Модифицированные интегро-дифференциальные операторы Римана-Лиувилля в классе гармонических функций и их применения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 76-87.

УДК 517.956.225+517.572

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Б.Т. ТОРЕБЕК

Аннотация. В данной работе в классе гармонических в шаре функций изучаются свойства некоторых модифицированных интегро-дифференциальных операторов Римана-Лиувилля. В качестве применения свойств этих операторов рассматриваются некоторые локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения Лапласа в шаре. Доказаны теоремы единственности и существования изученных задач. Исследованные задачи обобщают известные задачи Дирихле и Бицадзе-Самарского.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, гармоническая функция, оператор Баврина, оператор Римана-Лиувилля, нелокальная задача

Mathematics Subject Classification: 35К20, 35R11

1. Введение

Пусть Q = {х G Rn : |ж| < 1} — единичный шар, п > 2, dQ = {х G Rn : |ж| = 1} — единичная сфера. Пусть далее, и(х) — гармоническая функция в области il, г = \х\ , 9 = щ . Следующие операторы называются операторами интегрирования и дифференцирования порядка а > 0 в смысле Римана-Лиувилля [1]

г

1а[и](х) = ^— [ 0г - rf-1 и (тв) dr,

Г(а) J

о

Da[u](x) = 4-Il~a М (ж),0<а< 1, dr

п

где — ^ = -щ хзЖГ- Так как 1а[и](х) —>• и (х) почти всюду при а —> 0 (см.[1]), то можно

положить 1°[и](х) = и (х). Тогда Dl[u](x) = ^ (х) .

В работе [2] в классе гармонических функций были введены следующие операторы

Ва [и] (х) = raDa [и] (х) , 0 < а < 1. (1)

Далее, в работах И.И. Баврина [4] в классе гармонических в шаре функции изучены свойства операторов вида

d

d \ f d \ id •-Г+Н [r-T- + • - • [r— + II

dr J \ dr J \ dr

B.T. Torebek, Modified Riemann-Liouville integro-differential operators in the class of harmonic functions and their applications.

© ТОРЕБЕК B.T. 2015.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантового финансирования научно-технических про-грам и проектов Комитетом науки МОН РК (проект 0819/ГФ4). Поступила 16 мая 2015 г.

О 1

М (х) = * 1(1 - ¿Г"1 и (*г) ¿1,

о

где ¡1^ > 0, ¡1^ = ¡1\ + га — 1,= 1, 2, ...га.

Так как (га — 1)! = Г (га) , то из конструкций оператора 8~т видно, что данный оператор определен и для дробных значений параметра га. Тогда естественно возникает вопрос определения обратного оператора к 8ц171 в случае дробных значений параметра га. Следуя работе [3], введем следующую модификацию оператора (1)

8% [и] (х) = г~^Ва [г^и] (х), /л > 0, 0 < а < 1.

В настоящей работе мы построим дробные аналоги операторов 8ц т, 8™ и покажем, что результаты работы [4] верны и для общего случая.

Пусть и (ж) — гармоническая функция в области П, а и ¡л — не отрицательные, действительные числа, причем ¡л + 1 = ¡л\. Рассмотрим операторы

и(х), а = О

В^а[и]{х)= \ _L_ J (1 _ sm+^au{sx)ds, a>0, u(x), a = 0,

В;Н(х) = ( 8«[u](x),0<a<l, (2)

§m ^а-ш (ж) < q; < m + l?m= 1,2,....

Если a = m и (i > 0, то для (2) получаем оператор Баврина В™ = 8™, а если /л = 0 и 0 < a < 1, то Bq совпадает с оператором (1).

2. Свойства операторов Б" и Д~а

h1 h1

Пусть Нк (х) — однородный гармонический полином степени fc G = {0,1,...} . Тогда, используя свойства Н¡¡. (х) = Н¡¡. {г9) = rkHk (в), легко доказать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть а > 0 ; /л > 0 и, Нк (х) — однородный гармонический полином степени k G No = {0,1,...}. Тогда справедливы равенства

В- [Нк] {Х) Т (к + m — а + ¡л + 1) {х)' (3)

р L (к + m + /л + 1)

Теорема 1. Пусть т<а<т + 1,(л>0и и(х) — гармоническая в шаре П функция. Тогда функции В^[и](х) и В~а[и](х) являют,ся гармоническими в облает,и П.

