CC BY
32
ОБОБЩЕННАЯ ОДНОРОДНАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОКОНВЕКЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ
О. П. Матвеева, Т. Г. Сукачева
THE GENERALIZED HOMOGENOUS THERMOCONVECTION PROBLEM OF THE NON-COMPRESSIBLE VISCOELASTIC FLUID
O.P. Matveeva, T.G. Sukacheva
Рассматривается однородная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта высшего порядка. В рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа доказана теорема существования единственного решения указанной задачи, являющегося ква-зистационарной полутраекторией, и получено описание ее фазового пространства.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, несжимаемая вязко-упругая жидкость, фазовое пространство.
The homogenous thermoconvection model of the non-compressible viscoelastic Kelvin - Voight fluid of the highest order is considered. The existence and uniqueness theorem of the solution which is a quasi-stationary semi-trajectory is proved in the frames of the Sobolev type equations theory. The description of the phase space is obtained.
Keywords: Sobolev type equations, an incompressible viscoelastic fluid,
phase space.
Введение
Система уравнений
ЪА Tlrn — 1
(1 - AV2)vf = lA72V - (v • V)v 11, Am,q^2wm,q
ra= 1 <7=0
£70-p + f, 0 = V(V • v),
<9wmi0
: V + OLmWm,0 ,
dt
OLm £
m = 1, M,
<9w,
m,q
qWm,p-i + amwm>(?, q= 1, nm- 1,
(1)
т
в4 = кЧ2в - V • V# + V ■ 7
моделирует эволюцию скорости V = (г?1,..., уп), Уг = Уг(х,1), градиента давления р = (р1,...,рп), Рг = рг(х, ¿) и температуры в = в(х) I) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта высшего порядка К {К = п\ + ... + Пм) [1]- Параметры А € М, V € М+ и
к € К+ характеризуют упругость, вязкость и теплопроводность жидкости соответственно; д € М+ — ускорение свободного падения; 7 = (0, ...,0,1) — орт в М”. Параметры Ат>д € М+, определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член £ = (/1,..., /п), — Л(х, £) отвечает внешнему воздействию на жидкость.
Рассмотрим разрешимость первой начально - краевой задачи
лг(х,0) = у0(х), лут>9(ж,0) = ^тл{х),
9(х, 0) = во(х), Уж € П;
у(ж, г) = о, wm)9(ж, г) = о, (2)
в(х,1) = 0, У(ж,£) £ Ж х 1+ ,
т — 1, М, д = 0, Пт — 1
для однородной системы (1) (/ = 0). Здесь Q С Rn (п = 2,3,4) — ограниченная область с границей dQ класса С00. Ранее задача (1), (2) в случае (К = 0 , / = f(x) ) изучалась Г.А. Свиридюком [2]. Для несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта порядка К > 0 указанная однородная задача рассматривается впервые. В данной работе обобщаются результаты, полученные в [3].
Статья состоит из трех частей. В первой части приводятся необходимые результаты из теории полулинейных уравнений соболевского типа, основанные на понятии р-секториального оператора и полугрупповом подходе [4, 5]. Во второй части проводится редукция однородной задачи (1), (2) к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа. В третьей части устанавливается существование квазистационарных полутраек-торий и описывается фазовое пространство указанной задачи.
1. Полулинейные уравнения соболевского типа
Пусть U vi Т — банаховы пространства, оператор L Є С(Ы;Г), причем kerL ф {0}; оператор М Є С1(Ц\Т). Обозначим через Ым = {и Є dom М : ||г/.|| = ЦМиЦ^ + ||u||w}.
Пусть оператор F Є С°° (Ым\ Т) •
Рассмотрим задачу Коши
и( 0) = и0 (3)
для полулинейного уравнения соболевского типа
Lù = М и + F (и). (4)
Локальным решением (далее просто — решением) задачи (3), (4) назовем вектор-функцию и € C°°((0,T);Wm), удовлетворяющую уравнению (4) и такую, что u(t) —► щ при t —> 0 + .
Будем рассматривать задачу (3), (4) при условии, что оператор М сильно (L, р)-секториален [4, 5]. Известно, что при этом условии решение задачи (3), (4) может быть неединственным [6]. Поэтому ограничимся поиском только таких решений уравнения (4), которые являются квазистационарными полутраекториями.
Определение 1. Пусть U = Uq ® Ui, причем ker L С Uq. Решение и = v + w, где v(t) € Uq, w(t) € U\ при всех t € (0, Т), назовем квазистационарной полутраекторией, если Lv = 0.
