CC BY
33
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 41-48.
ОБРАЩЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
И.И. БАВРИН, О.Э. ЯРЕМКО
Аннотация. Интегральное преобразование Лапласа используется для обращения обобщенного оператора Римана-Лиувилля в замкнутой форме. Установлено, что обратный обобщенный оператор Римана-Лиувилля есть дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Установлена связь оператора Римана-Лиувилля с оператором Темлякова-Баврина. Представлены новые примеры обобщенных операторов Римана-Лиувилля.
Ключевые слова: оператор Римана-Лиувилля, дробный интеграл, изображение Лапласа.
Mathematics Subject Classification: 26A33, 44A10
1. Введение
Пусть функция f (х) £ Li (0,1), тогда функция
1 Сх
Ja if] (х) = гг-) (х - f)a-i f (f)dt £ Li (0, i)
г (a) J0
называется дробным интегралом порядка а см. [8, 11, 15]. Дробный интеграл можно переписать в виде
та ¡л
Ja [f ] (х) = ГГ-) (1 - f М de £ Li (0,1). Г (a) J о
Последняя формула позволяет распространить операцию дробного интегрирования на случай функций w = f (z), аналитических в единичном круге В = {z : \z| < 1}. В результате приходим к обобщенному оператору Римана-Лиувилля
Ьш [f](z) = а\1 (1 - e)a-i f (ez) de. (1.1)
0
Расширение понятия дробного интеграла (1.1) осуществил М.М. Джрбашян. В работе [5] введен обобщенный оператор Римана-Лиувилля.
Говорят, что функция ш (х) £ П, если она неотрицательно и непрерывна на [0,1), причем
ш (0) = 1, ш (х) dx < то, 0
и для любого г £ [0,1) выполнено неравенство
/ ш (х) dx > 0.
I.I. BAVRIN, O.E. IAREMKO, INVERTING OF GENERALIZED RlEMANN-LlOUVILLE OPERATOR BY MEANS OF integral Laplace transform.
© Баврин О.Э., Яремко О.Э. 2016. Поступила 26 декабря 2015 г.
Пусть = / (г) функция, аналитическая в единичном круге В = {г : |г| < 1}.
Определение 1.1. Обобщенным оператором Римана-Лиувилля называют следующий оператор [5]
^ [I] = / (0) + * Г " (£) I' (ег) ¿е.
Jо
Определим последовательность чисел
Аг = 1, А(к) = к ! гк-1ш (х) Ах < ж, к =1, 2,... о
М.М. Джрбашян установил следующие утверждения [5]: 1)
Ьш [г*] = Ак
п)пусть = / (г) , функция, аналитическая в единичном круге и пусть ее ряд Тейлора имеет вид
к=0
тогда
((
к
f (z) = akzk, к=0
(
if] (z) = ^ akАк zk;
k=0
iii) оператор Ьш обратим, причем
(
L-1 [f](z) = J2 a* Л = Ак
k=0 где
(
f (z) = ^ akzk. k=0
iiii) если функция ш (ж) Е П непрерывно-дифференцируема в [0,1), и ш (1) = 0, то обобщенный оператор Римана-Лиувилля имеет вид
Ьш [f ] = - Г J (е) f (ez) de. (1.2)
0
Современное состояние фрактального анализа и его применений представлено в [15-18].
2. Основной РЕЗУЛЬТАТ
Как уже отмечалось, теория обобщенного оператора Римана-Лиувилля построена М.М. Джрбашяном в работе [5]. Однако явной конструкции обратного оператора им предложено не было. С целью обращения обобщенного оператора Римана-Лиувилля в замкнутой форме, мы предлагаем использовать интегральное преобразование Лапласа. Идея следующая - продолжить числовую последовательность
А(к) = к f гк-1ш (х) dx< ж, к =1, 2,... 0
в полуплоскость р : Rep = а > а0 > 0.
Проблема обращения обобщенного оператора Римана-Лиувилля будет решена, если функция Л (р) является изображением Лапласа, а функция
1
А(р)
имеет степенной рост, т.е.
-Щр)= Р°Ь (Р) ,а> 0,
где Ь (р) - функция медленно меняющаяся на бесконечности [14]. Лемма 2.1. Функция
А(р)=р [ ер-1ш (е) ¿£
о
определена для значений р, Кер = а > а0 > 0 и служит изображением Лапласа функции
ш (е-*) ,ш (е-*) > 0,г е [0, ж).
Доказательство. Достаточно выполнить замену переменной е = е-1 в выражении для А (р).
Теорема 2.1. Пусть все корни многочлена ( (р) расположены в левой полуплоскости и ( (0) = 0, пусть также функция
1
О(р)А(р)
служит изображением некоторого оригинала ш* (Ь), тогда оператор обратный к Ьш име-
ет вид
L-1 = (e)f (e~sz) de ,
где
\ d f d\2 f d\n
= ao + a\Z — + ß2 z— + ... + an[ z— , d d
(2.1)
( г-т- = ао + а^ — + а2 [ г— + ... + ап [ г— \ аг / аг \ аг / \ аг
числа ак коэффициенты многочлена ( (р).
