Об однородной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ОБ ОДНОРОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕРМОКОНВЕКЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Т. Г. Сукачева, О. П. Матвеева

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого,

173003 Великий Новгород, ул. Б. С.-Петербургская, 41.

E-mails: tamara. [email protected], oltan.72@mail .ru

Рассматривается однородная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка. Проведенное исследование основано на результатах теории полулинейных уравнений соболевского типа, поскольку первая начально-краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных сводится к абстрактной задаче Коши для указанного уравнения. При этом используется понятие р-секториального оператора и порожденной им разрешающей полугруппы операторов задачи Коши для линейного однородного уравнения соболевского типа. Доказана теорема существования единственного решения рассматриваемой задачи термоконвекции, являющегося квазистационарной полутраекторией. Получено полное описание фазового пространства этой задачи.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, несжимаемая вязкоупругая жидкость, фазовое пространство.

Введение. Система уравнений

моделирует ЭВОЛЮЦИЮ скорости V = (у\, г>2 • • • , Уп), Уг = Уг(х,Ь), градиента давления р = (р1,р2, ■ ■ ■ ,'Рп)> Рг = Рг(%, £) и температуры в = в(х, £) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—Фойгта порядка к > 0 [1]. Параметры Л € М, V € М+ и зе € М+ характеризуют упругость, вязкость и теплопроводность жидкости соответственно; д € К+ — ускорение свободного падения; вектор д = (0,..., 0,1) — орт в Мга. Параметры Д € М+ определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член f = (/1, /2,..., /га), /г = = /г(ж,£) отвечает внешнему воздействию на жидкость, и)1 = ги^х^), I € К — некоторые функции, К = {1, 2,... , к}.

Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи

v(x,0) = v0(x), И]1(х,0) = и)10(х), 0(ж,О) = 00(ж), Ух € Г2; , ,

v{x,t) = 0, «;г(ж,£) = 0, 0(ж,£) = 0, \/(ж,£) € 80. х М+, I € К ^ '

для однородной системы (1) (/ = 0). Здесь О, С М™, п € {2, 3, 4} — ограниченная область с границей д£1 класса С°°. Ранее задача (1), (2) в случае, когда к = 0, / = /(ж), изучалась Г. А. Свиридюком [2].

Тамара Геннадьевна Сукачева (д.ф.-м.н., доц.), профессор, каф. математического анализа. Ольга Павловна Матвеева, старший преподаватель, каф. математического анализа.

(1)

Статья состоит из трёх частей. В первой части приводятся известные результаты из теории полулинейных уравнений соболевского типа, основанные на понятии р-секториального оператора и полугрупповом подходе [3,4]. Во второй части проводится редукция однородной задачи (1), (2) к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа. В третьей части устанавливается существование квазистационарных полутраекторий и описывается фазовое пространство исходной задачи.

1. Полулинейные уравнения соболевского типа. Пусть Ы и J-—банаховы пространства, оператор L € £(U]F), причём kerL ф {0}; оператор М €

€ Cl{U]F). Обозначим через Ым = {и € domM : ||и|| = ЦМ-иЦ^ + |Н|М}.

Пусть оператор F € С°°(Ым', J~").

Рассмотрим задачу Коши

и(0) = щ (3)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Lii = Mu + F{u). (4)

Локальным решением (далее просто — решением) задачи (3), (4) назовём вектор-функцию и € С°°((0,Т)',Км), удовлетворяющую уравнению (4) и такую, что u(t) —> ио при t —> 0+.

Будем рассматривать задачу (3), (4) при условии, что оператор М сильно (L, р)-секториален [3,4]. Известно, что при этом условии решение задачи (3), (4) может быть не единственным [5]. Мы ограничиваемся поиском только таких решений уравнения (4), которые являются квазистационарными полутраекториями.

Определение 1. Пусть U = U® фЫ\, причём kerL С Uо. Решение и = v + + w, где v(t) € Uq, w(t) € U\ при всех t € (0, Т), назовём квазистационарной полутраекторией, если Lv = 0.

Также хорошо известно [6-8], что решения задачи (3), (4) существуют не для всех ио € Ым- Поэтому введём

Определение 2. Множество В С Ым назовём фазовым пространством уравнения (4), если для любой точки щ € В существует единственное решение задачи (3), (4), причём u(t) € В.