Замечание 1. В динамическом случае понятие квазистационарной полутраектории совпадает с понятием квазистационарной траектории [6].
Также хорошо известно [7-9], что решения задачи (3), (4) существуют не для всех Uq € Ым- Поэтому введем
Определение 2. Множество В С Um назовем фазовым пространством уравнения (4), если для любой точки щ € В существует единственное решение задачи (3),(4), причем u(t) € В.
В силу того, что оператор М сильно (L, р)-секториален, пространства U и Т расщепляются в прямые суммы U = U0 фи1, Т = ® F1, где Z/1, Т® — ядра, a U1, Т1 — образы
аналитических разрешающих полугрупп
и* = Ъ, IrRi^eßtd^ Ft = hSvь»{м)е^
(Г С рЬ(М) — контур такой, что arg ß —► ±0 при \ц\ —» +оо) линейного однородного уравнения
Ьй = Ми. (5)
Обозначим через L^M^) сужение оператора L(M) на Uk (Uk П dom М), к = 0, 1. Тогда Lk ■ Uk —> Тк, Mfc : Uk П dom М —> Fk, к = 0, 1, причем Mq и L\ являются линейными
непрерывными операторами и имеют ограниченные обратные операторы.
В силу этих результатов [4, 5] приведем задачу (3), (4) к эквивалентной системе, которую назовем нормальной формой задачи (3), (4):
RvP = и0 + G(u) , u°(0) = Uq) ü1 = Su1 + H(u) , w1(0) = Uq. (6)
Здесь uk £ Uk, к = 0,1; u = u° + u1) операторы R = Mq1Lq, S = LjxMi, G = Mq1{I — Q)F, H = L~[iQF. (Q G £(JF) — проектор, расщепляющий пространство T требуемым образом).
Далее будем изучать такие квазистационарные полутраектории, для которых Rii° = 0. Для этого предположим, что оператор R — бирасщепляющий [10], т.е. его ядро ко г R и образ im R дополняемы в пространстве U. Обозначим U00 = ker R, а через U01 = U° QU00 обозначим некоторое дополнение к подпространству U00. Тогда первое уравнение (6) примет вид:
Дй01 = и00 + и01 + G{u), и = и00 + и01 + и1. (7)
Теорема 1. Пусть оператор М сильно (L,p)-секториален, а оператор R — бирасщепля-
ющий. Пусть существует квазистационарная полутраектория уравнения (4). Тогда она удовлетворяет соотношениям
0 = и00 + и01 + G(u), и01 = const. (8)
Теорема 1 дает необходимые условия существования квазистационарной полутраектории уравнения (4). Рассмотрим теперь достаточные условия. Известно, что при условии сильной (Ь, р)-секториальности оператора М оператор 5 секториален. Следовательно, он порождает на и1 аналитическую полугруппу, которую мы обозначим через {и\ : і Є М+ }. так как оператор И[ есть сужение оператора IIь на и1. Из того, что и = и0 фи1 следует, что существует проектор Р Є С(и), соответствующий данному расщеплению. Оказывается, что Р € С(им), и тогда им = и^ ® и^, причем вложение и^ С ик, к = 0,1 плотно и непрерывно [4, 5].
Теорема 2. Пусть оператор М сильно {Ь,р)-секториален, оператор R — бирасщепляющий, оператор Р € С°°(ІАм) Р). Пусть
(А1) в некоторой окрестности Оио С 1Ам точки щ выполнено соотношение
О = «о1 + (/ - Рк)(С{и00 + «о1 + и1)); (9)
(А2) проектор Рд Є С(Ии оператор I + РцСио : —> I/™ — топлинейный
изоморфизм (14$ = Ым П Ы00);
(АЗ) для аналитической полугруппы {и\ : і Є К+} выполнено соотношение
! \\и1 \\с№-,и},)М < 00 VтЄM+. (10)
Тогда существует единственное решение задачи (3), (4), являющееся квазистационар-ной полутраекторией уравнения (4).
Замечание 2. Условие (10) для обычных аналитических полугрупп, имеющих оценку < і_1сопзІ, не выполняется. Обозначим через и& = [и1',иІі]а, а Є [0,1] —
некоторое интерполяционное пространство, построенное по оператору 5. В теореме 2 условие
«Р Є С°°(£/^; ^г)» дополним условием «Я Є С00{и^\1А^)'>, а соотношение (10) заменим соотношением
I < 00 € ®ч-- (■*■■*■)
Тогда утверждение теоремы 2 не изменится. Обсуждение этого круга вопросов см. в [11, гл. 9]. Очевидно, что окрестность Оио является частью фазового пространства уравнения (4).
