Фазовое пространство задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ЗАДАЧИ ТЕРМОКОНВЕКЦИИ ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Г.А. Кузнецов, М.М. Якупов *

Челябинский государственный университет

Рассмотрена задача Коши — Дирихле для системы уравнений, моделирующей термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Показано, что фазовое пространство задачи является простым банаховым С00 -многообразием.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, фазовое пространство, относительный спектр, относительная р-секториалъностъ.

Введение

Пусть С К”, п > 2 — ограниченная область с границей класса

С00. В цилиндре X 1К+ рассмотрим начально-краевую задачу

у(х, 0) = щ(х) , Т(х, 0) = Т0(х) , х 6 , (0-1)

И(х, £) = 0 , Т(х, £) = 0 , (ж, £) € д£2 X (0.2)

для системы уравнений

д'и

(1 — «V2)— = г/У2и — (и • У)и — Ур + дуаТ,

о = V ■ и , (0.3)

ВТ

— = 8Ъ2Т-(у-ЪТ) + (у- 7),

которая моделирует ЭВОЛЮЦИЮ скорости V = (г>1, г>2> •••) уга)) 'ик = 'ик(х^), давления р = р(х,Ь) и температуры Г = Т(ж,£) простейшей несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта.

Система уравнений (0.3) получена как гибрид системы уравнений Осколкова [1] и уравнения теплопроводности в приближении Обербека — Буссинеска. Здесь параметры 1У,а,5 £ соответствуют вязкости, тепловому расширению и температуропроводности жидкости, д — ускорение свободного падения, а вектор у = (0, ...,0,1) € К”. Параметр к 6 К

* Работа выполнена при поддержке гранта Минобразования РФ по направлению “Математика” № 27

характеризует упругие свойства жидкости. (Обсуждение отрицательных значений параметра к см. в [2]).

Впервые задача (0.1)—(0.3) была рассмотрена в [3] с использованием классической техники проектирования на подпространство соленоидаль-ных функций [4; 5]. Полученные результаты дают информацию о локальном устройстве фазового пространства. Между тем в последнее время появились работы [6; 7], позволяющие надеяться на получение более полной информации. Настоящая статья содержит вывод о том, что фазовым пространством задачи (0.2), (0.3) является простое банахово С°°-многообразие. В основе метода исследования лежат идеи, впервые изложенные в [8], а затем развитые в [9; 10].

1. Постановка задачи

Прежде чем приступить к исследованию задачи (0.1) - (0.3), заменим уравнение несжимаемости 0 = V • V уравнениями 0 = У(У - и). Отметим, что мы получим систему уравнений, эквивалентную исходной. Кроме того, положим Ур = р ив дальнейшем будем искать вектор р. Основанием этой замены служит замечание [11], что во многих гидродинамических задачах знание градиента давления предпочтительнее, чем знание давления.

Итак, рассмотрим задачу (0.1), (0.2) для системы Осколкова в приближении Обербека — Буссинеска, представленную в виде

д'и

(1 - «V2)— = г/У2и - (у ■ V)# — р + дуаТ,

0 = У(У-и), (1.1)

ВТ

— = 8Ъ2Т-(у-ЪТ) + (у- 7).

Прежде всего редуцируем задачу (0.1), (0.2), (1.1) к задаче Коши

и(0) = щ (1.2)

для операторного дифференциального уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + N (и) . (1-3)

Здесь Ы, Ым, Т — банаховы пространства, оператор Ь 6 С(Ы]Т), оператор М 6 С1{Ы]Т) (Ь, р)-секториален, а оператор N £ С°°(Ъ1лг!^7), причем Ы]\[ € [^/,с!от М]а, а £ [0,1) — некоторое интерполяционное пространство,

а линеал с!от М СЫ снабжен “нормой графика”. Относительно обозначе-

ний, терминологии и библиографии см. [12].

Обозначим через Н2 = (И/22(^))п, И1 = (W^ (^))п и L2 = (L2(Q))n пространства вектор-функций v = (vi, V2, ■ ■ ■, vn), определенных в области £}. Рассмотрим линеал С = {v G (C^°(S7))n : V • v = 0} вектор-функций, соленоидальных и финитных в области Замыкание С по норме пространства L2 обозначим через Нст. Пространство — гильбертово со скалярным произведением (•, •), унаследованным от L2, кроме того, существует расщепление L2 = ® Н^, где - ортогональное дополнение

к Нст. Обозначим через П : L2 —> соответствующий ортопроектор.

