Квазистационарные траектории задачи Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.711.3

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЗАДАЧИ ТЕЙЛОРА ДЛЯ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА

О. П. Матвеева

QUASISTATIONARY TRAJECTORIES OF THE TAYLOR PROBLEM FOR THE MODEL OF THE INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC LIQUID OF THE NONZERO ORDER

O.P. Matveeva

Рассматривается задача Тейлора для модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта ненулевого порядка. Данная задача исследуется в рамках теории полулинейных уравнений соболевско-го типа. Доказана теорема существования единственного решения указанной задачи и получено описание ее фазового пространства.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, фазовое пространство, несжимаемая вязкоупругая жидкость

Taylor's problem for the model of the dynamics of the Kelvin - Voight incompressible viscoelastic liquid of the nonzero order is considered. This problem is investigated in the frames of the theory of the semilinear Sobolev type equations. The theorem of the existence of the unique solution of this problem is proved and the description of its phase space is received.

Keywords: equation of Sobolev type, phase space, an incompressible viscoelastic liquid

Введение

Система уравнений

к

(1 - aeV2)^ = uV2v - (w • V)w + A V2^ - Vp + /, < i=i (1)

4 at

моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта порядка К > 0 [1].

Функция v = ..., vn),vi = Vi(xj £), х Е О имеет физический смысл скорости течения, функция р = p(x,t) отвечает давлению. Здесь О С Mn, п = 2,3,4 - ограниченная область с границей dfl класса С°°. Параметры v Е Ж+ и ае Е 1 характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры /3/ £ Е+ определяют время ретардации (запаздывания) давления, / = /(/ъ /п)> fi — fi(x, t) характеризует внешнее воздействие на жидкость.

Задача Тейлора для системы (1) моделирует ситуацию, когда вязкоупругая несжимаемая жидкость Кельвина - Фойгта занимает пространство между двумя вращающимися

коаксиальными цилиндрами бесконечной длины [2]. Область Йс1п,п = 2,3,4 (с кусочно-гладкой границей) выбирается так, чтобы на ее границе (лежащей, например, при п = 3 на двух плоскостях а и /3, перпендикулярных оси цилиндров) выполнялось условие периодичности (т.е. у{х^)\дППа = у(х^)|апп/3, щ{х^)\дппа = ¡эпп/З, I = 1, К, ШП(аи/3) =дгП, ШеШ).

Выбирается некоторое стационарное решение у = у(х), щ = щ(х) системы (1), удовлетворяющее на д\П условию периодичности, а на с^О — дП \d\il неоднородным условиям Дирихле (например, течение Куэтта), и исследуется динамика отклонения у = у(х^), Щ — от этого стационарного решения, вызванного начальным условием. Поэтому

система (1) приобретает вид

( к

(1 - ае\72)^ = иУ2у - (у • У)й - (у • V) V - (у • У)у + ~ Ур,

< 1=1 (2) дии

О = V • у, = V + щьц, щ е / = 1, К.

Для системы (1) рассматривается задача Тейлора

у(х, 0) = Уо(х), 0) = ги^х) \/х Е О,

< Уог{х,1) = 0 У(х^) е <920 X Ж, (3)

у(х, ¿), удовлетворяют условию периодичности на д\£1 х Ж.

Раннее задача Тейлора для модели нулевого порядка изучалась в [3], а задача Коши -Дирихле для системы (1) рассматривалась в [4]. Разрешимость задачи(2), (3) исследуется в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа [5]. В первой части статьи рассматривается формальная схема задачи Коши для указанного класса уравнений, а во второй части задача (2), (3) приводится как конкретная интерпретация формальной схемы.

1. Формальная схема

Пусть Ы и Т ~ банаховы пространства, операторы Ь Е С{Ы]Т) и М Е С°°(Ы] Т).

Рассмотрим задачу Коши

и{0) - щ (4)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьй = М(и). (5)

Напомним, что линейный оператор Ь \Ы -Л Т называется бирасщепляющим , если его ядро кег Ь и образ гтЬ дополняемы в пространствах Ы и Т соответственно . Пусть оператор Ь бирасщепляющий, обозначим через М'ио Е С(Ы]Т) производную Фреше оператора М в точке щ Е Ы и введем в рассмотрение цепочки -присоединенных векторов оператора Ь , которые будем выбирать из некоторого дополнения сот Ь = Ы © кег Ь к ядру кег Ь. Введем в рассмотрение условие

(А1). Независимо от выбора сотЬ любая цепочка М'ио-присоединенных векторов любого вектора (р £ кег Ь \ {0} содержит точно р элементов.

