Морфология фазового пространства одного класса полулинейных уравнений типа соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОРФОЛОГИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СОБОЛЕВА

Г А Свиридюк

Челябинский государственный университет

Данная статья содержит развитие и углубление результатов предыдущщ работ по разрешимости задачи Коиш для полулинейного уравнения типа Соболт Используя аналог метода Ляпунова Шмидта, исгодная задача Коши редуцируета к регулярной определенной на фазовом пространстве этого уравнения Фазовое про странство а является основным объектом исследования

Ключевые слова полулинейное уравнение типа Соболева, фазовое прострт ство задача Коши, М присоединенные векторы

Пусть и к Т - банаховы пространства, оператор Ь € Т), т е Ь линейный непрерывный оператор, а оператор М £ Рассмотрим

задачу Коши для операторного дифференциального уравнения

Ьи = М(и), и(0) = щ, (01)

которое в дальнейшем будем называть полулинейным уравнением типа Со болева Решением задачи (0 1) будем называть функцию и £ С°°(( — ¿о, ¿о) М] удовлетворяющую (0 1) 1де, вообще юворя, ¿о = ¿о(ио) > О

Данная стахья содержит развихие и углубление резулыатов [1 3] Схема исследования задачи (0 1) остается прежней пользуясь аналоюм ме тода Ляпунова Шмидга, задачу (0 1) редуцируем к регулярной задаче

и =; А(и), и(0) = щ, (0 2)

определенной, однако, не во всем пространстве Ы, а на некотором множестве V С 14 Это множество V, понимаемое в дальнейшем как фазовое простран ство уравнения (0 1) в смысле Д В Аносова (МЭ, т 5, с 587), и является основным объектом исследования

* Работа поддержана грантами РФФИ N97 01 00444 и Минобразования РФ по направ лению Математика

Главный вопрос, на который предстоит ответить, - это как должно быть "устроено" множество Р, чтобы гарантировать однозначную локальную разрешимость задачи (0.1)? Чтобы не увеличивать и без того уже большую многозначность терминов "строение", "структура", "форма" и т.д., предлагается при ответе на этот вопрос пользоваться термином "морфология" , что в вольном переводе с греческого означает "изучение формы". Кроме этого термина нам потребуется понятие L-ограниченности оператора М £ С{Ц\Т) и понятие квазистационарной траектории уравнения (0.1). Первое понятие при исследовании уравнения (0.1) (в случае М € С{Ы\Т)) несет ту же смысловую нагрузку, что и понятие ограниченности оператора А при исследовании уравнения (0.2) ( в случае А € С{Ы)). Второе является обобщением квазистационарного решения [4] и гипотезы псев до стационарного состояния [5] на бесконечномерную ситуацию.

В статье кроме вводной части есть три параграфа. В первом при некоторых дополнительных условиях на операторы L,M 6 СШ\Т) решается линейная задача (0.1). Во втором линейные результаты применяются к исследованию полулинейного случая. В третьем абстрактные результаты второго параграфа применяются к исследованию начально-краевой задачи для системы уравнений в частных производных, возникшей в приложениях. Все параграфы снабжены замечаниями, в которых фиксируется новизна полученных результатов.

И наконец, символом I обозначается единичный оператор, область определения которого ясна из контекста. Все рассуждения проводятся для вещественных банаховых пространств, но при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация. Знаки !> и <з лежат в начале и конце доказательств. Знак ":=" означает "положить равным по определению". Оборот "точно тогда" означает "тогда и только тогда"

1. Относительно ограниченные операторы

Пусть U та Т - банаховы пространства, оператор М 6 C(l(: J- ) называется ограниченным относительно оператора L € С{Ы\Т) (короче, L-ограниченным), если Э/хо >0 V// G С (\/л\ > до) =Ф- (цЬ—М)~1 G С{Т\Ы). Относительная ограниченность оператора - коварная штука! В частности, не всякий ограниченный оператор М : U —» Т будет L-ограниченным. Тривиальный пример: L : U —> Т -компактный оператор, а М — 0. Однако

если существует Ь 1 £ С(Т,1А), то любой оператор М £ С{Ы,Т) будет Ь-ог раниченным

Введем дополнительные условия на оператор Ь

(А1) Ядро кет Ь дополняемо в Ы, а образ 1тЬ замкнут

Обозначим через соип!/ некоторое топологическое и алгебраическое дополнение к ядру кег Ь Теперь Ы = кег Ь © сонп!/ Обозначим через 1ц сужение оператора Ь на соипХ В силу теоремы Банаха о замкнутом гра фике оператор Ьо сош\Ь —> 1 тЬ - топлинейный изоморфизм Пусть вектор ц> £ кег Ь Рассмотрим итеративную процедуру

V?! = <р, Ь<рг¥1 = М<рг, г = 1, , (рг £ сошхЬ, г = 2, (11)

Векторы г = 2, , получающиеся из ненулевого собственного векто ра оператора Ь посредсхвом процедуры (1 1), назовем М-присоединенныт векторами Заметим, что если существует оператор М 1 6 С(У-,и), то М присоединенные векторы - это в точности присоединенные векторы опера тора М ] Ь И еще если для вектора /р £ кег Ь \ {0} реализуется ситуация М<р 0 то будем ховорить, что вектор не имеет М-присоединенных век хоров