В силу того, что оператор М сильно (£,р)-секториален, пространства U и Т расщепляются в прямые суммы U = Ы° фЫ1, Т = F0 ф F1, где Ы°, .7го — ядра, a U1, F1 — образы аналитических разрешающих полугрупп [/*, F1 линейного однородного уравнения

Ьй = Ми. (5)

Обозначим через сужение оператора L(M) на Uk (Uk П domM), k €

€ {0,1}. Тогда Lfc : Uk —> Fk, Мд. : Uk П domM —>• Fk, k € {0,1}, причём Mo и Li являются линейными непрерывными операторами и имеют ограниченные обратные операторы.

В силу этих результатов [3,4] приведём задачу (3), (4) к эквивалентной системе, которую назовём нормальной формой задачи (3), (4):

Rv° = u° + G(u), u°(0)=Uq, ii1=Su1+H(u), u1(0)=ul- (6)

Здесь ик Є Ык, к Є {0,1}, и = и0 + и1, операторы К = М0 1Ьо1 в = 1М\,

о = Мй\1 - д)*\ н =

Далее будем изучать такие квазистационарные полутраектории, для которых КьР = 0. Для этого предположим, что оператор К — бирасщепляющий [9], т. е. его ядро кег К и образ ш К дополняемы в пространстве Ы. Обозначим Ы00 = кег Д, а через Ы01 =Ы° 0 Ы00 обозначим некоторое дополнение к подпространству и00. Тогда первое уравнение (6) примет следующий вид:

Теорема 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, а оператор К — бирасщепляющий. Пусть существует квазистационарная полутраек-тория (4). Тогда она удовлетворяет соотношениям

Теорема 1 даёт необходимые условия существования квазистационарной полутраектории уравнения (4). Рассмотрим теперь достаточные условия. Известно, что при условии сильной (Х,р)-секториальности оператора М оператор 5 секториален. Следовательно, он порождает на Ы1 аналитическую полугруппу, которую мы обозначим через {ІІ{ : і Є М+}, так как оператор 11{ есть сужение оператора IIі на Ы1. Из того, что Ы = Ы0®Ы1 следует, что существует проектор Р Є С(Ы), соответствующий данному расщеплению. Оказывается, что Р Є С(Ым), и тогда Ым = ^м©^м, ПРИЧ^М вложение С Ык, к Є {0,1} плотно и непрерывно [3,4].

Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, оператор К — бирасщепляющий, оператор Р Є С°°(Ъ1м]^). Пусть выполняются следующие условия:

(А1) в некоторой окрестности Оио С Ым точки ио выполнено соотношение

(А2) проектор Ре Є С(и^), и оператор I + РиС'ио : Ы™ — топлиней-

ный изоморфизм (Ы™ = Ым П и00)]

(АЗ) для аналитической полугруппы {и\ : і Є М+} выполнено соотношение

Тогда существует единственное решение задачи (3), (4), являющееся квазистационарной полутраекторией уравнения (4).

Замечание 1. Условие (9) для обычных аналитических полугрупп, имеющих оценку \\и\\\с(и1-и]А) < £-1соп81], не выполняется. Обозначим через

Ы\ = \и1]Ы11\а, а € [0,1] — некоторое интерполяционное пространство, построенное по оператору 5. В теореме 2 условие € С°°дополним условием иН € С°°(и1^;и^)’\ а соотношение (9) заменим соотношением

0 = и00 + и01 + С (и), и01 = сопэ!;.

(7)

0 = Ид1 + (I - Рц)(С(и00 + Ид1 + и1))]

(9)

(10)

Тогда утверждение теоремы 2 не изменится. Обсуждение этого круга вопросов см. в [10, гл. 9]. Очевидно, что окрестность Оио является частью фазового пространства уравнения (4).

Пусть теперь Ык и банаховы пространства, операторы € С(Ык, Тк), а операторы В к : (1отВк —> Тк линейны и замкнуты с областями определений (1отВк плотными в Ык, к € {1,2}. Построим пространства Ы = Ы\ х х 1А.2-, Т = Т\ х Тъ и операторы Ь = А\ <£> А2, М = В\ <£> В2. По построению оператор Ь € С(Ы] Т7), а оператор М : ёот М —> Т линеен, замкнут и плотно определён, ёотМ = ёот1?1 х ёот 132-

Теорема 3. Пусть операторы Вк сильно (Ак,Рк)-секториальны, к € € {1,2}. Тогда оператор М сильно (Ь,р)-секториален, р = т&х(р1,р2).

