CC BY
17
УДК 517.958
DOI: 10.14529/mmph160303
ОДНОРОДНАЯ МОДЕЛЬ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА
О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, Великий Новгород, Российская Федерация E-mail: oltan.72@mail.ru
Рассматривается задача Коши-Дирихле для однородной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка. Данная задача исследуется с использованием теории полулинейных уравнений соболевского типа. Задача Коши-Дирихле для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных сводится к абстрактной задаче Коши для указанного уравнения. Доказана теорема существования и единственности решения указанной задачи, являющегося квазистационарной траекторией и получено описание ее фазового пространства.
Ключевые слова: уравнение соболевского типа; фазовое пространство; несжимаемая вязкоупругая жидкость.
Введение
Система уравнений
(1 - ж V 2)vt = vV 2v - (v-V)v + ^ДУ \-Vp + f,
i=1
(1)
0 = V- v,
dwl
— = v + ЩЩ,
a e R-, l = 1, K
описывает модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка K >0 [1].
Физический смысл функции v = (vj,..,vn),vt =vi(x,t), xefi - скорость течения, функция p = p (x, t) соответствует давлению. Здесь Qc Rn, n = 2,3,4 - ограниченная область с границей dQ класса C~ . Параметры ve R+ и жe R отвечают за вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры в e R+ характеризуют время ретардации (запаздывания) давления, функция f = f (fx,.., fn), f = f (x,t) определяет внешнее воздействие на жидкость. Для системы (1) рассматривается задача Коши-Дирихле (f = 0)
ív(x, 0) = vo (x), p(x, 0) = Po (x), w¡ (x, 0) = wio (x) Vx e Q, |v(x,t) = 0, w{(x,t) = 0, l = 1K, V(x,t)e dQxR.
Разрешимость задачи (1), (2) рассматривается в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа [2, 3]. В первой части статьи изложена формальная схема задачи Коши для полулинейных уравнений указанного типа, а во второй части задача (1), (2) приводится как конкретная интерпретация формальной схемы. Отметим, что задача Тейлора для соответствующих моделей изучалась в работах [4, 5].
1. Формальная схема
Пусть операторы L e L(U; F) и M e C~ (U;F). Здесь U и F - банаховы пространства. Рассмотрим задачу Коши
u(0) = u0 (3)
для полулинейного уравнения соболевского типа
Матвеева О.П., Однородная модель несжимаемой вязкоупругой жидкости
Сукачева Т.Г. ненулевого порядка
Ь и = М(и). (4)
Линейный оператор Ь: и ^ Г называется бирасщепляющим, если его образ т Ь и ядро кегЬ дополняемы соответственно в пространствах и и Г . Пусть оператор Ь -бирасщепляющий, обозначим через МЦо е Ь(и; Г) производную Фреше оператора М в
точке и0 е и и рассмотрим цепочки МЦо - присоединенных векторов оператора Ь, которые
выбираются из некоторого дополнения сотЬ = и — кегЬ к ядру кегЬ. Введем условие (А1). Независимо от выбора сот Ь любая цепочка МЦо — присоединенных векторов содержит точно
р элементов для любого вектора (ре кег Ь\ {0} .
Через Ь обозначим сужение оператора Ь на сотЬ. По теореме Банаха о замкнутом графике оператор Ь: сот Ь ^ тЬ является топлинейным изоморфизмом. Пусть и0 =кег Ь и построим множества =Ая[и(°)], ц = 1,р, где А = ЬЬ—1М'Ц0 . Множества и0 с сотЬ
являются линейными пространствами, то образ = МЦо [и^ ] есть тоже линейное пространство,
при этом Гр0 п тЬ = {0} (при выполнении (А1)). Введем еще одно условие (А2).
гро © тЬ = Г .
Обозначим через Qp: Г ^ проектор вдоль тЬ и строим оператор
А = Ь—1 (I— Qp)МЦо. Заметим, что А[и(] = и(+1, ц = 0,р — 1, А[и(] = {0}. Отсюда
а 0 Г {0}, Ц + г > р,
А'[и°] = \и 0 + < (5)
[ич+Г , Ц + Г < р.