Обозначим через Ь сужение оператора Ь на сонпЬ. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике оператор Ь : со\тЬ шхЬ - топлинейный изоморфизм. Положим = кег Ь и построим множества = Ад[И$] , д = 1, р, где А = Ь~1М'ио. Очевидно, множества 14® С сонпЬ являются линейными пространствами, следовательно, образ Т® — М'ио [и®] есть

тоже линейное пространство, причем Тр П гтЬ = {0} (если выполнено (А1)). Введем в рассмотрение еще одно условие (А2). Т® ®\тЬ = Т.

Обозначим через С}р : Т —> Тр проектор вдоль \тЬ и построим оператор А = Ь-1{1 - Яр)М'ио . Заметим, что А[Щ) = д = 0, р - 1 , А[К®} = {0}. Отсюда

следует, что

АЧ^] = {7}оЬ (6)

I Щ+п Ч + г<р.

Построим оператор I), равный сужению оператора С£рМ'иоАр : Ы —> Тр на Ы® . По построению В[Ы%\ = Тр и В Е £(14о'ч^р)- Кроме того, кег Б = {0}, ибо в противном

случае вектор

ср Е кег В \ {0} С кег Ь \ {0}

имел бы бесконечную цепочку {(/?1, с/?2, • • •, 0, ...} -присоединенных векторов. В

силу уже цитированной теоремы Банаха оператор В :Ыд —> Тр топлинейный изоморфизм.

Обозначим через Р® : Ы 14$ проектор вдоль согшЬ и построим операторы Ря = АчВ~1ЯрМ,иоАр~(1^ д = 1, р. Операторы Рд : Ы -» Ыд - проекторы. Действительно, \шРд=Щ , РдеС(Ы) и

Р2д - А^Д-НСрМ^А^Д-^рМ^А^ = Р,

по определению оператора I? . Кроме того, в силу (6) и определения проектора Рд

РдРг = РгРд = 0, д5г = 0, р, д^г.

Положим

Оператор Р Е — проектор, ¡тР = Ы° . Положим = кег Р, тогда Ы = 1Я° ®Ы1 .

Введем в рассмотрение линеалы ^ = М!^0[Ыд]1 д = 0, р— 1, и построим оператор

Поскольку = д = 0, р - 1, = {0}, то

I Я + Г<р.

Из (7) аналогично предыдущему следует, что операторы = ВчМ'иоВ~1ЯрВр~(1^ д =

0, р — 1, являются проекторами на причем

Ф^г = ^г^д = о, Г, д — 0, р, д т^ г.

Положим

р

= фрд=0Т°д , = ^

д=0

Оператор (5 Е — проектор, поэтому Т = Т® 0 Т1 , где ^ = 1тЯ , Т1 = кег (3.

Заметим, что по построению

ьа«о-хяр = в*-1м'ип~1яР, д = 1, р. (8)

Кроме того,

BL = M'UQ (I — PQ) • (9)

Из (8) , (9) при q = 1, р получаем

ЬРЯ = ЬРЧ{1 - Р0) = ЬАяО~1С}рМ'иоАр~(1(1 - Ро) = п т

= в^м'иов-^рв^м'ио{1 - Ро) = ь. ( )

Обратимся к уравнению (5), которое перепишем в виде

Ьй = М'иои + Р{и) , (И)

где оператор Р = М — М'ио £ С°°(1А\ Т) по построению. Подействовав на уравнение (11) последовательно проекторами q = О, р, и I — (2, получим в силу (10) эквивалентную

систему

С = +

(12)

I Lu1 = (/ - Q)M(m),

где u®€Uq, Fq{u) = QqF{u) + QqM'Uoul, q = O^p, uleUl. Итак, доказана

Лемма 1. Пусть операторы L € C(U\T), М G .F), причем L — бирасщепляющий

оператор, и выполнены условия (Al) ti (А2). Тогда уравнение (5) эквивалентно системе (12).

Замечание 1. В условиях леммы 1 оператор M'UQ (L, р)-ограничен в точке щ [6] .

Займемся теперь поисками решения задачи (4), (5). Определение 1. Решением задачи (4), (5) называется вектор-функция

U е C°°((-i0;<o);W), t0 = t0(u0) > о,

удовлетворяющая уравнению (5) и условию (4).

Введем два определения.

Определение 2. Банахово Ск— многообразие В называется фазовым пространством уравнения (5) , если Ущ £ В существует единственное решение и — u(t) задачи (4), (5) на некотором интервале (—to, to) [3].

