CC BY
26
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
МЕДЛЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ОДНОГО КЛАССА
ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СОБОЛЕВА
Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева
Пусть F= (F; <...>) — вещественное гильбертово простра нство; [/—банахово пространство, причем вложение U-*F плотно и непрерывно. Пусть L: dorn L с U->F —линейный замкнутый фредгольмов (т. е. indL = 0) оператор с плотной областью определения, причем оператор L + ei непрерывно обратим на F для любого е из некоторой проколотой окрестности нуля в R,
а ядро kerL нетривиально. И наконец, пусть МеС" (U, F)— нелинейная сюръекция. Полилинейным уравнением типа Соболева (см. [1] и ссылки там) назовем операторное дифференциальное уравнение вида
(L + eI)u = M(u). (1)
К абстрактной задаче Коши для уравнения (1)
u(0) = и0 (2)
сводится широкий класс ндчально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, возникших в последнее время в приложениях. Объектом нашего внимания станет задача Коши-Дирихле для уравнения Хоффа (см. [2] и ссылки там) и системы уравнений Осколкова [3], моделирующих некоторые динамические процессы в теории вязкоупругих сред.
Статья содержит четыре раздела. В первом проводится редукция цитированных прикладных задач к абстрактной задаче (1), (2). Во втором исследованы медленные движения уравнения (1). Приведенные здесь результаты обобщают линейные результаты С. Г. Крейна и его учеников [4, 5]. В третьем изучены некоторые релаксационные эффекты уравнения (1), а именно: решение задачи (1), (2) при 1 »е>0 в начальные моменты времени приближенно «сменяющимися отрезками быстрого и медленного движений» (В. И. Арнольд [6, гл. 4]). Данный результат обобщает автономную версию теоремы Тихонова — Васильевой — Градш-тейна на бесконечномерную ситуацию. Четвертый параграф посвящен описанию медленных многообразий цитированных прикладных задач.
(5)
1. Постановка задач
1. Уравнение Хоффа
u^t + /luf + au + j9u3 = 0 (3)
моделирует динамику выпучивания вязкоупругой балки. Функция u = u(x, t) имеет физический смысл отклонения балки от оси Ох. Параметры А, a, ß>(). Их физический смысл (равно как и вывод уравнения (3)) см. в [2, с. 250]. Задача Коши-Дирихле
и(х, 0) = u0(x) V хе(0,1); u(0,t) = u(l, t) = 0 V teR (4) для уравнейия (3) редуцируется к задаче (1), (2), если положить:
F= L2(0, 1); U = L4(0, 1); domL = W^(0, l)n^(0, 1);
L = 6'xx — A', г = А + А', где 2'— ближайшая к —Я точка спектра оператора дхх такая, что А + А'^0; а оператор М: U-*F
определить формулой:
1
< M(u), V > = - J (auv + ßu3 v)dx
о
V u, vet/.
Имеет место очевидное
Предложение 1. Пусть U, F, L и dornL определены в (5). Тогда U— банахово пространство, a F — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением <.,.>, унаследованным от L2(0, 1), причем вложение U~>F плотно и непрерывно; L: domL ->F—линейный непрерывный самосопряженный фредголъмов оператор, причем dim ker L= 1; область определения domL плотна в V.
Для характеристики оператора М нам потребуется следующее Определение 1. Гладкий оператор A:U-*Fназовем сильно коэрцитивным, если V vet/
lim <A (u+v), u>
INHoo +0O
u s — монотонным, если V u, veU, v^O имеет место строгое неравенство < А^ v, v> >0, где (как и всюду далее) А^ — производная Фреше оператора А в точке и.
Нетрудно заметить, что из сильной коэрцитивности следует коэрцитивность. Кроме того, замечено [7], что сильная монотонность -^-монотонность-»строгая монотонность. (Терминология формализована в [8]).
Теорема 1. Пусть U, F и М определены в (5). Тогда —
М е С (U; F) — сильно коэрцитивный s-монотонный сюръективный оператор.
Доказательство. Покажем вначале, что (5) корректно определяет оператор М:
| <M(u), v> | ^a||u||F ■ ||v||F + P(j |u|4dx)3/4 (j|v|4dx)3/4 ^
о о
(6)
где y>0 и зависит только от а и «константы вложения» U-+F. Теперь заметим, что
- <M(u), и> =}(au2 + /?u4)dx ^ Д||и||4.
о
Кроме того, из (6) имеем
- <M(u + v), v> <(y||u + v||D + j8||u + v||*)||v||p.
Поэтому
— <M(u + v), u> J|u + v||4 <M(u + v), v> ^ Hull " Hull Hull
Hull
где | j -11 = || • ||L,. Итак, сильная коэрцитивность оператора —M: U-*F установлена.
