Зависимость решений от коэффициентов уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с фредгольмовым оператором при производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

18 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 MSC 35Q05

ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ

А.В. Глушак

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: GlushakQbsu.edu.ru

Аннотация. Исследована зависимость решений абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с фредгольмовым оператором при производных от коэффициентов уравнения.

Ключевые слова: абстрактная задача Коши, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, Фредгольмов оператор, возмущение.

В работе [1] при t > 0 и к > 0 установлена разрешимость задачи щих уравнений с фредгольмовым оператором A при производных: Коши для еледую-

A (tku'(t)')' = tkBu(t) , (1)

(tkAv'(t))' = tkBv(t), (2)

(tk(Aw(t))/)/ = tkBw(t). (3)

Для всех этих уравнений начальное условие имеет вид

u(0) = U0 , u/(0) = 0 . (4)

В настоящей работе исследуются вопросы поведения решений рассматриваемых задач при изменении либо операторных коэффициентов уравнений, либо параметра к. Все используемые нами обозначения введены в [1].

Условие 1. Пусть B £ L (E\, E2), а оператор A — линейный, замкнутый, фред-гольмовый оператор и при этом для достаточно малых по модулю А оператор A + AB обратим.

Если выполнено условие 1 и U0 £ ЮТ, то задача (1), (4) при любых к > 0 имеет единственное решение (см. [1]) uk(t) = Yk(t; Tp)U0.

Теорема 1. Пусть выполнено условие 1 и U0 £ ЮТ. Тогда равномерно по t £ [0,t0], t0 > 0 для любого к > 0 справедливо соотношение

lim um(t) = Uk(t). (5)

m^k

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 1301-00378 А-2013

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

19

□ Для определённости будем считать, что m > к. В силу формулы сдвига по параметру (ем. [2]) для U0 G M, t G [0,t0] и 8 > 0 имеем

um(t) uk(t)

1-S/to * 1

B ((k + 1)/2, (m - k)/2)

sk (1 - s2)(m-k-2)/2 (Ym(ts; Tp) - Yk(t; Tp)) Uo ds+

B ((k + 1)/2, (m - k)/2)

sk (1 - s2)(m-k-2)/2 (Ym(ts; Tp) - Yk(t; Tp)) Uo ds .

1S/to

1

В силу сильной непрерывности операторной функции Yk(t; Tp) существует 8 > 0 такое, что для любого е > 0 ||Ym(ts; Tp)U0 - Yk(t; Tp)U0|| < е, если только |1 - s| < 8/t0, Зафиксируем такое 8 > 0 и пусть M(t0) = sup[0 to] ||Yk(t; Tp)U0||. Тогда

I Um(t) - Uk (t)|| <

2

B ((k + 1)/2, (m - k)/2)

x

1—<5/to

X

2M(t0) / (1 - s2)(m-k-2)/2 ds + е / (1 - s2)(m-k-2)/2 ds ) <

< 4M(t0) T((m+ l)/2) ^28 _ 8^ (m'fc'2)/2 ^

r((k + 1)/2) r((m - k)/2) \ t0 Ц

Поскольку lim r((m - k)/2 = to, то, учитывая произвольноеть е > 0, из последнего

m^k

неравенства получим (5). ■

Аналогично доказываются и следующие две теоремы о разрешимости соответственно задач (2), (4) и (3), (4).

Теорема 2. Пусть выполнено условие 1 и U0 G M. Тогда равномерно по t G [0, t0], t0 > 0 для любо го k > 0 справедливо соотношение

1

lim vm(t) = Vk (t).

m^k

Теорема 3. Пусть выполнено условие 1 и

S0U0 = 0, QjS_1F_1(/1 - P0)U0

0, j

1, 2, ...,p - 1.

Тогда равномерно no t G [0, t0], t0 > 0 для любо го k > 0 справедливо соотношение

lim wm(t) = wk (t).

m^k

20

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

В дальнейшем мы, используя результаты гл. 2 из [3], исследуем влияние на решение возмущений коэффициентов только для уравнения (1). Для уравнений (2) и (3) результаты формулируются и устанавливаются аналогично.

При к > 0 рассмотрим уравнение

(A — eC) (tku'{t))' = tkBu{t) (6)

с параметром e е C, 0 < |e| < e0, e0 > 0.

Условие 2. Пусть B, C е L (E1, E2), а итератор A — линейный, замкнутый, фред-гольмовый оператор, причём dim ker A =1.