Доказательство. Так как и(х) — гармоническая функция в шаре П, то она разлагается при \х\ < р < 1 ряд вида [5]

оо hk

ф) = ЕЁи0)нР(х)> (5)

к=0 г=1

где г = 1,... — полная система однородных гармонических полиномов сте-

пени к, а и^ — коэффициенты разложения (5). Применяя формально оператор В^ к ряду (5) и учитывая равенство (3), получим

В°[и\(х) = } ; ТТТ1—-:-—ul'Hl'ix). (6)

^^Пк + ш-а + ^ + 1) * *

Далее, из асимптотической оценки гамма функций легко показать, что

Иш (/ + ш + ^ + к-^сю V Г (к + т — а + ц + 1)

Тогда радиус сходимости ряда (6) совпадает с радиусом сходимости ряда (5), и поэтому его сумма представляет собой гармоническую в П функцию.

Аналогично, используя (4), доказывается гармоничность функции В~а[и](х). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть и(х) — гармоническая функция в шаре П. Тогда, для любого хбО справедливы равенства

1

1

и (х) = т^г- / (1 - зГ"1 s^+m-aB"[u] (sx) ds. Г (a) J м

(7)

Доказательство. Представим гармоническую в шаре П функцию и(х) в виде ряда (5) и преобразуем его следующим образом

оо hk

U

= Y" T(k + m — a + fi + 1) Т (к + т + fi + 1) {i) {г) W T{k + m + ii + l) Т (к + т - а + fi + 1) W'

к=0 г=1

Далее, учитывая равенства (3), (4) и равномерную сходимость ряда (8) по х при \х\ < р < 1, получаем

оо Ь-к (г) \

<*) = Е Е Г{а) I (1 " 1 ^+т~ава, \Нм ^ =

к=0 г=1

(1-8)

а— 1

а-\-т—а па

Г (а) "

оо hk

(О u(i) к

,к=0 г=1

(sx) ds

(1-8)

а— 1

Г И

-s^+m~aBa\u] (sx) ds.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть и(х) — гармоническая функция в облает,и П и В^ [и] (ж) € С(П). Тогда для любого т < [3 < а, ц > 0 производная ВР [и] (ж) существует, и имеет, мест,о формула

1

К N (X) = ЩГр) ! {1~ зГ^-^^-^В; [и] (8х)й8. (9)

Доказательсвто. Используя представление (6), функцию В^ [и] (ж) преобразуем следующим образом:

оо

*>]<*> = ЕЕ^^^«' (х)

оо Ьк

ЕЕ

Т{к + т + 1л + 1) Т{к + т-а + 1л + 1) ^ ^ Т(к + т-а + ц + 1)Г(к + т- /3 + + к [Х)

к=0 1=1

оо Нк _ (¿)

ЕЕ

щ

к=0 г=1 и '

1

(1 - я«

Г(а-/3)

(1 -

Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть и(х) — гармоническая функция в облает,и П. Тогда для любого х Е П справедливы равенства

в;а [в>]] (х) = в; [в;>]] (ж) = «(*).

:ю)

Доказательство. Применим к функции В™[и](х) оператор В^а. По определению оператора В~а имеем

1

V [в«[и]} (х) = ^ I (1 - 5)"-18^т~ав;[и] {8Х) ¿8.

В силу равенства (7) последнее выражение равно и{х). Первое равенство из (10) доказано. Для доказательства второго равенства из (10) применим оператор В^ к функции В~а[и](х), то

V [В-[и]] (х)

^ гэа

г» "

(1 - в)""1 8^+"и (зх) йз

8

I" ^ _ ^ц+т—а^а—т—ц ^ ,

111 } Г (а) Г (т + 1 - а) ~дг / о о

(г — т)т а Т^и (8т0) дтд8.

Далее, нетрудно убедиться в следующих равенствах

г

г.ос—т—/1 л г

О

н

^а—т—ц ^

Г {т + 1 — а) ¿г У \ « о

Ь \ т~а / ^ \ ^

- ) и Щ -

8 ) 8

(гз)

а—т—р.

