CC BY
24
MSC 35Q05
О ВОЗМУЩЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ ПЕРЕМЕННЫМ ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
А.Н. Бабаев, А.В. Глушак
Белгородский государственный университет, ул.Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: BabaevObsu.edu.ru, GlushakObsu.edu.ru
Аннотация. Рассматривается задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при возмущении постоянного неограниченного оператора переменным ограниченным оператором.
Ключевые слова: уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, возмущение, переменный ограниченный оператор.
Пусть А — неограниченный замкнутый оператор и к > 0. В банаховом пространстве Е рассмотрим задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу
к
и"Ц) + ~£и> (1) = (1)
п(0) = и0, и'(0) = 0. (2)
Под решением задачи Коши (1), (2) мы будем понимать дважды непрерывно дифференцируемую на интервале (0, +то) функцию п(£), удовлетворяющую уравнению (1) на интервале (0, +то) и условию (2).
Класс операторов А, с которым задача Коши (1), (2) равномерно корректна, обозначим через О к, а соответствующий разрешающий оператор, который назовем операторной функцией Бесселя (ОФБ), — через Ук(Ь), т.е.
и(г) = Ук^)ио . (3)
Критерий равномерной корректности и свойства ОФБ Ук (¿) изучались в работе [1]. В работе [2] исследован вопрос о принадлежности О к , к > 0 возмущённого оператора А + В в случаях, когда В — постоянный ограниченный оператор или В £ От, т > 0.
В настоящей работе рассматривается случай, когда уравнение (1) возмущается переменным ограниченным оператором В (¿). При доказательстве основного утверждения использованы результаты работ [3], [4].
Пусть В(Ь) — переменный, ограниченный сильно непрерывный оператор. В банаховом пространстве Е рассмотрим уравнение
к
м"(£) + ~и'^) = (А + В(1))и(1). (4)
Работа второго автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 13-01-00378.
Теорема 1. Пусть А £ Ок, к > 0, а О(1,в) — сильно непрерывный при Ь > 5 > 0 оператор, удовлетворяющий операторному дифференциальному уравнению
д2С(г,в) к2 - 2к . д2С(г,в) к2 - 2к .
С(М) - ВЦ)С(1,з) =—------------------—— С(М) (5)
dt2 4t2 ’ ’ ds2 4s2
и граничным условиям
d^1 = -2 m, ишс((,.).'м^ = о. (в)
Тогда функция
t
u(t) = Yk(t)u0 + t-k/2 J G(t, s)sk/2Yk(s)u0ds (7)
0
является решением задача Коши (4), (2).
□ Заметим, что из (1), (3) следует, что для первого слагаемого в представлении (7) справедливо равенство
d2 k d
W2 (Yk(t)uo) + ~tJt (Yk(t)uo) = ^.(i)«o. (8)
Обозначим второе слагаемое в представлении (7) через $(t), т.е.
t
Ф^) = t-k/2 J G(t, s)sk/2Yk(s)uo ds. (9)
0
Дважды дифференцируя (9) по t, будем иметь t
Ф'(*) = i“fc/2 J s) - |t~lG{t, s)^ S ds + G(i,i)Ffc(i)Mo, (Ю)
t
Ф"(*) = rfc/2 J s) - kt~l^G{t, s) + Д | h t~2G(t, s)^ x
o
d k d
x sk/2Yk(s)u0 ds + \ 2—G(t,t) - -t~lG{t.,t) \ Yk(t)u0 + G(t,t)—Yk(t)u0. (11)
Пусть теперь
k
Ф(*) = Ф"(*) + уф'(*). (12)
Тогда, используя равенства (10), (11), получим
t
Ф(£) = t~k/2 J (J^G(t, s) - ^—^G(t, s)^j sk/2Yk(s)u0 ds+
/ й к \ й
\ ^ ^(^,і)—Уіг(1:)ио- (13)
Обозначим интеграл, стоящий в правой части (13) через I(ї) и упростим его, используя (5). В результате, находим
і
Г / д2 к2 — 2к \
/(і) = у в) - 4 " Г2С(і, зН 2))А»)Н,, (1в =
0
і і
/Я2 к2 — 2к Г
—С(і, з)зк/2¥к(з)и0 ¿в--5)5А'/2_21'А.(5)г/-о (Ів+
00
і
+ 1 Б(г)0(г}в)вк/2Ук(в)щ йв. (14)
0
Рассмотрим первый интеграл, стоящий в правой части (14), проинтегрировав дважды по частям,
і
J ~0^2 5)5^2^г(5)и° ^8 = — Ік//2 ^ ^ С(І, І) ^Ук(£) + и°^ +
0
і і к2 — 2к [' ч ../о о,, , ч , [' ч г,/о / й2 _ „ ч к й
+
4 J С(і, з)зк/2-2Ук(з)щ (18 + I С(і, фА'/2 Ио (15)
00
Подставляя (15) в (14) и упростив, получим
/(¿) — —Ік^2 ^Ук(1;) + г/,°^ ^ 8)8к^2Ук(8)'ио (¿5 +
0
і
+ J С(і, фА’/2 (^~2Ук(^) + Ио (16)
Подставляя (16) в (13) и упростив, будем иметь
і
Ф(і) = (А + Б(і))і-к/2 І С(і, в)вк/2Ук(в)ио йв + Б(і)Ук(і)по =
0
= (А + Б(г))<р(г) + Б(ї)Ук(г)щ. (17) Возвращаясь к (7), используя (8), (9), (12) и (17), находим
к
и" (і) + = АУк(і)и0 + {А + Б(і))Ф(і) + В(і)Ук(і)и0
і
или
к
и" Ц) + ^и'Ц) = (А + в(г))и(г).