Определение 3. Решение и = u(t) задачи (4), (5), для которого выполняется

Ьй° =

0 Vt £ (—to; to), где и0 = Ри, называется квазистационарной траекторией уравнения (5).

Для выделения квазистационарных траекторий из множества возможных решений задачи (4), (5) наложим еще одно условие.

Рассмотрим множество Ы = {и £ U : и® = const, q = 1, р}. Как нетрудно видеть, Ы — полное аффинное многообразие, моделируемое подпространством © U1 . Пусть точка щ EU , через Оио обозначим некоторую окрестность Оио С U точки щ . (A3). Fq(u)= 0 Уи£Оио, q = 17р.

Теорема 1. Пусть

(i) выполнены условия леммы 1;

(и) точка щ Е В, где В = {и EU : QoM(u) = 0};

(iii) выполнено условие (A3) .

Тогда существует единственное решение задачи (4), (5), являющееся квазистационарной траекторией, причем u(t) Е В Vt Е (—to; to).

Доказательство. Предположим, что решение задачи (4), (Б) найдено. Тогда из (12) в силу условия (A3) , следует, что Lu° = 0, т.е. решение является квазистационарной траекторией. Установим существование и единственность решения.

В силу леммы 1 и условия (A3) система (12) в окрестности Оио редуцируется к виду

г о = MIo4 + f0(u),

(13)

ч Lul = (I-Q)M(u). Заметим, что по построению оператор M'UQ : U® -> невырожден, и

^Ои\и=ио = О ,

где через Fqu обозначена производная Фреше оператора Fq в точке и . Отсюда в силу теоремы о неявной функции существует окрестность С (I — Р)[Оио] и вектор-функция 6 Е С°°(С>;о;С?2о), где = Р[Оио], такие, что

v

u(t) = ug(t) + u°q + пРичем u(t) ^ S Vi E К .

q=1

Здесь tio(t) = ¿(w1) Vti1 E , a = = const при g = 1, p.

Далее, из (10) следует, что QL = LP. Это значит, что оператор L : U1 Т1. Обозначим через L\ сужение оператора L на U1. Оператор L\ Е С{и1\Т1) инъективен по построению. Установим его сюрьективность. Пусть f1 Е Т1 . Тогда существует й — L~~l f1 Е coimL . Предположим, что Рй ф 0, т.е.

р р q=1 q= 1

Тогда

р

Lu = LPu + L(I - Р)й = ^Lu0q + L1(I-P)u = fl 0 T1 .

q=1

Противоречие. Итак, оператор L\ : Ul —>> Т1 непрерывно биективен. Через L~l обозначим сужение оператора L~l на Тх.

Из всего сказанного следует, что система (13) на 0\ может быть редуцирована к виду

й1 = L~\I - Q)M(8(u1\t) + {Р- Р0)и° +u1) = Ф(и1), (14)

где Ф Е С°°(O^U1). Однозначная локальная разрешимость задачи Коши и1(0) = (I — Р)щ для уравнения (14) — классический результат . Искомая квазистационарная траектория имеет вид u(t) = 5(иг(t)) + ul(t), где и1 Е С°°((—to,to); Ol0) — решение задачи Коши для уравнения (14). □

2. Интерпретация формальной схемы

Перейдем от системы (3) к ее модификации

к

(1 - seV2)vt = vV2v - (v • V)v - (v • V) v - (v • V)v + /W2w¿ - p,

i=i (15)

dwi

0 = V(V-i;), = + Q|EK-, l = 1, ЛГ.

Замена p = Vp объясняется тем, что в большинстве гидродинамических задач рассмотрение градиента предпочтительнее рассмотрения давления.

Редуцируем задачу (15), (2) к задаче (4), (5). Для этого положим

U = @?=QUu Т = ®?=йГи (16)

где U0 = Н2 х Н2 х Нр ,^=Н,хН,хНр; Z4 = Н2П Н^ HjxHj, ^ = L2 =

х Нтг , i = 1, К. Здесь Н2 - подпространство соленоидальных векторов пространства

о о о

Н2П Н1, Н2 = (Wf(0))n, Н1^ (W¡ (Q))n; Н2 - ортогональное ( в смысле Ь2(П) = (L2(fi))n) дополнение к Н2 ; Н^ и Н^ - замыкания подпространств Н2 и Н2 в норме L2 соответственно; Нр = Н^ .