О

Сужение проектора П на подпространство В ПН1 является непрерывным

О О

оператором П : Н П В1 Н П Н1. Представим поэтому пространство

О О

Н2 П Н1 в виде прямой суммы Н2 П Н1 = Н2 ф Н2, где Н2 — образ im П, а Н2 — кегП. Имеют место непрерывные плотные вложения Н2 м- и Н2 м- Нтг. Пространство Н2 состоит из вектор-функций v, равных нулю на 8Q и являющихся градиентами функций из И7! (Г2).

ЛЕММА 1.1. Формулой А = diag{—V2,..., — V2} : Н2 ® Н2 —> L2 задается линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным спектром сг(А) С IR+, сгущающимся лишь на +оо.

Доказательство леммы есть в [13]. Из [14] извлечем следующий результат.

ЛЕММА 1.2. Формулой В : v —> V(V • v) задается линейный непрерывный сюръективный оператор В : Н2 ф Н2 —> с ядром ker_B = Н2.

Положим Е = I-П и обозначим через Аа сужение оператора Т,А на Н2. В силу леммы 1.1 оператор Аа : Н2 —> линеен и непрерывен, причем его спектр сг(Аа) дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Пусть {<~рк} — семейство ортонормированных в смысле собственных функций оператора Аа1 занумерованное по возрастанию собственных значений {Afc} с учетом их кратности. Тогда

ОО

(цк + v)A) = дЕ + (цк + v)Aa = ^2([1+ (цк + р)Хк^(-1 <pk)<fk ,

к=1

где (•, •) — скалярное произведение в Ша. Пусть (i ф — к £ N, тогда существует непрерывный оператор

-1 00 -1 + (jiK + v)A(J Г =Е(^ + (дк + z/)Afc) {-,(рк)1Рк, к=1

который мы для краткости обозначим через А~^.

Далее заметим, что оператор ПАЕ = О. Действительно, пусть вектор V Є С, тогда очевидно (V • АН) = У2(У • и) = 0. На пространство Н2 это равенство распространяется “по непрерывности”. Обозначим через В сужение оператора В на Н2. В силу леммы 2.2 и теоремы Банаха существует оператор В~х Є £(Ня; Н2), причем ВВ~г = П и В~гВ = П, хотя оба оператора заданы в различных пространствах.

Аналогично, нетрудно показать, что ЕПА = О.

Обозначим через АЖ11 сужение оператора П(//1 + (дк + г/)А) на Н2.

О О

Введем в рассмотрение пространства Н© = £2 (^), Н1 = (И/21(^))п и / чп

Н| = ( И7! (£2)П ) . Построим пространства Ы =

и^=В„хН1х

соответственно и = (иа, иж, ир, и©) И /=(/<7, и, /р, /о).

ЛЕММА 1.3. (і) Формулой

X X 1Н1р X 1НІ0 X Не, Н„ = Нтг. Элементы и £Ы и / Є Т имеют вид

I =

кег Ь = {0} X {0} X I

(и) Формулой

+ К А) О О (

О П(1 + К А) О (

О О О (

О О о

'■Т). Если -к-1 ^ <т(А)

х {0},

іш Ь =

и

, то X {0} X Н©.

М =

-І/ЕА о о О \

О -іуПА -П о

О -В о о

о о о 6А/

задается линейный замкнутый плотно определенный оператор М : сіот М —> Т, сіот М = Н2 х Н2 х Нр

їв-

С учетом изложенного выше доказательство леммы 1.3 очевидно.

Построим пространство 1Адг =

X И©, где

її = и1 п:

її = и1 п

ЛЕММА 1.4. Формулой N : (иа + иж) —т1 задается оператор N Є С°° (Х/дг; Т).

( Е((и<7 + иж) • \7)(ист + иж) + адТ,д(у ■ и©) \ П((иа- + Ия) • \7)(ист + Ия) + адПд(у • и©)

0

\ ((иа + Ия) • Уи0) + 7 • (иа + Ия))) )

2

V

1

1

V

Действительно, при любом векторе (иа + Ия) € Ы]\[ производная Фреше N1 , ч оператора N имеет вид

<Т ~ГИ7Г )

/ Щиа + Ия) • У)иа + Е(иа ■ У)(иа + Ия) + адТ,7(7 • ив) \ П((Н(7 + Ия) • У)^я + Е(ия • У)(иа + Ия) + «117(7 • ив)

О

\ ((иа + Ия) • Уив) + (у • Уив) + (7 • (ра- + Уя) /

Итак, редукция задачи (0.1) - (0.2) для системы (1.1) к задаче (1.2) для уравнения (1.3) закончена.