Пусть теперь ¿4 и 3~ъ — банаховы пространства, операторы Є С(и^, Рк), а операторы Вь : сіот В к, —> 3~к линейны и замкнуты с областями определений сі от В^ плотными в ¿4, к = 1,2. Построим пространства Ы — Ых х ІА2, ^ /і х ^ и операторы X = Л і 0
Л2, М = В\ 0 Б2. По построению оператор і € £(£/; ^г), а оператор М : сіот М Т линеен, замкнут и плотно определен, дот М = дот В\ х сіот В2.
Теорема 3. Пусть операторы В^ сильно (Л;с, рк)-секториал.ьны, к = 1, 2. Тогда оператор М сильно (Ь,р)-секториален, р = тах(рі, рг)-
2. Редукция к полулинейному уравнению соболевского типа
Для того, чтобы редуцировать задачу (1), (2) к задаче (3), (4), введем, следуя [12, 13], пространства Н2, Н2, На и Н-л-. Н2 и На — подпростанства соленоидальных функций в
О
пространствах (П))™ П (И^ (£2))п и (¿2(0))” соответственно, а и — их ортого-
нальные (в смысле (¿г(^))п) дополнения. Обозначим через Е ортопроектор на Ша, причем
О
его сужение на пространство {\¥%(&))П П (И^О))" будем обозначать тем же символом. Положим П = I—Е. Формулой А = : Н2фН2 —► Н^фН-д-, где — единичная матрица
порядка п, зададим линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным спектром а(А) С М, сгущающимся лишь на — оо. Формулой В : V —► У(У • V) зададим линейный непрерывный сюръективный оператор В : ф Н2 —> с ядром кег В = Н2. Положим
ию = Н2 х Н2 х Нр , Тю = Ла х Нтг х Нр, где Нр = Ня- ; Ии = Н2 П Н1 = Н2 х Н2 , и Ти = Ьг = Н^хНл-, г = 1, К. Тогда пространстваЫ\ = ф[£0¿/ц , ^ = ©(£0-^1/• Операторы Аі и Ві : 1Л\ —> определим формулами Лі = сІіа§ [Лі , Ек} , где
і _( Ах 0\ г _ ( Е(/ - АЛ)Е ЕЛ(/ - АЛ)П \
\ О О ) ’ 1 - V П(/ - АЛ)Е ПЛ(/ - АЛ)П у '
Оператор Bi : U\ —> Т\ положим равным оператору М (см. формулу (14) в [13]).
Замечание 3. Пространство 1Л\ (Т\) определяется точно так же, как пространство U {!F) в модели [13], а оператор А\ совпадает с оператором L в [13].
Замечание 4. Обозначим через Аа сужение оператора Х/1 на.Н2. По теореме Солонникова-Воровича-Юдовича спектр а(Аа) вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается лишь на — оо.
Из соответствующих результатов [13] вытекает следующая
Теорема 4. (і) Операторы Аі,Ві Є C(U\\ Т\), и, если А-1 & сг(А), то оператор А\ — бирасщепляющий, ker Ai = {0} х {0} х Нр х {0} х ... х {0}, im Ai = На х Н^- х {0} х Т\\ х
V v......
К
Т\2 X ... X Т\к-
(ii) Если А”1 0 a (A) U а(Аа), то оператор В\ (Ai, 1)-ограничен.
Замечание 5. Впервые понятие (А, ^-ограниченного оператора В введено в [14]. Оператор (L, р)-ограничен, если порядок несущественной особой точки в бесконечности равен р. Он совпадает со степенью нильпотентности оператора R.
Далее положим IÁ2 = Тг = L'¿(^) и формулой В2 = «V2 : dom В2 —► Т2 опреде-
О
лим линейный замкнутый и плотно определенный оператор В2, dom В2 = W^^l) П W^fi). Положим А2 = /. Тогда в силу секториальности оператора В2 [15] справедлива
Теорема 5. Оператор В2 сильно А2~секториален.
Положим U = Ui х U2, Т = Т\ х Тъ- Вектор и пространства U имеет вид и = col (ua,Un,Up,Wi,... ,WK,ue), где col (иа,иж,иР,Ь]1,... ,Wk) є Ui, а щ Є U2• Здесь иа = YiV , иж = (І — Е)и = Пу , ир = р. Операторы L и М определим формулами L = Ai ® А2 иМ = Ві® В2• Оператор L Є C(U; Зг), а оператор М : dom М —* Т линеен, замкнут и плотно определен, dom М ~U1 х dom В2. Из теоремы 4 и замечания 2.1.1 [5] следует, что оператор Вх сильно (Ai, 1)-секториален. В силу этого и теорем 3, 4, 5 справедлива
Теорема 6. Пусть А"1 ^ <7(А), тогда оператор М сильно (L, ї)-секториален.
