CC BY
83
Дифференциальные уравнения
УДК 517.957
О ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ХОФФА НА ГРАФЕ
Г. А. Свиридюк, А. А. Баязитова
Южно-Уральский государственный университет,
454080 Челябинск, пр. Ленина, 76.
E-mails: ridyuamath.susu.ac.ru, alfiyaS74.ru
Уравнения Хоффа, определенные на графе, описывают динамику выпучивания конструкции из двутавровых балок. Получено обобщение прямой задачи — задачи Коши. Впервые рассмотрена обратная коэффициентная задача, моделирующая эксперимент, в результате которого при дополнительных измерениях изучается не только динамика выпучивания конструкции, но и свойства материалов балок. Показано существование единственного решения этой задачи.
Ключевые слова: уравнения Хоффа на графе, фазовое пространство, обратная задача.
Введение. Пусть О = 0(Ш; Е) —конечный связный ориентированный граф, где V = {У} —множество вершин, а Е = {Е?} —множество рёбер, причём каждому ребру Е? поставлены в соответствие два положительных числа 1?, й? Є М+, которые в контексте нашей задачи будут иметь физический смысл длины и площади поперечного сечения ребра соответственно. На каждом ребре Ej задается уравнение Хоффа
Л? и?ъ + и?хх* = aj и? + вjuj, (1)
моделирующее выпучивание двутавровой балки, где параметр Л? Є М+ соответствует нагрузке на балку, а параметры а?, в? Є М характеризуют свойства материала; переменные х Є (0,1?), Ь Є М.
Под прямой задачей понимается поиск вектор-функции и = (иі, и2, • • •, и?, •••), каждая компонента которой и? = и?(х,Ь) удовлетворяет уравнению (1) на ребре Е?, а в вершинах V компоненты удовлетворяют условию непрерывности
и? (0, Ь) = ик(0, Ь) = um(1m, Ь) = ип(1п („)
Е?, Ек Є Еа(У), Ет, Еп Є Еш (Уі) ( )
и условию «баланса потока»
^ й?и?х(0,Ь) - ^ йкикх(1к, Ь) = 0, (3)
Е] ЄЄ“(Уі) Ек ЄЄ- (Уі)
Свиридюк Георгий Анатольевич — зав. кафедрой уравнений математической физики; д.ф.-м.н., профессор.
Баязитова Альфия Адыгамовна — аспирант кафедры уравнений математической физики.
где через (^¿) обозначено множество ребер, выходящих из вершины V
(входящих в вершину У). Кроме того, искомые компоненты должны удовлетворять начальным условиям Коши
При обратной задаче неизвестными являются не только компоненты и? = = и?(х,Ь), но и коэффициенты а? и в?. Для решения обратной задачи необходимо вводить дополнительные условия, о них речь пойдёт далее.
Условие (2) требует, чтобы вектор-функция и = и(х, Ь) была непрерывной в вершинах графа. Отметим, что в контексте этого условия выражения «отсутствовать» и «быть равным нулю» имеют различный смысл. Например, если в вершину У все ребра входят, то левые два равенства в (2) именно «отсутствуют» , а не «равны нулю». Условия (3) —аналог условий Кирхгоффа — превращаются в условия Неймана, если граф О состоит из единственного ребра и двух вершин, причем условия (2) в данном случае «отсутствуют». Если же граф О состоит из единственного ребра и единственной вершины, то условия (2), (3) превращаются в условия согласования.
Прямая задача представляет собой модель для изучения поведения нагруженной конструкции из двутавровых балок, а обратная задача моделирует эксперимент, в результате которого при дополнительных измерениях изучается не только динамика конструкции, но и свойства материалов балок. Обе модели представлены дифференциальными уравнениями с частными производными, заданными на графе. Дифференциальные уравнения на графах — сравнительно новая область математики, возникшая в конце прошлого века. Первая монография по этой проблематике вышла в 2004 г. [1]. Обратные задачи для неклассических уравнений математической физики рассмотрены в [2]. Уравнение Хоффа относится к уравнениям соболевского типа, исследования которых в настоящее время переживают пору бурного расцвета (см. исторический обзор в [3]). Уравнения соболевского типа на графах впервые рассмотрены в [4]. В [5] впервые поставлена и изучена обратная задача для линейных уравнений соболевского типа. В [6] впервые исследована обратная задача для уравнений Баренблатта—Желтова—Кочиной на графе. Наконец, в [7] изучена задача (2)—(4) для уравнений (1) при более простых предположениях на данные задачи, именно й? = 1, а? = а, в? = в, Л? = Л. Обратная задача рассмативается впервые.