2. Относительная 1-секториальность дифференциальных

операторов

Пусть Ы и Т — банаховы пространства, оператор Ь Є С(Ы]Т) (т.е. линеен и непрерывен), а оператор М Є С1{Ы\Т~) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Введем в рассмотрение Ь-резольвентное множество рь(М) = {р Є С : (рЬ — М)-1 Є Ы)} и Ь-спектр аь(М) = С \ рь(М) оператора М.

В общем случае необратимости оператора Ь удается показать, что множество рь(М) всегда открыто, поэтому множество сгь(М) всегда замкнуто.

Пусть рь(М) ф 0. Наряду с оператор-функцией (рЬ — М)-1, называемой Ь-резольвентой оператора М, введем в рассмотрение оператор-функции і?^(М) = (рЬ — М)~1Ь и Ь^(М) = Ь(рЬ — М)-1, которые в дальнейшем будем называть правой и левой Ь-резольвентами оператора М. По последним построим правую и левую (Ь,р)-резолъвенты оператора М: В^Ш) = П'=0В^(М) „ = П'=0^(М).

ЛЕММА 2.1. Пусть рь(М) ф 0. Тогда при любом р Є {0} и N (г) кег І?[М(М) = кег К^р)(М), іт К^р)(М) = іт Д^р)(М);

(И) кег 1^р) (М) = кег Ь^р) (М), іт 1^р) (М)= іт 1^р) (М)

при всех А = (Ао, Аі,..., Ар) и р = (ро, р±,..., рр) из (рь(М))р+1.

Обозначим через Ы° (Т°) ядро кегД^^(М) (кег£^^(М)), а через Ьо (Мо) сужение оператора Ь (М) на Ы° (Ы° П сіот М). Как нетрудно убедиться, оператор Ь0 Є £(и°]Т0), а оператор М0 Є С1(И0ш, Т°).

(ист+Итг)

V =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Оператор М называется векториальным степени р Є {0}иМ относительно оператора Ь (короче, (Ь, р)-векториальным), если существуют константы К > 0, а Є К и О Є (тг/2, тг) такие, что сектор

$а,®{м) = {д Є С : |а^(/х — а)| < 0,/х / а} С /'(М),

причем

< п^=0Ц - а|

при всех д = (до, ді, Є (^0(М))Р+ .

Если существует оператор £-1 Є С(Т',Ы), то из векториальности [15] оператора Ь_1М (или МЬ~1) следует (Ь, р)-секториальность оператора М. При р = 0 справедливо и обратное утверждение.

ЛЕММА 2.2. Пусть оператор М (Ь, р)-секториален. Тогда существует оператор М^1 Є £.{Т°]Ь10).

Положим О = М$1Ьо, Н = Ь0М^1. Операторы О Є С(И°), Н Є £(^°) по построению.

СЛЕДСТВИЕ 2.1. В условиях леммы 2.2 операторы С и Н нильпо-тентны степени не выше р.

іт в норме

пространства^ (Т) через Ы1 (^г1).

ЛЕММА 2.3. Пусть оператор М (Ь, р)-секториален. Тогда

Нт (цИ^(М))р+1и = и VиЄИ1-, Нт (д^(М))р+1/ = / У/ЄТ1.

/і—>■ + ОО ^ (1—>- + оо ^

Из леммы 2.3 непосредственно вытекает, что Ы°Г\Ь11 = {0} и Т°Г\Т1 = {0}. Обозначим через Ы (Т) замыкание линеала Ы° ® Ы1 (Т° ф Т1).

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть оператор М (Ь, р)-секториален. Тогда и = Ц° фЫ1 и Т = Т°фТ1.

ТЕОРЕМА 2.2. (Yagi, Федоров). Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, а пространство Ы (Т) рефлексивно. Тогда Ы =Ы (Т=Т).

