Морфология фазовых пространств одного класса линейных уравнений типа соболева высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОРФОЛОГИЯ ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СОБОЛЕВА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Г А Свиридюк, А.А.Замышляева * Челябинский государственный университет.

Рассматривается разрешимость задачи Коши для операторного дифференциального уравнения соболевского типа высокого порядка с фредголъмовым оператором при старшей производной Исходная задача редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа первого порядка, далее исследуется ее разрешимость с помощью построения фазового пространства Полученные результаты затем транскрибируются в терминах исходной задачи

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, фазовое пространство, Ь-ограниченный оператор, М-присоединенные векторы, М-корневое пространство.

Пусть N и Л4 - банаховы пространства, операторы В^ £(Л/*; Л4), к = 0,1,. п — 1, оператор А € С{М\ Л4) - фредгольмов, т е. образ ¡т А замкнут и сЬткегЛ = сосНтипЛ < оо. Рассмотрим задачу Коши

«(0) =«0У(0) = уъ...,Уп~Н0) = (1)

для операторного дифференциального уравнения

Ау^ = Вп-гь^-^ + ... + Вху' + В0у. (2)

Прообразом задачи (1),(2) является широкий класс начально-краевых задач для уравнений в частных производных, возникших в приложениях. Некоторые из этих прикладных задач ма приведем в качестве иллюстраций изучаемой ниже абстрактной схемы.

Нас интересует однозначная разрешимость задачи (1),(2). С этой целью мы редуцируем задачу (1),(2) к задаче Коши

«(0) = Щ (3)

для операторного дифференциального уравнения

Ьи = Ми, (4)

' Работа поддержана грантами РФФИ N97-01-00444 и Минобразования РФ по направлению "Математика"

где оператор

М : =

(0 I 0 . . 0

0 0 I . 0

0 0 0 . . I

и0 Вг В2 - ■

е С{и-Т),

а оператор

Ь : =

\0

О \

А)

е СЦА\Г)-

фредгольмов. Пространства Ы := Ып\Т := Мп~1 х М - банаховы с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств. Решением задачи (3),(4) (и, тем самым, задачи (1),(2)) назовем вектор-функцию

со1(и°

71— 1

), ик е ик := = 0,1,

,п

1, удов-

летворяющую условию (3), где щ :— со1(и$,..., Ид-1), и уравнению (4).

Однозначная разрешимость задачи (3),(4) полностью исследована в работах С.Г.Крейна и его учеников [1],[2] и независимо в работах Н.А Сидорова и его учеников [3],[4]. В частности, установлено, что задача (3),(4)в сингулярном случае (т.е. кег Ь ф {0}) неразрешима Ущ £ Ы. По полученные результаты трудно транскрибируются в терминах задачи (1),(2).

Нал! подход заключается в следующем. Мы редуцируем сингулярное уравнение (4) к регулярному уравнению

и = Си, с е ЦП), (о)

определенному, однако, не на всем прос 1 ране 1 не Ы, а на некот ором множестве V С Ы. понимаемом в дальнейшем как фаювое прос I ранет во уравнения (4) в смысле Д.В.Аносова (МО. Т 5 С' 587) Основной вопрос, который здесь возникает, - это как должно бьпь "ус I роено" фазовое просчрана-во V, чтобы гарантировать однозначную разрешимость задачи (3),(5) и, тем самым, задачи (3),(4). Чтобы не увеличивать многозначность терминов "строение", "структура", "форма" и т.д., предлагается при ответе на этот вопрос пользоваться термином "морфология", что в вольном переводе с греческого означает "изучение формы". Основы этого подхода изложены в работах [5],[6] и развиты в [7],[8]. Полученные таким образом результаты об однозначной разрешимости задачи (3),(4) транскрибируются затем в терминах задачи (1),(2).

Несколько слов о терминологии. Термин "уравнение типа Соболева" обсуждаекя в [6],[9], остальные новые к'рмины вводятся по мере необходимое! и Знаки > и < лежач1 в начале и в копне доказательств, знак ":-'

фачовые пространства уравнений типа соболева

89

означает "принять равным по определению". Исследование проводится в вещественных банаховых пространствах, но при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация.

1. Абстрактная схема

1.1. Задача (3), (4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Оператор М Е С{Ы\Т) называется ограниченным относительно оператора ¿ £ С{Ы\Т) (короче, ¿-ограниченным), если

3//() >0 У^еС (И > но) => (/;£ - М)~1 е ЦТ-М)

Вообще говоря, не каждый ограниченный оператор будет ¿-ограниченным. Тривиальный пример: оператор ¿ :И —> Т - компактен, а оператор М = 0. Однако если 3Ь~ 1 £ С(Т\1А), то УМ £ С{Ы\Т) ¿-ограничен. Отметим еще, что понятие ¿-ограниченности оператора М в исследовании однозначной разрешимости задачи (3),(4) играет ту же роль, что и понятие ограниченности оператора С в исследовании разрешимости задачи (3),(5).