1. Прямая задача. Следуя [6], введём в рассмотрение гильбертово пространство Ь2(О) = {$ = ($і, $2, •••, 9?, •••), 9? Є ¿2(0, 1?)} со скалярным произведением
и банахово пространство Я = {и = (иі, и2, • • •, и?, • • •) : и? Є ^^(0,1?) и выполнено (2) с нормой
Отметим, что условие (2) имеет смысл в силу абсолютной непрерывности компонентов Uj, а пространство Я плотно и компактно вложено в 1^(0).
и?(х, 0) = и?о(х), х Є (0, 1?)•
(4)
Обозначим через 3" сопряженное к Я относительно (•, ■) банахово пространство. Очевидна плотность и компактность вложения Я ^ 3.
Далее, выберем произвольные константы а? Є М+ и построим оператор А : Я ^ 3:
]
<Аи,«) = £ /(^и,х^^,х + а?и?*)йх, и,«- Є и-
?о
Как нетрудно заметить, оператор А самосопряжён, положительно определён и является топлинейным изоморфизмом пространств Я и 3. Ввиду компактности вложения Я ^ 3 спектр ст(А) оператора А положителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +то.
Теперь построим операторы ¿, М : Я ^ 3:
(Lu, v) = У'' dj (Aj + aj) Uj Vj dx — (Au, v),
j Уо
(Mu, v) = У'' aj dj Uj Vj dx.
j 70
Очевидно, операторы L, M Є L(U; F) (т. е. линейны и непрерывны), причём оператор L фредгольмов (т.е. indL = 0), а оператор M компактен. Напомним (см. [7, гл. 4]), что оператор M называется (L, 0)-ограниченным, если он (L, ст)-ограничен и точка то является устранимой особой точкой L-резольвенты оператора M.
Лемма 1.1. Оператор M (L,0)-ограничен, если
(i) ker L = 0;
(ii) ker L = {0}, aj = 0 при любом j и все aj имеют одинаковый знак. Доказательство. Утверждение (i) очевидно, т. к. в этом случае существует оператор L-1 Є £(Я; F) (детали см. в замечании 4.1.1 [8]).
Пусть ker L = {0} и aj Є R+. Тогда билинейная форма
[h g] = ^ aj dj / hj gjdx j Jo
задаёт в L2(G) скалярное произведение, эквивалентное (■, ■). В силу фред-гольмовости оператора L codim im L = dim ker L, причём, как нетрудно заметить, ядро ker L ортогонально образу im L относительно (■, ■). Возьмём вектор
0 Є ker L\{0} и рассмотрим
(M0,0) = У'' ajdj / 0jdx = [0,0] > 0. j Jo
Отсюда следует, что M0 = im L при любом векторе 0 Є ker L\{0}. Это в свою очередь означает, что ни один вектор 0 Є ker L\{0} не имеет M-присоединённых векторов, что в силу теоремы 4.6.1. [8] завершает доказательство леммы в случае aj Є R+. Если aj Є R_, доказательство аналогично. □
Теперь построим оператор
(N (u),v) = У'' ej dj / UjVj dx j Уо
и убедимся, что он действует из пространства Я в пространство Для этого построим вспомогательное пространство 1^(0) = {$ = ($1,д2, • • •, , • • •) :
€ ¿4(0,1')}. Очевидно, имеют место плотные и непрерывные вложения Я — Ь4(С) — Ь2(С). Обозначим через Ь4(0) сопряженное к Ь4(0) относительно двойственности (•, ■) пространство. Пространство Ь4(0) топлинейно изоморфно пространству 1,4(0) = {д = (<71, ¿725 - - - ?^? • • •) : 9з € Ь4(0,^)}. Норма в пространствах Ьр(0) задаётся следующим образом:
N1 р = ^2аз(к/о ыРйж)р-
Поэтому, в силу неравенства Гёльдера, получим
|(Ж(и),и)| ^ тах{|в'|} ||и||4 1М|4,
т. е. действие оператора N : Ь4(С) —— 1^(0) имеет место. Действие оператора N : Я — 3 имеет место в силу вложения Я — 1^(0), из которого вытекает вложение 1,4(0) 5Г.