2. Редукция к полулинейному уравнению соболевского типа. Для того чтобы редуцировать задачу (1), (2) к задаче (3), (4), введём, следуя [11,12], пространства Н2, Н2, Нст и Н^: Н2 и Нст — подпростанства соленоидальных

О

функций в пространствах П (Ил21(^))га и (^(П))™ соответственно,

а Н2 и Н^- — их ортогональные (в смысле (Ь2(&))п) дополнения. Обозначим через Е ортопроектор на Нст, причём его сужение на пространство (Ил22(^))гаП

О

П (Ил21(^))га будем обозначать тем же символом. Положим П = I — Е. Формулой А = У2Еп : Н2 ф Н2 —>• Нст ф Н,,-, где Еп — единичная матрица порядка п, зададим линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным спектром сг (А) С К, сгущающимся лишь на —оо. Формулой В : V —> У(V • V) зададим линейный непрерывный сюръективный оператор В : Н2 Ф Н2 —>■ Н^ с ядром кегБ = Н2. Положим Ию = Н2 х Н2 х Нр, = Нст х Н^ х Нр,

О

где Нр = Н^; Ыи = Н2 П Н1 = Н2 х Н2 и = Ь2 =Н(Т х Н,, 1 е К. Тогда пространства Ы\ = ®^=0Ыц, Т\ = Операторы А\ и В\ : Ы\ —> Т\

определим формулами А\ = diag [А\, Ек], где

і _ ( іі С>\ х _( Е(/-АА)Е ЕА(/-АА)П\

Лі “ ^ О О ) ’ 1 _ V П(/ - АА)Е ПА(1 - ХА)П )

2

иТ,А иТ,А О \ ( ДЕА

і ~

В}1 = іуПА іуПА -I , В}2 = АП А

О В О ) \ О ...

В21 содержит к строк вида (І, I, О), В22 = diag [а\,..., а^].

Замечание 2. Обозначим через Аа сужение оператора ЕА на Н2. По теореме Солонникова—Воровича—Юдовича спектр а(Аа) вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается лишь на — оо.

Из соответствующих результатов [12] вытекает следующая Теорема 4. (і) Операторы А\, В\ Є С{Ы\; Р\), и, если А-1 ^ <г(А), то оператор А\ —бирасщепляющий, кег А\ = {0} х {0} х Нр х {0} х ... х {0},

“V"

к

ітЛі = Нст х Н,,- х {0} х х Т2 х ... х Тк-

(И) Если А ^ &(А) и сг(Аа), то оператор В\ (А\, 1)-ограничен.

Замечание 3. Впервые понятие (А, а)-ограниченного оператора В введено в [13]. Оператор (Ь,р)-ограничен, если порядок несущественной особой точки в бесконечности равен р.

Далее положим 14% = ?2 = р2(^) и формулой В2 = зеУ2 : ёотБг —> Т2 определим линейный замкнутый и плотно определенный оператор В2,

О

ёот!?2 = П ИЛ21(^)- Положим А2 = I. Тогда в силу секториальности

оператора В2 справедлива

Теорема 5. Оператор В2 сильно А2-секториален.

Положим Ы = Ы\ х ІЛ2, Т = Т\ х Т2- Вектор и пространства Ы имеет вид и = сої (иа,иж, ир, го і,..., гик,щ), где сої (иа, иж,ир, ъи\,..., «;&) Є ІАі, а щ Є ЬІ2-Здесь иа = Ег>, иж = (/ — Е)г> = Пг>, ир = р. Операторы Ь и М определим формулами Ь = А\ <£> А2 и М = В\ <8> В2. Оператор Ь Є С(Ы; Т7), а оператор М : ёотМ —> Т линеен, замкнут и плотно определен, ёот М =Ы\Х ёот!?2-Из теоремы 4 и замечания 2.1.1 [4] следует, что оператор В\ сильно (А\,1)-секториален. В силу этого и теорем 3, 5 справедлива

Теорема 6. Пусть А-1 ^ &(А), тогда оператор М сильно (Ь,1)-секто-риален.