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 1 Пусть оператор М £ ограничен относи

тельно оператора Ь £ С(Ы,Т) и выполнено (А1) Тогда

(1д £ N У^е кег Ь \ {0}) (Эр £ N (р < д) € согтЬ \ {0}

(1^+1 = М<р1 Уг 6 {1, — 1} Мирр£\т.Ь))[А(Му1(£хтЬ) (12)

> Пусхь у?! € кех Ь \ {0} имеех бесконечное множество {^г,1/^, } М-при соединенных векторов (заметим, что если в этом множестве =^0, го в силу (1 1) </>/ — 0 V/ > к) В силу (А1) имеем </>г+1 = Ь01М(рг, г € N Операхор Ь01М ограничен на множестве {срг г б N1 как композиция непрерывных операторов Положим

сю

гохда ряд £ = X] № <Рк сходится абсолютно и равномерно вне круга >с=1

Н ^НЬо'МН, причем вектор £ £ кег{цЬ — М)

Теперь пусть последовательность {фк} С кег Ь \ {0}, = 1 вы-

брана таким образом, чтобы р^ —> оо при А; —> оо, где Рк — 1 - число М-

I 00

присоединенных векторов вектора Тогда ряд г) :== \кгфк сходится

к=1

абсолютно и равномерно в круге |А| < 1, причем вектор г] ё кег Ь \ {0} имеет бесконечное множество М -присоединенных векторов.<1

(А2) Пространство Ы11 кег Ь сепарабельно.

Пусть {</5г : ||</54|| = 1, г Е И} - базис пространства Ы11. Обозначим через {(¿>г2, (р13,..., <р'Рг } множество (возможно, пустое) М-присоединенных векторов вектора <р1 = <р\.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Пусть для операторов Ь,М € С(Ы\Т) выполнены (А1),(А2) и (1.2). Тогда

(г) кег М Пзрап{^ : » е N. ; = 1,...,р,} = {0};

(гг) векторы у® : г 6 К, 7 = 1, линейно независимы.

о Утверждение (¿) в силу (1.2) тривиально. Для доказательства (и) фиксируем /г £ 1Я, и пусть

¿х»; = о (1-з)

(здесь и ниже р = рг), где а13 - некоторые коэффициенты. Подействовав на (1.3) оператором Ь, получим

(1-4)

г=1]=2

причем а\ = 0, г — 1,..., к. Кроме того, из (1.4) имеем

/ к р \ / /:• Р-1 \

£ =°- с1-5)

1 ^=2 У у®-1 )

Доказательство завершает (<? - 2)-кратное использование циклического алгоритма (1.5)-»(1.3)—>(1.4)-»(1.5), в процессе которого последовательно получим а^ = 0, г-\ - 1, ...¡р^о

Обозначим через Ы12 замыкание линеала 8рап{</?* : г е у =

% ,?.}■

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 3 Пусть выполнены условия предложения 1 2 Тогк множество Ы12 \ {0} содержит только М-присоединенные векторы

с> Пусть последовательность {фк} С зрап{<£>* г 6 К, ] = 2, ,рг] сходита к вектору ф 6 Ып В силу принципа Дирихле (переходя, если нужно, к под последовательности) можно считать все фк /-тыми М-присоединенными векторами векторов последовательности {фк} С кег!,\ {0} Последователь ность {ф'ь} фундаментальна, обозначим через ф' £ кегЬ ее предел В си лу непрерывности оператора (Ь01М)1 {ф'к} Ы12 имеем (Ь0хМ)1ф' = 1шг {Ь^1М)1ф'к = 1шт фк = ф о

к +ос к ->оо

Положим и1 - и11 ф и12 Ввиду (1 2) имеет быть СЛЕДСТВИЕ 11 кег М ПК1 = {0}

(А.З) Пространство Ы12 дополняемо в сонпЬ

Обозначим через Ы2 = алт£ Э Ы12 некоторое алгебраическое и то пологическое дополнение к Ы12 Имеем Ы =Ы1 ®Ы2 Пространство К1 на зывается М-корневым пространством оператора Ь Обозначим через замыкание образа М[Ы11} г = 1,2

(А4) Ти — М[Ыи}, г=г1,2

По определению Т11 П Т12 = {0} Положим Тх = Тхх ф Т12, Я = Ь[Ы2} В силу (А1) и непрерывности оператора Ь образ Т2 замкнут Кроме того, Ь\Ы1\ С Т1 но построению, поэтому Тх П Т2 = {0}

(А5) Т

Теперь в предположениях (А1)-(А5) и (1 2) относительно операторов Ь М £ С(Ы,Т) рассмотрим задачу Коши

Ьи = Ми, гг(0) = щ (1 6)

Обозначим через Р Т -Л Т1 проектор вдоль Т2 и редуцируем задачу (1 6) к эквивалентной задаче