Построим оператор Б, котрый является сужением оператора QpMЦоAp :и ^на и0 .
По построению 0^°] = и Бе Ьи0^®). Кроме того, кегБ = {0}, иначе вектор ре кегБ\{0}скегЬ\{0} имеет бесконечную цепочку {р,р2,...,рр, 0,...} МЦо —
присоединенных векторов. Согласно уже цитированной теореме Банаха оператор Б: и0 ^ является топлинейным изоморфизмом.
Через Р0 : и ^ и0 обозначим проектор вдоль сот Ь и построим операторы РЧ = АЧБ—^МЦ А13—Ч, ц = 1~р. Операторы РЧ : и ^ и0 - проекторы. Действительно,
тРч= и0 , Рч е Ь(и) и РЧ2 = АЧ(Б—^Ми^)^^М^А1^Ч = РЧ согласно определению оператора Б. Из (6) и определения проектора Р0
РяРг=РЛ=0, о, Г = 07, 0 = г. p
Пусть и0= ©р=ои0 , Р = £Рч. Оператор Ре Ь(и) - проектор, тР = и0. Пусть
ч=о
и1 =кег Р, тогда и = и0 © и1.
Рассмотрим линеалы =Мио[ио], ц = 0, р — 1, и построим оператор В = МиоЬ (I— Qp).
Так как В[Г0] = Г0^, ц = 0,р — 1, В[Гр°] = {0}, то
а 0 I {0}, ц + Г > р,
ВЧГ] = \Г 0 + < (6)
[Гц+ Г , ц + Г < р.
Из (6) аналогично следует, что операторы Qq = ВяМио Б Х0рВр 4, q = 0, р -1 тоже являются проекторами на р0, причем QqQr = QrQq =0, г, q = 0, р, q = г.
Положим, р0= ©р=0 , Q = ^ Qq. Оператор Q е Ь(р) - проектор, значит
q=o
р = р0 © р1, где Р0=imQ, р^ке^. Отметим, что по построению
LAqD-1Qp = Bq-1M:loD-1Qp , q = ~р. (7)
Кроме того,
BL = M;o(I- Р0). (8)
Из (7), (8) получаем при q = 1, р
LPq = LPq(I Р0) = LAqD-1QpM;oAp-q(I-Р0) =
0 (9)
= Bq-1M;oD-1QpBp-qM;o (I- Р0) = Qq-lL.
Уравнение (4) перепишем в виде
L и = M;o и + F(u) , (10)
где оператор F = M- MЦo е С~ (и;р) по построению. На уравнение (10) подействовав
последовательно проекторами Qq, q = 0, р, и I- Q, получаем согласно (9) эквивалентную систему
Lг/l0=м;0 и00 + Fo(u), Lи0р =м;0 и0р-1 + Fp-1(и),
(11)
0 = м;0 и0 + Fp(u), L и1 = (I- Q)M(u),
где и^ е и0, Fq (и) = QqF(u) + QqMUo и1, q = 0, р, и1 е и1. Значит, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Пусть операторы L е Ь(и; р), M е С~ (и;р), при этом L - бирасщепляющий оператор, и пусть выполнены условия (А1) и (А2). Тогда уравнение (4) будет эквивалентно системе (11).
Замечание 1. В условиях леммы 1 оператор MЦ0 р) -ограничен в точке и0 [6]. Теперь займемся поисками решения для задачи (3), (4).
Определение 1. Решением задачи (3), (4) будем называть вектор-функцию и е С~((-10;10);и), 10 = 10(и0)>0, удовлетворяющую уравнению (4) и условию (3). Введем еще два определения.
Определение 2. Банахово Ск -многообразие В называется фазовым пространством для уравнения (4), если Vн0 е В существует единственное решение и = и(1) для задачи (3), (4) на интервале (-10, 10) [2].
