CC BY
16
УДК 517.958
DOI: 10.14529/mmph160302
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
А.О. Кондюков
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, Великий Новгород, Российская Федерация E-mail: [email protected]
Описано фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для системы уравнений в частных производных, моделирующей движение несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта высшего порядка в магнитном поле Земли. В рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа доказана теорема существования единственного решения указанной задачи, которое является квазистационарной полутраекторией.
Ключевые слова: несжимаемая вязкоупругая жидкость; уравнения соболевского типа; фазовое пространство.
Введение
Система уравнений
M пт -1 1 1
(1 -sV2)vt =V2v-(vV)v + У У AmsV2wms--Vp-2Qxv +—(Vxb)xb,
m=1 ' ' P PV
Vv = 0, Vb = 0, bt =cV2b +Vx(vxb),
д w „ — (1)
m,0
dt
д w
= v+ am wm,0, am e R-, m = 1,M,
m,s
'-S wm,s-1 + am wms , S = 1 nm - 1
Эг
моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта высшего порядка К(К = п1 + ... + пм) [1] в магнитном поле Земли. Вектор функции V = (у1 (х,г),у2 (х,г), ...,у (х,г))
и Ь = (Ь1(х,г),Ь2(х,г),...,Ь (х,г)) характеризуют скорость и магнитную индукцию соответственно, р = р(х, г) - давление, к - коэффициент упругости, V - коэффициент вязкости, О - угловая скорость, 8 - магнитная вязкость, [ - магнитная проницаемость, р - плотность, Ат 5 - параметры, которые определяют время ретардации (запаздывания) давления.
Прежде всего, надо заметить, что данная система обобщает систему, приведенную в [2, 3] при К = 0 и к = 0 .
Предполагая, что [ = 1 и р = 1, рассмотрим разрешимость задачи Коши-Дирихле
у(х,0) = Уо (х), Ь(х,0) = Ьо (х), wт,, (х,0) = wm,, (х), Ухе В; (2)
у(х, г) = 0, Ь( х, г) = 0, w 5 (х,г) = 0, У( х,г) еЭВ х R+, т = 1, М, 5 = 1, пт -1
для системы (1). Здесь В с Rn, п = 2, 3, 4 - ограниченная область с границей ЭВ класса С~ .
Также надо заметить, что задача (1), (2) входит в круг исследований сред Кельвина-Фойгта, начатых в работах [1, 4], в которых обобщалась система уравнений Навье-Стокса [5, 6] и получены теоремы существования и единственности соответствующих начально-краевых задач.
Случай К = 0 и к = 0 задачи (1), (2) ранее изучался в [7]. Вырожденная модель магнитогидродинамики при К = 0 и к Ф 0 исследовалась в [8]. В данной работе обобщаются результаты, полученные в [9].
Нас будет интересовать разрешимость задачи (1), (2). Рассмотрим эту задачу в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа [10, 11]. Исходя из этого, в первой части статьи изложим абстрактную задачу Коши для полулинейного автономного уравнения соболевского типа (все результаты почерпнуты из монографии [12], поэтому будут приведены без доказательств). Во второй части задачу (1), (2) рассмотрим как конкретную интерпретацию абстрактной задачи.
В третьей части будет установлено существование квазистационарных полутраекторий указанной задачи и описано ее фазовое пространство. В заключении намечены возможные пути дальнейших исследований. Условимся обозначать конец доказательства значком ■.
1. Абстрактная задача
Пусть U и F - банаховы пространства, оператор L е L(U,F), т.е. линеен и непрерывен, причем kerL ^{0}; оператор M :dom M ^ F линеен, замкнут и плотно определен в U, т.е. M е Cl(U; F). Обозначим через UM линеал dom M , снабженный нормой графика || = || |U +1|F ,
т.е. UM = {u е domM: u
11 = 1 MAf
+ |\u\\ }.Пусть оператор F е Cx (UM;F).