Отметим, что предположение dim ker A =1 лишь упрощает изложение результатов. Пусть е — элемент из ker A, д е coker A. В одномерном пространстве coker A введём скалярное произведение < •, • > так, чтобы < д,д >= 1.

В рассматриваемом случае лемма 1 из [1] формулируется следующим образом.

Лемма 1 [3]. Пусть выполнено условие 2, x е D(A), у е Е2. Тогда уравнение Ax = у эквивалентно системе

< Qoy, д >= 0, x = Hoy + се, где с — произвольная постоянная из C.

Следуя [3] (п, 2.2.1), для x е Е1 и e е C : |e| < ||H0C||-1 введём в рассмотрение операторы

K0(e)x = e < Q0Cx, д >, x е Е1,

K1(e)x = e < Q0C(I1 — eH0C)-1H0Bx, д > + < Q0Bx, д >,

Kj(e) = Kj-1(I1 — eHoC)-1HoB, j = 2, 3,....

Введём также в рассмотрение элемент т(e) = (I1 — eH0C)-1e и пусть r — минимальное число, при котором Kr (e)T(e) = 0. Тогда уравнение (6) примет вид

(tku'(t))' = tkY(e)u(t) , (7)

где

Т(е)т = (Д - еЩС)~1ЩВх - ^+w ~ ^С)~1е ,

Kr (e)T (e)

и при этом для j = 1, 2,..., r выполняются тождества

Kj(e)u(t) = 0 . (8)

Учитывая лемму 1, также как и в и. 2.2.1 [3] доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполнено условие 2. Решение задачи (6), (4) существует и единственно только тогда, когда существует j е N такое, ч то Kj (e)T (e) = 0 для e е Си таких, что 0 < |e| < e1 < e0 с некоторым e1 > 0, а для U0 выполнены условия согласования Kj(e)U0 = 0, j = 1, 2,..., r. При этом решение имеет вид u(t) = Yk(t; Y(e))U0 и обладает свойством (8).

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

21

Из теоремы 1 [1] вытекает следующий результат.

Теорема 5. Пусть выполнено условие 1. Решение задали (6), (4) существует и единственно только том случае, когда при каждом £ G C : 0 < |£ < £1 существует Ai G C такое, что оператор A — £C — AB обратим при 0 < |A| < |A1|.

Исследование обратимости оператора A — £C — AB содержится в п, 2.2.2 [3], а поведение решения задачи (6), (4) при £ —^ 0 исследуется аналогично пункту 2.3.5 [3]. Отметим, что даже малая добавка £С может оказать существенное влияние на существование решения задачи (6), (4).

Наконец, рассмотрим случай сингулярного возмущения уравнения Эйлера-Пуаееона-Дарбу е фредгольмовым оператором при производных, когда множителем при старшей производной вводится параметр £ —^ +0.

Теорема 6. Пусть k > 0, выполнено условие 1 и U0 G M. Тогда равномерно но t G [0, t0] решение задачи

eAU"(t) + ^U'{t) = BU{t), U{0) = U0 , U\0) = 0 (9)

стремится при £ —^ +0 к решению задачи

jV'(t) = BV(t), V(0) = Uo , (10)

при этом ||U(t) — V(t)|| = O(£).

□ В силу теоремы 3 [1] и теоремы 3 из [4] решения задач (9) и (10) имеют вид

Uit) = Yk/e Tp^j Uo , V(t) = exp ЦТР) U0 ,

и требуемое нам утверждение вытекает из теоремы 3 [5]. ■

Литература

1. Глушак А.В. Уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с фредгольмовым оператором при производных // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2014. - Вып. 37. -С.5-18.

2. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // ДАН. - 1997. - 352, № 5. - С.587-589.

3. Зубова С.П. Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений / Дис. докт. физ.-мат. наук. Белгород. 2013. 4 5

4. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применение. - Вып. 14. Вильнюс. Институт физики и математики АН Литовской ССР. - 1976. - С.21-39.

5. Глушак А.В. Регулярное и сингулярное возмущения абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Математ. заметки. - 1999. - 66, вып.З. - С.364-371.

22

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

SOLUTIONS DEPENDENCE ON COEFFICIENTS OF EULER-POISSON-DARBOUX’s EQUATION WITH FREDHOLM’S OPERATOR AT DERIVATIVES

A.V. Glushak Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: GlushakQbsu.edu.ru

Abstract. It is investigated the dependence of solutions of an abstract Euler-Poisson-Darboux equation with Fredholm’s operator at the derivatives the equation coefficients.

Key words: abstract Cauchy problem, Euler-Poisson-Darboux’s equation, Fredholm’s operator, perturbation.