Перейдем к построению нелинейного оператора F. В данном случае его можно представить в виде F = Fi <g> F2, где F\ = Fi(ua,u^,ue) = col (—E(((uff + и*■) • V)(na + un) + g'yue),-U(((ua+un)-V)(ua+u7r)+g'yue),0,...,0), aF2 = Р2(иа,иж,ив) = (uc+u^-^-Vuo).
K+l
Далее, в нашем случае пространство Ым = Ui xdom В2 . Аналогично [3], легко показать, что при любых и Є Ым оператор F'u Є С(Ым) F), вторая производная Фреше F" оператора F — непрерывный билинейный оператор из ІАм х Ым в Т, a = О. Таким образом, справедлива
Теорема 7. Оператор F Є С°°Шм] 3~)-
Итак, редукция задачи (1), (2) к задаче (3), (4) закончена.
3. Фазовое пространство
и квазистационарные полутраектории
В дальнейшем всюду будем отождествлять задачи (1), (2) и (3), (4). Теперь перейдем к проверке условий теорем 1 и 2.
В силу теоремы 6 и теоремы 2.2.1 [5] существует аналитическая полугруппа {[/* : і € И+} разрешающих операторов уравнения (5), которую в данном случае естественно представить в виде = Vі х \\п. где Vі(\У*) — сужение оператора (7і на ТЛ\ЦЛ%). Так как оператор 1?2 секториален, то \¥1 = ехр (Шг), откуда следует, что ядро этой полугруппы УУ° = {0}, а образ УУ1 = 142-
Рассмотрим полугруппу {Vі : і Є М+}. В силу теорем 4 и 6 и замечания 2.2.2 [5] данная полугруппа продолжима до группы {Vі : і Є К}. Ее ядро V0 = , где = {0} х {0} х
Нр х {0} х ... х {0}(= кег А\ по теореме 5), а Ы®1 = £А^ хАд^[Н2] х Н^. х {0} х ... х {0}.
^+1
Здесь А\ = I — АЛ, А\т; — сужение оператора ПЛ^1 на Н^. В [12] показано, что если А-1 £ а(А) и сг(Лсг), то оператор Адж : Н,г —> — топлинейный изоморфизм. Обозначим
через Ы\ образ Vі. Тогда в силу сильной (Аі, 1)-секториальности оператора В\ пространство 1А\ разлагается в прямую сумму подпространств: 1Л\ = ¿/°° @ 1А{\Х ®Ы\.
Построим оператор К = В^Аю Є СШ^0 © Ц01), где Аю(Вю) — сужение оператора Лі(В\) на V0 = Ф ¿/|] . (Оператор В^01 существует в силу теоремы 6, следствия 2.2.2 и замечания 2.1.1 [5]). По построению кег Д = И^0, а в [12] показано, что іш Д = Ы%1. Значит, оператор К — бирасщепляющий. Обозначим через Рд проектор пространства ф ІА®1 на и(і° вдоль Щ1. В силу конструкции пространства 1Ам проектор Рц Є где и{}м =
Ым П {Ы]° ф¿^Р)(= К®0 ©и®1). Зафиксируем это в следующем утверждении.
Лемма 1. Пусть А-1 ^ <т(А) и а(А„). Тогда оператор Я — бирасщепляющий, причем Рк Є £(И°М).
Проекторы Рк, Як, к = 0,1 определим формулами (17), (18) в [13]. Из результатов [13] и в силу того, что ядро У\Р = {0}, следует, что І—Р — (Ро+Рі)хО, <5 = о—Фі) х-ґ> Р '■ и —» Ы1, С} ■. Т . Применяя проектор I — Р к уравнению (4) в данной интерпретации, получаем
П{иА(иа + иж) - ((иа + щг) • У){иа + иж)+
М Пт — 1
^ ^ ^ Arïгlq,V 1Упг,</ З'У'У'в) = (12)
т= 1 д—0
Вип = 0.