Определение 3. Решение и = и(1) задачи (3), (4), для которого выполняется Lи0 = 0 V? е (-10;10), где и0 =Ри, назовем квазистационарной траекторией для уравнения (4).
Матвеева О.П., Однородная модель несжимаемой вязкоупругой жидкости
Сукачева Т.Г. ненулевого порядка
Для того, чтобы выделить подмножество квазистационарных траекторий из множества
всевозможных решений задачи (3), (4) введем в рассмотрение еще одно условие.
Рассмотрим множество U = {u е U: = const, q = 1, p}. Очевидно, U - полное аффинное
многообразие, которое моделируется подпространством U0 © U1. Пусть точка u0 е U , через Ou0
обозначим некоторую окрестность Ou с U точки uo .
(А3). Fq(u) = 0 Vu е Ouo, q = ~P.
Теорема 1. Пусть
(i) справедливы условия леммы 1;
(ii) точка u0 е B, где B = {u е U: Q0M(u) = 0};
(iii) выполняется условие (А3) .
Тогда существует единственное решение для задачи (3), (4), которое является квазистационарной траекторией, при этом u (t) е B, Vt е (—t0; t0).
Доказательство. Предположим, что решение задачи (3), (4) уже найдено. Тогда из (11) по условию (А3), следует, что Lu0 = 0, значит, решение будет являться квазистационарной траекторией. Установим существование единственного решения.
Согласно лемме 1 и условию (А3) система (11) редуцируется к следующему виду в окрестности Ou0
'0=м;0 u0+F(u),
(12)
L u1 = (I— Q)M(u).
Отметим, что по построению оператор MU0 :U0 ^ F00 явлется невырожденным, и F0 u |u=u0 = O , где через F0 u здесь обозначена производная Фреше для оператора F0 в точке u . Тогда в силу теоремы о неявной функции будет существовать окрестность O^ с (I— P)[O ] и вектор-функция
8е C-(O10;Ou00),
0 р
где O!° =P[Ou ], такие, что u(t) = u°(t) + ^u0 + u1, причем u(t) е B, Vt е R . Здесь
q=1
u°(t) = S(u1), Vu1 е Ox , а u0 = Pqu0 = const при q = 1, p.
Из (9) следует, что QL = LP. Поэтому оператор L : U1 ^ F1. Обозначим через L1 сужение оператора L на U1. Оператор L1 е L(U1;F1) будет инъективен по построению. Установим
сюрьективность этого оператора. Пусть f1 е F1 . Поэтому существует u = L—1 f1 е coim L.
p p
Пусть P u = 0, т.е. P u = ^ Pq й = = 0 . Тогда
q=1 q=1
P
Lu = LPu + L(I— P)u = ^ L+ L1 (I— P)u = f е F . Противоречие. Значит оператор L1 : U ^ F
q=1
будет непрерывно биективен. Через L—1 обозначим сужение оператора L—1 на F1.
Из всего вышесказанного вытекает, что система (12) на O^ может быть редуцирована к виду
u1 =L—1(I— Q)M(£(u1;t) + (P— P0)u 0 + ^^Ф^1), (13)
где Фе С~(01и ;и1). Однозначная локальная разрешимость является классическим результатом
для задачи Коши и1(0) = (I- Р)и0 уравнения (13). Квазистационарная траектория будет иметь вид и(1) = ¿»(и1^)) + и1(1), где и1 е С~((-?0,?0); 0х) - решение задачи Коши уравнения (13).
2. Интерпретация формальной схемы
Модифицируем систему (1)
K
(1 - ж V2)vt = VV2v - (v -V)v + YePN'wi - p,
i=1
(14)
0 = V(V- v),
dw
Yt
i
= v + aiwi, a e R _, l = 1, K.
Замена р = Ур объясняется тем, что в большинстве задач гидродинамики рассматривать градиент предпочтительнее, чем давление.