• Далее, производная Фреше —М^: U-»F определена формулой
1
~ — <М^v, w>=J(avw + 3Ри2vw)dx. (7).
о
Это определение корректно:
|<М; v, w>|<a||v||F||w||J? + 3/5||u||^||v||d||w||p. Кроме того, из "(7) следует s-монотонность оператора —М: U-+F:
1
- <М>, v> = f(av2 + u2v2)dx>0,
о
если v = v(x) ф 0 на множестве ненулевой лебеговой меры.
Бесконечная дифференцируемость (и даже аналитичность) оператора М: U^F очевидна, ввиду того, что вторая и третья
производные Фреше М'„' и М™ определены соответственно формулами:
1 1 <М;(аЬ), с> = — 6/}|иаЬсс1х; <М';'(аЬс), е> = -аЬсеёх.
о о
Их корректность проверяется аналогично (7) посредством неравенства Гельдера. Что же касается всех остальных производных оператора М, то они — тождественный нуль.
Сюръективность оператора —М: 1]—>Р ввиду только что установленной его гладкости, сильной коэрцитивности и в-монотон-ности есть простое следствие теоремы Вишика — Минти — Бра-удера (см. [18] и. ссылки там).
Итак, задача (3), (4) редуцирована к задачей (1), (2).
2. Система уравнений Осколкова
(X — У2)и( = гУ2и — (и • У)и — Ур + £, У и = 0 (8)
моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фогта порядка 0 —простейшей линейной неньютоновской жидкости [3]. Функции и = (и1 ...,и„), и, = и, (х, О и р = р(х, 1) соответствуют при п = 2, 3 скорости и давлению жидкости; функция ■■■,?„), ^ = отвечает внешнему
воздействию; параметры 2еЯ и veR+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно, причем экспериментально подтверждено (см. [9] и ссылки там), что отрицательные значения параметра X не противоречат физическому смыслу.
Пусть О с: Я" — ограниченная область с кусочно гладкой границей 8£1. Редукция задачи Коши—Дирихле
и (х, 0) = и0(х) Ухе О; и(х, 0 = 0 V (х, ЦедОхЯ . (9)
для системы уравнений (8) подробно описана в [10]. Поэтому отметим основные моменты. Положим:
Р — замыкание линеала {и е С о (О)": V • и = 0}
в норме Ь2 (П)" (\\^(П)"); С/= (^(П)
Справедливо ([11]) Предложение 2. Пусть V, и 7** определены в (10). Тогда V, — банахово пространство, а Р—гильбертово пространство со скалярным произведением <.,.>, унаследованным от Ь2(0)"; причем вложение и^Р платно и непрерывно (даже компактно); Ь2 (£2)" = Р © Р, где Р—замыкание в норме Ь2(0)" линеала
(10)
б
(V<P • (peCx (О)}, поэтому существует канонический проектор п: L2 (О)" F вдоль F.
Далее, положим А= — 7tV2. Имеет место (см. [11] и ссылки там)
Предложение 3. (теорема Солонникова — Воровича-Юдо-вича). Пусть U и F определены в (10). Тогда оператор А = = — 7rV2: U —*F— топлинейный положительно определенный самосопряженный изоморфизм.
Ввиду предложений 2, 3 оператор А :U F обладает положительным дискретным конечнократным спектром о (А), сгущающимся лишь на бесконечности. Занумеруем собственные значения оператора А по неубыванию с учетом их кратности. Собственные функции {(¡о,: А<р, = считаем ортонормированными в F.
Положим
L == А —Я', где Х'еа (А) — ближайшее к
— X число
такое, что А' + А = е^0; dorn L = U.
Ввиду предложений 2, 3 справедливо
Предложение 4. Пусть U, F, dorn L и L определены в (10) и (11) соответственно. Тогда оператор L: dorn L->F—линейный непрерывный самосопряженным фредгольмов оператор с плотной в U областью определения dorn L.
Определим билинейный оператор В: U х U->L2 (Ü) и формулой
<B(u, v), w> = jUjV^Wjdx V u, v, weF, (12)
*n
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам i, j = 1,.., п. Справедливо [11].
Предложение 5. Пусть В определен в (12). Тогда при п = 2, 3, 4 V u, w е U имеют место соотношения:
|<B(u, v), w > KcllulUvIUNI,,; <B(u, v), w> = = -<B(u, w), v>,
где с = с(n, Q)>0.
Произвольно возьмем f е F и положим:
M(u) = - 7t (vAu + В (и, и)) + f. (13).
Теорема 2. Пусть U и F определены в (10), а М определен в (13). Тогда MeC°°(t/; F) — сюръективный оператор.