А

Г (т + 1 — а) й {гз)

{г 8 - г)т~а Г и Щ ей = В" [и] (зх)

и = (гз) ¿щ, где учтено, что 9 = щ = щ. Поэтому будем иметь

1

В* [-В~а[и]] (ж) = ^ I (1 - зГ1 8^т~ав;[и] (8Х) ¿8.

о

Теорема доказана.

Таким образом, из утверждения теоремы 4 следует, что операторы В^ и В~а являются взаимно обратными в классе гармонических функций в шаре П.

3. Локальная задача Рассмотрим следующую задачу.

Задача Ь. Найти гармоническую в шаре £1 функцию и(х), для которой функция В^[и](х) непрерывна в П и удовлетворяет на сфере дП равенству В^[и](х) = /(ж), х £ дП Заметим, что аналогичные задачи с граничными операторами целого, высокого порядка рассматривались в работах [4], [6]-[9], а с операторами дробного порядка - в работах [2], [10]-[14].

Пусть у(х) — классическое решение задачи Дирихле в шаре П

Аь(х) = 0, х Е П , .

ь(х) = /(ж), ж € дП ^ '

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5. Пусть /(ж) € С (5П). Тогда решение задачи Ь существует, единственно, и представляется в виде

и(х) = М (ж) ,

где ь(х) — решение задачи (11).

Доказательство Пусть решение задачи Ь существует и это и(ж). Применим к функции и(ж) оператор В^ и обозначим В^[и](ж) = ь(х). Так как В^ [и] (ж) € С (П) , то из ь(х) Е С (П) . Далее, поскольку и(ж) — гармоническая функция в О, то в силу утверждения теоремы 1 функция у(х) — тоже гармоническая в шаре П и

|эп = В™ [и] (ж) |ап = /О) •

Таким образом, функция у(х) является решением задачи Дирихле (11). Причем, если /(ж) € С (дО) , то решение этой задачи существует, единственно, и ь(х) Е С (П) . Применим к равенству В^ [и] (ж) = V (ж) оператор В~а. Поскольку интегралы вида

1

о

при а Е [т, га + 1), // > 0, ц + т — а ^ 0 имеют слабые особенности при г = 0 и г = 1, то такие функции являются непрерывной функцией по ж € П при непрерывной функции ь(х) Е С (П) . Значит, оператор В~а применим к функциям из С (П) . В силу первого равенства из (10) получим равенство (12), т.е.

б;>](ж) = в~а [в; М] (ж) = и(х).

Пусть наоборот, функция у(х) является решением задачи Дирихле (11) при /(ж) Е С (5П). Ясно, что ь(х) Е С (17) . Рассмотрим функцию и(х) = В~а[ь](х). В силу второго равенства из (10) будем иметь

В«[и]{х) = В^[В-аЩ (х)=у(х).

Значит, функция и(х) — гармоническая в и

|эп = V |ш = f(x).

Теорема 5 доказана.

4. Нелокальная задача, когда носители данных не пересекаются

с границей области

В этом пункте исследуются вопросы разрешимости нелокальной задачи с оператором В^, когда носители данных не пересекаются с границей области. Пусть заданы последовательности чисел 8j и aj ,j = 1,2,..., удовлетворяющие условиям:

\з I <

О < öj < Ъ <

3 = 1

Рассмотрим следующую задачу.

Задача N. Haümu функцию и(х) G2 (П) П (Й) гармоническую в шаре П, для которой функция В^ [и] (х) G (Й) и удовлетворяет условию

оо

в* N (ж) - Е ^В? N (83Х) = f(x), х G дП . (12)

3=1

Нелокальные краевые задачи представляют весьма интересное обобщение классических задач, и в то же время они естественным образом получаются при построении математических моделей реальных процессов и явлений в физике, в инженерии, в социологии, в экологии ит.д. За последние несколько десятилетий в математической литературе появился ряд работ, посвященных исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений. Одной из первых среди них была статья A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [15], в которой были предложены новые постановки задач для эллиптических уравнений, и которая стала отправной точкой большинства исследований в этом направлении. Рассматриваемая задача является простейшим обобщением задачи Бицадзе-Самарского на граничные операторы нецелого порядка. Заметим, что в случае а = ß = 0, т.е. когда В™ = Вß = 1 — единичный оператор, аналогичные задачи изучались в одномерном случае в работе [16], а в случае п > 2 - в работах [17], [18], [19]. Отметим также, что аналогичные нелокальные задачи для граничных операторов дробного порядка изучались в работах [2], [20], [21], [22].