о

Обозначим через Е : L2(0) —> Н^ ортопроектор вдоль Н^. Тогда Е Е £(Н2П Н1) , причем imE = Н2, kerE = Н2. Элемент пространства U - вектор u(x,t) - будет иметь вид u{x,t) = г/тг, г^х, ..., где ug — Еу , ип = (I — Е)г> , = р , и й(0) =

(и*о, uno, uP0J wi0, ..., wKo), где = Et;0 , uWQ = (I-E)y0 , %0 = po , = , г =

1, Ж, = 0 V(ar, t) G Ш x Ж .

Операторы L , M : U T определим формулами

(17)

Ь О

О Ек

О 0 \

ПЛЖП 0 , П = I - Лае = 1 - аэ\72 ; О 0 /

М(й) =М1« + М2(«), (18)

/ М М \ I г/1]А "ЕЛ 0 \

где М, = ( ) , ми _ ^ „ПД „ПД -7 j , М1г =

/3ХЕА ... /3КЕД \

/ЗхПД ... /ЗкПД 1 , М21 содержит К строк вида ( I, I, 0 ), М22 = diag [ах,..., а^]; О ... О /

М2 = (ЕВ(иа + <и7г)5 пВ(иа + 0, ..., 0)т. Здесь В(иа + иж) := ~((иа + ип) • У)у -(у • V) (иа + иж) - ((иа + иж) • + иж), С(иа + иж) := У(\7 • (иа + иж)).

Лемма 2. Пусть пространства Ы, Т определены формулами (16), причем п = 2, 3, 4, а операторы Ь ,М \ Ы Т формулами (17) ; (18). Тогда: (¡) оператор Ь € С(Ы\Т) , причем, если ае-1 0 а(—V2) , то кег£ = {0} х {0} хНрх {0}... {0}, \тЬ = Н^ х Н^ х

к

{0} х ^ х ... х Тк ; (¡0 оператор М Е

Доказательство. Утверждение (¡) леммы 1 очевидно, а утверждение (и) проверяется непосредственно. Укажем лишь, что

М'и = М1 + М3, (19)

(М 0 \ л ( ЕЛ? ]С_В \ 03 0 ) , Щ = ( ) , Дт(Аг) - частная производная Фреше

оператора В в точке иа + иж по иа (ип) . Очевидно, Уп > 3 VиеЫ М¡п) = 0 . □

И тем самым закончили редукцию задачи (15), (3) к задаче (4), (5). Далее надо проверить выполнимость условий (А1) — (АЗ). Обозначим через сужение оператора ЕД^Е на Н^ .

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, причем кег Ажа = {0}. Тогда каждый вектор (р Е кег2Д{0} имеет точно один М'и-присоединенный вектор независимо от точки и ей.

Доказательство. Пусть вектор (р = (0, 0, (рр, 0, ... , 0) Е кег Ь, (рр ф 0 . Найдем вектор ф ЕЫ такой, что Ьф = М!и<р. Из (17) и (19) следует система

А^афа = 0, ПАэе^ =~<рр. (20)

Поэтому из (20) получаем фа = 0 . Следовательно, если фж = 0 , то (рр = 0 . Итак, фп ф 0. Пусть

¿-^(К1 * V (21)

0 Ек

НА'1!! 0 где ¿-1 = | 0 ПЛ-ХП 0 0 0

Е 0 0

Поскольку Ь~гЬ = ( ЕПП п ) 6 СШ), где Еп = ( 0 П 0 I , а ЬЬ-1 е £(Я

Л 0 Ек ' \ 0 0 0 )

и формально имеет такой же вид, то фа = 0, фп = —ПА~г(рр , компонента фр вектора ф произвольна, а остальные К компонент вектора ф равны нулю. Далее М'иф = (^(Вафа- + Вжфж), ЩВафа + Вжфж) — фр, Сфп, ...) ^ где В(иа+иж) := 1У^2(и(Т-\-и7Т)-((и(7 + и7— • V) (иа + и7Г) — ((и(Т + и7Г))^))(и(7 + и7Г) , Ва(Вп) — частная производная Фреше оператора В в точке иа + иж по иа(иж) . Так как фж Ф 0 , то Сфп Ф 0 . Следовательно, М^ф 0 пл. Ь независимо от и Е Ы . Итак, условие (А1) выполняется, причем р = 1. □

Теперь проверим условие (А2). Обозначим через Ат7Г сужение оператора ПА~1П на Н^ . Справедлива

Лемма 4. [5]. В условиях леммы 3 оператор : Н^ Н^ — топлинейный изоморфизм.