Рассмотрим задачу Коши
u(0) = u0 (3)
для полулинейного автономного уравнения соболевского типа
LU = Mu + F (u). (4)
Назовем локальным решением (далее просто решением) задачи (3), (4) вектор-функцию
u е C°° ((0, T);UM), которая удовлетворяет уравнению (4) и такая, что u (t) ^ u0 при t ^ 0 + .
Пусть оператор M сильно (L,p) -секториален (терминологию и результаты см. п. 1.2. [12]). Из [13] известно, что если выполняется это условие, то решение задачи (3), (4) может быть неединственным. Поэтому в дальнейшем мы будем искать только такие решения задачи (3), (4), которые являются квазистационарными полутраекториями. Из [12, с. 32] также известно, что решения задачи (3), (4) существуют не для всех u0 е UM . Поэтому введем еще два определения.
Определение 1. Пусть пространство U расщепляется в прямую сумму U = U0 © U1 так, что kerL с U0. Решение u = v + w, где v(t) е U0, а w(t) е U1 при всех t е (0,T), уравнения (4) назовем квазистационарной полутраекторией, если LV = 0 .
Определение 2. Множество B с UM назовем фазовым пространством уравнения (4), если для любой точки u0 е B существует единственное решение задачи (3), (4), причем u(t) е B .
Исходя из условия сильной (L, p)-секториальности оператора M , пространства U и F будут расщепляться в прямые суммы U = U0 © U1, F = F0 © F1. Здесь U0 и F0 - ядра, а U1 и F1 - образы аналитических разрешающих полугрупп U' и F линейного однородного уравнения LU = Mu .
Указанные полугруппы имеют следующий вид:
U = ПfRi(M)e^dß, Fl = ПJlL(M)e^dß,
Z^/Ll г Z^/Ll г
где Г с pL (M) - контур такой, что arg при причем pL (M) - L -резольвент-
ное множество оператора M , RL(M) = (|L -M)-1 L (Li^(M) = L(|L -M)-1) - правая (левая) L-
резольвента оператора M .
В силу результатов работы [12, с. 33] приведем задачу (3), (4) к эквивалентной системе:
Rut0 = u0 + G(u),u0(0) = u00, U1 = Su1 + H(u),u1(0) = uj. (5)
Здесь uk е Uk, k = 0,1, u = u0 + u1, операторы R = M0-1L0, S = L-1M1, G = M0-1(7 -ß)F, H = L-lQF; (Q е L(F)(= L(F, F)) - проектор, который расщепляет пространство F требуемым образом). Систему (5) назовем нормальной формой задачи (3), (4).
В дальнейшем будем изучать такие квазистационарные полутраектории уравнения (4), для которых RU0 = 0. Для этого будем предполагать, что оператор R является бирасщепляющим [12, с. 34] (его ядро ker R и образ im R дополняемы в пространстве U). Положим U00 = kerR, обозначив через U01 = U0 - U 00 некоторое дополнение к подпространству U00. Тогда первое уравнение системы (5) примет вид
Кондюков А.О. Обобщенная модель несжимаемой вязкоупругой жидкости
в магнитном поле земли
RU01 = и 00 + и 01 + G (и), (6)
где и = и00 + и01 + и1.
В работе [12, с. 34] доказана теорема, дающая необходимые условия существования решения уравнения (4).
Теорема 1. Пусть оператор M сильно (L, p) -секториален, оператор R бирасщепляющий и существует квазистационарная полутраектория уравнения (4). Тогда она удовлетворяет соотношениям
0 = и00 + и01 + G(u), и01 = const. (7)
Перейдем теперь к рассмотрению достаточных условий. Из [12, с. 35] известно, что если оператор M сильно (L, p) -секториален, то оператор S секториален. Это означает, что оператор
M порождает на U1 аналитическую полугруппу. Обозначим ее через {ü[ : t > 0} , так как оператор U является сужением оператора Ut на U1. Из расщепления U = U0 © U1 вытекает, что существует проектор P е L(U). Этот проектор соответствует данному расщеплению. Но P е L(UM) и, следовательно, UM расщепляется в прямую сумму U = U° © UM так, что вложение UM с Uk,к = 0,1, плотно и непрерывно.