Нщ - щ + ¿т2, щ(0)-и01, и2 = Ти2, и2(0) = и02, (17)

где В., Я и Т сужения операторов М~1Ь, М 1РМ и Ь~1{1 - Р)М на 1А1 Ы2 и Ы2 соответственно Ь(М) - сужение оператора Ь(М) на Ы2{Ы1) Заме I им, чю в силу цитированной выше теоремы Банаха операторы Ь Ы1 —> Т2 и М Ы1 —> Т1 топлинейные изоморфизмы Ввиду этого имеем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 4 Оператор R £ C{Ul) нильпотентен, причем степень его нильпотентности q — тах{рг pt — 1 - число М-присоединенных

jeN

векторов базисного вектора рг £ кег L}

9-1

Положим Г = £ RkSTk £ C(U2,Ul), где q - степень нильлотентнос-

fc=0

ти оператора Я, и введем в рассмотрение множество U := {и £ U . и = (/ - Г)«2,и2 € W2} - кандидата на роль фазового пространства уравнения (1 6) Обозначим через Q • U -+U1 проектор вдоль U2

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 5 Множество Ы - подпространство пространства U, топлинейно изоморфное подпространству U2, причем U —UX®U

> Топлинейный изоморфизм осуществляется оператором (/ — Г) U2 —> U, а обратный оператор (/ — Г)"1 есть сужение проектора I — Q на U Итак, U подпространство в U Теперь пусть и £ И, тогда и = и\ + и2, где и, 6 W, г = 1,2 Положим и = (mi + Г?^) + (/ — Т)и2 = «1 + «2, 1де

ui f W1, a U2 € W <з

ГЕОРЕМА 1 1 Пусть для операторов L,M £ выполнены усло-

вия (Al) (А5) и (1 2), и пусть существует решение и £ Cco(R, U) задачи (1 6) Тогда и = u(t) £ U Vt £ R

t> Представим решение и = u(t) в виде и = и\ + «2 и воспользуемся эквивалентной (16) задачей (17) Продифференцируем первое уравнение (1 7) по t и результат умножим на R слева После подстановки второго уравнения (1 7) получим

R2 щ= щ + Su2 + RSTu2 (1 8)

Уравнение (1 8) опять продифференцируем по t, умножим слева на R и в результат подставим уравнения (1 7) Получим

Я3 их = щ +- Su2 + RSTu2 + R2ST2u2 (1 9)

Повторяя с (1 9) описанную выше процедуру, через q — 3 шагов получим О - ui + Г112 <з

Теорема 1 1 устанавливает необходимое условие разрешимости задачи (1 6) в классе C°°(R,ZY), а именно uq £ U. Покажем теперь, что это условие является достаточным для однозначной разрешимости задачи (1 6), г е что U - фазовое пространство уравнения (1 6)

о Представим щ Е U в виде щ = moi + Щ2, где щг Е Ыг, г = 1,2 В силу ограниченности оператора Т : И2 —> W2 второе уравнение (1.7) имеет единственное решение — м2(t) — exp{Tt)uQ2 Vi Е R задачи Коши м2(0) = йог- Покажем, что функция и\ — ui(t) = --Tm2(î) есть решение задачи Коши ых(0) = йог для первого уравнения (1.7).

Действительно, подставим и\— ui(t)= —Ги2(£) и получим R(—Гиг) = = — Ги2 + Su2. Отсюда имеем

9-1 q-i

J2 RkSTk~lù2 = Yj RkSTku2. k=1 k=1

Последнее равенство распадается на конечное число очевидных равенств

RkSTk-1{ù2)-Tu2) = 0 k = l,...,q-l.<

ТЕОРЕМА 1 2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда оператор M L-ограничен.

о Положим U2 ,— Ы. Тогда имеет место действие оператора M : U2 T2 Действительно, пусть не имеет. Тогда Зи2 Е U2 (PMU2 ф 0) и, следовательно, оператор S ф 0. Поэтому можно построить фазовое пространство U' уравнения (1.6), причем U' ф U, чго невозможно в силу единственности фазового пространства.

Возьмем f Е J- ж рассмотрим уравнение (цЬ — М)и = /, которое эквивалентно системе (pR - 1)щ = М_1Р/, (ц1 — Т)и2 — L~l(I - P)j Заметим, что (/jlR — /)-1 = — I — ¡.iR — ... — nq~lRq~l, т.е. оператор ¡iR-I непрерывно обратим У ¡л £ С. Оператор /1/ — Т непрерывно обратим при всех достаточно больших \{J.\-<

Теорема 1.2 в условиях (Al) - (А5) обращает предложение 1.1. Существует широкий класс операторов, для которых условия (Al) - (А5) проверяются достаточно просто. Пусть оператор L Е т.е. L - линейный непрерывный фредгольмов оператор (indl, = 0). Как следствие теоремы 1.2 и предложения 1.1 имеет место следующий результат.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Пусть оператор L Е kerL ф {0}, а опе-

ратор M Е C(U\Т). Тогда L-ограниченностъ оператора M эквивалентна условию (12)

t> Условия (Al) и (А2) для оператора L Е Т{Ы]Т) - тавтология. Условия (A3) и (A4) - тривиальны, т.к. в данном случае dimUXl <00 г = 1,2 Установим (А5).