Обозначим замыкание линеала іт ч(М)

Обратимся теперь к уравнению Ьй = Ми. Пусть pL ф 0, тогда это уравнение тривиально редуцируется к паре эквивалентных ему уравнений

R%(M)u = (aL — М)~1Ми, (2.1)

La(M)f = M(aL — M)~lf, (2.2)

где a G pL(M). Поскольку (aL — M)~lM = aR^(M) — I и M(aL — М)~1 =

= аЬ^(М) — I, то операторы (aL — М)~гМ и M(aL — М)-1 можно един-

ственным образом продолжить до непрерывных операторов, определенных на пространствах U и Т соответственно. Поэтому уравнения (2.1) и (2.2) можно рассматривать как конкретные интерпретации абстрактного уравнения

Av = Bv, (2-3)

где операторы А, В £ £(V), а V — некоторое банахово пространство. Вектор-функцию v = v(t) назовем решением уравнения (2.3), если v G C°°(IR+; V) и v удовлетворяет (2.3).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Отображение V G C°°(IR_|_; £(V)) называется полугруппой разрешающих операторов уравнения (2.3), если

(i) V*-Vs = Vt+s Vt,seR+-,

(ii) Vt>o & V вектор-функция v(t) = Vtvo удовлетворяет уравнению (2.3).

Полугруппа {Vt : t G R+} называется аналитической, если она аналитично продолжима в некоторый сектор, содержащий полуось IR+, и равномерно ограниченной, если

||^||/:(V) ^ const, t G (О,Г), VT G R.+ .

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть оператор М (L, р)-секториален. Тогда существуют аналитические и равномерно ограниченные полугруппы разрешающих операторов уравнений (2.1) и (2.2).

Пусть Г С Sqq(M) - контур такой, что argц —> ±0 при |д| —> +оо. Тогда искомые полугруппы задаются формулами

U‘ = 2йХй"(М)е"‘‘г'‘’ (2'4)

F‘ = hlrL^M)er,d>‘ (2-5)

соответственно при всех t G К+.

Как нетрудно заметить, операторы IIі и і7* имеют ядра,

кегIIі Э кег і?^(М) и кегТ* Э кегЬ^(М) , а Є рЬ(М) . Поэтому в дальнейшем будут необходимы следующие понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пусть {Vі : £ Є К+} — аналитическая полугруппа разрешающих операторов уравнения (2.3). Тогда множество кег V* = {и Є V : Зі Є К+ VіV = 0} будем называть ядром, а множество іт V* = {и Є V : Ііт VіV = и} — образом полугруппы {Vі : £ Є К+}-

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть оператор М (Ь, р)-секториален. Тогда кег и* = и°, іт и* = и1, кег Т* = Т°, іт Т* = Тх.

Теперь приложим абстрактные результаты к операторам Ь и М, построенным в п.1.

ТЕОРЕМА 2.5. При любых оі,у,д Є К \ {0}, —к-1 ^ а{А) и 5 Є оператор М (Ь, 1)-секториален, и существует оператор Ь~[1 Є £.(Т1',Ь11).

Доказательство проводится аналогично [9] и заключается в построении правой и левой (Ь, 1)-резольвент оператора М и проверке определения 2.1.

3. Квазистационарные полутраектории

Обратимся к задаче (1.2), (1.3). Пусть оператор М (Ь, р)-секториален,

а пространства Ы и Т рефлексивны, тогда уравнение (1.3) редуцируется к

системе уравнений

Ь0іі° = М0и°+ (/-д)Д7(и° + и1) , (3.1)

= Міи1+ (^М{и0+ и1) , (3.2)

где и1 = Ри, и0 = и —и1, проекторы Р И являются единицами полугрупп

(2.4) и (2.5) соответственно.

Пусть существует оператор Ь~[1 Є £,(Т1',Ь11), тогда оператор Б = = Ь~[1М\ Є СІ (и1), сіот Б = ^1Пс1от М секториален. Пусть = Б — Ы, где Ь > а, а — константа из определения 2.1. Очевидно, оператор Є С1{ЫГ) секториален, сіот = сіотб'. Пусть а > 0, определим оператор

ОО

Ьі~г (а).Г е

где {е51* : £ Є К+} — аналитическая полугруппа, порожденная оператором б'і. Оператор Є ^(И1), причем образ іт5']~“ плотен в Ы1. Если а = 1, то 5']-1 — обратный оператор к оператору б'і.

Далее, определим оператор 5“ как обратный к оператору 5']~“, сіот 5“ = іт Оператор 5“ : сіот 5“ —> Ы1 замкнут и плотно определен. При а = 1 оператор = б'і. Положим 5° = I. Заметим, что линеал сіот 5^, снабженный нормой графика || • \ \и,а = ||5Т • \ \и, будет банаховым пространством, плотным в Ы1. Обозначим это пространство через 1Л\. Отметим, что вложение Ыр М- Ы* будет непрерывным, если (3 > а.