Пусть оператор ¿ £ 3-(1А\Т) (фредгольмов). Обозначим через сошт ¿ :=Ы Экег Ь некоторое топологическое и алгебраическое дополнение к ядру кег Ь до пространства Ы. Возьмем вектор <р Е кег Ь и рассмотрим итеративную процедуру:

</?! = </?, и = М^р, 1р} Е еопп ¿, ] = 2,... (6)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Векторы г = 2,..., получающиеся из векторов ¡р Е кег ¿\{0} посредством процедуры (б), называются М-присоединенными векторами. Если Муэ ^ 5т ¿, то говоря!, чго вектор не имеет Л/-при-соединенных векторов. Линеал 1АХ С Ъ1, содержащий все собственные и М-присоединенные векторы оператора ¿, называется М-корневым пространством оператора ¿.

Если 3М~л £ С(Т]1А), то А/-присоединенные векторы - это в точности присоединенные векторы оператора М~1Ь Е С,(Ы), а линеал Ы1 в этом случае - корневое прстранство оператора М-1 Ь. В силу этого обстоятельства термин "М-корневое прстранство" нам кажется более удачным, нежели термин "М-жорданов набор", принятый в гл.IX [10].

Пусть М - ¿-ограниченный оператор. Справедлив следующий результат (лемма 30.1 [10]).

ЛЕММА 1.1. \/(р Е кегЬ \ {0} Зр Е N (М<рр # \т Ь), где (рр - собственный (р = 1) или М-присоединенный (р > 1) вектор.

Пусть {(р1, ...,1р1} - базис ядра кег Ь, сПткегЬ = I. Обозначим через Ыц линеал, натянутый на векторы <Р1Р1}, где р^ — р(1рк),к = 1,

а число р € N определяется леммой 1.3. Положим сокег£ := 7 9ш]]/| обозначим через Ро : Т —> сокегЬ проектор вдоль 1тЬ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 3. М-корневое пространство Ы1 оператора Ь называется полным, если сужение Мо оператора РоМ на линеал Ы1 -топлинейнын изоморфизм: Мо : Ыц —> сокегЬ.

Термин "полное" используется здесь не в традиционном метрическом смысле ввиду следующего обстоятельства. Справедлив критерий Вайнберга-Треногина ^-ограниченности оператора М (теорема 30.1 [10]), из которого мы выберем только достаточное условие (необходимое будет получено в качестве поризма).

ТЕОРЕМА 1 1. Пусть оператор М Е С{Ы]Т), а оператор Ь £ Т{Ы,Т) Тогда М-корневое пространство оператора Ь полно.

Так вот, при доказательстве этого утверждения базисные векторы ке1 Ь и пространство соипЬ уточняются в ходе некоторой "пополняющей" линеал Ых процедуры.

ЛЕММА 1 2. Пусть оператор М £ С{Ы\Т), а оператор Ь 6 Т{Ы\Т) им ет полное М-корневое пространство. Тогда

(г) кегМПзрап{<^,г = 1,...,/; ] = 1,= {0};

(и) векторы = 1,] = 1,...,рг линейно независимы.

(ггг) Ых = врап^.г = 1,...,/; ] = 1,-.

о Утверждение (1) следует из определений 1.2 и 1.4. Обратимся к (и) Пуп ь

¿£»; = о, ю

4=1J=1

I до а1 £ К Подействовав на (7) оператором Ь, получим

¿х»;=° и

^=lJ=2

причем

аг1=0, ¿ = 1(9) Подействовав на (8) оператором М, получим

¿£>54-1=0. (ю)

1^=2

Положим

Я = тах{рг} (11)

1<г<(

Применяя теперь к (10) рассуждения (7)->(8)->(9)-»(10), через q — 2 шагов последовательно получим а* = 0, г = 1, j — 1, ...,рг.