Пусть kerL = span{<^ . i = 1, ..,1}, где I = dimkerL. Рассмотрим линеалы

F]1 := span{v?p, : г = 1,...,/}

:= spanfaj : i = 1, j = 1,...,рг - 1},

причем, если Мср\ g imL, то ip\ Е Tq1 Тогда Г^фТ2 — imL и dim Т^1 = I, причем Tlx ® Tl2 = Тх Отсюда Тх © Т2 = Т <

Замечания

1 I Предложение 1 6 есть транскрипция теоремы 30 1 [6] в наших терминах

1.2 Пусть оператор М £ а линейный оператор L • domL С

U Т замкнут и плотно определен. Обозначим через N замыкание по норме || ||.A/ = ||-||w-f||Ir||jr области определения domL. Пространство Л/* банахово, причем вложение я ^ и плотно и непрерывно. Отсюда М € С{Ы\Т) как композиция непрерывного оператора вложения id : Af U я опера-юра М Это нехитрое наблюдение позволяет считать наши результаты обобщением [7]

1 3 Если 3L~l Е то уравнение (1 6) редуцируется к эквива-

лентному уравнению

и = Аи, (1.10)

1де Л = L 1М ■ U —> U - ограниченный оператор Решение задачи Коши и(0) = 7X0 для уравнения (1 10) может быть представлено в виде

u{t) = J (ill - Aylu0elltdfi,

7

i де 7 - контур в С такой, что (ц Е 7) => (|д| > до), а до - спектральный радиус оператора А. Если же kerL ф {0}, но оператор М L-ограничен и выполнены условия (Al) - (А5), то решение задачи (1.6) можно представить в виде

u(t) = — /(дЬ - M^Luoe^dfi 27XI J

7

ГИПОТЕЗА. Условие (А2) лишнее.

2. Квазистационарные траектории

Пусть имеют место расщепления пространств Ы — Ы1 ® К2 и Т -Я 0 Я и действия оператора Ь £ С.(Ы\ Т) Ь :Ыг —> Тг, г = 1,2, причем кег£ С Ы1. Обозначим через Р : Т —> Тх проектор вдоль Т2. Уравнение (О 1) редуцируется к эквивалентной системе

Ьй\ — РМ(и), Ьй2 = (/ — Р)М(и), (21)

где щ £ Ы\ г = 1, 2, и = щ + Решение и = и(Ь) задачи (0.1) назовем квазистациопарной траекторией уравнения (0.1), если Ьщ = 0.

Необходимость введения нового понятия будет обоснована ниже, а сей час заметим, что если в предположениях предыдущего параграфа взять в качестве Ы1 М-корневое пространство оператора Ь, а в качестве Ы2 фазовое пространство Ы уравнения (1 6), то в случае М £ С(Ы;Т) система (2 1) примет вид

Ьй 1 = Мщ, Ьй 2 = Ми2,

причем Ьи\ = 0 Отсюда следует, что фазовое пространство Ы содержит только квазистационарные траектории уравнения (1.6). Кроме того, заметим, что любая стационарная траектория уравнения (2.1) будет квазистационарной

Обратимся к задаче (0.1). Оператор М £ С00^;^) называется I-ограниченным в точке и (на множестве М. С Ы), если его производная Фреше М'и в ючке и (Уи € М) Ь-ограничена. Потребуем, чтобы

оператор М £ С°°(Ы,Т) был ограничен в точке щ £ Ы и были выполнены (А1) - (А5), где М = М'и

В предположениях (2.2) задачу (0.1) редуцируем к эквивалентной задаче

Ьь = М'иоь + Р(ь), г,(0) = 0, (2 3)

где V = и - и о, а от задачи (2 3) перейдем к эквивалентной системе

= Щ + (?(«), «1(0) =0; У2 = Ть2 + Н{ь), У2( С) = 0, (2.4)

где у1 £ 1А\ г — 1,2; v = + у2] Ы1 - М-корневое пространство оператора Ь, Ы2 - фазовое пространство уравнения Ьй — М'иоУ] (7 ■= М~1РР, Н = Ь 1 (/ — Р)Р; а операторы Ь, М, Р,ЛиТ имеют тот же смысл, что и

(2 2)

в п.1 (В дальнейшем, не теряя общности, отождествляем пространство Ы с самим собой, "сдвинутым" на вектор щ).

