 (Н1-), удовлетворяющую в Н1- уравнению

ихх (X, У) - иуу (X, У) = 0, (5)

условиям (2) и

и(-х,х) = р1(х), х>0 . (6)

Теорема 2. Если функции т1 (х), р (х) є С(Н1) п С2 (Н1-), то задача Дарбу 1 для уравнения (5) с условиями (2), (6) корректна по Адамару, и ее решение представимо в следующем виде:

и(х,у) = р (хуУ]-Р (^ ) + *і( х+у). (7)

Задача Дарбу 2. Найти функцию и(х,у) є С(Н1) п С2(Н1+), удовлетворяющую в Н1+ уравнению (5), условиям (3) и

и (х + л, х) = р2 (х), х > 0 . (8)

Теорема 3. Если функции г2(х),р2(х) є С(Н1) п С2(Н1+), то задача Дарбу 2 для уравнения (5) с условиями (3), (8) корректна по Адамару, и ее решение представимо в следующем виде:

/ ч ( х + у - лЛ ( х - у + лЛ . .

и (x, у) = Р21—2—І Р21—2—1+т2(х - у+л). (9)

Задача Гурса 1. Найти функцию и(х,у) є С(01) п С2(01-), удовлетворяющую в 01- уравнению (5), условиям (6) и

и (х, х) = у(х), х < 0, (10)

где р(0) = У 1 (0).

Теорема 4. Если функции р1(х),у(х) є С(01) п С2(01-), то задача Гурса 1 для уравнения (5) с условиями (6), (10) корректна по Адамару, и ее решение представимо в следующем виде:

и (х у) = р ^ хуУ ^ + у ^ х-2у 0- 2Р1(0). (И)

Задача Гурса 2. Найти функцию и (х, у) є С(01) п С2(01+), удовлетворяющую в 01+ уравнению (5), условиям (8) и

1 2 +¥

г1(х)-= р1

и(х + л,-х) = у2(х), х<0, (12)

где р2(л) = у(л) .

+ 2 +

Теорема 5. Если функции р2(х),у2(х) є С(01) п С (01 ), то задача Гурса 2 для уравнения (5) с условиями (8), (12) корректна по Адамару, и ее решение представимо в следующем виде:

( х + у - л^ ( х - у -

и(х,у) = Р11—2—І + УI—2—І-2Р1(л). (13)

Задача Трикоми 1. Найти функцию и(х,у) є С(В1) п С2(В1), исчезающую на бесконечности, обладающую частными производными первого порядка, непрерывными вплоть до у =0, у = л , за исключением, быть может, точек (0,0), (0, л) , удовлетворяющую в В1 уравнению

Ци( х, у) = 0, (14)

условиям (6), (8), (10), (12) и дополнительным условиям р1(х) = у(х), р2(х) = У2(х) .

Решение данной задачи получается в результате «склейки» решений задач Дирихле и Дар-бу. Для уравнения (14) будет справедлив принцип экстремума [19] и, следовательно, имеет место единственность решения задачи Трикоми 1.

Обоснование существования решения рассмотренной задачи сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений

«-у-+(-1)* ‘12.

где х є (-да, 0) и (0, +¥).

Производя необходимые преобразования, система (15) приводится к характеристическим уравнениям. Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 6. Если рк (х) исчезает на бесконечности, рк(х) = о (е~л|х|) при | х |®+да,

рк (х) є С(15) (-¥, +¥), Л > 1, 5 > 0, то задача Трикоми 1 для уравнения (14) корректна по Адамару, и ее решение представимо в следующем виде: в области В0 решение имеет вид решения задачи Дирихле (4), в области Н1- оно имеет вид решения задачи Дарбу 1 (7), а в области Н1+ — вид решения задачи Дарбу 2 (9), где функции тк (х) являются решением системы сингулярных интегральных уравнений (15):

т (х)=&(х)+Л 4)”&гг - Л 4)”дг, (16)

2л - I е , Є -1 2л - І е , Є +1

-¥ \ У -¥ \ У

где

т (х) = ті( х) + (-1)к-1т2( х); (17)

8к(х) = Р1 ^ 2 0 +(-1) к-р | 2 |, (18)

„ 1 1

О = — аг^—. л 2

Задача Трикоми 2. Найти функцию и(х,у) є С(В1) п С2(В1), исчезающую на бесконечности, обладающую частными производными первого порядка, непрерывными вплоть до у =0, у = л, за исключением, быть может, точек (0,0), (0,л), удовлетворяющую уравнению (14) в В1, условиям (6), (8), (10), (12) и дополнительным условиям р1 (х) = -у (х), р2 (х) = -у2 (х).