(iii) Очевидно, span{<^,i = 1,...,/; j = 1,...,рг} С И1. Докажем обратное вложение. Пусть ф £ U1. Обозначим через Lq сужение оператора L на пространство coim L. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике оператор Lq : coim L —» imL - топлинейный изоморфизм. Построим оператор Lq 1 М, который определим на линеале U1. По построению Зп 6 N 3<^ 6 ker L \ {0} ((Lg 1М)п<р = ф). Отсюда ф £ span{^,z = 1, ,1, з = l,...,pj.<

Пусть оператор L имеет полное М-корневое пространство. Положим Uu ~ kerL, U12 = spanfaj : г = 1, .1, j=2,...,pt}, U2 = coimL QlA12. Очевидно, U = Un ф U12 ф U2 — Ul © U2. Положим Я = L[U2) и Я = М[ЫХ]

ЛЕММА 1 3. Пусть оператор М £ С{Ы\Т), а оператор L £ име-

ет полное М-корневое пространство. Тогда: (i)&mUl = dim Я;

{п)Т = я © я

> Утверждение (i) справедливо в силу леммы 1.6 (i),(iii). Докажем (ii) • Покажем сначала, что линеал Я замкнут. Пусть f £ F - предельная точка Я. Поскольку Я С imL по построению, а образ imL замкнут ввиду фредгольмовости оператора L, то / G imL. Выберем последовательность {/д.} С Я такую, что ft -> /, и рассмотрим последовательность {ui : щ = L^lfk} С W2. В силу непрерывности оператора L01 im L —> coim L и сходимости последовательности {Д} последовательность {uk} фундаментальна. Обозначим через и ее предел, причем и £Ы2 в силу замкнутости U2 Тогда

/ = lim Д = lim Lui~ = Lu £ Я

к—>оо к—>оо

в силу непрерывности оператора L.

Теперь пусть / € Я пЯ \ {0}. Тогда 3<p£Ux\ {0} (Mip = /). Если Mip </_ im L, то приходим к противоречию, ибо Я С imL.

Пусть Mip £ imL. Тогда 3ф £ W12\{0} (ф = L^Mip), причем Ьф = LL^Mif = / б Я, что тоже приводит к противоречию, ибо Ь\и12}ПТ2 -= 0 по построению. Итак, Я П Я = 0.

ПоложимUq1 = span{<^, г = 1,...,/; j = 1, ...,рг-1}, Uq2 = spanj^, г = 1,..,/}, причем считаем ip\ £ Uq2, если множество М-присоединенных векторов вектора <р\ пусто. Очевидно, Ul = Ull®U}2. Положим Т^1 — М[Ы^г}, г =

1,2. Очевидно Т1 = 7"0И ® ?12, причем сПт.Г012 = I и П гтЬ = {0} по построению Отсюда Т = Т12 © пп Ь в силу фредгольмовости оператора Ь.

Далее, С \тЬ, причем Ы12 = ¿¿"Ч-^о1] по построению, откуда ^з11 п Т2 = {0} и ® Т2 = ¡тЬ (напомним, что сонп Ь = 1А12 © Ы2)

Поэтому т = ^"о12 © пп ь = е е т2 = тх е Я.«

Пусть оператор X £ Т{Ы; имеет полное М-корневое пространство Обозначим через Р{0) проектор Р . Т Т1 ((£ : Ы -> вдоль Т2{Ы2) Обозначим через Ь{М) сужение оператора Ь(М) на пространство 1Л2(Д1) В силу уже цитированной теоремы Банаха оператор Ь • Ы2 —> Т2 - топли-нейный изоморфизм Оператор М : Ых —> - топлинейный изоморфизм в силу леммы 1 6. Уравнение (4) редуцируется к эквивалентной системе

Ящ = щ + 6^2, ¿2 = Ти2, (12)

где операторы Я £ С{ЫХ), Б £ С(Ы2]ЫХ) и Т £ С{Ы2) есть сужения операторов М~1РМ и Ь~1(1 - Р)М на 1А1,1А2 и Ы2 соответственно, = С}и, а М2 = (/ — <5)м Справедлива

ЛЕММА 1 4 Пусть оператор М £ С{Ы,Т), а оператор Ь £ Т{Ы,Т) имеет тюлное М-корневое пространство Тогда оператор Я нилъпотентен, причем степень его нильпотентности д определена в (11).

Положим

Г = £ С(и2М1),

к=о

и введем в рассмотрение множество

й = {и £ и ■ и = (/-Г)«2,«г

претендента на роль фазового пространства уравнения (2).