Лемма 1.2. При любых в' € М оператор N € С^(Я; &). Доказательство. Фиксируем точку и € Я и рассмотрим производную Фреше N4 оператора N в точке и:
(N (v),w) =3V в dj / UjVj Wj dx. j Уо
Отсюда аналогично предыдущему имеем
|(N(v),w)| ^ 3max{|ej|} ||u||2 ||v||4 ||w||4, j
т. е. N € L(U; F) при фиксированном u. Непрерывность второй и третьей производных Фреше доказывается аналогично, остальные производные равны нулю. □
Итак, мы редуцировали задачу (1)-(4) к задаче Коши
u(0) = u0 (5)
для полулинейного уравнения соболевского типа
Lu = Mu + N (u), (6)
где операторы L, M € £(Я;F), N € С^(Я; F), причём оператор L фредголь-мов, а оператор M (L, 0)-ограничен. Вектор-функцию u € C1((-т, т); Я),
удовлетворяющую уравнению (6) при некотором т € М+, назовём решением этого уравнения, а если решение вдобавок удовлетворяет условию (5), то будем называть его решением задачи (5), (6).
Если кег Ь = {0}, то уравнение (6) тривиально редуцируется к эквивалентному ему уравнению
и = Е (и), (7)
где оператор Е = Ь-1(М + N) € С^(Я) по построению. Существование единственного локального решения и € С1((-т,т); Я) задачи (5), (6) при любом ио € Я — результат классической теоремы Коши (см., например, [9, гл. IV, §1]). Другое дело, если кегЬ = {0}. В этом случае полезным оказывается следующее понятие.
Определение 1.1. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (6), если:
(1) любое решение и = и(£) уравнения (6) лежит в ф как траектория, т. е. и(£) € ф £ € (т, т);
(п) при любом ио € ф существует единственное решение задачи (5), (6).
Поскольку решение задачи (5), (7) в случае кег Ь = {0} является решением задачи (5), (6) (и наоборот), то фазовым пространством уравнения (6) в данном случае служит все пространство Я. Рассмотрим случай кег Ь = {0}. В [6] для изучения этого случая была использована теорема о расщеплении (теорема 4.1.1. [8]). Однако для наших целей более подходит другой метод, развитый в [10, 11] и примененный в [12]. Согласно ему отождествим ядро и коядро оператора Ь, т. е. положим сокег Ь = кег Ь, а через сот Ь обозначим ортогональное в смысле 1^(0) дополнение к ядру кег Ь в пространстве Я, т. е. положим сот Ь = (кегЬ)^. По построению сот Ь плотно и непрерывно вложено в т Ь. Обозначим через Р(^) проектор на сот Ь (т Ь) вдоль кег Ь (сокег Ь), а через Ь1 сужение оператора Ь на сот Ь. В силу теоремы Банаха существует оператор Ь-1 € £(тЬ;сотЬ), поэтому уравнение (6) можно редуцировать к эквивалентной ему системе уравнений
0 = (I - ф)(М + N)(и0 + и1), и1 = Ь-1д(М + N)(и0 + и1), (8)
где и1 = Ри, и0 = и—и1. Заметим, что в [7] уравнение (6) тоже редуцируется к (8), однако проекторы Р и Q строятся по операторам Ь и М однозначно. Тем не менее в [8, п. 4.5] показано, что в случае (Ь, 0)-ограниченности оператора М оба подхода приводят к одинаковым результатам.
Рассмотрим множество М = {и € Я : (I — Q)(Mu + N (и)) = 0}. Поскольку любое решение уравнения (6) с необходимостью лежит во множестве М как траектория, то это множество является очевидным кандидатом на роль фазового пространства уравнения (6). Приведём достаточные условия того, что М является фазовым пространством. Пусть М = 0, т. е. существует точка и0 € М, причём оператор (I — Q)(M + N'и0 )(1 — Р) : кег Ь — сокег Ь является топлинейным изоморфизмом. Тогда в силу теоремы о неявной функции существуют окрестности О С кег Ь, О1 С сот Ь точек и°° = (I — Р)и0, и^ = Ри0 соответственное и оператор В € Сто(О1; О0) такой, что и0 = В(и0). Построим оператор V = I + В : О1 — М, ^(ид) = и0, который вкупе с множеством
О1 задаёт карту множества М, причём V-1 равен сужению проектора Р на
DfO1] = O С M. По построению оператор D € 0х(O1; O). Подействуем производной Фреше D'! на нижнее уравнение системы (8), получим уравнение (7), определённое на O, где F = VUlL-1 Q(M + N)(u), u = D(u^. Однозначная локальная разрешимость задачи (5), (7) и в данной ситуации — результат все той же классической теоремы Коши [9, гл. IV, §1].