Решение этой задачи получается так же, как и в задаче Трикоми 1 в результате «склейки»

решений задач Дирихле и Дарбу. Также обосновывается и единственность решения задачи.

Обоснование существования решения задачи Трикоми 2 сводится теперь к решению системы следующих сингулярных интегральных уравнений:

T( x) -

Т;( X) -

sgnX^7 Tk(g)dg = / 2p h -¥ ev-x+(-i)k Wi

:zj-

T* (g)dg_ ' I x

k~ r;

2л к=1 -¥ ^ - (-1)* 'Ч 2, где х є (-да, 0) и (0, +¥).

Производя необходимые преобразования, система (19) приводится к характеристическим уравнениям. Справедлива теорема.

Теорема 7. Если ук (х) исчезает на бесконечности, ук(х) = о(е~л|х|) при | х |®+да,

ук (х) є С(15) (-да, +¥), Л > 1, 5 > 0, то задача Трикоми 2 для уравнения (14) корректна по Ада-мару, и ее решение представимо в следующем виде: в области В0 решение имеет вид решения задачи Дирихле (4), в области Н1- оно имеет вид

'х - у4

U (X, у) = sgn X

У

а в области Hi -

u (x, у) = sgn x

У;

X + у - p

■У1 і | + t(x + У)

X - У + p I

У; і ------ ---- | + т; (x - У + p)

где функции тк (х) являются решением системы сингулярных интегральных уравнений (19):

m(x) = g*(x) +

sgn X

2p •'і e ,

-¥

1 - e

;g

1 - e2

“1 -2sgnx g*V

1 1 eV

1 - ;sgnv

- і

dg-

+' Ґ g \

sgnX - 1 e 2p ■'і e , -'

1 - e

;g

1 - e2

;q1 - 2sgn xg* (g)

1 - ;sgngl

+і

dg ,

при этом функции т (х) определены в (17), а

gk (X) = У і 2 1 + (-1)*-1y1 f |.

(20)

(21)

Аналог задачи Трикоми. Пусть a =

1

b=

1

. В силу того, что а < Ь, будут вы-

%/1 + е у/1 - е

полняться включения: Н± с Н±, с. Q± , Ба с Д,.

Задача. Найти функцию и (х, у) е С2(В), исчезающую на бесконечности, обладающую частными производными первого порядка, непрерывными вплоть до у = 0, у = р , за исключением, быть может, точек (0,0), (0, р) , удовлетворяющую в В уравнению

Ци(X у) + еихх (-X У) = 0 (22)

с параметром 0 < е < 1, и условиям:

,i ) г і

U і — X, -X | + U і-X, -X

.a 0 і a

2

= Pi( x);

i ) Г i

U і — X, X + p | + U і — X, X + p

a 0 1 a

2

i ) Г i

uі — X,-x |-Uі — X,-x . b ’ 0 і b ’

= P;( x) ;

= y( x);

(23)

(24) (2З)

,1 1 І 1

и І — х, х + Л І- и | — х, х + Л

Ь 0 1 Ь 0

------------------------- = У(х), (26)

х є (-¥, 0) и (0, +¥).

і - , и (х, у) + и(-х, у) и(х, у) - и(-х, у)

Относительно функций у(х, у) =---------------------2- и w(х, у) =------------------------2- уравнение

(22) распадается на два дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка:

у( х, у) = 0; (27)

ЬЬ2 w( х, у) = 0, (28)

которые, в свою очередь, являются уравнениями смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения у = 0 и у = л .

Множество решений уравнений (27), (28) содержит все решения уравнения (22), которые мы выделим, используя соотношение

и( х, у) = у( х, у) + w( х, у). (29)

Так как у(х,у) = у(-х,у) и w(х,у) = -w(-х,у), то у(х,у) и w(х,у), являются «четной» и

«нечетной» функциями соответственно по первой переменной.