Доказательство. Ввиду предложений 2, 3 и 5 первая и вторая производные Фреше оператора М ограничены:
|а, b>| = |vAa + B(u, а) + В(а, u), b>|«S (v + IMIu)На11[/ЦЬ||[/, Vи, a,beU.
(П)
|<М'>Ь, с>| = 2<В(а, Ъ), оКс-НаПрНЬН^НсНр, Уа, Ь, се и.
Здесь константы с', с" зависят от с из предложения 5, от V из (13) и от «константы вложения» и~*Р. Все остальные производные Фреше оператора М —нулевые.
Сюръективность М—классический результат [11]. Редукция задачи (8), (9) к задаче (1), (2) закончена.
§2. Медленные движения
Следуя традиции [6, гл. 4], медленными движениями уравнения (1) назовем решения сингулярного уравнения
Ьй = М(и). (14)
Отождествим кег Ь = сокег Ь, что возможно ввиду самосопряженности и фредгольмовости Ь. Через Р обозначим проектор вдоль образа ¡т Ь на кегЬ. Если (14) разрешимо, то его решения с необходимостью лежат во множестве
М = [ие £/; РМ (и) = 0}.
Другими словами, задача Коши (2) для уравнения (14) не разрешима, если и0 ф Мг.
Положим сот Ь = ёот Ь п ¡т Ь, а через £ обозначим сужение Ь на со!т Ь. Оператор Ь непрерывно обратим на ¡ш Ь, .поэтому уравнение (14) на Мг эквивалентно уравнению:
й = £_1(1-Р)М(и) + Р£ (15)
где Рс = (непрерывная на Я) функция со значениями в кег Ь, подлежащая дальнейшему уточнению. Для этого продифференцируем уравнение РМ(и) = 0 по I и в результат подставим (15). Получим
РМ;£"1(1-Р)М(и) + РМ;Р^ = 0. (16)
Предположим, что
и0еМг и гапк РМ„'оР = ё1т кег Ь. (17)
Обозначим через т(и) сужение оператора РМ^Р: (У^сокег Ь на кег Ь. Из (17) следует, что оператор т(и): кегЬ->сокег Ь обратим в некоторой окрестности Ои с и. Поэтому из (16) можно найти Р£, подставить в (15) и получить эквивалентное уравнение:
й = М(и), (18)
где Ме С00 (II; 17). Однозначная локальная разрешимость задачи (18), (2) (при выполнении условия (17), разумеется)—классический результат.
Пусть теперь второе условие (17) нарушено, т. е. dim кег L>rank m(u0). Обозначим через P^PJ проектор на coker m(u0)(ker m(u0)) вдоль im m(u0) (coim m(u0)). (Оператор m(u0) в силу конструкции — линейный и конечномерный, поэтому в качестве coker m(u0)(coim m(u0)) возьмем ker m*(u0)(im m*(u0)). Уравнение (16) в точке u0 распадается на два:
Р1М„'£"1а-Р)М(и) = 0; (19)
(Р - Р1) Mu'o L "1 (I - Р) M(u0) + (Р - Р1) ш (u0) (Р - РХК = 0. (20)
Положим: MJ L_1(I-P)M = Мг Из (19) следует, что задача Коши (2) для ^равнения (15) не разрешима, если и0фМгг, где
-f РМ(и) = 0; ") Mr1 = {ueU: | р1м1(и) = 0.} '
Обозначим через m(u) сужение (Р — P1)m(u)(P — Pt): kerL-> -+imm(u0) на coim m(u0). Поскольку оператор m(u0):coim m(u0)->imm(u0) невырожден, то в силу (20) мы можем найти (Р — Р^ в некоторой окрестности Ои с U. Положим
(P-P1)<J = ri(u)L-1(I-P)M(u), (21)
где Г\(и) = —m_1(u)(P —P^MJ :U->coim m(u0) с: kerL, и подставим (21) в (15). Итак, на уравнение (14) эквивалентно уравнению
й = (1 + Г1 (и)) LT1 (I - Р) М(и) + Р^. (22)
Чтобы найти Р^, продифференцируем P1M1(u) = 0 по t и в результат подставим (22). Получим:
(I + Гг(и)) L-1 (I - Р) М(и) + Р^Р^ = 0. (23)
Предположим, что
u0eMr1 и rank Р1М'1„оР1 =dim ker m(u0). (24)
Обозначим через, mt(u) сужение оператора P^^Pj: kerm(y0)-> cokerm(u0) на kerm(u0). В силу (24) оператор m1 (и) невырожден в некоторой окрестности О^ с U. Поэтому из (23) можно найти Р^, и в результате уравнение (22) редуцируется к эквивалентному, уравнению (18). Обозначная локальная разрешимость задачи (2) для уравнения (18) (а стало быть, и для уравнения) (22), и для уравнения (14)) —классический результат.»