ЛЕММА 1 5. Пусть оператор М £ С{Ы\Т), а оператор Ь £ Т{Ы\!Р) имеет полное М-корневое пространство Тогда

(г) множество Ы - подпространство в 1А, топлинейно изоморфное пространству Ы2, причем Ы — 1АХ ®Ы, (и) 0и2 = и) ^ (5 = О)

о (1). Поскольку и = (I ~ Г)[¿У2], то Ы - замкнутый линеал в силу линейности и непрерывности оператора / — Г Ы2 -л1А. Поскольку (/ — Г) ес1ь сужение на Ы проектора I — С}, т0 подпространство топлинейно изоморфно подпространству Ы2 Пусть и £ Ы имеет вид и — щ + щ, где

г = 1,2 Тогда и = (щ + Ги2) + {I - Т)и2 = щ+ й2, где щ <5 14х,

(и) По определению {Ы2 = Ы) <=>■ (Я = О) Если 5 = О, то Я = О по построению Докажем обратное

Из равенства Я ~ О в силу леммы 4 следует

то

Д«-тХ)Д*ЗГ* = 0,т= 1, ,д-1 (13)

к=0

При т = 1 из (13) получаем

д9-1-"1(ЯП15ТП1) = 0,п1 =0,1, ,9 — 1. (14)

При ш = 2 из (13) и (14) получаем

Д9'1-пз(/Г!5ТПа) = 0,п2 = 0,1, ,д-2 (15)

Продолжая эту процедуру дальше, окончательно получим

д»-1-я,"(ДПт5ТПт) = 0,^ = 0,1, ,д-т, (16)

Iде т = 1, , д — 1 Полагая в (16) пто = д — т, получим

= 0,т = 1, , д — 1 (17)

И) (17) в силу конструкции оператора Г получим 5 = О <

ТЕОРЕМА 1 2 Пусть оператор М 6 ¿{Ы^Г), а оператор Ь € имеет полное М-корневое пространство, и пусть и £ С°°(К,- решение уравнения (4) Тогда и[Ь) £ ЫИ € К

о Представим решение и — в виде и = щ + и2,иг € ¿/г, г = 1 '2, и воспользуемся эквивалентной (4) системой (12). Продифференцируем первое уравнение (12) по умножим на Я слева и в результат подставим (12) Получим

Я2 и1=и1 + Яи2 + ЯвТщ. (18)

Уравнение (18) опять продифференцируем по t, умножим слева на Я и в результат подставим (12) Получим

Я3 «1= щ + + ЯЯТи2 + Я2БТ2и2 (19)

Продолжая с (19) описанную выше процедуру, через д - 3 щагов в силу юммы 1 8 получим

Ч 1

0 = щ + ЯкБТки2 =щ+ Ги2-к=0

Другими словами, и = щ + и2 — (/ — Г)и2, т.е. u(t) G Üit G R.o

Из теоремы 1.10 следует необходимое условие разрешимости задачи (3),(4): щ G U. Покажем, что это условие является достаточным.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть оператор M G C{U;T), а оператор L G T{U\T) имеет полное M-корневое пространство. Тогда Vito G U существует единственное решение и G С°°(R,W) задачи (3),(4)■

о Представим uq G U в виде щ = uoi +wo2i где пог G U%, i = 1,2. Решая задачу Коши «'¿(О) = гхо2 для второго уравнения (12), получим щ(t) = exp(Tt)uQ2,t G R. Покажем, что u\(t) = — Tu2(t) есть решение первого уравнения (12). Действительно, Я( — EÚ2) = -Гщ + Su2, откуда имеем

£ RkSTk~xù2 = Y, RkSTku2. k-0 k=0

Последнее равенство распадается на конечное число очевидных равенств RkSTk~l(ii2 -Ти2) = 0 ,к = 1,..., q — l.<

Из теорем 1.10, 1.11, в частности, следует корректность определения

фазового простраства U. Действительно, пусть U и U - два фазовых пространства уравнения (4), построенных по пространствам U2 и U2 соответственно. Пусть щ G Ú, тогда в силу теоремы 1.11 существует единственное решение и G C°°(R,W). В силу теоремы 1.10 u(t) G Wit G R, в частности, u(0) =uQeû.

На этом исследование морфологии фазового пространства U можно считать законченным. Однако в качестве поризмов мы приведем два следствия, которые интересны не только сами по себе, но и будут использованы в последующих исследованиях.

СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть оператор M G £(U;JC), а оператор L G Т{Ы\Т) имеет полное M-корневое пространство. Тогда оператор M L-ограничен,

о Положим U2 = U. Тогда в силу леммы 1.9 (ii) оператор S = О. Отсюда в силу леммы 1 6 РМи2 = 0Уи2 G U2. Следовательно, М[К2} С F2. Кроме того, по построению L[UX] С Тх.

Возьмем / G Т и рссмотрим уравнение (/iL — М)и = /, где \fi\ достаточно большое для того, чтобы (¡iL — M) G Т(Ы\Т). Это уравнение эквивалентно системе

(tiR - 1)щ = M~xPf = /ь (М1 - Т)Ч2 = Ь"х(1 - P)f = /2.