Итак, поскольку найденное решение u = u(t) задачи (5), (7) является решением задачи (5), (6), то достаточные условия сводятся к следующим. Во-первых, M = 0, а во-вторых, в точке uo € M существует карта (D, O1) такая, что D-1 есть сужение проектора P на O = D[O1].
Немного отходя от стандарта (см., например, [9, гл. II]) назовём M банаховым С^-многообразием в точке uo, моделируемым пространством coim L, если выполнены оба условия. Если множество M является банаховым 0х-многообразием, моделируемым пространством coim L в каждой своей точке, то мы назовём его банаховым 0х-многообразием. И наконец, банахово 0х-многообразие M назовём простым многообразием, если сужение проектора P на M является биекцией.
Лемма 1.3. Пусть выполнено условие (ii) леммы 1.1 и все ненулевые в' имеют тот же знак, что и aj. Тогда множество M — простое многообразие.
Доказательство. Выберем в ядре ker L ортонормированный (в смысле (■, •)) базис, т. е. ker L = span {%£ : k = 1, 2,...,1}, и отождествим его с базисом в coker L. Тогда множество M может быть записано в виде M = = {u € U : (Mu + N(u), ) = 0, k = 1, 2,..., l}. Фиксируем точку u1 € coim L
и рассмотрим оператор S : ker L ^ ker L, задаваемый формулой
^(и°) = ^((М + Ж)(и1 + и0), Хк)хк. к=1
По построению оператор 5 Є Сто(кег Р; кег Р).
Пусть а Є М+. Покажем, что оператор 5 строго монотонен, то есть
(£(и°) — 5(V0), и° — V0) > 0, если и° = V0. Действительно,
(5 (и0) — £(-и0), и0 — V0) =
= ((М + Ж)(и1 + и0) — (М + Ж)(и1 + V0), (и0 + и1) — (V0 + и1)) =
ajdj / (u0 — v0)2dx + У'' ejdj / (u3 — v|)(uj — Vj)dx = j Уо j Уо
= [u0 — v0,u0 — v0] + Vвdj / (uj — Vj)2(u2+UjVj +vj)dx > 0, если u0 = v
A J0
33 / W -VjJ (uj + ujvj^3
3
Здесь u = u° + u1, v = v° + u1, а [■, ■] —скалярное произведение, введённое в рассмотрение при доказательстве леммы 1.1.
Теперь покажем, что оператор S коэрцитивен, т.е.
(S (u0), u°) lim х ,, n,—- = +оо.
||u0||u||u ||U
Действительно,
(5(и0),и0) ^ |||и0|||2 — |||и0||| ■ 11Іи1111 +
+ ^ в4? / [(и0)4 + 3(и0)3(и]) + 3(и0)2(и])2 + и0(и])3]^ж. (9) з У0
Поскольку все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, то из (9) вытекает коэрцитивность оператора 5. Здесь через ||| ■ ||| обозначена норма, индуцированная скалярным произведением [■, ■].
Итак, гладкий оператор 5 строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, в силу теоремы Вишика—Минти—Браудера [13, гл. III, §2] существует единственное решение уравнения £(и°) = 0. Это, в свою очередь, означает, что для любого вектора и1 Є соіт Ь существует единственный вектор и0 Є кег Ь такой, что и0 + и1 Є М. Другими словами, сужение проектора Р на М — биекция.