Таким образом, определяемая равенством (7) функция и(Ь) является решением задачи Коши (4), (2) для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. I
Рис. 1. Области интегрирования.
Теорема 2. Дифференциальное уравнение (5) с условиями (6) эквивалентно интегральному уравнению
H(tv) = т [ v(y,'n)B(y/y)yp dy + [ f v(z,y)B(y/y + yfz)H(y,z) dydz, (18)
4 J J JOBPA
0
где
1„, s k — 1
2
y = -(t + s)2, z=-(t — s)2, G(t,s) = (y — z) p+2H(y,z), p
4х ' ’ 44 ' ’ 4 ’ ' ^ ^ 4
а функция у(г,в) непрерывна внутри областей ОВС и САРВ (см. рис. 1)и задаётся формулами
v(y, z) = (n - y) a(z - 0 a(z - y) a2Fi a,a, 1
(У - V)(z - 0
в области CAPB. Здесь 2F1 — гипергеометрическая функция, и
v(y, z) = SlnJra - €)*"*"(*' -«)(=- {Г*(Ч - VT-1 *
x 2Д ( 1 - a, 1 - a, 2 - 2a, ^ ~ ^ ~ ^
(y - n)(z - 0
в области OBC.
На рис. 1, граничные условия заданы на оси Oy и прямой OK, прямые PA, PB и BC - это y = £, z = п и y = п, соответственно.
□ Доказательство теоремы аналогично рассуждениям § 2 работы [3]. I Теорема 3. Интегральное уравнение (18) имеет решение внутри области 0 < п < £.
□ Доказательство теоремы проводится методом последовательных приближений и повторяет рассуждения § 3 работы [3]. I
Обозначим далее
í (1 - k)-1 (tl-kskY2-k(t)Yk(s) - sYk(t)Y2-k(s)) uo, для k> 0, k = 1;
J(t, s)u0 = < (19)
| s (Zi(t)Yi(s) - Yi(t)Zi(s)) uo, для k = 1,
где Z1(t)u0 - оператор-функция, определяемая равенством
i
Zi(t)u0 = ~ J (! “ s2)_1/2ln (¿(1 - s2))Y0(t)u0.
o
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1 и пусть для s < t справедлива оценка
IIJ(t,s)\\< M(t - s)e“(t-s). (20)
Тогда определяемая равенством (7) функция u(t) является единственным решением задачи Коши (4), (2) для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.
□ Учитывая теоремы 1-3, нам осталось доказать лишь единственность решения задачи Коши (4), (2) с нулевыми начальными условиями (2).
Предположим противное, а именно, что существует w(t) : R ^ D(A), удовлетворяющая задаче Коши (4), (2) с нулевыми начальными условиями (2). Тогда w(t) удовле-
творяет (см. [4]) интегральному уравнению
t
w(t)= J(t,T)B(t)w(t) dr, (21)
где J(t,T) определена в (19).
Обозначив K = sup (\\В(т)||) и mt = sup (||w(t)||), мы получим
т €[0;t]
t
mt < [ M(t — т)еш[г~т]Kmtdr < МКггце— < mt,
J u
0
если t выбрано достаточно малым. Это значит, w = 0 на [0; t0]. Аналогично, w = 0 на [t0; 2t0] и, следовательно, w = 0 на [0; +œ). Последнее и означает единственность. I
Отметим, что частный случай теоремы 4, когда B(t) = q(t)I и q(t) - скалярная функция, рассмотрен ранее в работе [15].
Литература
1. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // ДАН. - 1997. - 352;5. - С.587-589.
2. Глушак А.В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Матем. заметки. - 1996. - 60;3. - С.363-369.
3. Волк В.Я. Научные сообщения и задачи о формулах обращения для дифференциального уравнения с особенностью при x=0 // Успехи математических наук. - 1953. - VIII №4 (56) №6. - С.141-151.
4. Глушак А.В., Кононенко В.И., Шмулевич С.Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши // Известия ВУЗов. Математика. - 1986. - №6. - С.55-56.
5. Глушак А.В. Регулярное и сингулярное возмущения абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Математические заметки. - 1999. - 66;3. - С.364-371.
ABOUT PERTURBATION OF CAUCHY PROBLEM FOR THE EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION BY VARIABLE BOUNDED OPERATOR A.N. Babaev, A.V. Glushak
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, email: BabaevObsu.edu.ru, GlushakObsu.edu.ru
Abstract. Cauchy’s problem for the Euler-Poisson-Darboux equation is under consideration in the case when constant unbounded operator is perturbed by variable bounded operator.
Key words: The Euler-Poisson-Darboux equation, perturbation, variable bounded operator.