В силу леммы 1.8 имеем (fiR — I)~x = —I — ¡J.R —... — ¡xq'~xRq т.е. оператор fiR — / : Ux -У 1А1 непрерывно обратим

V/i G С. Оператор р/ - T :U2 U2 непрерывно обратим для всех достаточно больших |/i|.<

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть оператор М £ C{U\T) ограничен относительно оператора L £ Тогда любое решение задачи (3),(4) имеет вид

и(= 7Г~ fivL - М)"1 Lexp{fit)u0dfi\/t £ R, (20)

¿1x1 j 7

где 7 - контур в С такой, что (fj, £ 7) =Ф- (]/¿| > /¿о).

о Пусть u = u(í) - решение задачи (3),(4). Положим U2 —U и представим и = щ + U2, иг £ Ыг, г = 1, 2. В силу теоремы 1.10 г/i s 0. Поскольку операторная функция (fj,R-I)~l = -I — ¡iR —... ~[j,4~lRq~l - целая функция переменной ц £ С, то щ можно представить в виде

щ{1) - j (fiR - J)™1 exp(nt)M~lLuQid/j, = J{¡jlL - M)~lexp(/it)Luoidfj., 7 7

(21)

в силу (12) решение и = и2 задачи (3),(4) имеет вид

u2(t) — J (/¿I ~ T)~l exp(iit)uQ2d¡JL = J (fiL - M)_1 exp(p,t)LuQ2dfi, (22)

7 7

где 7 - контур в С такой, что (ц £ 7) => (|/¿| > сгг(Т)), а аг - спектральный радиус оператора Т. Складывая (21) и (22), получим (20).<

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Пусть 3L1 £ С{Т\Ы), тогда уравнение (4) эквивалентно уравнению (5) где := L~lM £ С{Ы). Решение задачи (3),(5) имеет вид

u{t) = ~ /(/x/~)"1-íí0e'iíd/^ Vi £ R. (23)

27TÍ J

7

Отсюда видно, что формула (20) обобщает (23) на случай L-ограниченного оператора М.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Пусть оператор М £ С{Ы\Т), а оператор L : domL С U --> Т замкнут, плотно определен и фредгольмов (т.е. образ imL замкнут и dimker L = codim im L < 00) Обозначим через Uo банахово пространство, подученное замыканием domL по норме графика || ■ - || ■ [|ц + [|L ■ Тогда оператор М £ C(Uа оператор L £

В данной транскрипции теорема 1.11 совпадает с результатами [2], однако мы предпочитаем нашу формальную схему, во-первых потому, что

она развивает метод фазового пространства, предложенный одним из авторов [5],[6]. А во-вторых, наш подход позволяет рассмотреть задачу (1),(2).

12 Задача (1), (2)

ТЕОРЕМА 14. Оператор М € С(1А\Т) ограничен относительно оператора Ь € Т{Ы\ Т) точно тогда, когда

(З^о > € С)(Н > Мо {цпА - - .. - ВоГ1 € С{М,М)).

о Пусть оператор М ¿-ограничен. В силу открытости множества Т{М,М) во множестве С(М, Л4) для любого достаточно большого по модулю числа рь € С имеем цА—Вп-\ € Л4). Увеличивая, если необходимо, 1^1 и повторяя предыдущее рассуждение, получим ц2А — ¡хВп-\ — Вп^2 € Т(М,М). Поступая таким же образом, через п — 2 шага получим

(аГА - ^П-ХВП_1 - ... - Во)™1 е М) (24)

для всех достаточно больших \ц\. В силу (24) и теоремы Банаха о замкнутом графике для непрерывной обратимости оператора (24) необходимо и достаточно, чтобы ядро этого оператора было тривиальным

Предположим противное, т .е Зг> ф 0 (цпАи - цп~1 Вп-\у — .. — В$у = 0), и выберем р 6 С настолько большим по модулю, чтобы выполнялось (24) и оператор

еС(Ы,Т) (25)

был непрерывно обратим. Рассмотрим вектор (и0, и1,..., иа *) :=

ф (0,0...,0). Поскольку (м0,-«1,. .,ип~1) € кег(/х£-М)\{0}, то получим противоречие.

Теперь пусть оператор (24) непрерывно обратим для всех достаточно больших Выберем // € С настолько большим по модулю, чтобы р,Ь — М е Т(Ы Л, и пусть {и°,и\...,ип^) 6 кет(^Ь - М) \ {0} Тогда из (25) следуе х

и1 = /ш%2 = . ,ип 1 = цип 2, (26)

(М - Ва^)ип-1 - Вп 2ип~2 - . - В0и° = 0 (27)

Найдем из (26) ик = цки° и заменим ик —> цки°. В силу (27) получим, что вектор V = и0 ненулевой вектор ядра оператора (24). <з

/ /X/ -I 0 .. 0 0 \

0 —I .. 0 0

0 0 0 .. /Л -/

\ -В0 -Вх -в2 ~Вп—2 НА - Вп -1/

ЗАМЕЧАНИЕ 1 3 Теорема 1 16 не вызовет удивления, если заметить, что оператор (24) есть формальный определитель матрицы (25).