Отсюда, в силу теоремы 1 и свойств оператора В, получаем необходимое условие квазистационарности полутраектории иж = 0. То есть, все решения нашей задачи (если они существуют) с необходимостью должны лежать в плоскости В = {и Є ІІМ : ип = 0}. А так как Пир = ир, то из первого уравнения (12) получаем соотношение (8) в нашей транскрипции
М Пт — 1
щ, = П(ь>Аиа - («о- • У)иа + Е Е Ат,^ и)т,д (1^)
т= 1 <?=0
Очевидно, Ро = Рц- поэтому второе уравнение (12) есть соотношение (9) применительно к нашей ситуации. Итак, справедлива
Лемма 2. В условиях леммы 1 любое решение задачи (1), (2) лежит во множестве А = {и € 14м, «7г = 0, ир = П(ь'Аиа — (иа ■ Ч)иа+
М ‘ГЬт — 1
ЕЕ ®т,} Э'/'У'в)) }•
т~ 1 д=0
Замечание 6. Из (13) сразу следует условие (А2) теоремы 2 для любой точки € 14^(=
141° х {0}). Поэтому множество А — простое банахово многообразие С°°-диффеоморфное подпространству 1Л\ х 14% — является кандидатом на роль фазового пространства В Э А задачи (1), (2).
Приступим к проверке условий (10) и (11). Построим пространство Ыа = 1А\ х
О
(^)- Данное пространство, очевидно, будет интерполяционным пространством для пары [Ы,14м\а, причем а = 1/2. Как отмечено выше, полугруппа {[/* : í € продолжается до
группы {VI : £ € К} на 14{, где V/ — сужение оператора V1 на 1Л\. Поскольку 1А1М = 14м Г\Ы\ (по построению) и оператор В\ непрерывен (теорема 4), то в силу равномерной ограниченности полугруппы {{7* : I € М_|_} имеем
^ < 00 € М+. (14)
Далее, в силу неравенства Соболева [11, гл. 9] полугруппа {И/Г* : £ € Й+} удовлетворяет оценке
/ ||^|| о Л < оо. (15)
Уо £(с!от Вг;^(П))
Положим = ¿4: п^1, где Ы1 —14\ х ¿/2- Тогда из (14) и (15) вытекает
Лемма 3. В условиях леммы 1 выполняется соот,ношение (10).
Наконец, выполняя требование (11), найдем оператор Н. Оператор Н естественно представить в виде Н = НI @ Н2 , где Н\ = АII (I — фо — Яг)!7! , а Н2 = /?2 (Ац сужение оператора Ах на £/*). Включение Н € С°°(^|^;^с’), показывается аналогично тому, как было показано включение Р € С°°(14м]Т).
Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены. Поэтому справедлива
Теорема 8. Пусть А-1 ^ а(А)исг(АГТ). Тогда при любом ио таком, что щ € А и некотором Т € М+ существует единственное решение и € С°°( (0, Т); 14м ) задачи (1), (2), являющееся квазистационарной полутраекторией, причем и(1) € А.
Работа поддержана программой «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)» проект № 2.1.1/2301.
Литература
1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина - Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Труды матем. ин-та АН СССР.
- 1988. - №179. - С. 126 - 164.
2. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Матем. - 1990. - №12. - С. 65— 70.
3. Сукачева, Т.Г. Об однородной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Вестн. Самар, техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. - 2010. - Вып. 5(21). - С. 37 - 45.
4. Sviridyuk, G.A. Sobolev type équations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov // Utrecht-Boston: VSP, 2003. - 179 p.
5. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук. - 1994. - Т. 49, №4. - С. 47 - 74.
6. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. матем. - 1993. - Т. 57, №3. -С. 192 - 207.
7. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. матем. журн. -1990. - Т. 31, №5. - С. 109 -119.
8. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №2. С. 250 — 258.
9. Levine, Н.А. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic équations of the form Dut = —Au + F(u) / H.A. Levine// Arch. Rat. Mech. Anal. - 1973. -V. 51, № 5. - P. 371 - 386.
10. Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере - Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. - 1977. - Т. 32, №4. - С. 3 - 54.
11. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. МакКракен. - М.: Мир, 1980. - 368 с.
12. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №1. - С. 62 - 70.
13. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязко-упругой жидкости Кельвина - Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов. Матем. - 1998. -№ 3 (430). - С. 47 - 54.
14. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР. - 1991.- Т. 318, №4. - С. 828 - 831.
15. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри.
- М.: Мир, 1985. - 376 с.
Сукачева Тамара Геннадьевна, доктор физ.-мат. наук, доцент, кафедра математического анализа, Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, [email protected].
Матвеева Ольга Павловна, кафедра математического анализа, Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, [email protected].
Поступила в редакцию 9 февраля 2011 г.