Исследование разрешимости задачи (14), (2) состоит в много-кратном повторении описанного алгоритма, поэтому введем обозначения:
Р0 = Р = Р°; Рр(Рр) - проектор на kermi,_1(u0)(cokermp_1 (u0)) вдоль coim nip.^Uo) im шр_х (и0);
m0(u) = m(u); mp(u)—сужение на кетт^^щ) оператора Ррм;Ирр;
М0(и) = М(и); мр(и) = м;_ 1Uo (I + Гр_ Mo))L-1 (I- Р) М(и);
1 ^p^q; где qeN определяется условием:
rank РрМ^Рв = dim кег Р^М',-! „о Р,_1; (25)
Г0(и) = О (т. е.) VueO„ cU ставится в соответствие нулевой оператор;
Г» = Гр^(и)-т;±t (u)(Pp-Pp+1) м;ц(I + Гр_,(u));
r,+1(u) = Г(и) = Гд(и)—m (u)P4'M'?u (I + Г?(и));
mp(u) —сужение на coimmp(u0) оператора (Pp — Pp+1)Mpu, Kp<q.
Сначала рассмотрим случай, когда существует qeN такое, что справедливо (25). Тогда при l<n<q уравнение (14) эквивалентно уравнению
u = (I + Г») L -1 (I - P)M(u) + Рр1 (26)
определенному на множестве . .
I Р°М0(и) = 0; Mrp = {ueU:l piMi(u) = 0; }'
1 PpMp(u) = 0,
причем считаем, что u0 е Мт . Продифференцируем РрМр(и) = 0 по t и в результат подставим (26):
Ррм;ц (I + Гр (u)L^(I - P)M(u) + РрМ;„Р^ = О. -(27)
Поскольку сужение (mp(u0)) оператора РрМ'рИоРр на кег тр-1 (и0) вырождено (р < q), то из (27) получаем систему
Рр + 1М'рИо (I + Гр(и)) L ~1 (I - Р)М(и) = 0 (Рр—Рр + 1)Мр^о [(I + Гр(й)) L ~1 (I — Р) М(и) + (28)
+ (Pp-Pp+i,K] = 0
Из (28) получаем, что задача (2), (26) и значит, задача (2), (14) разрешима, если только u0eMrp+1, где
Р°Мо(и) = 0;
.. ( гг) Р2М1(и) = 0; , Мтр+1 = {иеи:{ ... }.
Р*Мр(и) = 0; Рр+1Мр+1(и) = 0.
Кроме того, из (27) посредством второго уравнения (28) находим (Р — Рр+1Х и подставляем в (26). Получаем эквивалентное уравнение:
й = (1 + Гр+1(и)Ь_1(1 —Р)М(и) + Рр+1^,
определенное на множестве Мтр+1.
Наконец, пусть р = Я- Тогда (14) эквивалентно
й = (I + Тг (и))£- 41 - Р)М(и) + Р (29)
причем и0 е Мг9, где
(р°Мо(и) = 0; Мт9-{иеи. р«м,(и) = 0.
Продифференцируем уравнение Р4Мд(и) = 0 по 1;, в результат подставим (29) и определим Рчс, воспользовавшись (25). Тогда задача (2), (29) сведется к задаче (2), (18), однозначную локальную разрешимость которой мы уже обсудили.
Иное дело, если яе1Ч, при котором справедливо (25), не существует. В этом случае -]с|еNV реN (р^4) => (т (и0) = 0). Это значит, в частности, что Рд = Рд+1 = ■■■ ■ Поэтому (14) эквивалентно уравнению
й = (I + Г- (и))Ь "1 (I - Р) М(и) + Р5 с', (30)
вид которого не изменится при повторении описанного алгоритма. Уравнение (30) задано на множестве
Р°Мо(и) = 0;
Мт = {и е V: | р5Мг(и) = 0;
с не более, чем счетным числом условий. Положим Р-^ — г), где >7 из некоторого подлинеала (именно, кег т5(и)) ядра кег Ь, и запишем (30) в виде
й = М(и; г\), ,(31)
где М(-; ^)еСс0 (С/; Ц). Однозначная (при фиксированном параме-
тре ще кег т^Цд) локальная разрешимость задачи» (31), (2) (и, следовательно, задачи (14), (2)) — классический результат. Фиксируем все сказанное:
Теорема 3. Пусть еN. для которого справедливо (25) Тогда V и0 е Мт существует единственное решение и е С00 ( —10,10; Мг?) задачи (14), (2). Пусть ^ q е N. для которого справедливо (25). Тогда Л/и0 е Мт существует единственное решение и е С00 (—10, 10; Мг), зависящее от параметра г] екегт^ио). Здесь 1:0 = 10(и0) > 0.