Положим

оо р

где ^ = - функции, подлежащие дальнейшему уточнению, а {</>* : г 6 N,.7 = 1,. .,рг} - базис пространства Ы1. Выберем в пространстве Ы*, сопряженном пространству Ы относительно двойственности (-, •), базис

{</?" : г 6 ]\т,] = 1, ..,рг} такой, что

(*>>£') = ¿3$, (2.6)

где символ Кронекера. Возможность такого выбора гарантирована теоремой Хана - Банаха и процессом Грама - Шмидта. Подставим (2.5) в первое уравнение (2 4) и воспользуемся (2.6). Первое уравнение (2.4) расщепится в бесконечную сумму дифференциальных уравнений, состоящую из блоков вида

' & = €[+9\{У),

' СР = ^-г+д^Л»), {2'7)

где р = ри дг3(у) ■= (О(ь), </?"), г € N,J = 1,...,рг. Начальные условия для функций ^ приобретут вид

£(0)=0, э = 1,...,рг. (2.8)

Система (2 4), где первая строчка имеет вид (2.7), (2.8), называется локальной нормальной формой уравнения (0.1). Итак, доказана

ТЕОРЕМА 2 1. Пусть выполнены условия (2 2). Тогда уравнение (0.1) приводится к локальной нормальной форме.

Однозначная разрешимость задачи (2.4), вообще говоря, невозможна.

ПРИМЕР 1 Рассмотрим частный случай задачи (2.7), (2.8):

6 = 6, 0 = 6-^- (2-9)

Задача Коши £г(0) = 0 для системы (2.9) кроме тривиального решения £,(<) = 0 имеет еще одно решение Заметим попутно, что при на-

чальных данных (£01,62) таких, что 62 Ф £оь задача Коши £г(0) = 6г Для системы (2.9) вообще не имеет решения.

Рассмотренный пример является первым аргументом в пользу сужения понятия решения задачи (0.1) для того, чтобы добиться однозначно! разрешимости. Наш выбор такого сужения - понятие квазистационарног траектории. Убедительность этого понятия будет продемонстрирована! следующем параграфе как второй аргумент. А сейчас, забегая вперед, ука жем, что единственной квазистационарной траекторией системы (2.9) будет стационарная траектория (0, 0).

Перейдем к рассмотрению необходимого условия существования квазистационарной траектории. Пусть и = u[t),t G (—¿о, ¿о) ~~ решение задачи (0.1), являющееся квазистационарной траекторией. Условие Ьщ = 0 эквивалентно условию Q2(u — щ) — 0, где Q2 ■ Ы U2 - проектор вдоль прямой суммы U11 ®U2. Введем в рассмотрение множество U := {и G U Q2(u — щ) = 0}, которое, как нетрудно заметить, является полным аффинным многообразием, моделируемым пространством U11 © U2.

Из первого уравнения (2.1) следует еще одно условие квазистационарности траектории и = u(t) : PM(u(t)) = 0,t Ç (—£o>io)- Итак, если траектория и = u(t) квазистационарна, то

u(t) 6 {и G U : РМ(и) = 0} П Ù Vt£ (-¿о, к). (2.10)

Расписывая множество (2.10) "покоординатно" в духе (2.7), для квазистационарной траектории v = v(t) = u(t) — щ системы (2.4) получим

0 = Éi+SÎ(v), (2 11)

0 = 9>),zGN, j — 2,... ,рг. (2.12) Условие (2 12) запишем еще раз в виде

Р2М{и) = 0, (2.13)

1 де Р2 : Т -> J-12 проектор вдоль прямой суммы Т11 ©Я, а условие (2.11) "поместим" во множество V := {м € U : Р\М{и) — 0} C\U, где Р\ := Р - ?2-Ввиду (2.10) доказана

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть выполнены условия (2.2), и пусть и = w(£), t Е (—¿0) ¿о) решение задачи (0.1) - является квазистационарной траекторией уравнения (0.1). Тогда u(t) G V Vi G ¿0;£q), причем выполнено (2 13).

Рассмотрим теперь достаточное условие существования квазистационарной траектории уравнения (0.1) Начнем с изучения множества V - претендента на роль фазового пространства.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2Л. Пусть выполнены условия (2.2), и пусть щ £ V. Тогда существует окрестность О С V точки щ, являющаяся С°°-мно-гообразием, диффеоморфно проектирующимся вдоль Ы1 в Ы2.

о Пусть, как и выше, М - сужение оператора М/,() на 1А12. Тогда

{(¿(и - и0) = (МЯ2{и - щ) = 0) ^ {Р2М'и^2{и - «о) = 0) «Ф>

^ (Р2М1о(и - и0) = 0).

Применим теорему о неявной функции к оператору Р\М( ) + Р2М'ио(■ - щ) : их ® и2 Т1 По построению

(О Р1М(щ) + Р2Мии-и0)=0;

(и) РгМ( ) +РгМ'ио{- -щ) £С°°£ (Ы1 ШУ2;/1);

(ш) оператор Р\М'ио + Р2М'ий = РМ'ио : Ых Я) - топлинейный изоморфизм.

В силу теоремы о неявной функции существует окрестность (Э2 £ Ы2 точки (I - <3)ио £ Ы2 VI отображение 7 : 02 —> ¿I1 класса С°° такие, что «2 + 7(^2) £ V Уи2 £ О2 (здесь -.Ы К1 - проектор вдоль Ы2). Искомые С°°-диффеоморфизм Г : 02 —» V и окрестность О С V точки щ имеют вид соответственно Г = I + -у и О := Г[Ог], причем Г-1 есть сужение на О проектора / — (¡>.<I,

ТЕОРЕМА 2.3 Пусть выполнены (2.2), и пусть в некоторой окрестности О С V точки щ Е V выполнено (2.13). Тогда £ Оио существует единственное решение и £ С°°((—¿о,¿о);Р) ¿о = > 0 задачи Коши

и{0) =щ, являющееся квазистационарной траекторией уравнения (0.1).