Доказательство. Интегральная компонента оператора Ь~1, т.е. оператор вида
/><х
/ (в)! (е~ег) с1е, о
непрерывна в пространстве функций Н (В) и С (В), поэтому
^1 [/] и=0(4:) £ ошт=шт=£акгк А
На основании леммы 1 доказательство закончено.
Следствие 2.1. Оператор обратный к оператору Римана-Лиувилля либо дифференциальный, либо интегро-дифференциальный.
Теорема 2.2. Пусть функция = Q (z) есть многочлен, тогда оператор обратный к LM есть дифференциальный оператор вида
LZ1 [f](z) = Q(zd) ü(z)] ■ (2.2)
Доказательство. Имеем следующие равенства
/ j \ 1
Q ^ Еakzk = ЕakzkQ(k) = Еakzkдш = Lz1 [п(z). ^ ' k=0 k=0 k=0 ( )
3. Различные случаи обобщенных операторов Римлнл-Лиувилля 3.1. Пусть ш (х) = 1 — х-, к > 0 тогда
^ [Л = / (0) + г Г (1 — ен) / (ег) ¿е = к [' е--1 / (ег) <к, ио .7 0
получаем оператор, который отличается множителем от оператора
Ь-1 [I] = Г е--7 (ег) <к, 0
изученного в работах И.И. Баврина [1, 2], Для вычисления обратного оператора заметим,
к
что
г 1
м
А(р) = Р £р-1 (1 — £н)д,£ =
/о к + р
тогда, учитывая, что выражение
1 к + р А(р) = к
есть многочлен, по теореме 2.1 получим
-1,„ к{ + ?.¡' (г) Ь-
К1 т = = (М
3.2. Пусть А (р) = П"=1 , к^ > 0. Оригинал функции А (р) имеет вид
т ,
к1
е " "
к=1 ]=к 3 к Из формулы (1.2) установим выражение оператора Ьш
[{](*) = П Т^Г I
$=кк>— кк Л
При этом обратный оператор Ь-1 есть дифференциальный оператор вида
т
К1 [Л (г) = П ■
з=1 т
--1 г _ "рр к + Ьо
к 4
Теория подобных операторов изложена в монографии И.И. Баврина [1, 2]. 3.3. Дробная степень оператора к + х-—. Выберем функцию А (р) в виде
а / ч ка
А(р)=(кТ^
Учитывая формулу из таблицы преобразований Лапласа
Г (а) (к + р)а
согласно формуле (1.2), установим выражение оператора Ьш
ка г ^
[Л (г) = ГкП е-ыеа-1! {е-£г) ёе. Г (а) }о
После замены переменного е-£ = т мы приходим к следующему выражению оператора Ьи
ка г1 / 1 \а-1
^ 1Л(*) = т^ £--\ 1(ег)^,к> 0,а> 0.
Г(а)1о V е )
Таким образом, в определении обобщенного оператора Римана-Лиувилля надо положить
а) Если а = п Е N, то обратный оператор Ь-1 вычисляется по формуле
^ = {»+ ' 0'
т.е. является дифференциальным.
б) Если а Е N, то обратный оператор Ь-1 имеет вид:
к1 [Л (г) = (к + га [Л(г) =
1 / И \ п+1 Г1 / 1 \ п-а
к + ^ £-~\ 1п 1 f М д£-
Г (п +1 — а) \ ¿г/ ]о \ е
1
2
Например, при а = 1 получим следующее выражение
1 1 — 1 (к+г 32 'л «=тА»+4) I £"~л1п 9- 21/1 ^
3.4. Оператор Адамара. Рассмотрим класс функций т = / (г), аналитических в единичном круге В = {г : |г| < 1}, таких что f (0) = 0. Выберем функцию А (р) в виде
А(Р) = -1 •
а
Учитывая формулу из таблицы преобразований Лапласа
га-1 1
Г (а) ра
согласно формуле (2.1), установим выражение оператора Ьш
1 [ ^ Г ( а) о
После замены переменного е-£ = т мы приходим к следующему выражению оператора Ьш
= т Г Н Г ^ (32)
Правая часть формулы (3.2) задает оператор Адамара [12].
а) Если а = п Е N, то обратный оператор Ь-1 вычисляется по формуле
т-1 = тп
т.е. является дифференциальным.
б) Если а Е N, то обратный оператор Ь-1 имеет вид:
Ь-1 [Л (г) = Ьа [Л (г) = ---т
Г (п +1 — а)
Например, при а = 1 получим следующее выражение
1 / 1 \ п~а
(щГ) "-а 1Мск
о
Ь2 [Л (?) = -и
1
, Н)2
3.5. Если А (р) = ^2+2 получаем ( (г) = и, значит, обратный оператор есть дифференциальный оператор вида
= к + Ь2 = А
— -Т^-, ^П — 6 -г- .
ш
h2 dz
Определим вид прямого оператора Ьш. По формуле из таблицы преобразований Лапласа
h2
h sin ht ^ —--.
h2 + р2
Согласно теореме 2.1 установим выражение оператора Ьш из формулы (2.1)
[f](z) = h sin (he)f{e~£z)de. Jo
В итоге, после замены переменного, имеем
Ьш [f] (z) = Jo ~ sin (h ln ^ f (ez) de.