Для решения поставленной задачи воспользуемся вспомогательными задачами, рассмотренными выше.

В характеристических координатах X = ах, т = у уравнение (27) и условия (23), (24), в силу «четности» и функции у( х, у), запишутся в следующем виде:

Ьу(Х,т) = 0; (30)

у(£, -X) = у(£,£) = р(£); (31)

у(х,х + л) = Л-Х,Л+л) = р(Х). (32)

Для уравнения (30) задача Трикоми с условиями (31), (32) совпадают с задачей Трикоми 1. Ее решение представлено в (16).

Уравнение (28) в характеристических координатах X = Ьх, т = У и условия (25), (26), в силу «нечетности» функции w(X,т), запишутся в виде:

ь^ХтТ = 0; (33)

w(X, -X) = - w(X,X) = у(Х); (34)

w(X,X + л) = - w(-X,X + л) = у2(Х). (35)

Для уравнения (33) рассмотрена задача Трикоми 2, решение которой также было получено в виде (20).

Возвращаясь к координатам х, у и используя представление (29) решений уравнения (22), можно выписать решение поставленной задачи. Будет справедлива теорема.

Теорема 8. Если функции рк(х) ,ук(х) исчезают на бесконечности, рк(х) = о(е~л|х|),

ук(х) = о(е~л|х|) при | х |®+да, рк(х) є С(1,5)(-да, +да), ук(х) є С(1,5) {(-да,0) и (0, +»)} , Л> 1,

5 > 0, то поставленная задача для уравнения (22) корректна по Адамару, и ее решение представимо в следующем виде: в области Ц0 -

2 +¥ / \ .л 2 +¥

/ Ч БШ У

и (х, у) =

І Г Т(д)іїд + І г Тк(рйд

к=1 -¥ оЬ(д - ах) + (-1)к 008 у к=1 -¥ оЬ(д - Ьх) + (-1)к 008 у

2л

в области На -

. . І ах - у 1 ( ах + у 1

и(x,У) = РI І-РI 1 + Т1(ах + У) + sgnх

У2 I 1-У IЬх+У 1 + Т1(Ьх + У)

в области Ha+ -

.ax + y - p) Г ax - y + p . u (x, y) = Pi і------ ------|- Pi і------- ------| + t;(ax - y + p) +

Гbx + y -p) Гbx -y + p . „

У; і ------Г----- | - У; і -----Г----- | + T;(bx - У + p)

+ sgn X

в области Q- n Hb -

Г ax + y ) Г ax - y , u (x, У) = Pi і----— 1 + Pi I |- Pi(0) + sgn x

У; ( ^ )-У; ( ] + Тi(bx + У)

. . .ax + y - p ) f y - ax - p .

u (x, У) = Pi і------------| + Pi і-------------|- Pi(0) +

У;

2 0 I 2

bx + y - p) Г bx - y + p

У; I-

+ Т; (bx - y + p)

в области Q+ п Н+ -

1

+ sgn х

в области Q- п Q- -

. . Г ах + у Л ( ах - у Л ( Ьх + у Л (Ьх - у Л

и (x, у) = л I—— I + л I ■I- у1—— I + у1 ■I- л(0);

в области Q+ п Ql -

Г ах + у - р Л Г у - ах - р Л ( Ьх + у - р Л ( у - Ьх - р Л

и (x, у) = ЛI------2--------I + Л21-2------1 + У21------2-----1- УI--------2----1- Л2 ,

где тк (х), к = 1,2 являются решением системы сингулярных интегральных уравнений (15), а Тк (х) — решение системы (19).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Babbage Ch. An essay towards the calculus of function // Philophical transations of the Royal Society of London. T. 11. 1816. P. 179-256.

2. Lacroix S.F. Traite du calcul differentiel et du calcul integral. V. 3, 2-me ed. Chap. 8. 1819. Paris.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1987. 548 с.

4. Fite W.B. Properties of the solution of certain functional differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1921. № 3. P. 311-319.

5. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с.

6. Андреев А.А. О корректности начальных задач для некоторых уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1986. С. 10-14.

7. Андреев А.А. Сеницкий А.Ю. О Задаче Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу частного вида с отклоняющимся аргументом // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1987. С. 51-53.

8. Андреев А.А. Шиндин И.П. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Аналитические методы в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Куйбышев: Куйб. гос. ун-т, 1987. С. 51-53.