!> Не теряя общности, положим О = О, где О С V - окрестность точки щ из предложения 2.1. Тогда в силу (2.10) квазистационарность траектории и 6 С°°((-£о^о)',Р) следует из теоремы 2.2. Установим ее существование и единственность.

Из (2.1), (2.7), (2.11), и (2.12) в силу (2.13) получим, что в окрестности О уравнение (0.1) эквивалентно уравнению

й2 = Ь~1{1-Р)М{и), (2.14)

где и С О, а и2 = (I - С})и £ 02 С Ы2 По построению производная Фреше Г'„, Тиг02 —> ТиО - топлинейный изоморфизм касательных пространств

'1О2 "" и2 и ТиО = ТиТ класса С°° по и2. Подействуем операторе1, Г'ог г'(/-д)и на (2-14), получим:

й = (Г>2)) = Г'и2ч2 = Г{¡.Я]иЬ-1(1 - Р)М(и) := А{и), (215|

где А : О —» ТО - сечение класса С°° касательного расслоения ТО. Од нозначная локальная разрешимость задачи Коши м(0) = щ для уравненш (2.15) (а тем самым, и для уравнения (0.1)) - классический результат (см п.9 [8]).<

Замечания

2.1 Термин "квазистационарная траектория" предпочтительнее тер мина "квазистационарное решение" ввиду различия в следующих оборотах "траектория лежит в множестве. ." и "решение лежит в множестве "

2.2. Условие М € - лишнее. Его можно заменить условием

М € причем при рассмотрении необходимого условия нужно взять

к > 1, а при рассмотрении достаточного - к >2.

2 3В случае, когда Ь 6 - фредгольмов оператор, разреши

мость задачи (0 1) в классе С([0, ¿о);^) при условиях (2.11) и (2 12), выполняющихся тождественно, установлена в [9]. Разрешимость задачи (01) в классе С'с((-£о, ¿о); Р), к> 2 в случае фредгольмовости оператора! и условий (2.11), (2 12) отличным от предложенного способом установленав

И, [3]

3. Приложения

А П Осколковым [10] предложены системы уравнений, моделирую щих динамику несжимаемых вязкоупругих жидкостей. Одна из этих моделей, модель Кельвина - Фойгта порядка 1, интенсивно изучалась и автором [11 13] Однако во всех рассмотрениях игнорировался феноменологический парадокс: как может несжимаемая жидкость быть упругой! Подход к разрешению этого парадокса видится в следующем: надо показать, что модель несжимаемой вязкоупругой жидкости [11 -13] является "хорошим приближением" модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости.

(3 1)

гдег ф 0- "мало". Здесь у — (г'х,...,уп), уг = уг{х,Ь) - вектор-функция, соответствующая скорости жидкости; р = р(Ь) - функция, соответствующая давлению; параметры А е йи /л £ характеризуют упругость и вязкость жидкости; свободный член д = (дх, ...,<7П)> д% = 9г{%) соответствует внешним воздействиям.

Для удобства заменим систему (3.1) системой

(А - У2И = /лУ2ь - Х(у ■ V)у + АУр + д,

ер4 = У(У-и), (3.2)

мотивируя это тем, что в большинстве гидродинамических задач рассмотрение градиента давления р := Ур предпочтительней рассмотрения давления Оператор grad имеет ядро, натянутое на константу, однако решения систем (3.1) и (3.2) не будут отличаться, поскольку мы ограничимся изучением начально-краевой задачи в ограниченной области О С К", граница дП которой, для простоты, класса С00.

Итак, рассмотрим задачу Коши - Дирихле

ф,0) = у0(х),х 6 у(х, ¿) = 0, (х, ¿) € Ш х 11, (3 3)

р(а:,0) =р0(х),х € П (3.4)

для системы (3.2). Рамки развитого в предыдущих главах формализма и дефицит места не позволяют здесь реализовать намеченную выше программу в полном объеме, т.е. аппроксимировать решение задачи (3.2) - (3.4) при е ф 0 "сменяющимися отрезками быстрых и медленных переменных" (терминология формализована в [14]) Поэтому мы ограничимся первым этапом, а именно морфологией медленного многообразия задачи (3.2) - (3.4), т.е. изучим решения задачи (3 3) для системы (3.2) при е == 0 (условие (3.4) в данном случае не нужно). Заметим сразу, что результаты, полученные здесь, невозможно получить методами [1 - 3] и [11 - 13].