В силу леммы 2 оператор Ь из (17) бирасщепляющий. Положим Ы^ = кег!/, со\шЬ = Н^ х Н^ х {0} хЫг х ... х Ык. Построим линеалы = М^КЦ] = {0} х Шр х {0} х {0} х ... х {0} = {0} х Н,, х {0} х {0} х ... х {0} С = Ь'1^] = ЕА'^Шр] х

4-V-' 4-V-'

к к

А^[ШР) х {0} х {0} х ... х {0} = ЕА^А-ЦШЦ х Н^ х {0} х {0} х ... х {0} С сонпЬ в силу

4-V-' 4-V-'

к к

леммы 4; = М'ио[Щ] = ЕВоА'^Шр] х ПВоА^Щр] х СА'^Щ х {0} х ... х {0}.

к

Пусть С — сужение оператора С на Н^. Поскольку существует оператор С , то в силу леммы 4 = ЕВъА^А^С-^Щ х ИВ0А~1 А~1С-1[ШР) х Нр х {0} х ... х {0} £ ип£ .

4 V /

к

Здесь и выше Во — производная Фреше оператора В в точке иао + ипо, а оператор Ь~1 определен в (21). Построим операторы

где 1\)

Ро =

Ро 0 0 0

Pi =

Pi 0 о о

О О О \ / 0 Р/2 о

0 0 0 , А = О П 0 ) 5 Р\2 = SA-^üiП; ООП/ V о о о

(22)

Qo

Qo О О о

Qi

= ( Q1 о loo

(23)

где Qo

0 0 0 \ f° 0 Qi3

Qf п Qf , Qi = 0 0 Qf

0 0 о ) V о 0 n

Qi3

ШоА-1А~1С-1Т1 , Qf =

121 _

UBoA-^A-^C-m , Qi Pk G C{U) и Qk e C{F)

rO

-ILA^A^E , Qf = —QfQ{3 — Qi3- Легко видеть, что операторы

k = 0, 1, определенные в (22), (23), — проекторы , причем imPk = U°k, imQk = J* , к = 0,1 и = Pi^o = 0, QoQi = QiQo = 0. Кроме того, ker Qi = irriL и, значит, J^ © im L = J7, т.е. условие (А2) выполняется.

Для проверки условия (A3) построим множество 14 — { и 6 U : Р\и = const} = { и Е U : ип = const} . В нашем случае условие(АЗ) состоит из единственного равенства Q\M{u) = (Q\3C(ua + иж), Qf3C(ua + Utt), С(иа + гц-), 0,..., 0)Т = 0, которое выполняется тождественно , если ип = 0 . Итак, если положить Ы = {и € U : иж = 0} , то условие (A3) имеет место.

Построим множество В . Согласно теореме 1, В = {u € U : QqM(u) = 0}. Поскольку

иГ1

0 , и

при иж = 0 Q0M{u) = 0 <{=► (Q^S + И)В(иа)

QfZ + П = A-lUA-1^ + A-lUA-'U = A^UA'1 ,

В = {и£ Ü\ A^lllA'1 В{иа) = up,

(24)

TO

^ = о е н2 , щ е н2 X н2 , »= 1, к}. (25)

Для доказательства (24) заметим, что ПА"1 А^Е + ПА^ПА^Е = ПА^ЕАзе + ПАЖ)Е = 0. Отсюда следует, что ПА^А^Е = -А^ЛА^Е , А^ПА^А^Е = -ПА^Е , А^ПА^Е = —ПАаеА~^Е = д^Е . Итак, доказана

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 3. Пусть щ £ В (25). Тогда для некоторого ¿0 = *о(ио) существует единственное решение задачи (15), (3), являющееся квазистационарной траекторией, и = (г^, 0, р, шх, га^) класса С°°((—£ ^ такое, что и £ В для всех £ Е (—£о; ¿о)-

Автор выражает признательность профессорам Т.Г. Сукачевой и Г.А. Свиридюку за внимание к данным исследованиям и обсуждение результатов.

Литература

1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Тр. мат. ин-та АН СССР.

- 1988. - № 179. - С. 126 - 164.

2. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. - М.: Мир, 1980.

3. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. мат. журн. - 1990. - Т. 31, № 5. -С. 109 - 119.

4. Сукачева, Т.Г. Об одной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. - 1997.

- Т. 33, № 4. - С. 552 - 557.

5. Сукачева, Т.Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. ... д-ра физ.-мат. наук /Т.Г. Сукачева, Новгород, гос. ун-т. - Великий Новгород, 2004. - 249 с.

6. Свиридюк, Г.А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г.А Свиридюк., Т.Г. Сукачева // Вестн. МаГУ. - 2005. - № 8. -С. 5 - 33.

Кафедра математического анализа,

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого [email protected]

Поступила в редакцию 25 февраля 2010 г.