Чтобы проиллюстрировать теорему 3, приведем два конечномерных примера. Отметим сразу, что общая конечномерная ситуация в случае (17) детально разобрана в [12]. Поэтому будем рассматривать только такие примеры, где (17) нарушено.
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений
' *=-у;
у— +х + у г; (32)
0 = х + у — 1.
Положим U=F—R3; u = (x, у, z);
(-У
М:
х + у 1г .х2 + у2-
Мг={(х, у, z)eR3 :х2 + у2 = 1}, т. е. прямой круговой цилиндр радуса 1 с осью Ог. Очевидно, dim ker L = 1, а
/00сД/0 —10 \( О о о\ rank РМ^Р = rank 0 о 0 / 1 ~У2 2 у"1/ 0 0 0 =0' \0 о / \2х 2у 0 / \0 0 1/
т. е. (17) нарушено. Следующий шаг —переход к МгЛ. Дифференцируем уравнение РМ(и) = 0 (т. е. х2 + у — 1) по t и в результат подставляем два первых уравнения (32). Получим:
х2 + у2 = 1; Мг1 = {(х, у, z)eR3: )z = 0.
Поскольку РХ = Р=Р15 а Р2МХ :(х, у, z)->z, то
rank Р^з» Pi = rank =1.
Откуда следует, что V (х0, у0, z0) е Mfx ^ i (х = cos (t - т), у = sin(t - т), 0) —решение задачи Коши (x0 = cosr, у0 = sint, zo = 0) для (32), лежащее в Mrlt в полном согласии с теоремой 3.
Пример 2. Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений:
Положим U, F, L и Р, как в примере 1, а М определим так:
Нетрудно заметить, что здесь Р = Р* =Р2= ... =РХ =Р2= ..., а Р1М1 = Р2М2= ... =0. Поэтому qeN, для которого справедливо „(25), здесь не существует. Отсюда следует, что V (х0, у0, z 0)еМг = {(х, у, 2)еК3'х^у2 = 1}^(х = со8(г —т), y = sm(t —т), z0) —решение задачи Коши (x0 = cosi, y0 = sinT, z0 = const), зависящее от параметра z0, что тоже согласуется с теоремой 3.
Определение 2. Гладкое многообраие X назовем фазовым пространством уравнения х = Х(х), если Vx0eX существует единственное (локальное) решение задачи Коши x = x(t) для этого уравнения, лежащее в X. Фазовое пространство уравнения (14) назовем медленным многообразием уравнения (1).
Теперь мы сосредоточим наше внимание на локальной структуре множества Mrq в случае, когда справедливо (25). Пусть u0e Mrq, причем в окрестности множество Mrq задается гладкими уравнениями (класса С00). Определим касательное пространство Ти Mrq, в котором зададим линейное уравнение °
где V = и — и0 е Тн Мгц. Если мы применим к уравнению (34) ту же процедуру, что й к уравнению (24), то оно редуцируется к эквивалентному уравнению
(33)
М:со1(х, у, z) —* col (—у, х, х2+у2 —1).
Lv = M„'o = M„'o v,
(34)
v = (I + Г(и0)) L ~1 (I — Р)М„'о v, определенному на подпространстве
( PoM^„v = 0; \ Jlfe = {ueCM P1M1Lov = 0; >• I P«M^v = 0. )
В [4, 5] показано, что Mq — подпространство в U коразмерности, равной размерности линеала (конечномерного в силу (25)) собственных и М„'о — присоединенных векторов оператора L (терминология формализована в [13, гл. 9]). Отсюда и из теоремы о неявной функции следует
Теорема 4. Пусть -jqeN, для которого справедливо (25), и пусть Uq £ Mrq. Тогда некоторая окрестность Ои с Mrq есть С00 — многообразие в U коразмерности, равной размерности линеала собственных и М'„о — присоединенных векторов оператора L.
3. Быстро-медленная динамика
Вернемся к множеству Мг = {ме f/. PM(u) = 0}. Ввиду гладкости и сюръективности оператора М и в силу теоремы Сарда почти (в смысле лебеговой меры) не теряя общности, можно считать Mr С00 —многообразием коразмерности dim ker L.
Определение 3. Точку u е Mr назовем регулярной, если dim ker L = rank РМ^Р.