Транскрибируем задачу (3.2), (3.3) в терминах задачи (0.1) Обозначим через

Я2 •= (1У22(0))", Н1:— (Ж2х (П))п, I2 (Ь2(П))п

пространства вектор-функций V = («1,..., уп), определенных в области Г2. Обозначим через На замыкание линеала {и 6 (С°°(П))™ : V -V = 0} в норме пространства Ь2 и положим Нж = Н^. Обозначим через Е : Ь2 —На

9 ? 0 х

ортонроектор и положим П := I — Е. Положим Н£ := Н П Н ПЯСТ,

о 1 01

Я2 .= Н2П Н ПЯ„ Я2 и Н2 - подпространства пространства И2Г] Н ,

О 1

причем Н2П Я — Н2 @ Н2 Пространство Я2 состоит из соленоидальных функций, равных нулю на границе <90, вторые производные которых суммируемы с квадратом Пространство Я2 состоит из вектор-функций, равных нулю на дС1 и являющихся градиентами функции из

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1 (г) Формулой

/ -V2 О

А

Я2 ф Я2 ^ Ь2

V о

задается линейный непрерывный самосопряженный оператор с дискретным конечнократным спектром сг(А) С И+, сгущающимся лишь на +оо

(гг) Формулой В V —> У(У у) задается линейный непрерывный самосопряженный сюръективный оператор В Я2 © Я2 —> Ь2 с ядром кег В = Я2

(иг) Формулой а V —> —(г; У)и при п — 2,3,4 задается 2-степенной оператор а Н2 © Н2 —> Ь2

> Утверждения (1) и (ш) общеизвестны (см соответственно [15] и [16]) Непрерывность и самосопряженность оператора В устанавливается непосредственно Сюръективность следует из [17] о

Воспользовавшись естественным изоморфизмом прямой суммы и декартова произведения банаховых пространств, представим пространства

о 1

Н2П Я иЬ2 в виде И2 х Н2 и На х Нп соответственно. Положим

Ы = Я2 х Я2 х Т =НахНжх Нп.

Элемент и 6 Ы имеет вид и = (иа, ир), а элемент / Е Т имеет вид / = (Лг, /тг 1Р) Положим Аа = АI + А

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 2 (г) Формулой

/£Ал О

Ь =

ПАд ПАХ О 1 (3 5)

V 0 0 0

задается линейный непрерывный оператор Ь Ы —> Т Если —А ^ &(А), то кег Ь = {0} х {0} х ппЬ = На х Я^ х {0}.

(и) Пусть п = 2,3,4. Тогда формулой

/ цТ,А{иа + щг) + AEa(ncr + + /а \ М : и цПА(иа + и«) + ЛПа(ист + uv) + Хир + U I (3.6)

V в(иа + и%) J

задается оператор М £ С°°(и]3~).

> (i) очевидно Найдем первую производную Фреше оператора М в точке ц<ЕЫ.

/ Ц/лА + Ла'а) Т,(цА + Л<) 0 \ М'и = П(МА + \а'„) ЩцА + Л<) XI , (3.7)

V о в о J

где a'a(a'v) - частная производная Фреше оператора а по иа(иж). Вторая производная находится аналогично, а третья - тождественный нуль.<1

Решением задачи (3.2), (3.3) назовем решение задачи (0.1), где операторы L и М определены в (3.5) и (3.6). Проверим выполнение условий (Al) - (А5) и (1.2).

Условия (А1) и (А2) для оператора L (3.5) - тавтология. Для проверки

условия (1.2) обозначим через £(П) сужение проектора Е(П) на простран-, <.1 - -сгво Я П И Рассмотрим оператор Ад := ЕАдЕ, Ао := А. Известно (теорема Солонникова - Воровича - Юдовича, см. [3] и библиографию там), что оператор А Н2 —> На - линейный непрерывный оператор с вещественным конечнократным спектром ст(А), сгущающимся лишь на +оо.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Пусть -А # а{А) U а(А) U {0}. Тогда V« 6 U и Vi/> 6 kerL \ {0} существует точно один М'и-присоединенный вектор.

о Если у G kerL \ {0}, то — (0,0, (рр), <Рр ф 0. Отсюда ввиду (3 7) имеем М'и<р = (0, \<рр,0). Найдем вектор ф $ ker L такой, что Ьф = М!^<р, и покажем, что М'иф imL. Из (3.4) имеем

А\фа + ЯАхА = 0, ИАхФа + П Ахф* = Х<рр. (3.8)

В силу предложения 3 1 (i) решение системы (3.8) всегда существует, а в силу предложения 3.3 фп ф 0. Следовательно, Вфп ф 0 (предложение 3 1(п)), и потому М'иф 0 imL.o

Приступим к построению пространств Un,Ul2,U2, , Т12 и Т2 в условиях предложения 3.3. Для этого положим М'и := Мд, и тогда

/о о 0\

ип = {0} х {0} х /Дг = 0 0 0 U-

\0 о I)

Ып = Л-Х1ЪАХ[Н1} х Н1 X {0} = что непосредственно следует из (3 8),

0 А^ЕАд 0

I

0

ООО

т

12

Т11 = М'а[и11) = {0} х х {0} = 0 / 0 Т,

\о о о/

( 0 Е((дА + Ла^Лд:1ЕАа + дА + АО 0 \

= М'ъ[и12] = О ЩрА + Ха'^А^ЪАх + цА + Ха'Л О

\0 В О)

