CC BY
49
УДК 517.983
К ВОПРОСУ О ВОЗМУЩЕНИИ АБСТРАКТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
Х.К. Авад, А.В. Глушак
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, г. Белгород, 308015, Россия, e-mail: GlushakObsu.edu.ru
Аннотация. Исследуется разрешимость задачи типа Коши для уравнения с дробными производными Римана-Лиувилля после ее возмущения неограниченным оператором.
Ключевые слова: уравнение с дробными производными, задача типа Коши, возмущение неограниченным оператором.
В банаховом пространстве E рассмотрим следующую задачу типа Коши
Dau(t) = Au(t) + Bu(t), t> 0, (1)
lim Da-1u(t) = u0, (2)
t——0
t
где 0 < а < 1, Da~1u(t) = Il~au(t) = —--------r (t — s)~au(s) ds — левосторонний дроб-
Г(1 - a) J
0
ный интеграл Римана-Лиувилля порядка 1 — a (11-а — тождественный оператор при d
а = 1), Dau(t) = —Il~au{t) — левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля
порядка а, Г(-) — гамма-функция, A — линейный, замкнутый, плотно определенный оператор, наконец, B — также линейный, замкнутый, плотно определенный, и, вообще говоря, неограниченный оператор, рассматриваемый как возмущение оператора A.
Излагаемые в дальнейшем результаты примыкают к теории возмущений по Миядере генераторов полугрупп (см. [1 - 3]). Рассматривается вопрос о том, как отражается на разрешимости задачи (1), (2) добавление слагаемого, содержащего оператор B, который в некотором смысле подчинен оператору A. Будут указаны условия, при выполнении которых разрешимость задачи сохранится и после возмущения оператора A неограниченным оператором B.
Наряду с задачей (1), (2) рассмотрим невозмущенную задачу
Dau(t) = Au(t), t > 0, (3)
lim Da-1u(t) = u0. (4)
t0
Работа второго автора поддержана РФФИ (грант 10-01-00062)
Определение 1 Решением задачи (3), (4) называется непрерывная при t > 0 функция u(t) такая, что 11-au(t) представляет собой непрерывно дифференцируемую при t >
0 функцию, функция u(t) принимает значения в D(A) (D(A) — область определения оператора A) и удовлетворяет (3), (4).
Определение 2 Задача (3), (4) называется равномерно корректной, если существует заданная на E, коммутирующая с A операторная функция Ta(t) и числа M1 > 0, и G R такие, что для любого u0 G D(A) функция Ta(t)u0 является ее единственным решением и при этом
||T«(t)|| < Mita-1e^. (5)
Согласно определению 2 задача (3), (4) равномерно корректна, если решение этой задачи существует, единственно и, как следует из (5), непрерывно зависит от начальных данных равномерно по t из любого компакта в (0, то). Помимо этих обычных требований определение 2 содержит дополнительную информацию о поведении решения при t ^ 0 и t ^ то (неравенство (5)).
Сформулируем далее условия, при которых будет установлена однозначная разрешимость задачи (1), (2).
Условие 1 Оператор A таков, что задача (3), (4) равномерно корректна и u0 G D(A).
Укажем, что равномерная корректность задачи (3), (4) исследовалась в [4-6].
Условие 2 D(A) С D(B) и для любых x G D(A), t > 0 существуют постоянные M2 > 0, ^ > 0, и G R такие, что
Iа {е-ші\\БТа(г)х\\) < Ы2 Ьа+^-1\\х\\. (6)
Пример. Пусть х Є Е(А) и оператор —А является сильно позитивным (терминология
заимствована из [7]), т.е.,
II (Л/- А)"1 II < М^Л|, Ке Л > 0, М3>0.
III ' 11 - 1 + |А|’ “ 3
Оператор A будет генератором равномерно ограниченной Со-полугруппы T(Ь). Возьмем оператор B, удовлетворяющий неравенству
||БТа(Ь)х\| < М0Ь-1 ||х||, Ь Є (0, то), 7 Є [0,1),
так что оператор Б подчинен дробной степени (—А)7 (см. [7, с. 298]). Тогда (см. [8])
СЮ
Та(Ь)х = J !т,а(Ь)Т(т)х ¿Т, о
где неотрицательная функция ¡т>и (Ь) определена равенством
°° &
=Г1ф (-и,0;-тГи) , ф(а,Ъ; z) ^ ~
И, следовательно,
к! Г(ак + b)
\BTa(t)x\\ < j fr,a(t)\\BT(r)x\\ dr < Mo j /r,a(i)r 7 dr 11*11 = 7) 111|
t
Г (\\BTa(t)x\\) < М°^ ~ а) [{t- ds ||*|| =
Г2(а) J
о
= М0Г(1 - арГ(а(1 -7)) (1_7)-1
Г(а)Г(а(2-Т)) ' "
Таким образом, неравенство (6) выполнено при ^ = а(1 — y) > 0.
Перестановочность операторов A и B не предполагается. Как будет доказано в дальнейшем, условия 1, 2 обеспечат разрешимость задачи (1), (2).
Пусть операторы A и B удовлетворяют условиям 1 и 2. На элементах x Є D(A) определим оператор
t
Ui(t)x = j Ta(t — s)BTa(s)x ds, (7)
о
при этом, в силу (5), (6) справедлива оценка
t
||Ui(t)x|| < Mi У (t — s)a-1ew(t-s)||BTa(s)x|| ds = И1Г(а)в^Іа (e-wt||BTa(t)x||) <
о
< МіМ2Г(а) t“+^-1ewt||x||. (8)
Следовательно, для любого t > 0 оператор U1(t) имеет единственное продолжение с D(A) на все E с сохранением нормы. За продолженным оператором сохраним прежнее
обозначение. Интегральное представление (7) справедливо только на элементах x Є D(A).