Аналогично оператору построим оператор Т^а, где оператор

Ті = а! — Г, а оператор Т = М\Ь~[1 Є С1(ТГ) секториален. Пользуясь оператором Т^а, построим пространства а > 0. Покажем, что при любом а > 0 оператор Ьі является топлинейным изоморфизмом банаховых пространств Ы* и Т\. Действительно,

ОО

= —1— 11 ((м + - ^Г1мі)_1 =

О Г

оо

Л Г 1 ^

= —- Г~1сИ :Г (и + а)1- МгЬ71У е»Чц = ТГаЬ1 .

Г(а) .] 2тгг V /

Отсюда Т^Ьі = , а > 0. И если вектор і/ Є то для вектора / = Ьіі/

имеем

11/11^-,« = \\ТіЬіи\\р < ІІТіЦ^^і.^^ЦиЦ^^ .

Если вектор / Є то включение Ь~[1 / Є 1А* доказывается аналогично.

Теперь обозначим через линеал сІотМо, снабженный нормой графика ||| • ||| = || • ||^ + ||М • ||^г, и построим пространства Ыа = Ы® Очевидны плотные и непрерывные вложения Ы\ С Ыа С Ыо при а Є [0,1], где Ыо = Ы, а Ы1 — линеал сІотМ, снабженный нормой ||| • |||. Вектор-функцию и Є С([0,гоу,Иа) назовем решением задачи (1.2), (1.3), если она удовлетворяет уравнению (1.3) на (0,£о) и условию (1.2). Решение и = н(£) задачи (1.2), (1.3) называется квазистационарной полутраекторией, если Ьой°(Ь) = 0 при всех Ь Є [0,£о)- Рассмотрение квазистационарных полутра-екторий связано с тем, что даже в частных случаях [16] решение задачи

(1.2), (1.3) может быть не единственным.

Начнем поиск квазистационарных траекторий уравнения (1.3). Пусть пространство Ы° распадается в прямую сумму Ы° = Ы00 фЫ01, где Ы00 = = кегТ, а Ы01 = Ы° ф Ы00 — некоторое алгебраическое и топологическое дополнение. Пусть существует вектор Ид1 Є Ы00 такой, что уравнение (3.1) имеет ВИД

0 = М0{и00 + и21) + (/ - СЭ)М{и00 + и21 + и1) (3.3)

при всех и00 6 Ы00 и и1 Обозначим через Рдд (Ди) проектор на И00

(и01) вдоль Ы01фЬ/^ (Ы00 (В На) - Тогда уравнение (3.3) редуцируется к паре эквивалентных ему уравнений

0 = и00 + РооМй\1 - С2)М{и00 + и01 + и1) , (3.4)

0 = и01 + Р01М^1(1 - <9)Л7(и00 + и01 + И1) (3.5)

в силу леммы 2.2.

Пусть, далее, уравнение (3.5) удовлетворяется при всех и00 6 Ы00 и и1 £ 1А\ тождественно. Положим

Т(и00 + и1) = РЖМ~1(1 - Q)N{u00 + и°1+и1).

Предположим, что существует вектор и™ 6 Ы00 такой, что

||-?о||£(И) < 1 > (З-6)

где Тд — “частная” производная Фреше оператора Т 6 С00(Ы00фЫ^',Ы00) в точке и™. Тогда в силу теоремы о неявной функции существует оператор Ф € С°°(0^,0о) такой, что уравнение и00 = Ф(и1) эквивалентно уравнению

(3.4). Здесь и00 6 Од, и1 6 Од, Од ^ Ы00 — некоторая окрестность точки

и™, а Од С — некоторая окрестность точки Ид1.