Для исследования задачи N приведем следующую вспомогательную теорему.

Теорема 6. Пусть 0 < 8j < b < 1, j = 1, 2,..., f(x) G C(dQ), и справедливо неравенство

оо

3 = 1

Тогда

1) если выполняется условие

, ^ T(m-ß + ß + l)

r(m-ß + ß + l)

Г (га — а, + а + 1)

3 = 1

то задача

Av (х) = 0, ж G П

3=1

однозначно разрешима;

v(x) - Е ajBß-a[v\ (öjx) = f(x), х G dQ

2) если выполняется условие

Е

з=1

_T(m-p + fi + l)

аз =

Г (га — а + ¡л + 1)

то для разрешимости задачи (15) необходимо и достаточно выполнения условия

/ / (ж) бк, = 0;

:ie)

:i7)

an

3) если решение существует, то при выполнении условий (Ц) оно единственно, а при выполнении условий (16) оно единственно до произвольного постоянного.

Доказательство. Исследуем единственность решения задачи (15). Пусть функция v (х) является решением задачи (15) при / (ж) = 0. Обозначим

М = max |у(ж) I = |у(жо) I, жо g dQ.

an

Если v (ж) ф const, то в силу принципа максимума для гармонических функций \v(ж)| < М для любого х Е Q. Далее, в силу условия задачи (15) и определения оператора при

/(ж)= 0 получаем

оо

¿Е

3 = 1

М

Г (а)

3 = 1

<

(1-s)

а—1 u-f-m—а

v (з^-Жо)! ds.

Так как 0 < 8^ < Ь < I,] = 1,2,..., то 8jXo £ О и при любом 8 € [0,1], точки $8^Хо также принадлежат шару П. Поэтому для всех £ П выполняется \и (в^Жо)| < М и,

следовательно,

3=1 3=1

Лз\■

Теперь, если выполняется (13), то получаем противоречие М < М. Поэтому, в случае выполнения условия (13) необходимо, чтобы v (ж) = const. Подставляя в этом случае v (ж) = С в условие задачи (15), имеем С = 0 или равенство (16). Таким образом, при выполнении условий (13) и (14) получаем v (ж) = 0. Если же выполняется (16), то произвольная постоянная будет решением однородной задачи (15). Действительно, если v (ж) = С, то, подставляя ее в условие задачи (15), имеем С — С = 0. Единственность доказана.

Теперь перейдем к изучению существования решения задачи (15). Обозначим ¡i(x) = ^(ж)|ап — след неизвестной гармонической функции v (ж) в дП. Решение задачи (15) будем искать в виде интеграла Пуассона

v(x) = / P(x,y)/i(y)dS,:

VI

:is)

ЭП

где Р(х,у) = — яДРО Пуассона задачи Дирихле (11). Подставляя функцию (18)

в условие задачи (15), относительно неизвестной функции ¡л (ж) получаем следующее интегральное уравнение

1

ц(х) —

оо 3 = 1

(Л — с"!«-/3-1 vх _ а+т-а

Г(0! — ¡3)

P(s8jX,y)fi(y) dsy

ш

ds

= Цх),хедП. (19)

Меняя местами порядок интегрирования в левой части равенства (19), получаем

ОО Г.

/ Р<х,р(8ух,у)11(у)(18у = /(х),хедп, •7=1 эп

где

Обозначим

1

ГЦ — <*\а~Р-1

Р«,р у) = у у) ¿8.