Перейдём к построению нелинейного оператора Р. В данном случае его можно представить в виде Р = І7! ® где

^1 — -^1 {Цаі ^ж) ОД*) —

= соі(-Е(((«ст + иж) ■ У)(иа + иж) -\-gque),

- П(((и<г + иж) • У)(иа + иж) +ддид), 0, ..., о),

к+1

а ^2 = Р2(иа,иж,ив) = (иа +иж) • (д — Ущ). Найдём формально производную Фреше оператора Р в точке и:

Р' =

± и

Па(иа, иъ О

О

V (я - VwtO • (*)

Еа(м(Т, иъ Па(иа, иъ О

О

(д - Уие) • (*)

О

О

о

о

о

о

о

о

о

о

-д^я

-дИд

О

\

О

и

{иа иж) • (*) У

где а(иа,иж) = — ((*) • V) (иа + иж) — ((иа + иж) • V) (*), а на место символа “*” следует ставить соответствующую координату вектора V в случае, когда мы хотим найти вектор РуУ.

В нашем случае пространство Ым =КіХ ёот 1?2- Нетрудно показать [6, 7], что при любых и Є Ым оператор Р!и Є С{Ым', Р)- Аналогично вторая производная Фреше Ру оператора Р — непрерывный билинейный оператор из Ым х им в 7, а Ру = О. Таким образом, справедлива Теорема 7. Оператор Р Є С°°(Им',^)-Итак, редукция задачи (1), (2) к задаче (3), (4) закончена.

3. Фазовое пространство и квазистационарные полутраектории. В дальнейшем всюду будем отождествлять задачи (1), (2) и (3), (4). Теперь перейдём к проверке условий теорем 1 и 2.

В силу теоремы 6 и теоремы 2.2.1 [4] существует аналитическая полугруппа {II1 : £ € М+} разрешающих операторов уравнения (5), которую в данном случае естественно представить в виде С7* = V1 х И7*, где Уг{Шг) —сужение оператора С7* на Ых^Л^)- Так как оператор В2 секториален, то = ехр(1Е>2), откуда следует, что ядро этой полугруппы УУ° = {0}, а образ УУ1 = 14%-

Рассмотрим полугруппу {У* : £ € К+}. В силу теорем 4 и 6 и замечания 2.2.2 [4] данная полугруппа продолжима до группы {V1 : £ € М}. Её ядро V0 = и°° ф и®1, где К®0 = {0} х {0} х Нр х {0} х ... х {0} (= кег^! по теореме 5), а ЫН2] х Н2 х {0} х ... х {0}. Здесь А\ = I — А А,

к+1

А\ж — сужение оператора 1Т4д1 на Н^. В [11] показано, что если А-1 ^ <т(А)и иа(Аа), то оператор А\ж : —> Н2 — топлинейный изоморфизм. Обозначим

через и\ образ V1. Тогда в силу сильной (А\, 1)-секториальности оператора В\ пространство Ы\ разлагается в прямую сумму подпространств: Ы\ = Ы°° ф

ф Щ1 ф и\.

Построим оператор К = В^Аю е ф^1), где Аю(Бю) —суже-

ние оператора А^Вх) на V0 = Ы°° ф^1. (Оператор В^ существует в силу теоремы 6, следствия 2.2.2 и замечания 2.1.1 [4]). По построению кегД = = Ы^0, а в [11] показано, что ш К = и®1. Значит, оператор К — бирасщепляющий. Обозначим через Рд проектор пространства Ы®0 ф и®1 на и®0 вдоль и®1. В силу конструкции пространства Ым проектор Рд € С(Ы^), где 14^ = = ЫМП(Ы^®Ы^1) (= и®0фи®1). Зафиксируем это в следующем утверждении.

Лемма 1. Пусть А-1 ^ &{А) и а(Аа). Тогда оператор К — бирасщепляющий, причём Ре € С(и°м).