Благодаря оператору Ф уравнение (3.2) в окрестности Од будет эквивалентно уравнению

й1 = + С(и1) , (3.7)

где оператор в{и1) = L~[lQN(и^1 + и1 + Ф(и1)), О € С°°(Од,^1). Разрешимость задачи Коши для уравнения (3.7) — классический результат [15]. Нетрудно видеть, что вектор-функция и(Ь) = и00(£) + Ид1 + и1(Ь) является решением задачи (1.2), (1.3) и, кроме того, квазистационарной полутраек-торией. Итак, доказана

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть банаховы пространства Ы и Т рефлексивны. Пусть оператор М (Ь, р)-секториален и существует оператор Ь~[1 6 £.{Т1',Ь11). Пусть пространство 1А° расщепляется в прямую сумму Ы0 = Ы00 0 Ы01, где Ы00 = кег Ь. Тогда для любого

и0еМ = {иеИ : (/- <2)(Ми+ЛГ(и)) = 0}

такого, что в некоторой окрестности Од 0 Од уравнение (3.5) выполняется тождественно и имеет место неравенство (3.6), существует единственное решение задачи (1.2), (1-3), являющееся квазистационарной полутраекторией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Множество V С Ы называется фазовым пространством уравнения (1.3), если

(1) любое решение уравнения (1.3) лежит в V, т.е. и{£) £ V при всех t £ [0, г) и некотором т £ К+;

(и) для любого щ £ V существует единственное решение задачи (1.2),

(1.3).

В условиях теоремы 3.1 множество Л4 с очевидностью является кандидатом на роль фазового пространства уравнения (1.3). Далее мы изучим морфологию (т.е. форму, структуру, строение) множества Л4 для задачи (0.1), (0.2), (1.1).

4. Морфология фазового пространства

Начнем с проверки условий теоремы 3.1 для конкретных операторов Ь, М и N, определенных в п.1. Отметим сразу, что требование рефлексивности ввиду гильбертовости построенных там пространств Ы и Т с очевидностью выполняется. Далее, требование (Ь, 1)-секториальности оператора М и существование оператора Ь~[1 £ £.{Т1',Ь11) установлено в теореме 2.5. Поскольку Ы0 = {0} X Вт х Вр х {0}, а кег Ь = {0} X {0} X Вр х {0}, то

естественно положить Ы01 = {0} X Ня X {0} X {0}.

Теперь выпишем множество

М = {и £ и : (/ - С)) {Ми + ЛГ(и)) = 0} =

= {и £ и : — рПАиж— ир+ад1{у('у■ио)+1\((исг+иж)■У)(исг+иж) = 0, Виж = 0} .

Отсюда с очевидностью вытекает, что уравнение (3.5) (в нашем случае это уравнение Виж = 0) тождественно выполняется только при условии иж = 0. Поэтому множество Л4 приобретает вид

М = {и £ Ы : ир = П(иа ■ У)исг + адПу(у ■ и©), иж = 0} .

Далее обратимся к уравнению (3.4), которое в нашем случае имеет

вид

ир = П(иа ■ У)иа + ад11д(у ■ ие) ■ (4.1)

Поскольку в правой части отсутствует член ир, то условие (3.6) с очевидно-

стью выполняется (в данном случае ^ = О). Таким образом, доказана

ТЕОРЕМА 4.1. В условиях теоремы 3.1 при любом щ £ Л4 существует единственное решение задачи (1.2), (1-3), являющееся квазистационарной полутраекторией.

Из (4.1) вытекает также

ТЕОРЕМА 4.2. В условиях теоремы 3.1 множество Л4 является простым банаховым С°°-многообразием, моделируемым подпространством Ш1 х {0} х {0} х H0.

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность Г.А.Свиридюку за неустанный интерес к работе.

Список литературы

1. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина - Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С. 126 - 164.

2. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Заметки о линейных моделях вязкоупругих сред // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1996. № 1. С. 135 - 147.

3. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости II Изв. вузов. Математика. 1990. № 12. С. 65-70.

4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

5. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса: Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

6. Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 11. С. 1538 - 1543.

7. Якупов М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики: Дис. ...канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1998.

8. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика. 1994. № 1. С. 62 - 70.

9. Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Об относительной р-секториальности дифференциальных операторов // Третий Сиб. конгресс по индустр. и прикл. математике. Новосибирск, 1998. С. 49 - 57.

10. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: Дис. ...канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

12. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 604 - 616.

13. Солонников В.А. Линейные эллиптические системы: Конспект лекций. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979.

14. Капитанский Л.В., Пилецкас К.И. О некоторых задачах векторного анализа // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1984. Т. 138. С. 65 - 85.

15. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

16. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57, № 3. С. 192 - 207.

SUMMARY

The Cauchy — Dirichlet problem for the system of equations modelling the thermoconvection of visco-elastic incompressible fluid is considered. It is shown that the phase space of the problem is a simple Banach C°°-manifold.