у) = - Е азра,Р У),Х,У ^

3=1

Тогда уравнение (19) представляется в виде

[¿(х) + У К(х,у)ц(у)с18у = ¡(х),х е дП. (20)

дП

Заметим, что для всех х,у £ дП иО < < Ъ < = 1,2,..., выполняются условия

\53х ~у\ = \у~ М > 1 - 53 > 1 - Ъ > 0, (21)

и

\53х -у\2 = \83у -х\2. (22)

Тогда легко показать, что в силу условия (21) ядро К(х,у) является непрерывным на дП х дП, а в силу условия (22) симметричным т.е. К(х,у) = К(у,х). Следовательно, к интегральному уравнению (20) применима альтернатива Фредгольма [23]. Отсюда легко вытекают утверждения теоремы. Действительно, если выполняются условия (13) и (14), то однородная задача (15), а следовательно, и однородная задача, соответствующая (20), имеют единственное решение. Тогда по теореме Фредгольма [23] интегральное уравнение (20) разрешимо при любом /(ж) Е С(дП) и, следовательно, функция (18) является единственным решением задачи (15). Если выполняются условия (13) и (16), то любое постоянное будет решением однородной задачи (15). Следовательно, в этом случае однородное интегральное уравнение, соответствующее (20), имеет одно линейно независимое решение, и этим решением будет функция ц{х) = С, где С — произвольная постоянная. Далее, так как К*(х,у) = К(у,х) = К(х,у), то соответствующее (20) союзное уравнение также имеет решение ¡л * (ж) = С.

Тогда по теореме Фредгольма, для разрешимости интегрального уравнения (20) необходимо и достаточно выполнения условия (17). Таким образом, если выполняется условие (17), то функция (18) и в этом случае будет решением задачи (15). Теорема доказана.

Теперь переходим к утверждению основной задачи. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть 0 < 53 < Ь < 1,) = 1,2,..., /(ж) € С(<9П) и справедливо неравенство (13). Тогда

если выполняется условие (Ц), то задача N однозначно разрешима;

если выполняется условие (16), то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно выполнения условия (17), причем решение задачи единственно с точностью до постоянного слагаемого;

если решение задачи N существует, то оно представимо в виде

и(х) = В~а[у](х),

где ь(х) — решение задачи (15).

Доказательство. Пусть и(х) является решением задачи N. Применим к функции и(х) оператор В^ и обозначим В^[и](х) = у(х). В силу утверждения теоремы 2 для любого справедливо равенство (7). Тогда, используя формулу (9), имеем

в* [и] (53х) = в?-аи (ад.

Далее, поскольку и(х) — гармоническая функция в П, то в силу утверждения теоремы 1 функция у(х) — тоже гармоническая в шаре П, и выполняются условия задачи (15). Таким образом, если и(х) — решение задачи К, то функция у(х) является решением задачи (15). Пусть выполняются условия (13) и (14). Тогда по теореме 6 для любого /(ж) Е С (дП) решение задачи (15) существует, единственно, и ь(х) Е С (П) . Если применить оператор В~а к равенству В^[и](х) = ь(х) в силу первого равенства, из теоремы 4 для любого х Е П, получим и (ж) = В~а [и] (ж) . Гармоничность данной функции следует из утверждения теоремы 1, а выполнения условия задачи (15) проверяется непосредственно

3 = 1

3 = 1

Первая часть теоремы доказана. Пусть теперь выполняется условие (16). Тогда из соотношения и(0) = С для функции

оо

у,(х) = В£[и] (х)-У^ВЦи] (83х)

получаем

3 = 1

ъи(0 ) = В°[и] (0 )-(°) =°-

3 = 1

А так как функция к; (ж) есть решение задачи Дирихле (11), то при выполнении условия гу(0) = 0 вытекает необходимое условие (17). Таким образом, необходимость условия (17) для существования решения задачи N при выполнении условии (16) доказана. Покажем, что условие (17) является и достаточным для существования решения задачи N при выполнении условия (16). По теореме 6, при выполнении условия (17) и (16) решение задачи (15) существует, единственно, с точностью до постоянного слагаемого, и ь(х) Е С (П) . Тогда функция и(х) = В~а[у](х) удовлетворяет всем условиям теоремы. Теорема доказана.