В работе [12, с. 35] также доказана теорема , которая дает достаточные условия существования решения уравнения (4).
Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L, p) -секториален, оператор R бирасщепляющий,
а оператор F принадлежит Cх (UM;F). Пусть, кроме того,
А1) в некоторой окрестности Ou<¡ с Um точки и0 выполнено соотношение
0 = UJ1 + (I - PR )(G(u00 + и0 + и1)); (8)
А2) проектор PR принадлежит L(U°) и оператор I + PRG'0 : UMM ^ UMM - топлинейный
и0
изоморфизм (UM = UM n U00);
А3) для аналитических полугрупп {U : t > 0} выполнено соотношение
í| NL^/t <~reR+. (9)
0" L(U ;um )
Тогда существует единственное решение задачи (3), (4) являющееся квазистационарной полутраекторией уравнения (4).
Замечание 1. Соотношение и01 = const из (7) поясняет смысл термина «квазистационарные полутраектории», т.е. это такие полутраектории, которые «стационарны по некоторым переменным». Понятие квазистационарной полутраектории в динамическом случае совпадает с понятием квазистационарной траектории [13].
Замечание 2. Из условия А1) теоремы 2 следует, что окрестность Ou¡¡ является частью фазового пространства уравнения (4).
Замечание 3. Для обычных аналитических полугрупп, которые имеют оценку
j j < const/1, условие (9) не выполняется. Так как в дальнейшем мы собираемся исполь-
L(U ;UM )
зовать теорему 2 именно в таком случае, сделаем некоторые необходимые пояснения. Обозначим через Ula = [U 1;U1M]а,ае [0,1], некоторое интерполяционное пространство, построенное по оператору S. Условие F е Cх (UM; F) в теореме 2 дополним условием H е C~ (UM üO), а условие (9) заменим на
Т
ЛU ! ! dt < ^,те R+. (10)
J II 1 L(U l;Ula) +
Тогда утверждение теоремы 2 не изменится (обсуждение круга этих вопросов см. в [12, с.38]).
U
Теперь пусть Uk и Fk - банаховы пространства, операторы Лк линейны и непрерывны (т.е. принадлежат L(Uk,Fk)), а операторы Bk : domBk ^ F линейны и замкнуты с областями определений dom Вк плотными в Uk, к = 1,2 . Построим пространства U = U1 X U2, F = F X F2 и операторы L = Л1 ® Л2, M = В1 ® В2 . По построению оператор L принадлежит L е L(U,F), а оператор M :dom M ^ F линеен, замкнут и плотно определен, dom M = dom B1X dom B2 . В [12, с. 38] приведена
Теорема 3. Пусть операторы Bk сильно (Лк, pk) -секториальны к = 1,2. Тогда оператор M сильно (L,p) -секториален, p = max(p1,p2).
2. Конкретная интерпретация
Редуцируем задачу (1), (2) к задаче (3), (4). Во многих задачах гидродинамики использование градиента давления предпочтительнее рассмотрения давления, поэтому перейдем от системы (1) к системе
M nm -1 _
(1 - aV2)V, = vV2v -(v• V)V + X Ё Am, ,V2Wm, , -p -2ПхV + (VXb)Xb,
m=1 s=0 2
V(V^ v) = 0, V(V- b) = 0, bt =^V 2b + VX (v X b)
dwm,0 dt dw„
_ (11)
= V + «m»m0, am е R-, m = 1, M,
■ = ™т, ,- + 0^, , , 5 = 1, Пт - 1.
Подробное обоснование такого перехода см., например, в [12]. Теперь нас будет интересовать разрешимость задачи (11), (2). Следуя работе [12], введем пространства Я2,НП,Н2 и НП .