ЗАМЕЧАНИЕ 1 4 Поскольку

((/xL - M)"1 G ЦГ,Ы)\/ц G С, |м > Mo)

о (рпА - pLn~lBn^ - - BQ)"1 Е ЦМ,ЛГ)^М 6 С, > fio), (28)

то в случае M Е С(Ы,Т) и L~x Е С(Т,Ы) (последнее эквивалентно Л"1 G С(М,М)) в силу теорем 1 11 и 1 16 условие (28) является достаточным для однозначной разрешимости в классе C°°(R, Ai) задачи (1),(2) Отметим совпадение при п = 2 данного результата с результатом [11],[12], где следует положить А — I,B\ = А и Во = В

Полное описание всего разнообразия возможных ситуаций здесь вряд ли возможно Мы ограничимся только двумя случаями, имеющими прообразы в приложениях

1 2 1 Оператор A G Т{Я,М) не имеет Вп_1-присоединенных векторов

В этом случае пространство M расщепляется в прямую сумму Ai = ker А@Ы', где U' - фазовое пространство уравнения Av — Вп...iv (следствие 112) Кроме того, оператор M L-ограничен (теорема 1 11), более того, оператор L не имеет М-присоединенных векторов Действительно, пусть I/? G ker Л \ {0} Toi да вектор со1(0, , 0, <р) Е ker L \ {0} и M col(0, ,0,v?) = col(0, ,0, if, 0 imL Поэтому пространство U тоже расщепляется

в прямую сумму U = kerb ®U, где U - фазовое пространство уравнения

(4)

Опишем пространство U в терминах пространств Ai и U' Для этого положим U2 = АЛ'"1 х U' и заметим, что Т1 = M[kerL] = {(0, ,<p,f) G 7 </> G ker A, f = B„ i(p G cokerA}, a F2 = x imi Обозначим

через P' M —> coker A проектор вдоль im A, тогда проектор P T —> Tl вдоль T" будет иметь вид матрицы n x п, в правом нижнем углу которой стоит оператор Р', над ним - оператор B~llP', а все остальные места заняты нулевыми операторами Пусть Q' Al ker А - проектор вдоль U', юг да проектор Q U —> ker L вдоль U2 тоже имеет вид матрицы n х п, в правом нижнем углу которой стоит оператор Q', а все остальные элементы нулевые операторы

Заметим далее, что в данном случае сужение M оператора M на ker L зависит только от сужения Вп-\ оператора Вп-\ на ker А По определению

пространство Ы имеет вид Ы = (и € М : и — и2 — М~~1РМи2,и2 £ К2}. Учитывая, что Уу £ Ы' Впх1Р'Вп^1У = 0, найдем оператор

/ 0 ... О

0 ... 0 0

Кв-^р'во ... В-^Р'Вп^ о У

Следовательно, фазовое пространствоприобретет вид Ъ( = {(и0,..., ип 1) £ ЛЛ1 : и""1 = йп~х - +... + Во«0),«""1 € й'}. Подействовав

на определяющее пространство 1А' уравнение последовательно операторами Вп-1 и Р', окончательно получим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (1),(2) в данной ситуации

Р'(ВП_11>Г._1 + В„-2«п-2 - + В0У0) = 0 (29)

Итак, в силу теорем 1.10, 1.11, 1.16 справедливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть оператор А £ не имеет Вп_\-при-

соединенных векторов. Тогда для любых начальных данных (1), удовлетворяющих (29), существует единственное решение у £ С,°°(К;Л/') задачи (1),("2) такое, что

Р'(Вп-^п-1){1) + Вп^2у{п"г\1) + ... + В0у{1)) = 0Ш £ И. (30)

Заметим, что условия (29),(30) тождественно выполняются в случае 'тхВу С пп А, = 0, ...,п - 2.