5. Нелокальная задача, когда носители данных пересекаются

с границей области

Рассмотрим теперь задачу К, когда последовательность чисел 83 удовлетворяет условиям: 0 < 8з < 1,] = 1, 2,..., и 82 —у 1 при —> оо. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть / (х) € дП, и выполняется

■ < оо. (23)

оо

и ^ - ы

Тогда

1) если выполняются условия (13)-(Ц), то задача (15) однозначно разрешима;

2) если выполняются условия (13), (16), то для разрешимости задачи (15) (с точностью до постоянного слагаемого) необходимо и достаточно выполнение условия (17).

Лемма 2 доказывается аналогично, как теорема 6. При этом, в силу условий (23), ядро интегрального уравнения (20) является симметричным и ограниченным.

Основным результатом данного параграфа является следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть 0 < Sj < 1 ,j = 1, 2,..., lim 5j = 1, f(x) G C(dfl) u справедливо (23).

j^OD

Тогда

1) если выполняются условия (13)-(Ц), то задача N однозначно разрешима;

2) если выполняется условие (13), (16), то для разрешимост,и задачи N необходимо и достаточно выполнения условия (17), причем решение задачи единственно с точностью до постоянного слагаемого;

3) если решение задачи N существует,, то оно предст,ави,мо в виде

и(х) = B~a[v](x),

где v(x) — решение задачи (15).

Доказательство теоремы 8 проводится почти дословным повторением доказательства теоремы 7, где вместо теоремы 6 используется лемма 2.

6. Примеры

Пример 1. Пусть п = 2, 0<а<1и/л = 0. По теореме 5 единственное решение задачи L имеет вид

и(г, р) = В~а Н (г, р) = 1

(1 — s)a~l s~au (rs, <р) ds =

Г (а)

(1 — s~a I f 1 — (rs)

0

1 I 7Г о

а—1 —п i г / \2

r/(0) de } ds

Г(а) 27г I J 1 - 2rs cos (р> - в) + (rs)

<1:;>Г' «"('-м') >, {i)

Г (а) 1 — 2rs cos (ip — 0) + (rs) (

—тг V, 0

В работе [24] доказано следующее равенство

f (1 - «Г1 S"a (1 - (Г8)2)

г (а) 1 - 2rs cos (ip - в) + (rs)2

о

cos

2Г(1 - а)

(1-а) агсЬд™^ Д] ^ ^

1 —се р) | '

(I - 2г соъ (р - в) + г2)— 1

Тогда окончательно получим

.. Г (1 — о;) }\ [(! ~

и(х) =- / <-— - - } / (в) дВ.

ж _{. [ (1 — 2г сое (р — 9) + г2)^~ 2

Пример 2. Пусть а\ ф 0 и = 0,] = 2, 3,.... Рассмотрим однородный гармонический полином степени р

CßCC^ ' ОС2 * ••• * ^т.

=р

в; ы м=:'»<*(*)•

Рассмотрим действие оператора В™ к функции ир(х). В силу равенства (3)

Г (р + га + + 1) Г (р + га — а + // + 1) Далее, так как ир(8\х) = 8\ир(х), то

[иР] (х) - сцВ^ [мр] (¿цт) =

Г(р + га + /х + 1) . . Г(р + га + /х + 1) г„ . .

-ир{х) — а 1—---—о\ир{х)

Г (р + га — а + /1 + 1) р Г(р + га — /3 + /Х + 1)

Г(р + га + /х + 1) Г(р + га + /х + 1) . .

— (¿1—---ир(х).

чГ(р + га — а ++ 1) Г (р + га — /5 +//+ 1) Следовательно, гармонический полином ир(х) является решением однородной задачи К, соответствующей

= - 1 ^ ' ^ ' >

Г (р + га - [3 + /1 + 1) Г (р + га — а + fi + 1) 1

Заметим также, что при п=3 число однородных гармонических полиномов степени р равно 2р+1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A.A. Kilbas, Н.М. Srivastava, J.J. Trujillo Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland. Mathematics studies. 2006. 539p.

2. Карачик В.В., Турметов Б.Х., Торебек Б.Т. О некоторых интегро-дифференциалъных операторах в классе гармонических функций и их применении // Математические труды. (2011) 14, № 1. С. 99-125. (Перевод на англ.) Siberian Advences in Mathematics. (2012) 22, № 2. P.115-134.

3. Килбас А.А., Титюра А.А. Дробная производная типа Маршо-Адамара и обращение дробных интегралов // Доклады Национальной академии наук Беларуси. (2006) 50, № 4, С. 5-10.