Перейдем от задачи (14), (2) к задаче (4), (3). Положим
U = ®t=oU,
F = <=o F,
(15)
где
Uo = H% xHi xHp , Fo= H%xНж xHp
U = H2 n H1 = Hi x Hn2 , F = L2 = Ha x Hn ,
2 2 1 / = 1,К. Н2 - подпространство соленоидальных векторов пространства Н п Н ,
Н2 =(Жг2(й))и, Н1 =(Ж1(П))",НП - ортогональное (в смысле ¿2(П) = (12(П))И) дополнение к
2 2 2 2 Н2 , Н2 и НП - замыкания подпространств Н2 и НП в норме £ соответственно; Нр = НП .
Через £: Ь2(0.) ^Н2 обозначим ортопроектор вдоль НП. Тогда £е £(Н 2 п Н1), при этом
т £ = Н2, кег £ = НП. Элемент пространства и - вектор, и (х, 1) будет иметь вид
и(х, 0 = (иа, ия, и р, ^1, ..., м>к), где
и(0) = (и2 , иП , ир , м>1 ,...,), у ' V 20 П0 р^ 1) к0
и% = £v , Un = (I -E)v , Up = p ,
% = ^vo , Un0 =(I-Z)vo , Upo = po , Wio = Wi(x,0) , l = 1, K, U(x,t) = 0 V(x,t)e Л .
Операторы L , M : U ^ F определим формулами
f f n Л
L =
L 0 0 E
к У
где L =
f ^ I 0 0
0
0 Л
ПАжП 0 0 0
где Mj =
f Mn MX2 Л
П = I-1, Ae=1 - ж V2 ;
M(w) = Mj и + M2(w), f vEA vEA 0 Л f Д2А
V M21
M
Mn =
22 У
VIA VIA -1 IC ПС 0
M12 =
ДПА
0
Pk EA Л вк ПА 0
и где
(16)
(17)
, M21 содержит K
строк вида ( I, I, 0 ), M22 = diag[a,...,aK], M2 = (EB(u% + ип),ПB(и% + ип ), 0,..., 0У . Здесь
B(u% + иж) = -((u% + иж) • V)(u% + иж), C(u% + Un) = V(V • (u% + иж)).
Лемма 2. Пусть пространства U, F определены формулами (15), при этом n = 2,3,4, а
операторы L ,M : U ^ F определены формулами (16), (17). Тогда: (i) оператор Le L(U;F) ,
Матвеева О.П., Сукачева Т.Г.
Однородная модель несжимаемой вязкоупругой жидкости
ненулевого порядка
причем
если
1 е 2(—У2) ,
то
кегЬ = {0}х{0}хНр х{0}...{0},
тЬ = Н2хНпх{0}хГ1 х...хГк ; (и) оператор Ме (и;Г).
Доказательство. Утверждение (1) леммы 1 является очевидным, а утверждение (и) легко проверяется непосредственно. Оператор
Ми =М1 + Мз, (18)
(
где М3 =
Мз
0
Мз =
(XВ^ XВп^
V П Ва
П В
В2(Вп) - частная производная Фреше оператора
п ;
В в точке и2 + ип по и2 (ип). Очевидно, V« > 3 Уи е и М^ = 0 .
Таким образом, задача (14), (2) редуцирована к задаче (4), (3).
Приступим к проверке выполнимости условий (А1)-(А3). Обозначим через Аж2 сужение оператора X Аж X на Н2.
Лемма 3. Пусть выполняются условия леммы 2; причем кегАа22 ={0}. Тогда любой вектор ре кегЬ\{0} имеет точно один Ми- присоединенный вектор независимо от точки и е и.
Доказательство. Пусть вектор р = (0, 0, рр, 0,... ,0) е кег Ь, рр = 0. Найдем вектор у е и такой, что Ьу = МЦ, р. Из (16) и (18) следует система
А *а¥а =0, П АУ = —рр. (19)
Из (19) получаем у2 = 0. Значит, если уп = 0, то рр = 0. Поэтому уп = 0.