Нр - подпространство соленоидальных функций в пространстве (^22(П))" П(^2(П))" . Н2-
подпространство соленоидальных функций в пространстве (Ь2(П))" . НП и НП - ортогональные
в смысле (Ь2(П))" дополнения Нр и Н2 соответственно. Ортопроектор на Н2 будем обозначать через X. Причем, этим же символом будет обозначаться его сужение на пространство
(Ж22(П))" П Щ)" . Положим П = I - X . Формулой А = V2Еп (Еп - единичная матрица порядка п) зададим линейный непрерывный оператор А : Нр © НП ^ Н2 © НП с дискретным конеч-нократным спектром <г(А) с Я, который сгущается лишь на . Формулой Ву : V ^V(V•v) (Вь : Ь ^ V(V • Ь)) зададим линейный непрерывный сюрьективный оператор Ву (Вь): Нр © Н2П ^ НП с ядром кег Ву = Вь = Н2а . Положим и10 = Н2а X Н2П X Нр,
Fw = HffX H^ X Hp, где Ия= Hp ; U1; = H2 П H1 = H2a X H^, и F = L2 = Ha X Нж, i = 1, Г . Тогда [ространства U1 =6 Л1 = diag[ Л1, EK ], где
пространства U1 = ©^ Uu, F1 = ©^ F1l. Оператор Л1 : U1 ^ F1 определим формулой
Л1 =
f Л1 о ^ о о
Л1 =
f Х(1-ЛЛ)Х ХЛ (1-ЯЛ)П ^
П(1-ЛА)Х ПА (I-ДА)П Положим оператор В1: и1 ^ равным оператору М1 (см. [12, с. 49]).
Замечание 4. Пространства и1 и F1 определяются в точности так же, как пространства и и F п. 2.2. [9]. Оператор А1 определяется точно так же, как оператор Ь в п. 2.2. [12].
Замечание 5. Сужение оператора ХЛ на Н2 обозначим через Ла . В силу теоремы Солонни-кова-Воровича-Юдовича спектр ст(Ла) вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается лишь на .
Теорема 4. (1) Операторы Л1,В1 е £(и1,—1), и, если к-1 г <г(Л), то оператор Л1 - бирасщеп-ляющий кегЛ1 = {0}х{0}хНр х{0}х...х{0}, тЛ1 = НахНпх(0}х—п х—12х...х—1к .
к
(и) Если к"1 г а(Л)и^(Ла), то оператор В1 (Л1,1)-ограничен, причем порядок несущественной особой точки в бесконечности равен единице.
Доказательство. Утверждение теоремы есть прямое следствие результатов [12, с. 73].■ Далее положим и2 = — = ¿2 (В) и равенством В2 = 3У2 ^отВ2 ^ —2 определим линейный
замкнутый и плотно определенный оператор В2 , ^т В2 = Ж22 (В) п W2L (В). Положим Л2 =1.
Теорема 5. Оператор В2 сильно Л2 -секториален.
Доказательство. Утверждение теоремы следует из секториальности оператора В2 [2, гл.1] ■ Положим и = и1 х и2, — = -1 х —2. Вектор и пространства и имеет вид и = со1(иа, и„, ир, ^к, иь), где со1(иа, и„, ир, м^,..., Wк) е и1, а иь еи 2, Ьае Н2, Ъяе Н2Я.
Здесь иа = иж= (I -= Пу, ир = р . Элемент /е —, где / = со1(/а, /ж,{.ОО),
к+1
/а = 1/, /п = П/. Операторы Ь и М определены формулами Ь = Л1 ® Л2 , М = В1 ® В2 . Оператор Ь е Ь(и, —), а оператор М ^от М ^ — линеен, замкнут и плотно определен, ^т М = и1 х dom В2 .