Теперь пусть точка зд Є М. Проверим невырожденность оператора (I — ^)(М + Ж^0)(1 — Р). Возьмём вектор -и0 Є кег Ь\{0}, тогда
((і-д)(м + ^о)^0,^0) = НЫН2 + 3^вз¿з / и0^2^ж >а
з ]0
Лемма доказана в случае а3 Є М+. Если а3 Є М-, то для доказательства леммы вместо оператора 5 надо взять оператор Т = —5. □
Из всех рассуждений вытекает
Теорема 1.1. Пусть
(i) кегЬ = {0}. Тогда фазовым пространством уравнения (6) служит все пространство Я;
(ii) кег Ь = {0}, все коэффициенты а3 = {0} и имеют тот же знак, что и все ненулевые коэффициенты в3. Тогда фазовым пространством уравнения (6) служит простое многообразие М.
Замечание 1.1. Коэффициенты А3 входят в условия теоремы 1.1 неявным образом, т. к. именно они определяют тривиальность или нетривиальность ядра кег Ь.
Замечание 1.2. Условия на длины а3 и вз хорошо согласуются с условием ав > 0 в [6]. Если ав < 0, то фазовое пространство уже не будет простым многообразием [14].
2. Обратная задача. Для уравнений (1) рассмотрим обратную задачу (2)-(4) с дополнительными условиями
92
^А3 + Qx‘2j и3^31^) —'Фз1 (11)
состоящую в определении неизвестных коэффициентов а3, в и решений и3 уравнений (1). Касаясь механического смысла задачи, отметим, что здесь ^>3,
03 показывают изменение скорости динамики выпучивания в начале и конце балки в начальный промежуток времени.
Задачи подобного рода возникают при проведении различных научных исследований в связи с необходимостью определения характеристик материала, в котором происходит изучаемый процесс, по результатам наблюдений. Несмотря на различие таких обратных коэффициентных задач, их объединяет то, что дополнительная информация в каждой из обратных задач представляет в общем случае функцию, зависящую от пространственных переменных и (или) времени. Такой тип дополнительной информации характерен для многочисленных экспериментов в различных областях науки и техники.
Подставляя правую часть уравнения (1) при Ь = 0 в (10), (11), получаем системы уравнений относительно аз, вз:
а3 ^03 (°) + вз < (°) = ^з,
а3 и03 (13) + в3 и03 (13) = 03 •
Для систем уравнений (12) воспользуемся правилом Крамера:
(1) если О., = и03(°)и03- (¿3) — и03 (¿3)и03- (0) = 0, то существует единственное решение а3-, в3' каждой из систем уравнений (12), причем
„ _ <рА№) - ^Ч'(О) Л _ 03зд3(0) - ^3зд3(/3). ^ оА
а’ - щ ’ 1з - 0з ’ 1 ;
(И) если О = 0, ^3 = 03 = 0, то существует бесконечно много решений а3', в3'; если же ^3 или 03 = 0, то решения не существует.
Нас интересует случай, когда коэффициенты а3-, в3' € М\{0}, поэтому дополнительно предполагаем условия
^3 и03 (3 )= 03 и03(0) и ^3 и03 (13 )= 03 и03(0)- (14)
Лемма 2.1. Пусть кег Ь = {0}. Тогда при любых начальных значениях и0 € Я, ^3, 03 € М таких, что и03- (0) = 0, и03- (3) = 0, и03- (0) = ±и03- (3) и вы-
полнены условия (14), существует единственное решение обратной задачи (1)-(4), (10) —(11).
Доказательство. В силу условий ^03 (0)=0, ЗД3 (¿3 )=0, ЗД3 (0)= ± М03 (¿3) определители систем (12)
О = и03 (0)и03 (3)— и03 (13 )и03(0) = и03 (0)и03 (13 )(и03 (13) — и03 (0))(и03 (13)+ и03(0))
не равны нулю, если к тому же выполнены условия (14), то коэффициенты а3-, в3' € М\{0}, поэтому в силу теоремы 1.1 решение обратной задачи существует и единственно для любого вектора и0 € Я. □
Рассмотрим теперь случай нетривиального ядра кег Ь. Для выполнения условий теоремы 1.1 необходимо, чтобы решения систем (12) были все одного знака. Из (13) следует, что для того, чтобы а3-, в3' > 0, должна быть выполнена одна из систем неравенств:
^3и03 (3) — 03и03(0) > 0
03и03(0) — ^3и03(13) > 0> (15)
и03 (0)и03 (3) — и03 (13)и03(0) > 0
или
^и0і (') - 0'и0і (°) < 0>
0иоі (0) - ^иоі (') < О,
ЗД' (О)и03 (') - ио' (')и03 (0) < 0
а для того, чтобы , в' < 0
(16)
^и0' ( ') - 0'и0' (0) > 0 0'и0і (0) - ^и0і (') > 0, и0і(0)и0і (') - и0і(')и0і (0) < 0
(17)
или
^и0і ( ') - 0'и0і (0) < 0 0'и0і (0) - ^и0і (') < 0, и0і(0)и0і (') - и0і(')и0і(0) > 0
(18)
Обозначим через Э+ область допустимых значений ^, 0', при которых всегда верна одна из систем неравенств (15) или (16), а через Э- область допустимых значений ^, 0', при которых всегда верна одна из систем неравенств (17) или (18). Введём следующие множества:
А =
0 < ио'(0) < ио'('),
0 < -ио'(і') < ио'(0), ио' (0) < ио' (і') < 0,
_ 0 < -ио'(0) < ио'(і'),
А2 =
0 < ио'(і') < -ио'(0), ио' (і') < ио' (0) < 0,
0 < ио'(і') < ио'(0),
_ 0 < ио'(0) < -ио'(і').