Пусть
Ь—1 =
(Ь—1 0
0
л
(20)
-к у
где Ь 1 =
( X А ^ X 0 о
П А-1 П
Так как Ь 1Ь =
(Xп о ^
^П 0
е Ь(и), где XП =
"к
(X 0 0 П
о о
о ^ 0 0
а ЬЬ 1 е Ь(Г), формально имеет
такой же вид, то у2 = 0, уп = —П А^ рр , компонента ур вектора у произвольна, а все остальные К компонент вектора у будут равны нулю. Далее
М'иу=(ЦВ ^ у+В п уп), П(]В ^ ¥а + В „у*)—УР, с Уп, ,
где В(и2 + ип) = И72(и2 + ип) — ((и2 + ип) • У)(и2 + ип)) , В2(13п) - частная производная Фреше оператора В в точке и2 + ип по и2(ип) . Так как уп = 0 , то Суп = 0 . Следовательно, М'и у е- 1ш Ь независимо от и е и . Условие (А1) выполняется, причем р = 1.
Теперь приступим к проверке условия (А2), для этого обозначим через Аапп сужение оператора П А"1 П на Нп . Справедлива следующая лемма.
Лемма 4. Согласно лемме 3 оператор Аапп : Нп ^ - топлинейный изоморфизм. В силу леммы 2 оператор Ь из (16) - бирасщепляющий. Положим, Ц^кегЬ, сот Ь = Н2а хН2Я х{0}хи1 х...хик. Построим линеалы
к
Fo0 =м;и00] = {0}XHp x{0}x{0}x...x{0}={0}xИях{0}x{0}x...x{0}сimL,
к к
u0 =L-1 [F00 ] = i a;;1 [Hp ] x A^H ] x {0} x {0}x...x{0} =
к
X A > П H|] x НП x {0} x{0}x...x{0} с coimL
к
согласно лемме 4;
Fi0=MU0[Ui0] = X B 0 A-1[ Hp ] xn B 0A Hp ] x CA ] x{0}x...x{0}.
Оператор С - сужение оператора С на НП. Так как существует оператор С 1, то по лемме
4 = XВоЛ^ПС^Нр]хпВ0Л-1[Нр]хНр х{0 }х...х{0}<хшЬ , где В0 -
к
производная Фреше оператора В в точке иа0 + ип0, а оператор Ь-1 определен в (20). Построим следующие операторы
P0 =
' P 0 >
V0 0/
P1 =
Г p 0 >
V0 0/
(21)
Г 0 0 0 > ' 0 pi2
где P0 = 0 0 0 , p1 = 0 П
V 0 0 П V 0 V 0
P12 = X A-1А-1 П, p1 X Aсе АспП;
Q0 =
<50 0
V0 0/
<1 =
' Q 0 >
V0 0/
(22)
Г 0 0 0 > ' 0 0 Q13'
где Q0 = Q21 П q23 , <1 = 0 0 Q123 , Q13= xB 0А;1А;П C-1n , q23= пв 0А;1А;П C-1n ,
0 0 0 0 0 П
Q21= -ПА^А^Х , Q23= -Q21Q13 - Q23. Очевидно, что операторы Pk е L(U) и Qk е L(F) , к = 0,1, определенные в (21), (22) - проекторы, при этом imPk = Ц°, im Qk = Fk0 , к = 0,1 и P0P1 = P1P0 = 0, Q0Q1 = Q1Q0 = 0. Также ker Q1 = imL и, значит, F1° © im L = F, поэтому условие (А2) выполняется.
Для проверки (А3) построим следующее множество
U = { u е U : P1u = const} = { u е U : un = const} . В расссматриваемой ситуации условие (А3)
состоит из единственного равенства Q1M(u ) = (Q13C(uCT+ un), Q23C(uct + un), C(ui + un),0,., 0)r = 0, которое выполнено тождественно, если un = 0. Если положить U = {u е U :un = 0}, то условие (А3) выполняется.
Перейдем теперь к построению множества B . По теореме 1, B = {u е U : Q0M(u) = 0}. Так
как при un =0 Q0M(u) = 0« (Q2^+n)B(ui) -up =0 , и
Q01 x+П = а^па;1! + a-П ПА;1П = а;Ппа
<елПА<е
то
B={u е U: А¡ППА^В(uff) = uv,
un = 0 , u^ H2a , u е Hi x Hi, i = 1, K}.