/00 Е((дА + Ха'а)А^Ах + цА + Аа'„)В~1 \ = 00 П((М + \а'а)А^Ах + цА + \а'ж)В~1 Т = \°0 I )

Ы =

= Е((дА + \аа)А11ЕАа + дА + А а'^В'^Н^х хГ1((/хА + Аа^А^ЕАд + дА + Ха'^В'1^] х Я,

Здесь и далее а'а(а'п) - частная производная Фреше оператора а в точке щ

по иа{ип)

Прос1ранства Ы2 и Т2 найдем из соотношения М^[Ы2} С Ь[Ы2}

(

Ы2 =

I

о

о о о 0 I и =

Т2 = Ь[Ы2}

\П(АдА^Е(мА + Аа;)-(мА + Аа;)) 0 О

Н2а х {0} х П(АЛА^Е(дА + АО - (дА + \а'а))[Н% ( Ах 0 О'

V

ПАд 0 0 | Ы = 0 0 0

/ I о о\

ПАдАд1 О О

V

О

о о

^•=Я(7хПАдАд1[Я(7]х{

/

Нетрудно видеть, что все построенные линеалы замкнуты, причем и = Ып ®Ы12 ®1А2 и Т = Ти ® Т12 © Р2 Итак, все условия (А1) - (А5) и (1 2) выполнены

Выясним, что нужно для выполнения условия (2 13) Для этого заметим, что матрица в определении пространства Т12 есть в точности проектор Р2 Т Тх2 вдоль прямой суммы Тп ф Т2 Подставляя его и (3 5) в (2 13), получим

(.Р2М{и) = 0) {В{иа + ип) = 0) <Ф = 0)

(3 9)

фазовые пространства полулинейных уравнений типа соболева 85 Из (3.9), в частности, следует и^ = 0.

Найдем теперь аффинное многообразие Ы. Для этого заметим, что матрица в определении пространства Ы12 есть в точности проектор <5г : К -> Ып вдоль прямой суммы Ып © Ы2. С учетом (3.9) имеем

(ф2(и - «о) = 0) <£> {ип - ий1х = 0) {и„ = 0).

Итак, Ы = Я2 х {0} х Я».

Теперь построим медленное многообразие задачи (3.2) - (3.4). Для этого найдем проектор Р\ : Т —> Я1 вдоль прямой суммы ф Т2\

Рл =

о 0 0 \

-ПАдА^1 / Р23 у 0 0 0 /

где Р?3 = П(ЛАЛд гЕ(М + Аа^) - А^ЕАд - ((МА + АОА^ЕАд + дА+ +Аа^))5-1. Поэтому множество Р (и £ У : Р\М(и) = 0} имеет окончательный вид 73 = {(ио-,0, ир) £ ¿У : Аир = П((АдАд1 - П(цА + Ха))иа+

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть -А £ а{А) и ег(А) и {0}. Тогда Ущ £ V существует единственное решение и £ С°°((-£о,¿о); V), ¿о = > 0 задачи (3.2),(3.3), являющееся квазистационарной траекторией.

Замечания

3.1. Если не интересоваться морфологией медленного многообразия, то теорема 3.1 может быть получена проще [11]-[13].

3.2. Другие приложения формальной схемы первых двух параграфов см. в [1]-[3] и [11]-[14].

Список литературы

1. Свиридюк Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т.304, вып.2. С.301-304.

2. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №2. С.250-258.

3. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейны: уравнений типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1990. Т.31, №5. С.109-119.

4 Зильберглейт A.C. О квазистационарных решениях нелинейных автономны£ сис тем // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, №10. С.1807-1809.

5. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о мок-лях. М.: Мир, 1983.

6. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных урав нений М.: Наука, 1969.

7. Зубова С.II., Чернышев К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применения. Вильнюс, 1976. №14. С.21-39.

8 Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические мнегообразия. Сводка результатов. М.: Мир, 1975

9 Сидоров Н.А, Романова O.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц уравнения. 1983. Т.19, №9. С.1516-1526.

10. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкоетт Кельеина-Фойгта и Олдройта // Тр. Мат. ин-та Ан СССР. 1988. №179. С.126-164

11 Свиридюк Г.А. О многообразии решений одной задачи динамики вязкоупругой жидкости // Дифференц уравнения. 1988. Т.24, №10. С.1846-1848

12. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости II Изв. вузов. Математика. 1988. №1. С.74-79.

13. Свиридюк Г.А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №11. С.1992-1998.

14. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред Ц Докл. АН СССР. 1989. Т.308, вып.4. С.791-794.

15. Солонников В.А. Линейные эллиптические системы. Конспект лекций JL: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1973.

16. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкое ти. 2-е изд. М : Наука, 1970.

17. Капитанский Л.В., Пилецкас К.И. О некоторьч, задачах векторного анализа // Заи науч. семинаров ЛОМИ 1984. Т 198. С.65-85.

SUMMARY

This article includes the development and investigation of results on the Cauchy problem for the semilinear Sobolev type equation solvability. Using the Liapunov-Shmidt method the initial Cauchy problem is reduced to a regular one defined on the phase space of this equation. The phase space is the main research object.