4. Баврин И.И. Операторы для гармонических функций и их приложения // Дифференциальные уравнения. (1985) 21, № 1. С. 9-15.

5. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: "Мир". 1974. 333 с.

6. Баврин И.И. Интегро-дифференциалъные операторы для гармонических функций в выпуклых областях и их приложения // Дифференциальные уравнения. (1988) 24, № 9. С. 1629-1631.

7. Соколовский В.Б. Об одном обобщении задачи Неймана // Дифференциальные уравнения. (1988) 24, № 4. С. 714-716.

8. Бицадзе А.В. К задаче Неймана для гармонических функций // Доклады АН СССР. (1990) 311, № 1. С. 11-13.

9. Карачик В.В., Турметов Б.Х. Об одной задаче для гармонического уравнения // Известия АН Уз ССР, серия физико-математических наук. (1990) № 4. С. 17-21.

10. В.Т. Torebek, B.Kh. Turmetov On solvability of a boundary value problem for the Poisson equation with the boundary operator of a fractional order //Boundary Value Problems. (2013) 93, 18p. doi: 10.1186/1687-2770-2013-93

11. Турметов Б.Х. Об одной краевой задаче для гармонического уравнения // Дифференциальные уравнения. (1996) 32, № 8. С. 1089-1092.

12. Турметов Б.Х. О гладкости решения одной краевой задачи с граничным оператором дробного порядка // Математические труды. (2004) 7, № 1. С.189-199. (Перевод на англ.) Siberian Advences in Mathematics. (2005) 15, № 2. P. 115-125.

13. Турметов Б.Х., Торебек Б.Т. Модифицированные операторы Баврина и их применения // Дифференциальные уравнения. (2015) 51, № 2. С. 240-250.

14. Бердышев А.С., Турметов Б.Х., Кадиркулов Б.Ж. Некоторые свойства и применения интегро-дифференциалъных операторов типа Адамара-Маршо в классе гармонических функций // Сибирский математический журнал. (2012) 53, № 4. С. 752-764.

15. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач // Доклады АН СССР. (1969) 185, № 4. С. 739-740.

16. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовке // Доклады АН СССР. (1986) 291, № 3. С. 534-539.

17. Пулатов А.К. Об одной задаче Бицадзе-Самарского // Дифференциальные уравнения. (1989) 25, № 3. С. 537-540.

18. F. Criado, F.Jr. Criado, N. Odishelidze On the solution of some non-local problems //Czechoslovak Mathematical Journal. (2004) 54, № 2. P. 487-498.

19. Кишкис К.Ю. Об одной нелокальной задаче для гармонических в многосвязной области функций II Дифференциальные уравнения. (1987) 23, № 1. С. 174-177.

20. A.S. Berdyshev, B.J. Kadirkulov, J.J. Nieto Solvability of an elliptic partial differential equation with boundary condition involving fractional derivatives // Complex Variables and Elliptic Equations. (2013) D01:10.1080/17476933.2013.777711

21. M.A. Sadybekov, B.K. Turmetov, B.T. Torebek Solvability of nonlocal boundary-value problems for the Laplace equation in the ball // Electronic Journal of Differential Equations, (2014) 2014, № 157. P. 1-14.

22. M. Kirane, B.T. Torebek On a nonlocal problem for the Laplace equation in the unit ball with fractional boundary conditions // Mathematical Methods in the Applied Sciences, (2015) doi:10.1002/mma.355.

23. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. 2-е изд. М.: "ФИЗМАТЛИТ 2002. 160 с.

24. Торебек Б.Т., Турметов Б.Х. К вопросу разрешимости некоторых обратных задач для уравнения Лапласа с граничным оператором Римана-Лиувилля // Вестник КарГУ. Серия математика. (2013) 69, № 1. С. 113-121.

Берикбол Тиллабайулы Торебек,

Институт математики и математического моделирования,

ул. Пушкина, 125,

050010, г. Алматы, Казахстан

Казахский национальный университет имени аль-Фараби, ул. аль-Фараби, 71, 050040, г. Алматы, Казахстан E-mail: turebekb85@mail.ru