(23)
(24)
к
Матвеева О.П., Сукачева Т.Г.
Однородная модель несжимаемой вязкоупругой жидкости
ненулевого порядка
Для доказательства (23) отметим, что ПАж1Ажа1+ ПА^ПА^I = ПА.е1(1Аж + ПА;) I = 0. Следовательно, ПА¡1Ажа! = — А^ПА;I , А^ПА^А^! = — ПАЖI ^ПА;1! = — ПА;А—I = = Q21I . Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются условия леммы 3, и0 е B (24). Тогда для некоторого t° = ^(и0) существует единственное решение задачи (14), (2), которое является квазистационарной траекторией, и = (и2, 0, р, w1,..., Wk) класса С™ ((—10,t0);B) и такое, что ие В для всех tе (—t0).
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (государственное задание № 1.857.2014/К).
Литература
1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П.Осколков // Труды матем. ин-та АН СССР. - 1988. - № 179. - С.126-164.
2. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. матем. журнал. - 1990. - Т. 31, № 5. - С. 109-119.
3. Сукачева, Т.Г. Об одной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельви-на-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, № 4.- С. 552-557.
4. Сукачева, Т.Г. Задача Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости нулевого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 6. -С. 771-779.
5. Матвеева, О.П. Квазистационарные траектории задачи Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка / О.П. Матвеева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2010. - Вып. 5. - № 16(192). - С. 39-47.
6. Свиридюк, Г. А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г.А Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Вестник МаГУ. - 2005. - № 8. - С. 5-33.
Поступила в редакцию 20 ноября 2015 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2016, vol. 8, no. 3, pp. 22-30
DOI: 10.14529/mmph160303
HOMOGENEOUS MODEL OF INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC FLUID OF THE NON-ZERO ORDER
O.P. Matveeva, T.G. Sukacheva
Yaroslav-the-Wise Novgorod State University, Veliky Novgorod, Russian Federation E-mail: oltan.72@mail.ru
The paper deas with the Cauchy-Dirichlet problem for homogeneous dynamics model of the incompressible viscoelastic Kelvin-Voigt fluid of the non-zero order. The problem is studed using the theory of semilinear Sobolev type equations. The Cauchy-Dirichlet problem for the corresponding system of differential equations in partial derivatives is reduced to the abstract Cauchy problem for the indicated equations. The theorem of unique existance of solution to indicated problem, which is a quasi stationary trajectory, is proved. The phase space is described.
Keyword: Sobolev type equation; phase space; incompressible viscoelastic fluid.
References
1. Oskolkov A.P. Initial-boundary value problems for equations of motion Kelvin-Voight and Ol-droyd fluids. Trudy Mat. In-ta AN SSSR, 1988, no. 179, pp. 126-164.
2. Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. Cauchy problem for a class of semilinear equations of Sobolev type. Siberian Mathematical Journal, 1990, Vol. 31, no. 5, pp. 794-802. DOI: 10.1007/BF00974493
3. Sukacheva T.G. On a certain model of motion of an incompressible visco-elastic Kelvin-Voight fluid of nonzero order. Differential Equations, 1997, Vol. 33, no. 4, pp. 552-557.
4. Sukacheva T.G., Matveeva O.P. Taylor problem for the zero-order model of an incompressible viscoelastic fluid. Differential Equations, 2015, Vol. 51, no. 6, pp. 771-779. DOI: 10.1134/S0012266115060099
5. Matveeva O.P. Quasi-stationary trajectories of the Taylor problem for the model of the incompressible viscoelastic fluid of nonzero order. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling and Programming Computer Software, 2010, issue 5, no. 16(192), pp. 39-47. (in Russ).
6. Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. Some mathematical problems of the dynamics of viscoelastic incompressible media. VestnikMaGU, 2005, no. 8, pp. 5-33. (in Russ.).
Received November 20, 2015