Известно [1, 7, 9, 10], что множество регулярных точек Mr a Mr либо пусто, либо является С®—многообразием, моделируемым банаховым пространством U= Un im L. Ввиду s —монотонности (теорема 1) оператора М, определенного в (5), любая точка соответствующего ему медленного' многообразия — регулярная, поскольку V veker L, vф0
<PM^Pv, v> = <M; v, v> < 0. (35)
Что касается оператора M, определенного в (13), то для регулярности точки из соответствующего ему медленного многообразия необходимо и достаточно выполнения условия
det || <vA>,-B(u, <?>,)-B(u„ и), <р}>\\ Ф 0 (36)
где span {<р„ : Х0 Х} = X'} = kerL.
Справедливо (теорема 3).
Предложение 6. Пусть и0еМг. Тогда ■}!иеС00( —Т, Т; Мг)—решение задачи (14), (2).
Здесь Т = Т(ио)>0.
Представим на мгновение, что ker L = {0}. Тогда Mr=U, и предложение 6 утверждает однозначную локальную разреши-
мость задачи (14), (2) Vu0e U. Приведенное соображение устанавливает существование единственного решения ue( —Т, Т; С/) задачи (1), (2) Vu0e U при е>0.
Сделав в (1) последовательно замены t = ex, е = 0 и разложив u = pu + (I — Р)и = w + v, получим систему уравнений
w=PM(w + v), v=0, (37)
где знаком ° обозначено дифференцирование *по т. Решения (37) назовем быстрыми движениями [4, гл. 4] уравнения (1). Нетрудно видеть, что множество Мг состоит в точности из стационарных точек системы (37). Фиксируем точку йеМг вместе с некоторой её окрестностью Os с Мг и диффеоморфизмом 5 :0--^ Ü. Нетрудно видеть, что проекция n:ö~l (I —Р) локально расслаивает пространство U над базой О- со слоем Ки, иеО~ изоморфным kerL. Очевидно, что фиксация слоя Ки однозначно определяет (37). Поэтому можно рассматривать (37) как систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка dim ker L, зависящую от параметра v е Ü. Ввиду классических результатов справедливо.
Предложение 7. Пусть u0е U таково, что (I — Р)и0 = = v0 е U. имеет хотя бы один регулярный прообраз при проектировании I—P: Мг -*■ и. Тогда] !weC°°(—Т, Т; ker L) — решение задачи Коши w(0) = u0 — v0 для (37).
Обозначим через Мц сужение оператора РМ^Р на ker L.
Определение 4. Регулярную точку иеМг назовем притягивающей, если спектр оператора M« расположен в левой полуплоскости.
Таким образом, притягивающие точки—это в точности эллиптические стационарные решения системы (37). Отметим, что любая точка медленного многообразия, соответствующего оператору М (5), притягивающая (см. (35)); а для притягиваемости точки и медленного многообразия оператора М (13) необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы (36) располагались в правой полуплоскости.
Определение 5. Будем говорить, что точка и0е£У лежит вблизи точки й0еМ, если u0-ü0eker L и
ауо + (1 —а)й0пМ=ф Vае(0, 1].
Теорема 5. Пусть В (1) 1»е>0 и u0eU лежит вблизи притягивающей точки й0еМ. Тогда ^ Т>0 такое, что на всем промежутке [0, Т] решение задачи (1), (2) лежит в окрестности решения задачи Коши u=ü0 для уравнения (14) за исключением начального отрезка длиной порядка —eine, на котором решение задачи (1), (2) близко к решению задачи Коши w = u0 — ü0, ü0 = - (I — P)u0 для системы (37).
Доказательства. Сделаем в (1) замену t = et, получим
Г w=PM(v+w);
l^eCt + eQ'^-PJMiv + w), (38)
где L — сужение оператора L на im L n dorn L. Ввиду классических результатов о непрерывной зависимости решения задачи Коши для (38) и (37) от параметра s, получаем, что на любом отрезке [О, t'] эти решения «е отличаются более, чем на некоторую константу с' (в норме F); причем с' -> 0 и t' 0 при г 0. Теперь преобразуем (1) следующим образом:
Г ew = PM^Pw + PM^(I-P)v;
1 v = (L +.£l)"1 (I — P)M (v + w), (39)
и сузим наши рассмотрения на область О- с Мг такую, что для
нижней границы ц(и) спектра оператора — Мц выполнено неравенство: 1л(и) ^ ц>0. Затем подставим второе уравнение (39) в первое, и результат умножим скалярно на w. Получим:
<w, w> + e-Vllw|!F^e-1||F£(t)||f||w||F. (40)
-Здесь F£(t) - РМ^(L + ei)~1 (I — P)M(u); значит, IIF^t)^,-равномерно по е^О непрерывная функция на любом промежутке [0, Т]. Из (40) после интегрирования на отрезке [t', t] и элементарных преобразований получим:
l|w(t)||F < в -1 (ü w(t') II р - с"^ - Оехр (- /гв -11) + (41)
где t'=-fi~h Ine, c" = max||Fe(t)||, 0^е<1, te[t', Т]. Оценка (41) гарантирует равномерную ограниченность производной w «над» областью Oß.