Теорема 6. Пусть к-1 г <г(А), тогда оператор М сильно (Ь, 1) -секториален. Доказательство. Из теоремы 4 и п. 3.2. [12, с. 74] вытекает, что оператор В1 сильно Л1-секториален. В силу этого и теорем 3 и 5 справедливо утверждение теоремы 6. ■
Построим нелинейный оператор —. В нашем случае его можно представить в виде
— = —1 ® —2, где —1 = —1(иа, иж, Ъ) = со1(-1(((иа + иж)-У)(иа + ия) - 2Пх(иа + ия) + (УхЪ)хЪ), -П(((иа+ип)-У)(иа + ип)-2Пх(и^+ ип)+(УхЪ)хЪ),О,.00), —2 = —2^,и„,Ъ) =Ух((и^+ иЛ)хЪ). В
к+1
данном случае иМ = и1 х dom В2.
Теорема 7. Оператор — принадлежит С~ (иМ;—).
Доказательство. Утверждение теоремы 7 вытекает из того, что при любых и е иМ оператор
— принадлежит Ь(иМ; —), вторая производная Фреше оператора — - непрерывный билинейный оператор из иМ х иМ в —, а О (аналогично [12, с. 74]) ■
Итак, редукция задачи (1), (2) к задаче (3), (4) завершена.
3. Фазовое пространство и квазистационарные полутраектории
Далее будем отождествлять задачи (1), (2) и (3), (4). Перейдем теперь к проверке условий теорем 1, 2.
Лемма 1. Пусть к'1 га(Л)Ла). Тогда оператор Я бирасщепляющий, причемРЯ еЬ(и°). Доказательство. В силу теоремы 4 и результатов пункта 3.2. из [12] существует аналитическая полугруппа {и': ' е Я+} разрешающих операторов уравнения (4). В нашем случае естественно представить ее в виде и' = V' х Wt, где V' ) - сужение оператора и' на и1(и2). Исходя из того, что оператор В2 секториален, Wt = ехр('В2), откуда следует, что ядро этой полугруппы W° = {0}, а образ W1 = и2 . Рассмотрим полугруппу {V' : 'е Я+ }. В силу теорем 4 и 6
и результатов пункта 3.2. из [12] данная полугруппа продолжима до группы {Vt: tе Я}. Ее ядро V0 = и00 © и01, где и100={0}х {0}х Нр X {0}х... X {0}(=кег А1 в силу теоремы 4), а
и01 =ХА~К1 АКП[нП]хНП х{0}х„.х{0}. Здесь Ак = I-кА, АкП - сужение оператора ПА^1 на
к +1
НП. Хорошо известно, что при условии к-1 й <г(А)А2), оператор АкП : НП ^НП является топлинейным изоморфизмом [17]. Через и1 обозначим образ V1. Тогда из того что, оператор В1 сильно (А1,1)-секториален вытекает то, что пространство и1 разлагается в прямую сумму подпространств и1 = и00 © и0 © и1. Построим оператор Я (см. (5), (6)). В нашем случае Я = В-1 А10 е ¿(и!00 © и01). Здесь А10(В10) - сужение оператора А1(В1) на и00 © и01 (В силу соответствующих результатов из [12, с. 75] и теоремы 6, легко показать, что оператор В-1 существует). По построению кег Я = и00, а в работе [14] показано, что т Я = и01. Следовательно, оператор Я бирасщепляющий. Через РЯ обозначим проектор пространства и00 © и01 на и00 вдоль и01. В силу конструкции пространства им проектор РЯ принадлежит
Ь{иМ), где иМ = им п(и00 © и 11)(= и 10 © и 11). Итак, утверждение леммы 1 доказано. ■ Лемма 2. В условиях леммы 1 любое решение задачи (1), (2) лежит во множестве
М "т-1
М = {и еим : Ып = 0, Ьп = 0, Ыр = П (уАа - (ыа • V)ua + £ £ Ат^ V2 wmq - 2Пх иа + (Vх Ьа) х Ьа)}.