Замечание 1. Здесь имеем Ш (х) = — | sin (h ln , значит ш (х) ф П.
3.6. Дробная степень оператора h2 + L\. Выберем
А(р) = (h2 +Р2 ,h = 0,а > 0. у ' h2a
На основании формулы из таблицы преобразований Лапласа
■ h (th\a~к1т n. h2a {yj Ja-1 (ht) ^
Г (а) \ 2 / а~ -2 к ' (к2 + р2)а)
здесь За_ 1 (г)-функция Бесселя порядка а — 2. Из теоремы 2.1 и формулы (2.1) установим выражение оператора Ьш
^ 01 (^) V1 (*
а) Если а = п е N, то обратный оператор Римана-Лиувилля есть дифференциальный оператор вида
1 = (к2 + Ц)
ш к2п .
б) Если а е N, то обратный оператор Ь~1 имеет вид:
К1 Ц] (;) = (к2 + Ь0)" [/] (;) /к2" =
г Пгггат) /1 ^ (-- (к ы Й{1'2+^ "+11П м
т.е. является интегро-дифференциальным оператором. 3.7. Положим
А (р) = V7к + ре^+р; к,к> 0.
Из таблицы преобразований Лапласа выберем формулу
"-ы 1 ооб^^ы^ 1
V^t Vh + х е
На основании теоремы 2.1 и формулы (2.1) найдем выражение оператора Lu
1 Г1 eh-1 I Г Lu [f] = ^ cos 2\ к ln-f (ez) de.
V^Ja V £
Учитывая формулу
e-htch2Vkt ^ 1 eh+ y/'Kt yh + x
установим вид обратного оператора L—1
1 г1 Fh-1 Г г
L-1 [f] = ~(h + L0) —=ch2Jklnr • f(ez)de.
) . /lr, 1 V "
0)
V .la ./b 1 V e
4. Заключение
В работе изложена техника применения интегрального преобразования Лапласа в теории обобщенных операторов Римана-Лиувилля. Найдены замкнутые формулы обращения обобщенного оператора Римана-Лиувилля. Основной результат работы состоит в следующем: продолжить числовую последовательность
А(к) = к [ гк-1и (х) dx< ж, к = 1, 2,... Jo
в полуплоскость р : Rep = а > а0 > 0. Проблема обращения обобщенного оператора Римана-Лиувилля решена в том случае, если функция А (р) является изображением Лапласа, а функция А-1 (р) имеет степенной рост, т.е.
А-)= paL (р), а >
где L (р) - функция медленно меняющаяся на бесконечности [14].
В работе, в частности, представлена теория дробных степеней оператора Адамара, в наших обозначениях это оператор L0. Рассмотрена теория дробных степеней обобщенных операторов Адамара: таких как оператор h + L0,h> 0 и оператор h2 + L"^,h > 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1988. 200 с.
2. Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях. М.: Прометей, 2000. 416 с.
3. Бердышев А.С., Турметов Б.Х., Кадиркулов Б.Ж. Некоторые свойства и применения ин-тегродифференциальных операторов типа Адамара - Маршо в классе гармонических функций // Сиб. мат. журнал. (2012), T.53, № 4. C. 752-764.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 295 с.
5. Джрбашян М.М. Обобщенный оператор Римана-Лиувилля и некоторые его применения // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, T. 32, № 5, C. 1075-1111 .
6. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Известия АН Армянской ССР. Сер. «Математика». 1968. T. 3. № 1. С. 3-29.
7. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
8. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
9. Потапов А.А. Краткое историческое эссе о зарождении и становлении теории дробного интегродифференцирования // Нелинейный мир. - 2003. T. 1, вып. № 1-2. C. 69-81.
10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка. Минск: Наука и техника, 1987. 687 с.
11. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
12. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Иностранная литература, 1962. 830 с.
13. Чуриков В.А. Дробный анализ на основе оператора Адамара // Известия Томского политехнического университета. 2008. T. 312 (Математика и механика. Физика). № 2. C. 16-20.
14. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. T. 2.
15. A.A. Kilbas, H.M Srivastava., J.J. Trujillo Theory and Applications of Fractional Differential Equations in: Mathematics Studies, vol. 204, Elsevier, 2006.
16. A.N. Kochubei Distributed Order Derivatives and Relaxation Patterns // 2009/5/5. arXiv preprint arXiv:0905.0616.
17. A.N. Kochubei Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // Journal of Mathematical Analysis and Applications.2008. V.340, no. 1. P. 251-282.
18. A.N. Kochubei General fractional calculus, evolution equations, and renewal processes // Integral Equations and Operator Theory. 2011. V.71, no. 4. P. 583-600.
Иван Иванович Баврин,
Московский педагогический государственный университет, ул. Малая Пироговская, д.1, 119435., г. Москва, Россия E-mail: [email protected]
Олег Эмануилович Яремко, Пензенский государственный университет, ул. Красная, 40, 440038, г. Пенза, Россия E-mail: [email protected]