§4. Морфология медленных многообразий
Сильная коэрцитивность и s — монотонность оператора М (5) позволяют полностью описать медленные многообразия задачи (3), (4) [7, 14]:
Предложение 7. Медленное многообразие
1
Mr = { и 6 L4 (0, 1): ¡(ахкр + ßu3(p) dx = 0}
о
задачи (3), (4) есть притягивающее С™ — многообразие, моделируемое подпространством
1
Ü = { u е L4(0,1): fu<pdx = 0},
о
где (р — собственная функция оператора дхх с однородными краевыми условиями, отвечающая собственному значению Л'.
Замечания. 1. Как нетрудно видеть (см. [7, 14]) одномерность ядра кег Ь не является ограничением в случае сильной коэрцитивности и в-монотонности оператора М.
2. Работа [15] содержит, по-видимому, первое упоминание о медленном многообразии задачи (3), (4).
Медленные многообразия задачи (8), (9) изучены гораздо хуже [10, 16]:
Предложение 8. Пусть 17, Б, Ь и М определены в (10) —(13). Тогда: а) в случае с1т кег Ь = 1 медленное многообразие содержит две открытые связные регулярные компоненты, причем одна из компонент — притягивающая; б) в случае сНт кег Ь > 1 множество Мг п {иеС/; \\и\\и<с~1\},где с из предложения 5, а V из (13), либо пусто, либо состоит из притягивающих точек.
Заметим [10], что Мг заведомо не пусто при Г=0.
Настоящий параграф посвящен медленным многообразиям задачи (8), (9) в случае сНт кег Ь = 2. Итак, пусть и, /*', Ь и М определены в (10) —(13), и пусть кег Ь = $рап {ср, ф}, где <р и ф — ортонормальные собственные функции оператора А (из (11)), отвечающие собственному значению /.еа(А). Точку ие[/ представим в виде и = \ц> + уф + й, где и в оиичмс 01 § 2 ее I ь элемент 0—ортогонального (в смысле F) дополнения к кег Ь до II. Точка и еМг точно тогда, когда точка (х, у)еК2есть решение системы уравнений:
х1'х + (В(хср + уф + й, хср + уф + й), ц>у = ({, <р>;
(42)
\Ху + <В(х<р + уф + й, хср + уф + й), ФУ = (?, фУ-
Положим [-, •, -] = <В(-, •), ')• В силу предложения 5 [•, ^ — трилинейный непрерывный функционал кососимметричный по последним двум аргументам. Далее, определим:
(р, Ф]; п = [(р, Ф, Ф\;
а = а(й) = [ф, й, <р] + [й, ф, (р)\
0=0(й) = [<Р, й, <А] + [й, ср, ф); (43)
А = А(й) = [ф, й, + В = В(й) = [^, й, + а = а(й) = [й, й, и] —<Г, <р>; Ь = Ь(й) = [й, й, фу.
В силу определения [•, •, •] а и Д —линейные непрерывные функционалы на V; А и В — аффинные непрерывные функционалы на V; а и Ь — квадратичные непрерывные функционалы на О.
Система (42) в обозначениях (43) приобретет вид: (х(уп + А) - у2£ + уос + а = 0;
( у(х£ + В) — х г\ + х/? + Ь = 0.
Спроектируем поверхность, определяемую (44), параллельно ф на гиперплоскость (в Ц) у = 0. Это эквивалентно тому, что мы найдем у из второго уравнения (44) и подставим в первое. В результате получим кубическое уравнение относительно неизвестной х, причем коэффициент при х3 имеет вид
А£2 + В>72 + (а + (45)
Воспользовавшись (43), перепишем (45) в виде Ки+#, й, £и + г]ф]-уЩ2+г,2).
Выражение [£<р + цф, и, £(р + цф] —линейный непрерывный функционал на 11> и если он не равен нулю тождественно (что возможно лишь в случае £ = ц = 0), то множество
Ь = {йеС:[& + цф, и, & + цф] = уЩ2 + ц2)}
есть гиперплоскость в 0. Возвращаясь к нашему кубическому уравнению, отметим, что ввиду формулы Кардано оно имеет по крайней мере одно решение, но не более трех решений, если йфЬ. Итак, медленное многообразие М в проекции параллельно ф на гиперплоскость у = 0 представляет собой не более чем сборку, «разрезанную» вдоль гиперплоскости Ь.