т=1 q=0
Доказательство. Формулами (2.2.9), (2.2.10) из [12] определим проекторы Рк, Qk, к = 0,1. Из соответсвующих результатов [12] и в силу того, что ядро Ж0={0}, следует, что I - Р = (Р0 + Р1)® О, Q = (1 - Q0 - Q1)® I, Р : и ^ и1, Q : F ^ F1. Применим проектор I - Р к уравнению (4), тогда получим уравнения
П(уА(иа + Ып) - ((и2 + Ып) • V)(Ы2 + Ып) +
М "т -1
+££ Am,qV2Wm,q - Ыр - 2Пх (иа + Ып) + (Ух Ь) х Ь) = 0, (12)
т =1 q=0
ВЫп =0, ВЬп =0.
В силу свойств оператора В и теоремы 1 получим необходимое условие квазистационарности полутраектории ып = 0, ЬП = 0. Это значит, что все решения нашей задачи (если они существуют) с необходимостью должны лежать в плоскости В = {ые^М :ип=0,Ьп =0}.
В силу того, что Пир = ир, из первого уравнения (12) получаем соотношение (7), т.е. в нашем случае
М "т -1
Ыр = ЩуАиа -(ua■V)ua + £ £ Ат^V2Wmqq -2Пхи2 + ^хЬр)хЬа). (13)
т=1 q=0
Из тождества Р0 = РЯ следует, что второе и третье уравнение в (12) есть соотношение (8) применительно к нашему случаю. В силу этого, справедливо утверждение леммы 2. ■
Замечание 6. Из соотношения (13) вытекает условие А2) теоремы 2 для любой точки
и° еиМ°( = и00 х {0}). Поэтому аналогично [12, с. 77] получаем, что множество М - простое банахово многообразие С~ -диффеоморфное подпространству и1 х и2, является кандидатом на роль фазового пространства задачи (1), (2) ((11), (2)).
Лемма 3. В условиях леммы 1 выполняется соотношение (9).
Доказательство. Проверим условия (9), (10). Построим пространство Ua = U1 XW2(D). Очевидно, данное пространство будет интерполяционным пространством для пары [U ,UM ]а, где а = 1/2. Как отмечалось ранее, полугруппа {U : tе R+} продолжима до группы {V1t: t е R} на U, причем V1 - сужение оператора V1 на U. Так как UM = UM П U по построению, оператор B1 непрерывен (в силу теоремы 4) и полугруппа {U1: t е R+} равномерно ограничена, получим неравенство
}МЦ„М )d S "HI«ВД) JT||V1t|L(Ui>dt <-■ те R+. (14)
Согласно неравенству Соболева [12, с. 77], полугруппа {Wt: t е R+} удовлетворяет оценке
Т
f|Iw1 ° dt <~. (15)
0Н L (dom B2;W2( D))
Пусть Ula = Uan Uгде U1 = U\ X U2 . Тогда из неравенств (14) и (15) следует, что справедливо утверждение леммы 3. ■
Теперь найдем оператор H , учитывая условие (10). Его естественно представить в виде
H = H1 ® H2, причем H1 = A-i(I -Q0 -Q1)F1, а H2 = F2 (A11 - сужение оператора A1 на Ц1.). Для оператора H справедливо утверждение, аналогичное теореме 7 для оператора F, т.е. Hе C~(UM;U^, где Ula = ^ПU1.
Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда вытекает справедливость следующей теоремы
Теорема 8. Пусть к- £о(A) Uc(Aa). Тогда при любом u0, таком, что u0 е M, и некотором Tе R+ существует единственное решение u = (ua,0,up,ub) задачи (1), (2), являющееся квазистационарной полутраекторией, причем u(t) е M при всех t е (0,T).
Заключение. Следующим этапом исследования станет проведение вычислительного эксперимента для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта в магнитном поле Земли. Кроме того было бы интересно перенести идеи и методы теории полулинейных уравнений соболевского типа на «стохастическую» ситуацию [15], а также на обратные и другие задачи [16, 17].
Автор выражает глубокую благодарность професору Т.Г. Сукачевой за постановку задачи и полезные советы, а также профессору Г.А. Свиридюку за интерес к данным исследованиям и поддержку.