Далее, на элементах x Є D(A) определим оператор
t
U2(t)x = j U1(t — s)BTa(s)x ds, (9)
о
при этом, в силу (8), (6) и полугруппового свойства операции дробного интегрирования, справедлива оценка
t
HU2(t)xH < M1 М2Г(а) J(t — s)a+^-1eu(t-s) HBTa(s)xH ds =
о
= М1М2Г(а)Г(а + ^)eÜJtI^Ia (e-^HBTa(t)xH) < MxМ2Г(а)Г(а + ^)eÜJtI^ (t°+*-1||x||) =
= .\/|.\/;Гіп ;Г2іп • //j +2/i_! t
Т(а + 2ц) ' 11 11 ’ 1 J
Оператор U2(t) имеет единственное продолжение с D(A) на все E с сохранением нормы и за продолженным оператором сохраним прежнее обозначение. Интегральное представление (9) справедливо только на элементах x Є D(A).
По индукции, на элементах x Є D(A) определим операторы
t
Un(t)x = j Un-1(t — s)BTa(s)x ds, Uo(t) = Ta(t), (11)
о
для которых, учитывая (10), получим оценку
цг/„(ад| < MlM2“’:(Q|r“(° + tl) (i2)
Г (а + nл)
Таким образом, мы получили семейство заданных на E, экспоненциально ограниченных и, как следует из теоремы Банаха-Штейнгауза, сильно непрерывных при t > 0 операторов Un(t), n = 0,1, 2...
Неравенство (12) позволяет ввести в рассмотрение ряд
ca(t) = Y, Un (t). (13)
n
n=0
Ряд (13) сходится при Ь > 0, ^ > 0 в пространстве Ь(Е) линейных ограниченных операторов поскольку, в силу (12),
\\Un(t)\\ < ИгГ(а) ta-le^E^a (Ы2 Г(а + ») П
п=0
где E^,a(-) — функция типа Миттаг-Леффлера.
Учитывая асимптотическое поведение функции типа Миттаг-Леффлера (см. [11, с. 134, 137]) для Ga(t) получим оценку вида
\\Ga(t)\\< Ma,, ta-leQt, t> 0 (14)
с некоторыми постоянными Ma^ > 0, П > ш.
Суммируя равенства (11) для n = 0,1, 2... при x G D(A) получим
Ga(t)x = Ta(t)x + у Ga(t - s)BTa(s)x ds. (15)
0
Теорема Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда функция u(t) = Ga(t)u0 является решением задачи (1), (2).
Доказательство Учитывая результаты работы [8] о разрешимости задачи типа Коши для неоднородного уравнения, сведем задачу (1), (2) к интегральному уравнению
t
u(t)x = Ta(t)u0 + j Ta(t — s)Bu(s)u0 ds, (16)
0
и покажем, что функция Ga(t)u0 удовлетворяет уравнению (16). Учитывая (15), для этого достаточно установить справедливость равенства
t t
[ Ga(t — s)BTa(s)u0 ds = i Ta(t — s)BGa(s)u0 ds. (17)
t
Принимая в расчет равенство (7), будем иметь
t t t-s
J Ui(t - s)BTa(s)uo ds = J J Ta(t - s - r)BTa(r) dr BTa(s)u0 ds =
0 0 0
t t
= J j Ta(t - £)BTa(£ - s) d£ BTa(s)uo ds =
0s
t £ t = J Ta(t - OB J Ta(£ - s)BTa(s)uo dsd£ = J Ta(t - C)BU1(C)uo d£.
0 0 0
По индукции установим равенства
t t J Un(t - s)BTa(s)uo ds = j Ta(t - £)BUn(Ç)uo d£, n = 0,1, 2... (18)
00
и, наконец, суммируя (18), получим (17). Теорема доказана.
Замечание. Вопрос единственности решения задачи (1), (2) в случае неограниченного оператора B весьма сложный. Укажем, что достаточным условием единственности в классе функций, удовлетворяющих неравенству (5), является отсутствие у оператора A + B собственных значений вида Ла при Re Л > и. Последнее утверждение легко доказывается, используя преобразование Лапласа.
Литература
1. Miyadera I. On perturbation theory for semi-groups of operators. Tohoku Math. J. 18(1966). P. 299 - 310.
2. Voigt J. On the perturbation theory for strongly continuous semigroups. Math. Ann. 229(1977). P. 163 - 171.
3. Banasiak J., Arlotti L. Perturbations of positive semigroups with applications. SpringerVerlag London Limited. 2006.
4. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными. ДАН СССР. 1992. Т. 326. № 4. С. 597 - 600.
5. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2001. № 2. С. 74 - 77.
6. Глушак А.В., Поваляева Ю.В. О свойствах решений задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Spectral and Evolution Problems. Simferopol. 2004. V. 14. P. 163 - 172.
7. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука. 1966.
8. Глушак А.В., Авад Х.К. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. Т. 10, № 1. С. 25 - 31.
9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966.
ON THE PERTURBATION ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS CONTAINING FRACTINAL DERIVATIVES OF RIEMANN-LIOUVILLE H.K. Avad, A.V. Glushak
Belgorod State University,
Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: GlushakObsu.edu.ru
Abstract. The solvability of the problem of Cauchy for the equation with fractional derivatives of Riemann-Liouville after perturbation of unbounded operators.
Keywords: equation with fractional derivatives, Cauchy-type problem, the perturbation of unbounded operators.