Легко проверить, что
Э+ =
^0,? (^’) по^(0)
^0.7 ^ )
UQj(0)
Фз < 'Фз < {^¡щ) ^-.если зд3(0),зд3(/3) Є 21),
, если ЗД3 (0), Иад (¿3) Є 212,
(19)
Э-
^0,7 (^’)
по^(0)
НІІМ/Д . < 7/1 . МОі(0) ^ ^ ^3
<
uoj(0) ( иоіЦі) 4 V «су(0)
^, если ио' (0), ио' (') Є А2.
(20)
Для примера найдем области допустимых значений ^>3 и 03-, при которых коэффициенты а3-, в3' > 0 в случае О, > 0, то есть разрешим систему (15) при некотором _/. В зависимости от знаков ^03 (0) и ^03 (¿3) возможны следующие четыре случая.
(1) Пусть и03 (0) > 0, и03 (¿3) > 0. Тогда и03- (0)+ «03 (¿3) > 0 и для того, чтобы выполнялось О3 > 0 необходимо ^03(¿3) — ^03 (0) > 0, то есть получился случай 0 < ^03(0) < ^03(¿3). В этом случае система (15) эквивалентна неравенству
и0з(1з) < і < ио¿1з)
ЗД3(0) 7 7 и^.(0)
(п) Пусть «03 (0) > 0, «03 (¿3) < 0. Тогда «03(¿3) — «03 (0) < 0 и для того, чтобы выполнялось О3 > 0 необходимо «03(¿3) + «03 (0) > 0, то есть получился случай 0 < —«03(¿3) < «03(0). Здесь система (15) эквивалентна неравенству
jih) ^ j, ^ u0j(lj) ТГ 03
(ш) Пусть «03 (0) < 0, «03 (¿3) > 0. Тогда «03 (¿3) — «03 (0) > 0 и для того, чтобы выполнялось О3 > 0 необходимо «03(¿3) + «03 (0) < 0, то есть получился случай 0 < «03(¿3) < —«03(0). В этом случае система (15) эквивалентна неравенству
(Гу) Пусть «03(0) < 0, «03 (¿3) < 0. Тогда «03 (0) + «03(¿3) < 0 и для того, чтобы выполнялось О3 > 0 необходимо «03 (¿3) — «03 (0) < 0, то есть получился случай 0 < —«03(0) < —«03(¿3). Здесь система (15) эквивалентна неравенству
Аналогично, разрешая системы (16)—(18), получаем (19) и (20).
Введём множества D- = ^D-, D-,..., D-,... j, D+ = ^D+, D+,...,D+, ...^
и D = D+ U D-. В контексте нашей задачи D — множество допустимых значений векторов р, 0, при которых решениями систем (12) будут только отрицательные коэффициенты aj, в; D+ —множество допустимых значений векторов р, 0, при которых решениями систем (12) будут только положительные коэффициенты a3-, в3', а D — множество допустимых значений векторов р, 0, при которых решениями систем (12) будут коэффициенты aj, вз одного знака.
Выберем в ядре ker L ортонормированный (в смысле (•, •)) базис, т. е. ker L = = span : k = 1, 2,..., 1}, и отождествим его с базисом в coker L.