Работа поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации (государственное задание № 1.857.2014/К).
Литература
1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Труды матем. ин-та АН СССР. - 1988. - № 179. - С. 126-164.
2. Хенри, Д. Геомерическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. -М.: Мир, 1985. - 376 с.
3. Hide, R. On planetary atmospheres and interiors / R. Hide. - Mathematical Problems in the Geophysical Sciences I, W.H. Reid ed., Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971.
4. Осколков, А.П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром, аппроксимирующей систему Навье-Стокса / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1971. -Т. 21. - С. 79-103.
5. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961. - 204 с.
6. Темам, Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981. - 408 с.
7. Chen, F. On the differential system governing fluids in magnetic field with data in Lp/ F. Chen, P. Wang, C. Qu // Internat. J. Math. Math. Sci. - 1998. - V. 21, № 2. - P. 299-306.
8. Сукачева, Т.Г. Фазовое пространство одной задачи магнитогидродинамики / Т.Г. Сукачева, А О. Кондюков // Дифф. уравнения. - 2015. - Т. 51, № 4. - С. 495-501.
9. Кондюков, А.О. Об одной модели магнитогидродинамики ненулевого порядка / А.О. Кондюков, Т.Г. Сукачева // XVI Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике, летняя сессия, Челябинск, 21-27 июня 2015, с. 75.
10. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения- 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.
11. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т. 31, № 5. -С. 109-119.
12. Матвеева, О.П. Математические модели вязкоупругих несжимаемых жидкостей ненулевого порядка / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева. - Челябинск: Издательский Центр ЮУрГУ, 2014. -101 c.
13. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. матем. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
14. Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Матем. - 1994. - № 1. - С. 62-70.
15. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Sectorial Operators in Space of "Noises" / A. Favini, G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova // Hidawi Publishing Corporation. Abstract and Applied Analysis. - Vol. 2015. - p. 8.
16. Favini, A. Perturbation methods for inverse problems related to degenerate differential equations / A. Favini // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2014. - Vol. 1, № 2. -P.32-44.
17. Elliptic Problems with Robin Boundary Coefficient-Operator Conditions in General Lp Sobolev Spaces and Applications / M. Cheggag, A. Favini, R. Labbas , S. Maingot , A. Medeghri // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. -2015 - Vol. 8, no. 3. - P. 56-77.
Поступила в редакцию 18 мая 2016 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2016, vol. 8, no. 3, pp. 13-21
DOI: 10.14529/mmph160302
GENERALIZED MODEL OF INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC FLUID IN THE EARTH'S MAGNETIC FIELD
A.O. Kondyukov
Yaroslav-the-Wise Novgorod State University, Veliky Novgorod, Russian Federation E-mail: [email protected]
The initial boundary value problem for a system of partial differential equations modeling the dynamics of Kelvin-Voigt incompressible viscoelastic fluid of higher order in the Earth's magnetic field is studied. Problems of this type arise in the study of the process of rotation of a certain volume of fluid in the Earth's magnetic field. Research of the models of Kelvin-Voigt media has its source in the scientific works by A.P. Oskolkov, who summarizes the system of Navier-Stokes equations and theorems of unique existence of solutions to the corresponding initial boundary value problems. Subsequently, these models are studied by G.A. Sviridyuk and his followers. This model is studied for the first time and summarizes corresponding results for the model of magnetohydrodynamics of the nonzero order. The article deals with local unique solvability of chosen problem in the framework of the theory of autonomous semilinear Sobolev type equations. The main method is the method of phase space. The basic tool is
the notion of /»-sectorial operator and resolving singular semigroup of operators generated by it. In other words, the semigroup approach is used in the research. Besides the introduction, conclusion and reference list, the article includes three parts. In the first part of the article, the abstract Cauchy problem for semilinear autonomous equation of Sobolev type is presented. Here the concepts of Cauchy problem for Sobolev type equations, the phase space, quasi-stationary semitrajectory are introduced, and the theorems providing necessary and sufficient conditions for the existence of quasi-stationary semitrajectories are presented. In the second part, the Cauchy-Dirichlet problem is considered as a specific interpretation of the abstract problem. In the third part, the existence of a unique solution to the problem, which is a quasi-stationary semitrajectory is proved, and the description of its phase space is obtained. In conclusion, the possible ways of further research are outlined.