9. Андреев А.А. Линьков А.В. О корректных задачах для одного модельного уравнения в частных производных с отклоняющимся аргументом // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1997. С. 3-11.

10. Андреев А.А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлеманов-ским сдвигом // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тр. второго международн. сем. Самара: Ун-т Наяновой, 1998. С. 5-18.

11. Андреев А.А. Огородников Е.Н. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2000. № 9. С. 32-36.

12. Андреев А.А. Саушкин И.Н. Задача Коши для одного дифференциального уравнения специального вида с инволютивным отклонением // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. тринадцатой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2003. С. 144-147.

13. Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 8. С. 1192-1195.

14. Зарубин А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 3. С. 350-356.

15. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. 225 с.

16. Зарубин Е. А. Обратная начально-краевая задача для уравнения диффузии с запаздывающим аргументом и

1З

дробной производной по времени // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. тринадцатой межвуз. конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2003. С. 185-186

17. Азовский В.В., Носов В.А Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в бесконечной области // Волжский математический сборник. Куйбышев: Куйб. пед. ин-т. Вып. 15, 1973. С. 3-9.

18. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. 320 с.

19. БицадзеА.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. мат. ин-та им. Стеклова. М.: Наука, 41. 1953. 62 с.

Поступила 24.01.2005 г.

УДК 517.95

А.С. Еремин

КОМПОЗИЦИЯ СМЕШАННОГО ДРОБНОГО ИНТЕГРАЛА И СМЕШАННОЙ

ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ ОДНОГО ПОРЯДКА

Исследуется вопрос композиции смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной в достаточно широком классе функций. Получена формула обращения смешанной дробной производной.

Введение Теория дробного исчисления посвящена исследованию и применению интегралов и производных произвольного порядка. Историю дробного исчисления следует вести еще с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля [1]. В последнее время интерес к дробному исчислению значительно усилился, что вызвано многочисленными приложениями в различных областях науки. В этой связи можно упомянуть монографии [2-6], работы [7-9].

Известны различные формы дробных интегралов и производных. Наиболее часто в научной литературе встречаются дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля [1]. Операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F(а;Ь;с;г) рассматриваются, например, в работах [10-13]. В работах [14-16] операторы дробного интегро-дифференцирования обобщаются на случай матричного интегро-дифференцирования.

Непосредственное распространение операций дробного интегро-дифференцирования Ри-мана-Лиувилля на случай многих переменных, когда эти операторы применяются по каждой переменной или по некоторым из них, дает так называемые частные и смешанные дробные интегралы и производные. Они известны достаточно давно [1]. Так, в работе [17] при помощи двухмерного преобразования Лапласа получено решение двухмерного интегрального уравнения Абеля.

В настоящей работе исследуется вопрос композиции смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной в достаточно широком классе функций. Получена формула обращения смешанной дробной производной. Полученные результаты могут применяться в теории дифференциальных уравнений, содержащих смешанные дробные производные.

Абсолютно непрерывные функции. Важную роль в теории дробного интегро-дифференцирования играют абсолютно непрерывные функции.

Пусть О = {(х,у): а < х < Ь,с < у < ё}, -¥ < а < Ь <¥, -¥ < с < ё <¥.

Определение 1 [1, с. 21]. Функция /(х) называется абсолютно непрерывной на отрезке [а, Ь], если по любому е > 0 можно найти такое 8 > 0, что для любой конечной системы попарно непересекающихся отрезков [ак, Ьк ] е [а, Ь], к = 1, т , такой, что ^к=1(Ьк - ак) < 8, справедливо неравенство ^т1 /(Ьк) - /(ак) |< е. Класс всех таких функций обозначается АС ([а, Ь]).

Определение 2 [1, с. 21]. Через АСп ([а, Ь]), где п = 1,2,... обозначим класс функций / (х), непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] до порядка п -1, причем / (п-1)(х) е АС ([а, Ь]). Определение 3 [18, с. 237]. Функция /(х, у) называется абсолютно непрерывной в О, если по любому е > 0 можно найти такое 8 > 0 , что для любой конечной системы попарно непересе-кающихся промежутков Дк = {(х,у): х1к < х < х2к,у1к < у < у2к}, сумма площадей которых