Из всего вышесказанного следует
Теорема 2.1.
(i) Пусть ker L = {0}. Тогда при любых «0 € U, р3-, 03- € R таких, что «03 (0) = 0, «03 (1) = 0, «03 (0) = ±«03 (l), Р3«03 (1) = 0з«03 (0) и Р3«03 (1) = = 03«03(0), существует единственное решение обратной задачи (1)-(4), (10)-(И).
(ii) Пусть kerL = {0}. Тогда при любых начальных данных р = (pi,..., Р3,...), 0 = (01,..., 03,...) € D и «0 = («01, «02,..., «03,...) € U таких, что
«03 (0) = 0, «03 (3) = 0, «03 (0) = ±«03 (3) (21)
U
существует единственное решение u € U, aj, в € R\{0}, ajв € R+ обратной задачи (1)-(4), (10)—(11).
Доказательство. (ii) Пусть uo € U и выполнены условия (21). Тогда существует единственная пара коэффициентов aj, в, удовлетворяющая (12). Выполнение условий р, ф € D гарантирует условие ajв > 0 для всех j, причём в силу конструкции множества D все коэффициенты aj =0 и имеют тот же знак, что и все ненулевые коэффициенты ej. Тем самым, мы находимся в условиях теоремы 1.1 (ii). Фазовое пространство
M = {u € U : (Mu + N(u), ) = 0, k = 1, 2,... , 1}
при найденных aj и в имеет вид (22), поэтому существует единственное решение u € U, aj, ej € R\{0}, ajв € R+ обратной задачи (1)-(4), (10)—(11). □
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Ша-бров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: Физмат-лит, 2004. — 272 с.
2. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. — Utrecht: VSP, 1999. — 171 pp.
3. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.
4. Свиридюк Г. А. Уравнения соболевского типа на графах / В сб.: Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. — C. 221-225.
5. Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations // J. Inv. Ill-Posed Problems, 2004. — Vol. 12, No. 5. — P. 1-9.
6. Свиридюк Г. А., Баязитова А. А. Обратная задача для уравнений Баренблатта—Жел-това—Кочиной на графе / В сб.: Неклассические уравнения математической физики: Тр. междунар. конф. «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2007. — C. 244-250.
7. Свиридюк Г. А., Шеметова В. В. Уравнения Хоффа на графах// Дифференц. уравнения, 2006. — Т. 42, №1. — C. 126-131.
8. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. — Utrecht; Boston: VSP, 2003. — 216 pp.
9. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. — Волгоград: Платон, 1996. — 203 с.
10. Свиридюк Г. А. Многообразие решений одного нелинейного сингулярного псевдопара-болического уравнения// Докл. АН СССР, 1986. — Т. 289, №6. — C. 1315-1318.
11. Свиридюк, Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Бусси-неска// Изв. вузов. Математика, 1989. — №2. — C. 55-61.
12. Свиридюк Г. А., Манакова Н. А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа// Сиб. журн. индустр. математики, 2005. — Т. 8, №2. — C. 144-151.
13. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
14. Свиридюк Г. А., Тринеева И. К. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа // Изв. вузов. Математика, 2005. — № 10. — С. 54-60.
Поступила в редакцию 19/1/2009; в окончательном варианте — 19/11/2009.
MSC: 35K65
ON DIRECT AND INVERSE PROBLEMS FOR THE HOFF EQUATIONS ON GRAPH
G. A. Sviridyuk, A. A. Bayazitova
South Ural State University,
76, prosp. Lenina, Chelyabinsk, 454080.
E-mails: ridyuSmath.susu.ac.ru, alfiya@74.ru
The Hoff equations defined on graph describe the dynamics of H-beams construction buckling. Generalization of the direct problem which is the Cauchy problem is obtained. For the first time the inverse coefficient problem is studied which is modeling the experiment that allows with additional measurements not only to study the construction buckling dynamics but also the characteristics of beam material. The unique solution of this problem is demonstrated.
Key words: the Hoff equations on graph, phase space, an inverse problem.
Original article submitted 19/I/2009; revision submitted 19/II/2009.
Sviridyuk Georgy Anatolevich, Dr. Sci. (Phys. & Math.), Prof., Head of Dept. of Mathematical Physics Equations.
Bayazitova Alfiya Adygamovna, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Physics Equations.