1.2.2. Оператор В к А-ограничен, а операторы

В1 = 0,1 = 0,..., п - 1,1 Ф к В этом случае уравнение (2) приобретет вид

V") = Вку(/с) (31)

В силу теорем 1.10 и 1.11 пространство N расщепляется в прямую сумму Я = М1 Ф Ы', где Л/"1 ¿^-корневое пространство оператора А, а Ы' -фазовое пространство уравнения Ау = Вку. В силу теоремы 1 16 оператор М ¿-ограничен и пространство 14 тоже расщепляется в прямую сумму и = и1 ®1А, где Ы1 М-корневое пространство оператора Ь, &Ы - фазовое пространс! во уравнения (4)

Опишем сначала пространство И1 а терминах пространства Л/"1. Пусть <Р\ 6 кег А\{0}, а {<р2,..., 1рр} - множество его В к-'присоединенных векторов. Тогда со1(0,..., 0,^1) £ кегЬ\ {0}, и

{со1(0, ...,0, </?1,0),...,

{со1(0, ,0, ¥»1,0, ,</з2), {со1(0, ,0,^,0, ,0,^2,0), {со1(0, ,0,^1,0, ,0,(^2,0, ,0 ,</?3),

{со1(0, ,0,<^ь0, ,0,(^2,0, , 0, уз, 0, , 0, премножество его М-присоединенных векторов (Здесь каждый вектор имеет п компонент и между двумя соседними его ненулевыми компонентами находится п — к — 1 нулей ) Другими словами, если через г обозначить сужение оператора В^Р'А на Л/"1, где В к - сужение оператора В к на Мл, Р' М М1 - поектор вдоль М2, М1 = В*[.Л/"1], -М2 = А[Й'],то про-иранство ¿^ будет иметь вид ¿Л1 = С[{0}Л х (Л^1)71-^] Оператор (7 Ы отождествим с матрицей размером п х п, правый нижний угол которой занимает матрица Е^ размером {п—к)х(п—к), на главной диагонали которой стоят единичные операторы, а все остальные элементы - нулевые Прямо над блоком Е^ располагается блок гЕа над этим блоком - блок г2Е^, и так далее вплоть до блока где д - степень нильпотентности оператора г

;лемма 1 8), если, разумеется, позволяют размеры матрицы б В противном случае матрица С содержит несколько целых блоков ггЕг = 0,1, и п - [п к)] нижних строк блока Все остальные элементы матрицы

С нулевые операторы

Теперь опишем пространство Ы в терминах пространств Л/' и Ы' Выберем в качестве Ы2 пространство Мк х (Ы')п~к и покажем, что в действительности = Ы Для этого в силу леммы 1 9 (и) необходимо и достаточно построить оператор ¿> Ы2 ^ и1 и показать, что 5 = 0 Но сначала отме-1ИМ, что и = и1 9 и2, и найдем Т2 = Ь[Ы2} = Мк х х М2

По определению оператор 5 есть сужение оператора М~1РМ на про стране гво 1А1 Поэтому для доказательства тождества 5 = 0 необходимо и доааточно (см доказательство следствия 1 12) показать, что М[Ы2} С Т2 Последнее усханавливается непосредственно, напомним лишь, что £

М2 и Ы' С Я Итак, в силу теорем 1 10, 1 11, 1 16 справедливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12 Пусть оператор Вь £ С(М,М) ограничен отно сительно оператора А 6 Т(М,М) Тогда для любых начальных данных Ц у^ уп 0 6 Мк х (1А')п~к существует единственное решение V £ Г^й, М) задачи (1) (31) такое, что («(¿),г>'(4), ,ьп £ Якх{й')п'к

угеи.

2. Конкретные интерпретации

Пусть П с И,™ - ограниченная область с границей дИ класса С00. Нас будут интересовать функции и = и(ж,£), удовлетворяющие начальным

и(ж,0) = г>0(ж), у[(х,0) = VI(ж), х € О (32)

и краевым _

и (ж, £) = 0, (х,£)еШх11 (33)

условиям

2 1 Уравнёние

(1 + аА)^=/ЗД^+7Д« (34)

в случае т = 1 моделирует распространенние волн в диспергирующих средах [13]. Параметры а, /3,7 6 И ( , искомая функция имеет физический смысл плотности.

Задача (32)-(34) редуцируется к задаче (1), (2), если в качестве N взять либо соболево пространство

N : = {V € \¥к+2 : у{х) =0,хЕ дП}, (35)

либо гельдерово пространство

м := {у е : ь{х) = 0,хе дП}, (36)

а в качестве АЛ соответственно взять пространство

М := \¥к{П) (37)

или

М := Ск+'1{С1), (38)

где к = 0,1,..., 2<р<оо, 0</х<1. Тогда (как в случае (35),(37), так и в случае (36),(38)) оператор

А:=1 + аД -.Я-^М (39)

линейный непрерывный самосопряженный (относительно скалярного произведения в ¿2(0)) фредгольмов оператор, а операторы

Вх .= (ЗА ■ Я -> М, В0 := 7Д : N М (40)

линейны и непрерывны (гл.5, [16]).