Keywords: incompressible viscoelastic fluid; Sobolev type equations; phase space.
References
1. Oskolkov A.P. Trudy matem. instituta ANSSSR, 1988, no. 179, pp. 126-164. (in Russ.).
2. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1981, 348 p. (in Eng.). DOI: 10.1007/BFb0089647
3. Hide R. On Planetary Atmospheres and Interiors, in Mathematical Problems in the Geophisical Sciences. 1, W.H. Raid, Ed., Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1971.
4. Oskolkov A.P. Zapiski nauchnogo seminara LOMI, 1971, Vol. 21, pp. 79-103. (in Russ.).
5. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible flow. N.Y., London, Paris, Gordon and Breach, 1969, 234 p.
6. Temam R. Uravnenie Nav'e-Stoksa. Teoriya i chislennyy analiz [Navier-Stokes Equation. Theory and Numerical Analysis]. Moscow, Mir Publ., 1981, 408 p. (in Russ.). [Temam R. Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, Amsterdam-New York-Oxford, North-Holland, 1977, 500 p. (in Eng.).]
7. Chen F., Wang P., Qu C. On the differential system governing fluids in magnetic field with data in Lp. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 1998, Vol. 21, no. 2, p. 299306. DOI: 10.1155/S0161171298000416
8. Sukacheva T.G., Kondyukov A.O. Phase space of a model of magnetohydrodynamics. Differential Equations, 2015, Vol. 51, no. 4, pp. 502-509. DOI: 10.1134/S0012266115040072
9. Kondyukov A.O., Sukacheva T.G. Ob odnoy modeli magnitogidrodinamiki nenulevogo poryadka [About a magnetohydrodynamics model of non zero order]. XVI Vserossiyskiy Simpoziumpoprikladnoy i promyshlennoy matematike, letnyaya sessiya, Chelyabinsk, 21-27 iyunya 2015 [XVI All-Russian Symposium on Applied and Industrial Mathematics, summer session, Chelyabinsk, 21-27 June 2015], p. 75.
10. Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. Differ. Uravn., 1990, Vol. 26, no. 2, pp. 250-258. (in Russ.).
11. Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal, 1990, Vol. 31, no. 5, pp. 109-119.(in Russ.).
12. Matveeva O.P., Sukacheva T.G. Matematicheskie modeli vyazkouprugikh neszhimaemykh zhid-kostey nenulevogo poryadka [Mathematical models of viscoelastic incompressible fluid of nonzero order], Chelyabinsk: Publ. Center of the South Ural State University, 2014, 101 p. (in Russ.).
13. Sviridyuk G.A. Izv. RAN. Ser. matem, 1993, Vol. 57, no. 3, pp. 192-207. (in Russ.).
14. Sviridyuk G.A. On a model of the dynamics of a weakly compressible viscoelastic fluid. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1994, Vol. 38, no. 1, pp. 59-68. (in Russ.).
15. Favini A., Sviridyuk G.A., Manakova N.A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively. p-Sectorial Operators in Space of "Noises", Abstract and Applied Analysis, 2015, p. 8, Article ID 697410. DOI:10.1155/2015/697410
16. Favini A. Perturbation methods for inverse problems related to degenerate differential equations. Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2014, Vol. 1, no. 2, pp. 32-44.
17. Cheggag M., Favini A., Labbas R., Maingot S., Medeghri A. Elliptic Problems with Robin Boundary Coefficient-Operator Conditions in General Lp Sobolev Spaces and Applications. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2015, Vol. 8, no. 3, pp. 56-77. DOI: 10.14529/mmp150304
Received May 18, 2016