Введём в рассмотрение проекторы Р% = diag [Рк, 0], С?к = diag [(^к, 0], А: € {0,1}. (Подробное описание этих проекторов см. в [12]). Из результатов [12] и в силу того, что ядро УУ° = {0}, следует, что I — Р = (Ро + Р1) х О, <5 = = (I — о — <51) х /, Р : Ы —>• Ы1, С} : Т —>• Т1. Применяя проектор I — Р к уравнению (4) в данной интерпретации, получаем

П (иА(иа + и,ж) - ((и,а + и,ж) ■ У)(ист + иж) +

к

+ АУ2ЗД -ир- 9див) = 0, Виж = 0. (11) 1=1

Отсюда в силу теоремы 1 и свойств оператора В получаем необходимое условие квазистационарности полутраектории иж = 0, то есть все решения нашей задачи (если они существуют) с необходимостью должны лежать в плоскости В = {и € Ым : иж = 0}. А так как Иир = ир, то из первого уравнения (11) получаем соотношение (7) в нашей транскрипции:

к

и,р = П {иАиа - (иа ■ Ч)иа + ^ АУ2гог - ддид^. (12)

1=1

Очевидно, что Ро = Рк, поэтому второе уравнение (11) есть соотношение (8) применительно к нашей ситуации. Итак, справедлива

Лемма 2. В условиях леммы 1 любое решение задачи (1), (2) лежит во

множестве

К,

Л = € Ым : иж = 0, ир = и(иАиа — (иа ■ \7)иа + ^ АУ2од - ддив^ |.

1=1

Замечание 4. Из (12) сразу следует условие (А2) теоремы 2 для любой точки -иЦ € 1^м(= ^1° х {0})- Поэтому множество А — простое банахово многообразие С°°-диффеоморфное подпространству Ы\ ХЫ2 — является кандидатом на роль фазового пространства В Э Л задачи (1), (2).

Приступим к проверке условий (9) и (10). Построим пространство Ыа =

О

= ЫIX И/г21(^)- Данное пространство, очевидно, будет интерполяционным пространством для пары \и,им]а1 причём а = 1/2. Как отмечено выше, полугруппа {17ь : £ € М+} продолжается до группы {V/ : £ € М} на 14\, где V* — сужение оператора V* на Ы\. Поскольку Ы^ = Ым С\1А\ (по построению) и оператор В\ непрерывен (теорема 4), то в силу равномерной ограниченности полугруппы {[/*:£€ ^+} имеем

ГТ гт

J 11^1*^ соп^ 11-^111/:(М1;Т1) J \\^1\\с{и1)^ < 00 V1 € М+. (13)

Далее, в силу неравенства Соболева [10, гл. 9], полугруппа {\¥ь : £ € М+} удовлетворяет оценке

[ ||И^|| о £Й < оо. (14)

.]о £(аош в2;^й)

Положим Ы\ = иаГ\Ы11 где Ы1 = Ы\ х Ы2. Тогда из (13) и (14) вытекает Лемма 3. В условиях леммы 1 выполняется соотношение (14).

Наконец, выполняя требование (10), найдём оператор Н. Оператор Н естественно представить в виде Н = Н\ &Н2, где Н\ = А^(1 — С^о — <31)^1, а р[2 = ^2 {Ац —сужение оператора А\ наЫ\). Включение Н € С°°(Ц[^; 14^) показывается аналогично тому, как было показано включение Р € С°°(Ъ1м]3~). Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены. Поэтому справедлива Теорема 8. Пусть А-1 ^ &{А) и <7(^0-). Тогда при любом щ таком, что ио € Л, и некоторомТ € М+ существует единственное решение и € С°°((0, Т); Ым) задачи (1), (4), являющееся квазистационарной полу траекторией, причём и(Ь) € Л.

Работа поддержана программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы), (проект № 2.1.1/2301).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Осколков А. 77. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей Олдройта / В сб.: Краевые задачи математической физики. 13: Сборник работ/ Тр. МИАН СССР, 1988. — Т. 179. — С. 126-164; англ. пер.: Oskolkov А. P. Initial-boundary value problems for the equations of motion of Kelvin-Voigt fluids and Oldroyd fluids// Proc. Steklov Inst. Math., 1989. — Vol. 179. — P. 137-182.

2. Свиридюк Г. А. Разрешимость задачи термоконвекдии вязкоупругой несжимаемой жидкости// Изв. вузов. Матем., 1990. — №12. — С. 65-70; англ. пер.: Sviridyuk G.A. Solvability of the problem of thermal convection of a viscoelastic incompressible liquid // Sov. Math., 1990. — Vol. 34, No. 12. — P. 80-86.

3. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / Inverse and Ill-posed Problems Series. — Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003. — 216 pp.

4. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // УМ77, 1994. — Т. 49, № 4(298). — С. 47-74; англ. пер.: Sviridyuk С. A. On the general theory of operator semigroups// Russian Math. Surveys, 1994. — Vol. 49, No. 4. — P. 45-74.

5. Свиридюк Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева// Изв. РАН. Сер. матем., 1993. — Т. 57, №3. — С. 192-207; англ. пер.: Sviridyuk С. A. Quasistationary Trajectories of Semilinear Dynamical Equations of Sobolev Type// Russian Academy of Sciences. Izvestiya Ma them a tics, 1994. — Vol. 42, No. 3. — P. 601-614.

6. Свиридюк Г. А., Сукачева Т. Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений// Дифференц. уравнения, 1990. — Т. 26, №2. — С. 250-258.

7. Свиридюк Г. А., Сукачева Т. Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева// Сиб. матем. ж., 1990. — Т. 31, №5. — С. 109-119.

8. Levine 77. A. Some Nonexistance and Instability Theorems for Solutions of Formally Parabolic Equations of Form Dut = —Au + F(u) // Arch. Rat. Mech. Anal., 1973. — Vol. 51, No. 5. — P. 371-386.

9. Борисович Ю.Г., Звягин В. Г., Сапронов 70. 77. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере—Шаудера// УМН, 1977. — Т. 32, №4(196). — С. 3-54; англ. пер.: Borisovich Yu. С., Zvyagin V. С., Sapronov Yu. I. Non-linear Fredholm maps and the Leray-Schauder theory // Russian Math. Surveys, 1977. — Vol. 32, No. 4. — P. 1-54.

10. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications / Applied Mathematical Sciences. — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 19. — 408 pp.; русск. пер.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 368 с.

11. Свиридюк Г. А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Матем., 1994. — №1. — С. 62-70; англ. пер.: Sviridyuk С. A. On a model for dynamics of weak-compressible viscous-elastic liquid // Russian Math. (Iz. VUZ), 1994. — Vol. 38, No. 1. — P. 59-68.

12. Сукачева Т. Г. Об одной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка // Дифференц. уравнения, 1997. — Т. 33, № 4. — С. 552-557; англ. пер.: Sukacheva Т. С. On a certain model of motion of an incompressible viscoelastic Kelvin-Voight fluid of nonzero order // Differ. Equations, 1997. — Vol. 33, No. 4. — P. 557-562.

13. Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН СССР, 1991. — Т. 318, №4. — С. 828-831; англ. пер.: Sviridyuk С. А. Semilinear equations of Sobolev type with a relatively bounded operator // Sov. Math. Dokl., 1991. — Vol. 43, No. 3. — P. 797-801.

Поступила в редакцию 29/VI/2010; в окончательном варианте — 10/IX/2010.

MSC: 35R20, 35G25, 35Q72, 35Q35, 76A05

ON A HOMOGENOUS THERMOCONVECTION MODEL OF THE NON-COMPRESSIBLE VISCOELASTIC KELVIN-VOIGHT FLUID OF THE NON-ZERO ORDER

T. G. Sukacheva, O. P. Matveea

Novgorod State University,

41, B. St.-Petersburgskaya, Velikiy Novgorod, 173003, Russia.

E-mails: [email protected], [email protected]

The homogeneous thermoconvection problem of the non-compressible viscoelastic Kelvin-Voight fluid of the non-zero order is considered. The conducted research is based on the results of the semilinear Sobolev type equations theory, because the first initial value problem for the corresponding system of the differential equations in private derivatives is reduced to the abstract Cauchy problem for the specified equation. The concepts of the p-sectorial operator and the resolving semigroup of operators of the Cauchy problem for the corresponding linear homogeneous Sobolev type equation are used. The existence and uniqueness theorem of the solution which is a quasi-stationary semi-trajectory is proved,. The complete description of the phase space is obtained.

Key words: Sobolev type equations, non-compressible viscoelastic fluid, phase space.

Original article submitted 29/VI/2010; revision submitted 10/IX/2010.

Tamara G. Sukacheva (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of Mathematical Analysis. Olga P. Matveeva, Senior Teacher, Dept, of Mathematical Analysis.