Пусть параметр а"1 лежит на спектре <т(—Д) оператора Лапласа. Тогда оператор А : Я М ( как в случае (35),(37), так и в случае (36),(38)) имеет нетривиальное конечномерное ядро кег А, причем образ Ш1А С М ортогонален (в смысле £2(Г2)) ядру. Пусть (р € кег А, тогда в силу конструкции оператора В\ (40) имеем: Вцр = —(5а~1(р 6 кег А. Таким образом, \/</5 € кег А \ {0} не имеет В\-присоединенных векторов, причем #1-корневое пространство оператора А, очевидно, полно. Это значит, что мы находимся в рамках п. 1.2.1.

Нетрудно заметить, что подпространство Ы' = N П ¡т А есть фазовое пространство уравнения Ау = В\У. Пусть {<¿>1,..., </?;} - ортонормальный базис (в смысле Ь2(0)) ядра кег А. Представим начальные значения у0 и у\ в виде

I I

^ = + = + «1, (41)

(-0 г-о

где(г,^г £ Л, г = 1,...,/,гЗо, г»1 € Ы'. Тогда из (29) и конструкции операторов Вд и В] (40) следует необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (32)-(34):

/3%^ 76 = 0, ¿ = 1,...,/. (42)

Простым следствием предложения 1.19 будет

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Пусть пространства Я и Л4 определены в (35) и

(57), либо в (36) и (38), а операторы А,В\ и Во определены в (39),(40).

Тогда £ Л/" таких, что выполнено (41), (42), существует единст-

I

венное решение у Е С0о(К;Л/') задачи (32)-(34) такое, что ?;(£) = +

г = 1

и(0,йеС°°( ад'), причем /ЗСг + 7С = 0, г = 1,...,/.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Предложение 2Л уточняет замечание о некорректности задачи (32)-(34), сделанное в [15].

2 2. Уравнение

д2у

(1-аД)^- =7Л«,а,7бг\{0} (43)

имеет своим прообразом уравнение Буссинеска-Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции. Задачу (32),(33) для уравнения (43) редуцируем к задаче (1),(31), взяв в качестве пространств Я и М соответственно (35),(37), либо (36),(38) Операторы А и Во определим формулами (39) и (40).

Нетрудно заметить, что как и в предыдущем случае фазовым пространством уравнения Av = Bqv является подпространство U' = (кегЛ) (ортогональность в смысле L2(ft)). Поэтому в силу предложения 1 20 спра ведливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2 Пусть пространства Я и Л4 определены в (35)» (37), либо в (36) и (38), а операторы А и Bq определены в (39), (40). Тог• j да Vvq,v\ € кет А существует единственное решение v 6 C°°(R, (кегА)) такое, что v(t) 6 (кегА) Vi £ R.

Список литературы

1 Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возм1/ы,енные дифференциальные урш нении в банаховом пространстве Новосибирск, 1979 (Препринт / СО АН СССР( Ин-т математики)

2 Зубова С.П., Чернышов К.И. //Дифферснц уравнения и их применение Виль нюс 1976 14 С 21 39

3 Сидоров Н.А, Романова О.А. // Дифференц уравнения 1983 Т 19 №9 С 1516 1526

4 Сидоров Н.А , Фалалеев М.В. // Дифференц уравнения 1987 Т 23, №4 С 726

728

5 Свиридюк Г.А. // Дифференц уравнения 1987 Т 23, № 12 С 2169 2171

С Свиридюк Г.А.//Дифференц уравнения 1987 Т 23, N° 10 С 1823 1826

7 Свиридюк Г.А. // Докл АН СССР 1989 Т 304, N2 С 301 304

8 Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г.//Сиб матем журн 1990 Т 31 №5 С 109 119

9 Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г.//Дифференц уравнения 1990 Т 2G №2 С 250 258

10 Вайнберг М М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных урав нений М Наука, 1969

11 Мельникова И.В., Филинков А.И. // Докл АН СССР 1984 Т 276, № 5 С 10661071

12 Мельникова И.В.//Ичв вузов Математика 1985 N 2 С 45-52

13 Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн М Наука, 1979

11 Трибель X. Теория интерполяции Функциональные пространства Дифференц« ильные операторы М Мир, 1980

15 Солдатов А П., Шхануков М.Х. // Докл АН СССР 1987 Т 287, М 2 С 517 320

16 Уизем Дж Линейные и нелинейные волны М Мир, 1977

SUMMARY

Of concern i& solvability of the Cauchy problem for the Sobolev type operator differential equation of high order with the Fredhgolm operator at the highest derivative The initial problem is reduced to the Cauchy problem for the Sobolev type equation of the first order and then the solvability of this pioblem is studied with the help of Phase space method. At last the results on the solvability of this problem are transfered m terms of the initial problem