Аналогично, проекция параллельно (р на гиперплоскость х = 0 медленного многообразия Мт есть не более чем сборка, «разрезанная» вдоль гиперплоскости Ь. Отметим еще, что в случае £ = ц = о, как показывает анализ вырожденной системы (44), медленное многообразие Мт состоит из двух компонент, диффеомор-фно проектирующихся на две области 0+ и 0~, имеющие вид:
и+ = {йеи.АВ> сс]8}, 0~ = {йе II: АЪ<ар}.
Рассмотрим теперь вопрос о притягивающих точках в М. Перепишем (24) в виде
к I , ЛП >;а+»)Аа+А2£ У?+А
а>+£в0+в2>; (46)
щ—у'ь—+в>/)+
х£ + В
Система уравнений (46) определяет в плоскости (х, у) две гиперболы, одна пара асимптот которых (ут? + А = 0 и х£ + В = 0) перпендикулярна, а другая пара асимптот (xrj — у£ = — (ца + Ас) и xt] —y£ = £fi + Bri) параллельна. Из наших предыдущих рассмотрений следует, что гиперболы (46) пересекаются по крайней мере в одной точке, если ифЬ. В случае йе L, как нетрудно показать, все четыре асимптоты гипербол (46) пересекаются в одной точке. Якобиан (44) имеет вид:
(yrj + А) • (х£ + В) - (хг\ - 2у£ + ос)(у£ - 2xr\ + j8) =
(47)
= 2{Щ - у о + х(А£ -Г1р + 2щ) + у(Вг] - + 2fj8) + (АВ - ф.
Сделаем в (47) замену переменных: x^ = (s + t)/2, y£ = (s —1)/2; умножим на и приравняем нулю. Полученное уравнение
frs2 + (А£2 - Вц2 + 3(а - s + & (АВ - ар) +
(48)
+ (А£2 + Вт/2 + (¿; + = 0
определяет в плоскости (s, t) параболу, если только ueL и 0. В случае £q = 0, но ¿, + цф0 и йфЬ парабола (48) вырождена в прямую. Итак, многообразие (48) есть не более чем складка, моделируемая подпространством U и «разрезанная» вдоль L. Ясно, что пересечение параболы (48) и многообразия Mr (44) есть граница множества регулярных точек W с Mr. Фиксируем сделанные наблюдения:
Теорема 6. Пусть ker L = span [q>, ф}, где L определен в (11). Тогда при ^2 + rj2> 0 медленное многообразие Mr уравнения (1), где М определен в (13), в проекции на одну из координатных осей ядра ker L вдоль другой оси есть не более чем сборка, «разрезанная» вдоль гиперплоскости L. В случае £2 + ц2 = 0 медленное многообразие Mr состоит из двух компонент, диффеоморфно проектирующихся
на U+ и U~. Границей М" является пересечение М с поверхностью (48).
Отметим, что морфология медленных многообразий уравнения (1) в случае (11), (13) при dim ker L > 2 остается открытой проблемой.
ЛИТЕРАТУРА
1.Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного Уравнения типа Соболева//Дифференц. уравнения. 1987.Т. 23. № 12. С. 2169-2171.
2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 3 Осколоков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения
жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта//Труды Матем. ин-та им. В- А. Стеклова. 1988. № 171. С. 126-164.'
4. Крейн С. Г., Черны шов К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве//Препринт Ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск. 1979.
5. Зубова С. П., Черны шов К. И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной//Дифференц. уравнения и их приложения. Вильнюс. 1976. Т. 14. С. 21—39.
6. Арнольд В. И., Афраймо-вич В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций//В кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундментальные направления. Динамические системы—5. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986.
7. Свиридюк Г. А., Семенова И. Н. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска//Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С. 1607-1611.
8. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1979.
9. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейных операторных уравнений типа Соболева с неположительным оператором при производной//Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № ю. С. 1823-1826.
10. Свиридюк Г. А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоуп-ругой жидкости//Изв. вузов. Математика. 1988. № 1. С. 74—79.
11. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е изд. М.: Наука, 1970.
12. Свиридюк Г. А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 9. С. 1637-1639.
13. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.
14. Свиридюк Г. А. Многообразие решений одного нелинейного сингулярного псевдопараболического уравнения//Доклады АН СССР. 1986. Т. 389. Вып. 6. С. 1315-1318.
15. Сидоров Н. А., Романова О. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождени-ем//Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 9. С. 1516-1526.
16. Свиридюк Г. А. О многообразии решений одной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости//Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 10. С. 1846-1848.
Челябинский государственный университет Новгородский государственный педагогический институт
